MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  pcoass Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem pcoass 22563
Description: Order of concatenation does not affect homotopy class. (Contributed by Jeff Madsen, 19-Jun-2010.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 8-Jun-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
pcoass.2 (𝜑𝐹 ∈ (II Cn 𝐽))
pcoass.3 (𝜑𝐺 ∈ (II Cn 𝐽))
pcoass.4 (𝜑𝐻 ∈ (II Cn 𝐽))
pcoass.5 (𝜑 → (𝐹‘1) = (𝐺‘0))
pcoass.6 (𝜑 → (𝐺‘1) = (𝐻‘0))
pcoass.7 𝑃 = (𝑥 ∈ (0[,]1) ↦ if(𝑥 ≤ (1 / 2), if(𝑥 ≤ (1 / 4), (2 · 𝑥), (𝑥 + (1 / 4))), ((𝑥 / 2) + (1 / 2))))
Assertion
Ref Expression
pcoass (𝜑 → ((𝐹(*𝑝𝐽)𝐺)(*𝑝𝐽)𝐻)( ≃ph𝐽)(𝐹(*𝑝𝐽)(𝐺(*𝑝𝐽)𝐻)))
Distinct variable groups:   𝑥,𝐹   𝑥,𝐺   𝑥,𝐻   𝑥,𝐽   𝜑,𝑥
Allowed substitution hint:   𝑃(𝑥)

Proof of Theorem pcoass
Dummy variables 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 iftrue 4041 . . . . . . . . . . 11 (𝑥 ≤ (1 / 4) → if(𝑥 ≤ (1 / 4), (2 · 𝑥), (𝑥 + (1 / 4))) = (2 · 𝑥))
21fveq2d 6092 . . . . . . . . . 10 (𝑥 ≤ (1 / 4) → ((𝐹(*𝑝𝐽)(𝐺(*𝑝𝐽)𝐻))‘if(𝑥 ≤ (1 / 4), (2 · 𝑥), (𝑥 + (1 / 4)))) = ((𝐹(*𝑝𝐽)(𝐺(*𝑝𝐽)𝐻))‘(2 · 𝑥)))
32adantl 480 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑥 ∈ (0[,]1)) ∧ 𝑥 ≤ (1 / 4)) → ((𝐹(*𝑝𝐽)(𝐺(*𝑝𝐽)𝐻))‘if(𝑥 ≤ (1 / 4), (2 · 𝑥), (𝑥 + (1 / 4)))) = ((𝐹(*𝑝𝐽)(𝐺(*𝑝𝐽)𝐻))‘(2 · 𝑥)))
4 2cn 10938 . . . . . . . . . . . . 13 2 ∈ ℂ
5 0re 9896 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 0 ∈ ℝ
6 1re 9895 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 1 ∈ ℝ
75, 6elicc2i 12066 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑥 ∈ (0[,]1) ↔ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑥𝑥 ≤ 1))
87simp1bi 1068 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑥 ∈ (0[,]1) → 𝑥 ∈ ℝ)
98adantr 479 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑥 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑥 ≤ (1 / 4)) → 𝑥 ∈ ℝ)
109recnd 9924 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑥 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑥 ≤ (1 / 4)) → 𝑥 ∈ ℂ)
11 mulcom 9878 . . . . . . . . . . . . 13 ((2 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → (2 · 𝑥) = (𝑥 · 2))
124, 10, 11sylancr 693 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑥 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑥 ≤ (1 / 4)) → (2 · 𝑥) = (𝑥 · 2))
137simp2bi 1069 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑥 ∈ (0[,]1) → 0 ≤ 𝑥)
1413adantr 479 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑥 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑥 ≤ (1 / 4)) → 0 ≤ 𝑥)
15 simpr 475 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑥 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑥 ≤ (1 / 4)) → 𝑥 ≤ (1 / 4))
16 4nn 11034 . . . . . . . . . . . . . . . 16 4 ∈ ℕ
17 nnrecre 10904 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (4 ∈ ℕ → (1 / 4) ∈ ℝ)
1816, 17ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . . 15 (1 / 4) ∈ ℝ
195, 18elicc2i 12066 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑥 ∈ (0[,](1 / 4)) ↔ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑥𝑥 ≤ (1 / 4)))
209, 14, 15, 19syl3anbrc 1238 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑥 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑥 ≤ (1 / 4)) → 𝑥 ∈ (0[,](1 / 4)))
21 2rp 11669 . . . . . . . . . . . . . 14 2 ∈ ℝ+
224mul02i 10076 . . . . . . . . . . . . . 14 (0 · 2) = 0
2318recni 9908 . . . . . . . . . . . . . . 15 (1 / 4) ∈ ℂ
24232timesi 10994 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (2 · (1 / 4)) = ((1 / 4) + (1 / 4))
25 2ne0 10960 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 2 ≠ 0
26 recdiv2 10587 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((2 ∈ ℂ ∧ 2 ≠ 0) ∧ (2 ∈ ℂ ∧ 2 ≠ 0)) → ((1 / 2) / 2) = (1 / (2 · 2)))
274, 25, 4, 25, 26mp4an 704 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((1 / 2) / 2) = (1 / (2 · 2))
28 2t2e4 11024 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (2 · 2) = 4
2928oveq2i 6538 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (1 / (2 · 2)) = (1 / 4)
3027, 29eqtri 2631 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((1 / 2) / 2) = (1 / 4)
3130, 30oveq12i 6539 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((1 / 2) / 2) + ((1 / 2) / 2)) = ((1 / 4) + (1 / 4))
32 halfcn 11094 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (1 / 2) ∈ ℂ
33 2halves 11107 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((1 / 2) ∈ ℂ → (((1 / 2) / 2) + ((1 / 2) / 2)) = (1 / 2))
3432, 33ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((1 / 2) / 2) + ((1 / 2) / 2)) = (1 / 2)
3531, 34eqtr3i 2633 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((1 / 4) + (1 / 4)) = (1 / 2)
3624, 35eqtri 2631 . . . . . . . . . . . . . . 15 (2 · (1 / 4)) = (1 / 2)
374, 23, 36mulcomli 9903 . . . . . . . . . . . . . 14 ((1 / 4) · 2) = (1 / 2)
385, 18, 21, 22, 37iccdili 12138 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑥 ∈ (0[,](1 / 4)) → (𝑥 · 2) ∈ (0[,](1 / 2)))
3920, 38syl 17 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑥 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑥 ≤ (1 / 4)) → (𝑥 · 2) ∈ (0[,](1 / 2)))
4012, 39eqeltrd 2687 . . . . . . . . . . 11 ((𝑥 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑥 ≤ (1 / 4)) → (2 · 𝑥) ∈ (0[,](1 / 2)))
41 pcoass.2 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑𝐹 ∈ (II Cn 𝐽))
42 pcoass.3 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑𝐺 ∈ (II Cn 𝐽))
43 pcoass.4 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑𝐻 ∈ (II Cn 𝐽))
44 pcoass.6 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → (𝐺‘1) = (𝐻‘0))
4542, 43, 44pcocn 22556 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → (𝐺(*𝑝𝐽)𝐻) ∈ (II Cn 𝐽))
4641, 45pcoval1 22552 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑 ∧ (2 · 𝑥) ∈ (0[,](1 / 2))) → ((𝐹(*𝑝𝐽)(𝐺(*𝑝𝐽)𝐻))‘(2 · 𝑥)) = (𝐹‘(2 · (2 · 𝑥))))
4741, 42pcoval1 22552 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑 ∧ (2 · 𝑥) ∈ (0[,](1 / 2))) → ((𝐹(*𝑝𝐽)𝐺)‘(2 · 𝑥)) = (𝐹‘(2 · (2 · 𝑥))))
4846, 47eqtr4d 2646 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑 ∧ (2 · 𝑥) ∈ (0[,](1 / 2))) → ((𝐹(*𝑝𝐽)(𝐺(*𝑝𝐽)𝐻))‘(2 · 𝑥)) = ((𝐹(*𝑝𝐽)𝐺)‘(2 · 𝑥)))
4940, 48sylan2 489 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑥 ≤ (1 / 4))) → ((𝐹(*𝑝𝐽)(𝐺(*𝑝𝐽)𝐻))‘(2 · 𝑥)) = ((𝐹(*𝑝𝐽)𝐺)‘(2 · 𝑥)))
5049anassrs 677 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑥 ∈ (0[,]1)) ∧ 𝑥 ≤ (1 / 4)) → ((𝐹(*𝑝𝐽)(𝐺(*𝑝𝐽)𝐻))‘(2 · 𝑥)) = ((𝐹(*𝑝𝐽)𝐺)‘(2 · 𝑥)))
513, 50eqtrd 2643 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑥 ∈ (0[,]1)) ∧ 𝑥 ≤ (1 / 4)) → ((𝐹(*𝑝𝐽)(𝐺(*𝑝𝐽)𝐻))‘if(𝑥 ≤ (1 / 4), (2 · 𝑥), (𝑥 + (1 / 4)))) = ((𝐹(*𝑝𝐽)𝐺)‘(2 · 𝑥)))
5251adantlr 746 . . . . . . 7 ((((𝜑𝑥 ∈ (0[,]1)) ∧ 𝑥 ≤ (1 / 2)) ∧ 𝑥 ≤ (1 / 4)) → ((𝐹(*𝑝𝐽)(𝐺(*𝑝𝐽)𝐻))‘if(𝑥 ≤ (1 / 4), (2 · 𝑥), (𝑥 + (1 / 4)))) = ((𝐹(*𝑝𝐽)𝐺)‘(2 · 𝑥)))
53 simplll 793 . . . . . . . . . 10 ((((𝜑𝑥 ∈ (0[,]1)) ∧ 𝑥 ≤ (1 / 2)) ∧ ¬ 𝑥 ≤ (1 / 4)) → 𝜑)
548ad2antlr 758 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑥 ∈ (0[,]1)) ∧ 𝑥 ≤ (1 / 2)) → 𝑥 ∈ ℝ)
5554adantr 479 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝜑𝑥 ∈ (0[,]1)) ∧ 𝑥 ≤ (1 / 2)) ∧ ¬ 𝑥 ≤ (1 / 4)) → 𝑥 ∈ ℝ)
56 letric 9988 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑥 ∈ ℝ ∧ (1 / 4) ∈ ℝ) → (𝑥 ≤ (1 / 4) ∨ (1 / 4) ≤ 𝑥))
5754, 18, 56sylancl 692 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑥 ∈ (0[,]1)) ∧ 𝑥 ≤ (1 / 2)) → (𝑥 ≤ (1 / 4) ∨ (1 / 4) ≤ 𝑥))
5857orcanai 949 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝜑𝑥 ∈ (0[,]1)) ∧ 𝑥 ≤ (1 / 2)) ∧ ¬ 𝑥 ≤ (1 / 4)) → (1 / 4) ≤ 𝑥)
59 simplr 787 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝜑𝑥 ∈ (0[,]1)) ∧ 𝑥 ≤ (1 / 2)) ∧ ¬ 𝑥 ≤ (1 / 4)) → 𝑥 ≤ (1 / 2))
60 halfre 11093 . . . . . . . . . . . . 13 (1 / 2) ∈ ℝ
6118, 60elicc2i 12066 . . . . . . . . . . . 12 (𝑥 ∈ ((1 / 4)[,](1 / 2)) ↔ (𝑥 ∈ ℝ ∧ (1 / 4) ≤ 𝑥𝑥 ≤ (1 / 2)))
6255, 58, 59, 61syl3anbrc 1238 . . . . . . . . . . 11 ((((𝜑𝑥 ∈ (0[,]1)) ∧ 𝑥 ≤ (1 / 2)) ∧ ¬ 𝑥 ≤ (1 / 4)) → 𝑥 ∈ ((1 / 4)[,](1 / 2)))
6361simp1bi 1068 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑥 ∈ ((1 / 4)[,](1 / 2)) → 𝑥 ∈ ℝ)
64 readdcl 9875 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑥 ∈ ℝ ∧ (1 / 4) ∈ ℝ) → (𝑥 + (1 / 4)) ∈ ℝ)
6563, 18, 64sylancl 692 . . . . . . . . . . . 12 (𝑥 ∈ ((1 / 4)[,](1 / 2)) → (𝑥 + (1 / 4)) ∈ ℝ)
6618a1i 11 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑥 ∈ ((1 / 4)[,](1 / 2)) → (1 / 4) ∈ ℝ)
6761simp2bi 1069 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑥 ∈ ((1 / 4)[,](1 / 2)) → (1 / 4) ≤ 𝑥)
6866, 63, 66, 67leadd1dd 10490 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑥 ∈ ((1 / 4)[,](1 / 2)) → ((1 / 4) + (1 / 4)) ≤ (𝑥 + (1 / 4)))
6935, 68syl5eqbrr 4613 . . . . . . . . . . . 12 (𝑥 ∈ ((1 / 4)[,](1 / 2)) → (1 / 2) ≤ (𝑥 + (1 / 4)))
7060a1i 11 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑥 ∈ ((1 / 4)[,](1 / 2)) → (1 / 2) ∈ ℝ)
7161simp3bi 1070 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑥 ∈ ((1 / 4)[,](1 / 2)) → 𝑥 ≤ (1 / 2))
72 2lt4 11045 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 2 < 4
73 2re 10937 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 2 ∈ ℝ
74 4re 10944 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 4 ∈ ℝ
75 2pos 10959 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 0 < 2
76 4pos 10963 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 0 < 4
7773, 74, 75, 76ltrecii 10789 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (2 < 4 ↔ (1 / 4) < (1 / 2))
7872, 77mpbi 218 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (1 / 4) < (1 / 2)
7918, 60, 78ltleii 10011 . . . . . . . . . . . . . . 15 (1 / 4) ≤ (1 / 2)
8079a1i 11 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑥 ∈ ((1 / 4)[,](1 / 2)) → (1 / 4) ≤ (1 / 2))
8163, 66, 70, 70, 71, 80le2addd 10495 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑥 ∈ ((1 / 4)[,](1 / 2)) → (𝑥 + (1 / 4)) ≤ ((1 / 2) + (1 / 2)))
82 ax-1cn 9850 . . . . . . . . . . . . . 14 1 ∈ ℂ
83 2halves 11107 . . . . . . . . . . . . . 14 (1 ∈ ℂ → ((1 / 2) + (1 / 2)) = 1)
8482, 83ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . 13 ((1 / 2) + (1 / 2)) = 1
8581, 84syl6breq 4618 . . . . . . . . . . . 12 (𝑥 ∈ ((1 / 4)[,](1 / 2)) → (𝑥 + (1 / 4)) ≤ 1)
8660, 6elicc2i 12066 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑥 + (1 / 4)) ∈ ((1 / 2)[,]1) ↔ ((𝑥 + (1 / 4)) ∈ ℝ ∧ (1 / 2) ≤ (𝑥 + (1 / 4)) ∧ (𝑥 + (1 / 4)) ≤ 1))
8765, 69, 85, 86syl3anbrc 1238 . . . . . . . . . . 11 (𝑥 ∈ ((1 / 4)[,](1 / 2)) → (𝑥 + (1 / 4)) ∈ ((1 / 2)[,]1))
8862, 87syl 17 . . . . . . . . . 10 ((((𝜑𝑥 ∈ (0[,]1)) ∧ 𝑥 ≤ (1 / 2)) ∧ ¬ 𝑥 ≤ (1 / 4)) → (𝑥 + (1 / 4)) ∈ ((1 / 2)[,]1))
89 pcoass.5 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (𝐹‘1) = (𝐺‘0))
9042, 43pco0 22553 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → ((𝐺(*𝑝𝐽)𝐻)‘0) = (𝐺‘0))
9189, 90eqtr4d 2646 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (𝐹‘1) = ((𝐺(*𝑝𝐽)𝐻)‘0))
9241, 45, 91pcoval2 22555 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ (𝑥 + (1 / 4)) ∈ ((1 / 2)[,]1)) → ((𝐹(*𝑝𝐽)(𝐺(*𝑝𝐽)𝐻))‘(𝑥 + (1 / 4))) = ((𝐺(*𝑝𝐽)𝐻)‘((2 · (𝑥 + (1 / 4))) − 1)))
9353, 88, 92syl2anc 690 . . . . . . . . 9 ((((𝜑𝑥 ∈ (0[,]1)) ∧ 𝑥 ≤ (1 / 2)) ∧ ¬ 𝑥 ≤ (1 / 4)) → ((𝐹(*𝑝𝐽)(𝐺(*𝑝𝐽)𝐻))‘(𝑥 + (1 / 4))) = ((𝐺(*𝑝𝐽)𝐻)‘((2 · (𝑥 + (1 / 4))) − 1)))
9484oveq2i 6538 . . . . . . . . . . . 12 ((2 · (𝑥 + (1 / 4))) − ((1 / 2) + (1 / 2))) = ((2 · (𝑥 + (1 / 4))) − 1)
95 2cnd 10940 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝜑𝑥 ∈ (0[,]1)) ∧ 𝑥 ≤ (1 / 2)) ∧ ¬ 𝑥 ≤ (1 / 4)) → 2 ∈ ℂ)
9655recnd 9924 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝜑𝑥 ∈ (0[,]1)) ∧ 𝑥 ≤ (1 / 2)) ∧ ¬ 𝑥 ≤ (1 / 4)) → 𝑥 ∈ ℂ)
9723a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝜑𝑥 ∈ (0[,]1)) ∧ 𝑥 ≤ (1 / 2)) ∧ ¬ 𝑥 ≤ (1 / 4)) → (1 / 4) ∈ ℂ)
9895, 96, 97adddid 9920 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝜑𝑥 ∈ (0[,]1)) ∧ 𝑥 ≤ (1 / 2)) ∧ ¬ 𝑥 ≤ (1 / 4)) → (2 · (𝑥 + (1 / 4))) = ((2 · 𝑥) + (2 · (1 / 4))))
9936oveq2i 6538 . . . . . . . . . . . . . 14 ((2 · 𝑥) + (2 · (1 / 4))) = ((2 · 𝑥) + (1 / 2))
10098, 99syl6eq 2659 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝜑𝑥 ∈ (0[,]1)) ∧ 𝑥 ≤ (1 / 2)) ∧ ¬ 𝑥 ≤ (1 / 4)) → (2 · (𝑥 + (1 / 4))) = ((2 · 𝑥) + (1 / 2)))
101100oveq1d 6542 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝜑𝑥 ∈ (0[,]1)) ∧ 𝑥 ≤ (1 / 2)) ∧ ¬ 𝑥 ≤ (1 / 4)) → ((2 · (𝑥 + (1 / 4))) − ((1 / 2) + (1 / 2))) = (((2 · 𝑥) + (1 / 2)) − ((1 / 2) + (1 / 2))))
10294, 101syl5eqr 2657 . . . . . . . . . . 11 ((((𝜑𝑥 ∈ (0[,]1)) ∧ 𝑥 ≤ (1 / 2)) ∧ ¬ 𝑥 ≤ (1 / 4)) → ((2 · (𝑥 + (1 / 4))) − 1) = (((2 · 𝑥) + (1 / 2)) − ((1 / 2) + (1 / 2))))
103 remulcl 9877 . . . . . . . . . . . . . 14 ((2 ∈ ℝ ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (2 · 𝑥) ∈ ℝ)
10473, 55, 103sylancr 693 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝜑𝑥 ∈ (0[,]1)) ∧ 𝑥 ≤ (1 / 2)) ∧ ¬ 𝑥 ≤ (1 / 4)) → (2 · 𝑥) ∈ ℝ)
105104recnd 9924 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝜑𝑥 ∈ (0[,]1)) ∧ 𝑥 ≤ (1 / 2)) ∧ ¬ 𝑥 ≤ (1 / 4)) → (2 · 𝑥) ∈ ℂ)
10632a1i 11 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝜑𝑥 ∈ (0[,]1)) ∧ 𝑥 ≤ (1 / 2)) ∧ ¬ 𝑥 ≤ (1 / 4)) → (1 / 2) ∈ ℂ)
107105, 106, 106pnpcan2d 10281 . . . . . . . . . . 11 ((((𝜑𝑥 ∈ (0[,]1)) ∧ 𝑥 ≤ (1 / 2)) ∧ ¬ 𝑥 ≤ (1 / 4)) → (((2 · 𝑥) + (1 / 2)) − ((1 / 2) + (1 / 2))) = ((2 · 𝑥) − (1 / 2)))
108102, 107eqtrd 2643 . . . . . . . . . 10 ((((𝜑𝑥 ∈ (0[,]1)) ∧ 𝑥 ≤ (1 / 2)) ∧ ¬ 𝑥 ≤ (1 / 4)) → ((2 · (𝑥 + (1 / 4))) − 1) = ((2 · 𝑥) − (1 / 2)))
109108fveq2d 6092 . . . . . . . . 9 ((((𝜑𝑥 ∈ (0[,]1)) ∧ 𝑥 ≤ (1 / 2)) ∧ ¬ 𝑥 ≤ (1 / 4)) → ((𝐺(*𝑝𝐽)𝐻)‘((2 · (𝑥 + (1 / 4))) − 1)) = ((𝐺(*𝑝𝐽)𝐻)‘((2 · 𝑥) − (1 / 2))))
1104, 96, 11sylancr 693 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝜑𝑥 ∈ (0[,]1)) ∧ 𝑥 ≤ (1 / 2)) ∧ ¬ 𝑥 ≤ (1 / 4)) → (2 · 𝑥) = (𝑥 · 2))
11182, 4, 25divcan1i 10618 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((1 / 2) · 2) = 1
11218, 60, 21, 37, 111iccdili 12138 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑥 ∈ ((1 / 4)[,](1 / 2)) → (𝑥 · 2) ∈ ((1 / 2)[,]1))
11362, 112syl 17 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝜑𝑥 ∈ (0[,]1)) ∧ 𝑥 ≤ (1 / 2)) ∧ ¬ 𝑥 ≤ (1 / 4)) → (𝑥 · 2) ∈ ((1 / 2)[,]1))
114110, 113eqeltrd 2687 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝜑𝑥 ∈ (0[,]1)) ∧ 𝑥 ≤ (1 / 2)) ∧ ¬ 𝑥 ≤ (1 / 4)) → (2 · 𝑥) ∈ ((1 / 2)[,]1))
11532subidi 10203 . . . . . . . . . . . . 13 ((1 / 2) − (1 / 2)) = 0
116 1mhlfehlf 11098 . . . . . . . . . . . . 13 (1 − (1 / 2)) = (1 / 2)
11760, 6, 60, 115, 116iccshftli 12136 . . . . . . . . . . . 12 ((2 · 𝑥) ∈ ((1 / 2)[,]1) → ((2 · 𝑥) − (1 / 2)) ∈ (0[,](1 / 2)))
118114, 117syl 17 . . . . . . . . . . 11 ((((𝜑𝑥 ∈ (0[,]1)) ∧ 𝑥 ≤ (1 / 2)) ∧ ¬ 𝑥 ≤ (1 / 4)) → ((2 · 𝑥) − (1 / 2)) ∈ (0[,](1 / 2)))
11942, 43pcoval1 22552 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑 ∧ ((2 · 𝑥) − (1 / 2)) ∈ (0[,](1 / 2))) → ((𝐺(*𝑝𝐽)𝐻)‘((2 · 𝑥) − (1 / 2))) = (𝐺‘(2 · ((2 · 𝑥) − (1 / 2)))))
12053, 118, 119syl2anc 690 . . . . . . . . . 10 ((((𝜑𝑥 ∈ (0[,]1)) ∧ 𝑥 ≤ (1 / 2)) ∧ ¬ 𝑥 ≤ (1 / 4)) → ((𝐺(*𝑝𝐽)𝐻)‘((2 · 𝑥) − (1 / 2))) = (𝐺‘(2 · ((2 · 𝑥) − (1 / 2)))))
12195, 105, 106subdid 10336 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝜑𝑥 ∈ (0[,]1)) ∧ 𝑥 ≤ (1 / 2)) ∧ ¬ 𝑥 ≤ (1 / 4)) → (2 · ((2 · 𝑥) − (1 / 2))) = ((2 · (2 · 𝑥)) − (2 · (1 / 2))))
1224, 25recidi 10605 . . . . . . . . . . . . 13 (2 · (1 / 2)) = 1
123122oveq2i 6538 . . . . . . . . . . . 12 ((2 · (2 · 𝑥)) − (2 · (1 / 2))) = ((2 · (2 · 𝑥)) − 1)
124121, 123syl6eq 2659 . . . . . . . . . . 11 ((((𝜑𝑥 ∈ (0[,]1)) ∧ 𝑥 ≤ (1 / 2)) ∧ ¬ 𝑥 ≤ (1 / 4)) → (2 · ((2 · 𝑥) − (1 / 2))) = ((2 · (2 · 𝑥)) − 1))
125124fveq2d 6092 . . . . . . . . . 10 ((((𝜑𝑥 ∈ (0[,]1)) ∧ 𝑥 ≤ (1 / 2)) ∧ ¬ 𝑥 ≤ (1 / 4)) → (𝐺‘(2 · ((2 · 𝑥) − (1 / 2)))) = (𝐺‘((2 · (2 · 𝑥)) − 1)))
126120, 125eqtrd 2643 . . . . . . . . 9 ((((𝜑𝑥 ∈ (0[,]1)) ∧ 𝑥 ≤ (1 / 2)) ∧ ¬ 𝑥 ≤ (1 / 4)) → ((𝐺(*𝑝𝐽)𝐻)‘((2 · 𝑥) − (1 / 2))) = (𝐺‘((2 · (2 · 𝑥)) − 1)))
12793, 109, 1263eqtrd 2647 . . . . . . . 8 ((((𝜑𝑥 ∈ (0[,]1)) ∧ 𝑥 ≤ (1 / 2)) ∧ ¬ 𝑥 ≤ (1 / 4)) → ((𝐹(*𝑝𝐽)(𝐺(*𝑝𝐽)𝐻))‘(𝑥 + (1 / 4))) = (𝐺‘((2 · (2 · 𝑥)) − 1)))
128 iffalse 4044 . . . . . . . . . 10 𝑥 ≤ (1 / 4) → if(𝑥 ≤ (1 / 4), (2 · 𝑥), (𝑥 + (1 / 4))) = (𝑥 + (1 / 4)))
129128fveq2d 6092 . . . . . . . . 9 𝑥 ≤ (1 / 4) → ((𝐹(*𝑝𝐽)(𝐺(*𝑝𝐽)𝐻))‘if(𝑥 ≤ (1 / 4), (2 · 𝑥), (𝑥 + (1 / 4)))) = ((𝐹(*𝑝𝐽)(𝐺(*𝑝𝐽)𝐻))‘(𝑥 + (1 / 4))))
130129adantl 480 . . . . . . . 8 ((((𝜑𝑥 ∈ (0[,]1)) ∧ 𝑥 ≤ (1 / 2)) ∧ ¬ 𝑥 ≤ (1 / 4)) → ((𝐹(*𝑝𝐽)(𝐺(*𝑝𝐽)𝐻))‘if(𝑥 ≤ (1 / 4), (2 · 𝑥), (𝑥 + (1 / 4)))) = ((𝐹(*𝑝𝐽)(𝐺(*𝑝𝐽)𝐻))‘(𝑥 + (1 / 4))))
13141, 42, 89pcoval2 22555 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ (2 · 𝑥) ∈ ((1 / 2)[,]1)) → ((𝐹(*𝑝𝐽)𝐺)‘(2 · 𝑥)) = (𝐺‘((2 · (2 · 𝑥)) − 1)))
13253, 114, 131syl2anc 690 . . . . . . . 8 ((((𝜑𝑥 ∈ (0[,]1)) ∧ 𝑥 ≤ (1 / 2)) ∧ ¬ 𝑥 ≤ (1 / 4)) → ((𝐹(*𝑝𝐽)𝐺)‘(2 · 𝑥)) = (𝐺‘((2 · (2 · 𝑥)) − 1)))
133127, 130, 1323eqtr4d 2653 . . . . . . 7 ((((𝜑𝑥 ∈ (0[,]1)) ∧ 𝑥 ≤ (1 / 2)) ∧ ¬ 𝑥 ≤ (1 / 4)) → ((𝐹(*𝑝𝐽)(𝐺(*𝑝𝐽)𝐻))‘if(𝑥 ≤ (1 / 4), (2 · 𝑥), (𝑥 + (1 / 4)))) = ((𝐹(*𝑝𝐽)𝐺)‘(2 · 𝑥)))
13452, 133pm2.61dan 827 . . . . . 6 (((𝜑𝑥 ∈ (0[,]1)) ∧ 𝑥 ≤ (1 / 2)) → ((𝐹(*𝑝𝐽)(𝐺(*𝑝𝐽)𝐻))‘if(𝑥 ≤ (1 / 4), (2 · 𝑥), (𝑥 + (1 / 4)))) = ((𝐹(*𝑝𝐽)𝐺)‘(2 · 𝑥)))
135 iftrue 4041 . . . . . . . 8 (𝑥 ≤ (1 / 2) → if(𝑥 ≤ (1 / 2), if(𝑥 ≤ (1 / 4), (2 · 𝑥), (𝑥 + (1 / 4))), ((𝑥 / 2) + (1 / 2))) = if(𝑥 ≤ (1 / 4), (2 · 𝑥), (𝑥 + (1 / 4))))
136135fveq2d 6092 . . . . . . 7 (𝑥 ≤ (1 / 2) → ((𝐹(*𝑝𝐽)(𝐺(*𝑝𝐽)𝐻))‘if(𝑥 ≤ (1 / 2), if(𝑥 ≤ (1 / 4), (2 · 𝑥), (𝑥 + (1 / 4))), ((𝑥 / 2) + (1 / 2)))) = ((𝐹(*𝑝𝐽)(𝐺(*𝑝𝐽)𝐻))‘if(𝑥 ≤ (1 / 4), (2 · 𝑥), (𝑥 + (1 / 4)))))
137136adantl 480 . . . . . 6 (((𝜑𝑥 ∈ (0[,]1)) ∧ 𝑥 ≤ (1 / 2)) → ((𝐹(*𝑝𝐽)(𝐺(*𝑝𝐽)𝐻))‘if(𝑥 ≤ (1 / 2), if(𝑥 ≤ (1 / 4), (2 · 𝑥), (𝑥 + (1 / 4))), ((𝑥 / 2) + (1 / 2)))) = ((𝐹(*𝑝𝐽)(𝐺(*𝑝𝐽)𝐻))‘if(𝑥 ≤ (1 / 4), (2 · 𝑥), (𝑥 + (1 / 4)))))
138 iftrue 4041 . . . . . . 7 (𝑥 ≤ (1 / 2) → if(𝑥 ≤ (1 / 2), ((𝐹(*𝑝𝐽)𝐺)‘(2 · 𝑥)), (𝐻‘((2 · 𝑥) − 1))) = ((𝐹(*𝑝𝐽)𝐺)‘(2 · 𝑥)))
139138adantl 480 . . . . . 6 (((𝜑𝑥 ∈ (0[,]1)) ∧ 𝑥 ≤ (1 / 2)) → if(𝑥 ≤ (1 / 2), ((𝐹(*𝑝𝐽)𝐺)‘(2 · 𝑥)), (𝐻‘((2 · 𝑥) − 1))) = ((𝐹(*𝑝𝐽)𝐺)‘(2 · 𝑥)))
140134, 137, 1393eqtr4d 2653 . . . . 5 (((𝜑𝑥 ∈ (0[,]1)) ∧ 𝑥 ≤ (1 / 2)) → ((𝐹(*𝑝𝐽)(𝐺(*𝑝𝐽)𝐻))‘if(𝑥 ≤ (1 / 2), if(𝑥 ≤ (1 / 4), (2 · 𝑥), (𝑥 + (1 / 4))), ((𝑥 / 2) + (1 / 2)))) = if(𝑥 ≤ (1 / 2), ((𝐹(*𝑝𝐽)𝐺)‘(2 · 𝑥)), (𝐻‘((2 · 𝑥) − 1))))
141 elii2 22474 . . . . . . . 8 ((𝑥 ∈ (0[,]1) ∧ ¬ 𝑥 ≤ (1 / 2)) → 𝑥 ∈ ((1 / 2)[,]1))
142 halfgt0 11095 . . . . . . . . . . . . . . 15 0 < (1 / 2)
1435, 60, 142ltleii 10011 . . . . . . . . . . . . . 14 0 ≤ (1 / 2)
144 halflt1 11097 . . . . . . . . . . . . . . 15 (1 / 2) < 1
14560, 6, 144ltleii 10011 . . . . . . . . . . . . . 14 (1 / 2) ≤ 1
1465, 6elicc2i 12066 . . . . . . . . . . . . . 14 ((1 / 2) ∈ (0[,]1) ↔ ((1 / 2) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (1 / 2) ∧ (1 / 2) ≤ 1))
14760, 143, 145, 146mpbir3an 1236 . . . . . . . . . . . . 13 (1 / 2) ∈ (0[,]1)
148 1elunit 12118 . . . . . . . . . . . . 13 1 ∈ (0[,]1)
149 iccss2 12071 . . . . . . . . . . . . 13 (((1 / 2) ∈ (0[,]1) ∧ 1 ∈ (0[,]1)) → ((1 / 2)[,]1) ⊆ (0[,]1))
150147, 148, 149mp2an 703 . . . . . . . . . . . 12 ((1 / 2)[,]1) ⊆ (0[,]1)
151150sseli 3563 . . . . . . . . . . 11 (𝑥 ∈ ((1 / 2)[,]1) → 𝑥 ∈ (0[,]1))
1524, 25div0i 10608 . . . . . . . . . . . 12 (0 / 2) = 0
153 eqid 2609 . . . . . . . . . . . 12 (1 / 2) = (1 / 2)
1545, 6, 21, 152, 153icccntri 12140 . . . . . . . . . . 11 (𝑥 ∈ (0[,]1) → (𝑥 / 2) ∈ (0[,](1 / 2)))
15532addid2i 10075 . . . . . . . . . . . 12 (0 + (1 / 2)) = (1 / 2)
1565, 60, 60, 155, 84iccshftri 12134 . . . . . . . . . . 11 ((𝑥 / 2) ∈ (0[,](1 / 2)) → ((𝑥 / 2) + (1 / 2)) ∈ ((1 / 2)[,]1))
157151, 154, 1563syl 18 . . . . . . . . . 10 (𝑥 ∈ ((1 / 2)[,]1) → ((𝑥 / 2) + (1 / 2)) ∈ ((1 / 2)[,]1))
15841, 45, 91pcoval2 22555 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ ((𝑥 / 2) + (1 / 2)) ∈ ((1 / 2)[,]1)) → ((𝐹(*𝑝𝐽)(𝐺(*𝑝𝐽)𝐻))‘((𝑥 / 2) + (1 / 2))) = ((𝐺(*𝑝𝐽)𝐻)‘((2 · ((𝑥 / 2) + (1 / 2))) − 1)))
159157, 158sylan2 489 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑥 ∈ ((1 / 2)[,]1)) → ((𝐹(*𝑝𝐽)(𝐺(*𝑝𝐽)𝐻))‘((𝑥 / 2) + (1 / 2))) = ((𝐺(*𝑝𝐽)𝐻)‘((2 · ((𝑥 / 2) + (1 / 2))) − 1)))
16060, 6elicc2i 12066 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑥 ∈ ((1 / 2)[,]1) ↔ (𝑥 ∈ ℝ ∧ (1 / 2) ≤ 𝑥𝑥 ≤ 1))
161160simp1bi 1068 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑥 ∈ ((1 / 2)[,]1) → 𝑥 ∈ ℝ)
162161recnd 9924 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑥 ∈ ((1 / 2)[,]1) → 𝑥 ∈ ℂ)
16382a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑥 ∈ ((1 / 2)[,]1) → 1 ∈ ℂ)
164 2cnd 10940 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑥 ∈ ((1 / 2)[,]1) → 2 ∈ ℂ)
16525a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑥 ∈ ((1 / 2)[,]1) → 2 ≠ 0)
166162, 163, 164, 165divdird 10688 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑥 ∈ ((1 / 2)[,]1) → ((𝑥 + 1) / 2) = ((𝑥 / 2) + (1 / 2)))
167166oveq2d 6543 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑥 ∈ ((1 / 2)[,]1) → (2 · ((𝑥 + 1) / 2)) = (2 · ((𝑥 / 2) + (1 / 2))))
168 peano2cn 10059 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑥 ∈ ℂ → (𝑥 + 1) ∈ ℂ)
169162, 168syl 17 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑥 ∈ ((1 / 2)[,]1) → (𝑥 + 1) ∈ ℂ)
170169, 164, 165divcan2d 10652 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑥 ∈ ((1 / 2)[,]1) → (2 · ((𝑥 + 1) / 2)) = (𝑥 + 1))
171167, 170eqtr3d 2645 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑥 ∈ ((1 / 2)[,]1) → (2 · ((𝑥 / 2) + (1 / 2))) = (𝑥 + 1))
172171oveq1d 6542 . . . . . . . . . . . 12 (𝑥 ∈ ((1 / 2)[,]1) → ((2 · ((𝑥 / 2) + (1 / 2))) − 1) = ((𝑥 + 1) − 1))
173 pncan 10138 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑥 ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ) → ((𝑥 + 1) − 1) = 𝑥)
174162, 82, 173sylancl 692 . . . . . . . . . . . 12 (𝑥 ∈ ((1 / 2)[,]1) → ((𝑥 + 1) − 1) = 𝑥)
175172, 174eqtrd 2643 . . . . . . . . . . 11 (𝑥 ∈ ((1 / 2)[,]1) → ((2 · ((𝑥 / 2) + (1 / 2))) − 1) = 𝑥)
176175fveq2d 6092 . . . . . . . . . 10 (𝑥 ∈ ((1 / 2)[,]1) → ((𝐺(*𝑝𝐽)𝐻)‘((2 · ((𝑥 / 2) + (1 / 2))) − 1)) = ((𝐺(*𝑝𝐽)𝐻)‘𝑥))
177176adantl 480 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑥 ∈ ((1 / 2)[,]1)) → ((𝐺(*𝑝𝐽)𝐻)‘((2 · ((𝑥 / 2) + (1 / 2))) − 1)) = ((𝐺(*𝑝𝐽)𝐻)‘𝑥))
17842, 43, 44pcoval2 22555 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑥 ∈ ((1 / 2)[,]1)) → ((𝐺(*𝑝𝐽)𝐻)‘𝑥) = (𝐻‘((2 · 𝑥) − 1)))
179159, 177, 1783eqtrd 2647 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑥 ∈ ((1 / 2)[,]1)) → ((𝐹(*𝑝𝐽)(𝐺(*𝑝𝐽)𝐻))‘((𝑥 / 2) + (1 / 2))) = (𝐻‘((2 · 𝑥) − 1)))
180141, 179sylan2 489 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (0[,]1) ∧ ¬ 𝑥 ≤ (1 / 2))) → ((𝐹(*𝑝𝐽)(𝐺(*𝑝𝐽)𝐻))‘((𝑥 / 2) + (1 / 2))) = (𝐻‘((2 · 𝑥) − 1)))
181180anassrs 677 . . . . . 6 (((𝜑𝑥 ∈ (0[,]1)) ∧ ¬ 𝑥 ≤ (1 / 2)) → ((𝐹(*𝑝𝐽)(𝐺(*𝑝𝐽)𝐻))‘((𝑥 / 2) + (1 / 2))) = (𝐻‘((2 · 𝑥) − 1)))
182 iffalse 4044 . . . . . . . 8 𝑥 ≤ (1 / 2) → if(𝑥 ≤ (1 / 2), if(𝑥 ≤ (1 / 4), (2 · 𝑥), (𝑥 + (1 / 4))), ((𝑥 / 2) + (1 / 2))) = ((𝑥 / 2) + (1 / 2)))
183182fveq2d 6092 . . . . . . 7 𝑥 ≤ (1 / 2) → ((𝐹(*𝑝𝐽)(𝐺(*𝑝𝐽)𝐻))‘if(𝑥 ≤ (1 / 2), if(𝑥 ≤ (1 / 4), (2 · 𝑥), (𝑥 + (1 / 4))), ((𝑥 / 2) + (1 / 2)))) = ((𝐹(*𝑝𝐽)(𝐺(*𝑝𝐽)𝐻))‘((𝑥 / 2) + (1 / 2))))
184183adantl 480 . . . . . 6 (((𝜑𝑥 ∈ (0[,]1)) ∧ ¬ 𝑥 ≤ (1 / 2)) → ((𝐹(*𝑝𝐽)(𝐺(*𝑝𝐽)𝐻))‘if(𝑥 ≤ (1 / 2), if(𝑥 ≤ (1 / 4), (2 · 𝑥), (𝑥 + (1 / 4))), ((𝑥 / 2) + (1 / 2)))) = ((𝐹(*𝑝𝐽)(𝐺(*𝑝𝐽)𝐻))‘((𝑥 / 2) + (1 / 2))))
185 iffalse 4044 . . . . . . 7 𝑥 ≤ (1 / 2) → if(𝑥 ≤ (1 / 2), ((𝐹(*𝑝𝐽)𝐺)‘(2 · 𝑥)), (𝐻‘((2 · 𝑥) − 1))) = (𝐻‘((2 · 𝑥) − 1)))
186185adantl 480 . . . . . 6 (((𝜑𝑥 ∈ (0[,]1)) ∧ ¬ 𝑥 ≤ (1 / 2)) → if(𝑥 ≤ (1 / 2), ((𝐹(*𝑝𝐽)𝐺)‘(2 · 𝑥)), (𝐻‘((2 · 𝑥) − 1))) = (𝐻‘((2 · 𝑥) − 1)))
187181, 184, 1863eqtr4d 2653 . . . . 5 (((𝜑𝑥 ∈ (0[,]1)) ∧ ¬ 𝑥 ≤ (1 / 2)) → ((𝐹(*𝑝𝐽)(𝐺(*𝑝𝐽)𝐻))‘if(𝑥 ≤ (1 / 2), if(𝑥 ≤ (1 / 4), (2 · 𝑥), (𝑥 + (1 / 4))), ((𝑥 / 2) + (1 / 2)))) = if(𝑥 ≤ (1 / 2), ((𝐹(*𝑝𝐽)𝐺)‘(2 · 𝑥)), (𝐻‘((2 · 𝑥) − 1))))
188140, 187pm2.61dan 827 . . . 4 ((𝜑𝑥 ∈ (0[,]1)) → ((𝐹(*𝑝𝐽)(𝐺(*𝑝𝐽)𝐻))‘if(𝑥 ≤ (1 / 2), if(𝑥 ≤ (1 / 4), (2 · 𝑥), (𝑥 + (1 / 4))), ((𝑥 / 2) + (1 / 2)))) = if(𝑥 ≤ (1 / 2), ((𝐹(*𝑝𝐽)𝐺)‘(2 · 𝑥)), (𝐻‘((2 · 𝑥) − 1))))
189188mpteq2dva 4666 . . 3 (𝜑 → (𝑥 ∈ (0[,]1) ↦ ((𝐹(*𝑝𝐽)(𝐺(*𝑝𝐽)𝐻))‘if(𝑥 ≤ (1 / 2), if(𝑥 ≤ (1 / 4), (2 · 𝑥), (𝑥 + (1 / 4))), ((𝑥 / 2) + (1 / 2))))) = (𝑥 ∈ (0[,]1) ↦ if(𝑥 ≤ (1 / 2), ((𝐹(*𝑝𝐽)𝐺)‘(2 · 𝑥)), (𝐻‘((2 · 𝑥) − 1)))))
190 pcoass.7 . . . . . . 7 𝑃 = (𝑥 ∈ (0[,]1) ↦ if(𝑥 ≤ (1 / 2), if(𝑥 ≤ (1 / 4), (2 · 𝑥), (𝑥 + (1 / 4))), ((𝑥 / 2) + (1 / 2))))
191 iitopon 22421 . . . . . . . . 9 II ∈ (TopOn‘(0[,]1))
192191a1i 11 . . . . . . . 8 (𝜑 → II ∈ (TopOn‘(0[,]1)))
193192cnmptid 21216 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝑥 ∈ (0[,]1) ↦ 𝑥) ∈ (II Cn II))
194 0elunit 12117 . . . . . . . . . 10 0 ∈ (0[,]1)
195194a1i 11 . . . . . . . . 9 (𝜑 → 0 ∈ (0[,]1))
196192, 192, 195cnmptc 21217 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝑥 ∈ (0[,]1) ↦ 0) ∈ (II Cn II))
197 eqid 2609 . . . . . . . . 9 (topGen‘ran (,)) = (topGen‘ran (,))
198 eqid 2609 . . . . . . . . 9 ((topGen‘ran (,)) ↾t (0[,](1 / 2))) = ((topGen‘ran (,)) ↾t (0[,](1 / 2)))
199 eqid 2609 . . . . . . . . 9 ((topGen‘ran (,)) ↾t ((1 / 2)[,]1)) = ((topGen‘ran (,)) ↾t ((1 / 2)[,]1))
200 dfii2 22424 . . . . . . . . 9 II = ((topGen‘ran (,)) ↾t (0[,]1))
201 0red 9897 . . . . . . . . 9 (𝜑 → 0 ∈ ℝ)
202 1red 9911 . . . . . . . . 9 (𝜑 → 1 ∈ ℝ)
203147a1i 11 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (1 / 2) ∈ (0[,]1))
204 simprl 789 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑 ∧ (𝑦 = (1 / 2) ∧ 𝑧 ∈ (0[,]1))) → 𝑦 = (1 / 2))
205204oveq1d 6542 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑 ∧ (𝑦 = (1 / 2) ∧ 𝑧 ∈ (0[,]1))) → (𝑦 + (1 / 4)) = ((1 / 2) + (1 / 4)))
20632, 23addcomi 10078 . . . . . . . . . . 11 ((1 / 2) + (1 / 4)) = ((1 / 4) + (1 / 2))
207205, 206syl6eq 2659 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ (𝑦 = (1 / 2) ∧ 𝑧 ∈ (0[,]1))) → (𝑦 + (1 / 4)) = ((1 / 4) + (1 / 2)))
20818, 60ltnlei 10009 . . . . . . . . . . . . 13 ((1 / 4) < (1 / 2) ↔ ¬ (1 / 2) ≤ (1 / 4))
20978, 208mpbi 218 . . . . . . . . . . . 12 ¬ (1 / 2) ≤ (1 / 4)
210204breq1d 4587 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑 ∧ (𝑦 = (1 / 2) ∧ 𝑧 ∈ (0[,]1))) → (𝑦 ≤ (1 / 4) ↔ (1 / 2) ≤ (1 / 4)))
211209, 210mtbiri 315 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑 ∧ (𝑦 = (1 / 2) ∧ 𝑧 ∈ (0[,]1))) → ¬ 𝑦 ≤ (1 / 4))
212211iffalsed 4046 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ (𝑦 = (1 / 2) ∧ 𝑧 ∈ (0[,]1))) → if(𝑦 ≤ (1 / 4), (2 · 𝑦), (𝑦 + (1 / 4))) = (𝑦 + (1 / 4)))
213204oveq1d 6542 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑 ∧ (𝑦 = (1 / 2) ∧ 𝑧 ∈ (0[,]1))) → (𝑦 / 2) = ((1 / 2) / 2))
214213, 30syl6eq 2659 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑 ∧ (𝑦 = (1 / 2) ∧ 𝑧 ∈ (0[,]1))) → (𝑦 / 2) = (1 / 4))
215214oveq1d 6542 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ (𝑦 = (1 / 2) ∧ 𝑧 ∈ (0[,]1))) → ((𝑦 / 2) + (1 / 2)) = ((1 / 4) + (1 / 2)))
216207, 212, 2153eqtr4d 2653 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ (𝑦 = (1 / 2) ∧ 𝑧 ∈ (0[,]1))) → if(𝑦 ≤ (1 / 4), (2 · 𝑦), (𝑦 + (1 / 4))) = ((𝑦 / 2) + (1 / 2)))
217 eqid 2609 . . . . . . . . . 10 ((topGen‘ran (,)) ↾t (0[,](1 / 4))) = ((topGen‘ran (,)) ↾t (0[,](1 / 4)))
218 eqid 2609 . . . . . . . . . 10 ((topGen‘ran (,)) ↾t ((1 / 4)[,](1 / 2))) = ((topGen‘ran (,)) ↾t ((1 / 4)[,](1 / 2)))
21960a1i 11 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (1 / 2) ∈ ℝ)
22074, 76recgt0ii 10778 . . . . . . . . . . . . 13 0 < (1 / 4)
2215, 18, 220ltleii 10011 . . . . . . . . . . . 12 0 ≤ (1 / 4)
2225, 60elicc2i 12066 . . . . . . . . . . . 12 ((1 / 4) ∈ (0[,](1 / 2)) ↔ ((1 / 4) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (1 / 4) ∧ (1 / 4) ≤ (1 / 2)))
22318, 221, 79, 222mpbir3an 1236 . . . . . . . . . . 11 (1 / 4) ∈ (0[,](1 / 2))
224223a1i 11 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (1 / 4) ∈ (0[,](1 / 2)))
225 simprl 789 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑 ∧ (𝑦 = (1 / 4) ∧ 𝑧 ∈ (0[,]1))) → 𝑦 = (1 / 4))
226225oveq2d 6543 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑 ∧ (𝑦 = (1 / 4) ∧ 𝑧 ∈ (0[,]1))) → (2 · 𝑦) = (2 · (1 / 4)))
227225oveq1d 6542 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑 ∧ (𝑦 = (1 / 4) ∧ 𝑧 ∈ (0[,]1))) → (𝑦 + (1 / 4)) = ((1 / 4) + (1 / 4)))
22824, 226, 2273eqtr4a 2669 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ (𝑦 = (1 / 4) ∧ 𝑧 ∈ (0[,]1))) → (2 · 𝑦) = (𝑦 + (1 / 4)))
229 retopon 22309 . . . . . . . . . . . . 13 (topGen‘ran (,)) ∈ (TopOn‘ℝ)
230 0xr 9942 . . . . . . . . . . . . . . . 16 0 ∈ ℝ*
23160rexri 9948 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (1 / 2) ∈ ℝ*
232 lbicc2 12115 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((0 ∈ ℝ* ∧ (1 / 2) ∈ ℝ* ∧ 0 ≤ (1 / 2)) → 0 ∈ (0[,](1 / 2)))
233230, 231, 143, 232mp3an 1415 . . . . . . . . . . . . . . 15 0 ∈ (0[,](1 / 2))
234 iccss2 12071 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((0 ∈ (0[,](1 / 2)) ∧ (1 / 4) ∈ (0[,](1 / 2))) → (0[,](1 / 4)) ⊆ (0[,](1 / 2)))
235233, 223, 234mp2an 703 . . . . . . . . . . . . . 14 (0[,](1 / 4)) ⊆ (0[,](1 / 2))
236 iccssre 12082 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((0 ∈ ℝ ∧ (1 / 2) ∈ ℝ) → (0[,](1 / 2)) ⊆ ℝ)
2375, 60, 236mp2an 703 . . . . . . . . . . . . . 14 (0[,](1 / 2)) ⊆ ℝ
238235, 237sstri 3576 . . . . . . . . . . . . 13 (0[,](1 / 4)) ⊆ ℝ
239 resttopon 20717 . . . . . . . . . . . . 13 (((topGen‘ran (,)) ∈ (TopOn‘ℝ) ∧ (0[,](1 / 4)) ⊆ ℝ) → ((topGen‘ran (,)) ↾t (0[,](1 / 4))) ∈ (TopOn‘(0[,](1 / 4))))
240229, 238, 239mp2an 703 . . . . . . . . . . . 12 ((topGen‘ran (,)) ↾t (0[,](1 / 4))) ∈ (TopOn‘(0[,](1 / 4)))
241240a1i 11 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → ((topGen‘ran (,)) ↾t (0[,](1 / 4))) ∈ (TopOn‘(0[,](1 / 4))))
242241, 192cnmpt1st 21223 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (𝑦 ∈ (0[,](1 / 4)), 𝑧 ∈ (0[,]1) ↦ 𝑦) ∈ ((((topGen‘ran (,)) ↾t (0[,](1 / 4))) ×t II) Cn ((topGen‘ran (,)) ↾t (0[,](1 / 4)))))
243 retop 22307 . . . . . . . . . . . . . 14 (topGen‘ran (,)) ∈ Top
244 ovex 6555 . . . . . . . . . . . . . 14 (0[,](1 / 2)) ∈ V
245 restabs 20721 . . . . . . . . . . . . . 14 (((topGen‘ran (,)) ∈ Top ∧ (0[,](1 / 4)) ⊆ (0[,](1 / 2)) ∧ (0[,](1 / 2)) ∈ V) → (((topGen‘ran (,)) ↾t (0[,](1 / 2))) ↾t (0[,](1 / 4))) = ((topGen‘ran (,)) ↾t (0[,](1 / 4))))
246243, 235, 244, 245mp3an 1415 . . . . . . . . . . . . 13 (((topGen‘ran (,)) ↾t (0[,](1 / 2))) ↾t (0[,](1 / 4))) = ((topGen‘ran (,)) ↾t (0[,](1 / 4)))
247246eqcomi 2618 . . . . . . . . . . . 12 ((topGen‘ran (,)) ↾t (0[,](1 / 4))) = (((topGen‘ran (,)) ↾t (0[,](1 / 2))) ↾t (0[,](1 / 4)))
248 resttopon 20717 . . . . . . . . . . . . . 14 (((topGen‘ran (,)) ∈ (TopOn‘ℝ) ∧ (0[,](1 / 2)) ⊆ ℝ) → ((topGen‘ran (,)) ↾t (0[,](1 / 2))) ∈ (TopOn‘(0[,](1 / 2))))
249229, 237, 248mp2an 703 . . . . . . . . . . . . 13 ((topGen‘ran (,)) ↾t (0[,](1 / 2))) ∈ (TopOn‘(0[,](1 / 2)))
250249a1i 11 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → ((topGen‘ran (,)) ↾t (0[,](1 / 2))) ∈ (TopOn‘(0[,](1 / 2))))
251235a1i 11 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (0[,](1 / 4)) ⊆ (0[,](1 / 2)))
252198iihalf1cn 22470 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑥 ∈ (0[,](1 / 2)) ↦ (2 · 𝑥)) ∈ (((topGen‘ran (,)) ↾t (0[,](1 / 2))) Cn II)
253252a1i 11 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (𝑥 ∈ (0[,](1 / 2)) ↦ (2 · 𝑥)) ∈ (((topGen‘ran (,)) ↾t (0[,](1 / 2))) Cn II))
254247, 250, 251, 253cnmpt1res 21231 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (𝑥 ∈ (0[,](1 / 4)) ↦ (2 · 𝑥)) ∈ (((topGen‘ran (,)) ↾t (0[,](1 / 4))) Cn II))
255 oveq2 6535 . . . . . . . . . . 11 (𝑥 = 𝑦 → (2 · 𝑥) = (2 · 𝑦))
256241, 192, 242, 241, 254, 255cnmpt21 21226 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝑦 ∈ (0[,](1 / 4)), 𝑧 ∈ (0[,]1) ↦ (2 · 𝑦)) ∈ ((((topGen‘ran (,)) ↾t (0[,](1 / 4))) ×t II) Cn II))
257 iccssre 12082 . . . . . . . . . . . . . 14 (((1 / 4) ∈ ℝ ∧ (1 / 2) ∈ ℝ) → ((1 / 4)[,](1 / 2)) ⊆ ℝ)
25818, 60, 257mp2an 703 . . . . . . . . . . . . 13 ((1 / 4)[,](1 / 2)) ⊆ ℝ
259 resttopon 20717 . . . . . . . . . . . . 13 (((topGen‘ran (,)) ∈ (TopOn‘ℝ) ∧ ((1 / 4)[,](1 / 2)) ⊆ ℝ) → ((topGen‘ran (,)) ↾t ((1 / 4)[,](1 / 2))) ∈ (TopOn‘((1 / 4)[,](1 / 2))))
260229, 258, 259mp2an 703 . . . . . . . . . . . 12 ((topGen‘ran (,)) ↾t ((1 / 4)[,](1 / 2))) ∈ (TopOn‘((1 / 4)[,](1 / 2)))
261260a1i 11 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → ((topGen‘ran (,)) ↾t ((1 / 4)[,](1 / 2))) ∈ (TopOn‘((1 / 4)[,](1 / 2))))
262261, 192cnmpt1st 21223 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (𝑦 ∈ ((1 / 4)[,](1 / 2)), 𝑧 ∈ (0[,]1) ↦ 𝑦) ∈ ((((topGen‘ran (,)) ↾t ((1 / 4)[,](1 / 2))) ×t II) Cn ((topGen‘ran (,)) ↾t ((1 / 4)[,](1 / 2)))))
263 eqid 2609 . . . . . . . . . . . 12 (TopOpen‘ℂfld) = (TopOpen‘ℂfld)
264258a1i 11 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → ((1 / 4)[,](1 / 2)) ⊆ ℝ)
265 unitssre 12146 . . . . . . . . . . . . 13 (0[,]1) ⊆ ℝ
266265a1i 11 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (0[,]1) ⊆ ℝ)
267150, 87sseldi 3565 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑥 ∈ ((1 / 4)[,](1 / 2)) → (𝑥 + (1 / 4)) ∈ (0[,]1))
268267adantl 480 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑥 ∈ ((1 / 4)[,](1 / 2))) → (𝑥 + (1 / 4)) ∈ (0[,]1))
269263cnfldtopon 22328 . . . . . . . . . . . . . 14 (TopOpen‘ℂfld) ∈ (TopOn‘ℂ)
270269a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → (TopOpen‘ℂfld) ∈ (TopOn‘ℂ))
271270cnmptid 21216 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → (𝑥 ∈ ℂ ↦ 𝑥) ∈ ((TopOpen‘ℂfld) Cn (TopOpen‘ℂfld)))
27218a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → (1 / 4) ∈ ℝ)
273272recnd 9924 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → (1 / 4) ∈ ℂ)
274270, 270, 273cnmptc 21217 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → (𝑥 ∈ ℂ ↦ (1 / 4)) ∈ ((TopOpen‘ℂfld) Cn (TopOpen‘ℂfld)))
275263addcn 22407 . . . . . . . . . . . . . 14 + ∈ (((TopOpen‘ℂfld) ×t (TopOpen‘ℂfld)) Cn (TopOpen‘ℂfld))
276275a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → + ∈ (((TopOpen‘ℂfld) ×t (TopOpen‘ℂfld)) Cn (TopOpen‘ℂfld)))
277270, 271, 274, 276cnmpt12f 21221 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (𝑥 ∈ ℂ ↦ (𝑥 + (1 / 4))) ∈ ((TopOpen‘ℂfld) Cn (TopOpen‘ℂfld)))
278263, 218, 200, 264, 266, 268, 277cnmptre 22465 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (𝑥 ∈ ((1 / 4)[,](1 / 2)) ↦ (𝑥 + (1 / 4))) ∈ (((topGen‘ran (,)) ↾t ((1 / 4)[,](1 / 2))) Cn II))
279 oveq1 6534 . . . . . . . . . . 11 (𝑥 = 𝑦 → (𝑥 + (1 / 4)) = (𝑦 + (1 / 4)))
280261, 192, 262, 261, 278, 279cnmpt21 21226 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝑦 ∈ ((1 / 4)[,](1 / 2)), 𝑧 ∈ (0[,]1) ↦ (𝑦 + (1 / 4))) ∈ ((((topGen‘ran (,)) ↾t ((1 / 4)[,](1 / 2))) ×t II) Cn II))
281197, 217, 218, 198, 201, 219, 224, 192, 228, 256, 280cnmpt2pc 22466 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝑦 ∈ (0[,](1 / 2)), 𝑧 ∈ (0[,]1) ↦ if(𝑦 ≤ (1 / 4), (2 · 𝑦), (𝑦 + (1 / 4)))) ∈ ((((topGen‘ran (,)) ↾t (0[,](1 / 2))) ×t II) Cn II))
282 iccssre 12082 . . . . . . . . . . . . 13 (((1 / 2) ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ) → ((1 / 2)[,]1) ⊆ ℝ)
28360, 6, 282mp2an 703 . . . . . . . . . . . 12 ((1 / 2)[,]1) ⊆ ℝ
284 resttopon 20717 . . . . . . . . . . . 12 (((topGen‘ran (,)) ∈ (TopOn‘ℝ) ∧ ((1 / 2)[,]1) ⊆ ℝ) → ((topGen‘ran (,)) ↾t ((1 / 2)[,]1)) ∈ (TopOn‘((1 / 2)[,]1)))
285229, 283, 284mp2an 703 . . . . . . . . . . 11 ((topGen‘ran (,)) ↾t ((1 / 2)[,]1)) ∈ (TopOn‘((1 / 2)[,]1))
286285a1i 11 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → ((topGen‘ran (,)) ↾t ((1 / 2)[,]1)) ∈ (TopOn‘((1 / 2)[,]1)))
287286, 192cnmpt1st 21223 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝑦 ∈ ((1 / 2)[,]1), 𝑧 ∈ (0[,]1) ↦ 𝑦) ∈ ((((topGen‘ran (,)) ↾t ((1 / 2)[,]1)) ×t II) Cn ((topGen‘ran (,)) ↾t ((1 / 2)[,]1))))
288283a1i 11 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → ((1 / 2)[,]1) ⊆ ℝ)
289150, 157sseldi 3565 . . . . . . . . . . . 12 (𝑥 ∈ ((1 / 2)[,]1) → ((𝑥 / 2) + (1 / 2)) ∈ (0[,]1))
290289adantl 480 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑥 ∈ ((1 / 2)[,]1)) → ((𝑥 / 2) + (1 / 2)) ∈ (0[,]1))
291263divccn 22415 . . . . . . . . . . . . . 14 ((2 ∈ ℂ ∧ 2 ≠ 0) → (𝑥 ∈ ℂ ↦ (𝑥 / 2)) ∈ ((TopOpen‘ℂfld) Cn (TopOpen‘ℂfld)))
2924, 25, 291mp2an 703 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑥 ∈ ℂ ↦ (𝑥 / 2)) ∈ ((TopOpen‘ℂfld) Cn (TopOpen‘ℂfld))
293292a1i 11 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (𝑥 ∈ ℂ ↦ (𝑥 / 2)) ∈ ((TopOpen‘ℂfld) Cn (TopOpen‘ℂfld)))
29432a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → (1 / 2) ∈ ℂ)
295270, 270, 294cnmptc 21217 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (𝑥 ∈ ℂ ↦ (1 / 2)) ∈ ((TopOpen‘ℂfld) Cn (TopOpen‘ℂfld)))
296270, 293, 295, 276cnmpt12f 21221 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (𝑥 ∈ ℂ ↦ ((𝑥 / 2) + (1 / 2))) ∈ ((TopOpen‘ℂfld) Cn (TopOpen‘ℂfld)))
297263, 199, 200, 288, 266, 290, 296cnmptre 22465 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝑥 ∈ ((1 / 2)[,]1) ↦ ((𝑥 / 2) + (1 / 2))) ∈ (((topGen‘ran (,)) ↾t ((1 / 2)[,]1)) Cn II))
298 oveq1 6534 . . . . . . . . . . 11 (𝑥 = 𝑦 → (𝑥 / 2) = (𝑦 / 2))
299298oveq1d 6542 . . . . . . . . . 10 (𝑥 = 𝑦 → ((𝑥 / 2) + (1 / 2)) = ((𝑦 / 2) + (1 / 2)))
300286, 192, 287, 286, 297, 299cnmpt21 21226 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝑦 ∈ ((1 / 2)[,]1), 𝑧 ∈ (0[,]1) ↦ ((𝑦 / 2) + (1 / 2))) ∈ ((((topGen‘ran (,)) ↾t ((1 / 2)[,]1)) ×t II) Cn II))
301197, 198, 199, 200, 201, 202, 203, 192, 216, 281, 300cnmpt2pc 22466 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝑦 ∈ (0[,]1), 𝑧 ∈ (0[,]1) ↦ if(𝑦 ≤ (1 / 2), if(𝑦 ≤ (1 / 4), (2 · 𝑦), (𝑦 + (1 / 4))), ((𝑦 / 2) + (1 / 2)))) ∈ ((II ×t II) Cn II))
302 breq1 4580 . . . . . . . . . . . 12 (𝑥 = 𝑦 → (𝑥 ≤ (1 / 2) ↔ 𝑦 ≤ (1 / 2)))
303 breq1 4580 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑥 = 𝑦 → (𝑥 ≤ (1 / 4) ↔ 𝑦 ≤ (1 / 4)))
304303, 255, 279ifbieq12d 4062 . . . . . . . . . . . 12 (𝑥 = 𝑦 → if(𝑥 ≤ (1 / 4), (2 · 𝑥), (𝑥 + (1 / 4))) = if(𝑦 ≤ (1 / 4), (2 · 𝑦), (𝑦 + (1 / 4))))
305302, 304, 299ifbieq12d 4062 . . . . . . . . . . 11 (𝑥 = 𝑦 → if(𝑥 ≤ (1 / 2), if(𝑥 ≤ (1 / 4), (2 · 𝑥), (𝑥 + (1 / 4))), ((𝑥 / 2) + (1 / 2))) = if(𝑦 ≤ (1 / 2), if(𝑦 ≤ (1 / 4), (2 · 𝑦), (𝑦 + (1 / 4))), ((𝑦 / 2) + (1 / 2))))
306305equcoms 1933 . . . . . . . . . 10 (𝑦 = 𝑥 → if(𝑥 ≤ (1 / 2), if(𝑥 ≤ (1 / 4), (2 · 𝑥), (𝑥 + (1 / 4))), ((𝑥 / 2) + (1 / 2))) = if(𝑦 ≤ (1 / 2), if(𝑦 ≤ (1 / 4), (2 · 𝑦), (𝑦 + (1 / 4))), ((𝑦 / 2) + (1 / 2))))
307306adantr 479 . . . . . . . . 9 ((𝑦 = 𝑥𝑧 = 0) → if(𝑥 ≤ (1 / 2), if(𝑥 ≤ (1 / 4), (2 · 𝑥), (𝑥 + (1 / 4))), ((𝑥 / 2) + (1 / 2))) = if(𝑦 ≤ (1 / 2), if(𝑦 ≤ (1 / 4), (2 · 𝑦), (𝑦 + (1 / 4))), ((𝑦 / 2) + (1 / 2))))
308307eqcomd 2615 . . . . . . . 8 ((𝑦 = 𝑥𝑧 = 0) → if(𝑦 ≤ (1 / 2), if(𝑦 ≤ (1 / 4), (2 · 𝑦), (𝑦 + (1 / 4))), ((𝑦 / 2) + (1 / 2))) = if(𝑥 ≤ (1 / 2), if(𝑥 ≤ (1 / 4), (2 · 𝑥), (𝑥 + (1 / 4))), ((𝑥 / 2) + (1 / 2))))
309192, 193, 196, 192, 192, 301, 308cnmpt12 21222 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝑥 ∈ (0[,]1) ↦ if(𝑥 ≤ (1 / 2), if(𝑥 ≤ (1 / 4), (2 · 𝑥), (𝑥 + (1 / 4))), ((𝑥 / 2) + (1 / 2)))) ∈ (II Cn II))
310190, 309syl5eqel 2691 . . . . . 6 (𝜑𝑃 ∈ (II Cn II))
311 iiuni 22423 . . . . . . 7 (0[,]1) = II
312311, 311cnf 20802 . . . . . 6 (𝑃 ∈ (II Cn II) → 𝑃:(0[,]1)⟶(0[,]1))
313310, 312syl 17 . . . . 5 (𝜑𝑃:(0[,]1)⟶(0[,]1))
314190fmpt 6274 . . . . 5 (∀𝑥 ∈ (0[,]1)if(𝑥 ≤ (1 / 2), if(𝑥 ≤ (1 / 4), (2 · 𝑥), (𝑥 + (1 / 4))), ((𝑥 / 2) + (1 / 2))) ∈ (0[,]1) ↔ 𝑃:(0[,]1)⟶(0[,]1))
315313, 314sylibr 222 . . . 4 (𝜑 → ∀𝑥 ∈ (0[,]1)if(𝑥 ≤ (1 / 2), if(𝑥 ≤ (1 / 4), (2 · 𝑥), (𝑥 + (1 / 4))), ((𝑥 / 2) + (1 / 2))) ∈ (0[,]1))
316190a1i 11 . . . 4 (𝜑𝑃 = (𝑥 ∈ (0[,]1) ↦ if(𝑥 ≤ (1 / 2), if(𝑥 ≤ (1 / 4), (2 · 𝑥), (𝑥 + (1 / 4))), ((𝑥 / 2) + (1 / 2)))))
31741, 45, 91pcocn 22556 . . . . . 6 (𝜑 → (𝐹(*𝑝𝐽)(𝐺(*𝑝𝐽)𝐻)) ∈ (II Cn 𝐽))
318 eqid 2609 . . . . . . 7 𝐽 = 𝐽
319311, 318cnf 20802 . . . . . 6 ((𝐹(*𝑝𝐽)(𝐺(*𝑝𝐽)𝐻)) ∈ (II Cn 𝐽) → (𝐹(*𝑝𝐽)(𝐺(*𝑝𝐽)𝐻)):(0[,]1)⟶ 𝐽)
320317, 319syl 17 . . . . 5 (𝜑 → (𝐹(*𝑝𝐽)(𝐺(*𝑝𝐽)𝐻)):(0[,]1)⟶ 𝐽)
321320feqmptd 6144 . . . 4 (𝜑 → (𝐹(*𝑝𝐽)(𝐺(*𝑝𝐽)𝐻)) = (𝑦 ∈ (0[,]1) ↦ ((𝐹(*𝑝𝐽)(𝐺(*𝑝𝐽)𝐻))‘𝑦)))
322 fveq2 6088 . . . 4 (𝑦 = if(𝑥 ≤ (1 / 2), if(𝑥 ≤ (1 / 4), (2 · 𝑥), (𝑥 + (1 / 4))), ((𝑥 / 2) + (1 / 2))) → ((𝐹(*𝑝𝐽)(𝐺(*𝑝𝐽)𝐻))‘𝑦) = ((𝐹(*𝑝𝐽)(𝐺(*𝑝𝐽)𝐻))‘if(𝑥 ≤ (1 / 2), if(𝑥 ≤ (1 / 4), (2 · 𝑥), (𝑥 + (1 / 4))), ((𝑥 / 2) + (1 / 2)))))
323315, 316, 321, 322fmptcof 6289 . . 3 (𝜑 → ((𝐹(*𝑝𝐽)(𝐺(*𝑝𝐽)𝐻)) ∘ 𝑃) = (𝑥 ∈ (0[,]1) ↦ ((𝐹(*𝑝𝐽)(𝐺(*𝑝𝐽)𝐻))‘if(𝑥 ≤ (1 / 2), if(𝑥 ≤ (1 / 4), (2 · 𝑥), (𝑥 + (1 / 4))), ((𝑥 / 2) + (1 / 2))))))
32441, 42, 89pcocn 22556 . . . 4 (𝜑 → (𝐹(*𝑝𝐽)𝐺) ∈ (II Cn 𝐽))
325324, 43pcoval 22550 . . 3 (𝜑 → ((𝐹(*𝑝𝐽)𝐺)(*𝑝𝐽)𝐻) = (𝑥 ∈ (0[,]1) ↦ if(𝑥 ≤ (1 / 2), ((𝐹(*𝑝𝐽)𝐺)‘(2 · 𝑥)), (𝐻‘((2 · 𝑥) − 1)))))
326189, 323, 3253eqtr4rd 2654 . 2 (𝜑 → ((𝐹(*𝑝𝐽)𝐺)(*𝑝𝐽)𝐻) = ((𝐹(*𝑝𝐽)(𝐺(*𝑝𝐽)𝐻)) ∘ 𝑃))
327 id 22 . . . . . . . 8 (𝑥 = 0 → 𝑥 = 0)
328327, 143syl6eqbr 4616 . . . . . . 7 (𝑥 = 0 → 𝑥 ≤ (1 / 2))
329328iftrued 4043 . . . . . 6 (𝑥 = 0 → if(𝑥 ≤ (1 / 2), if(𝑥 ≤ (1 / 4), (2 · 𝑥), (𝑥 + (1 / 4))), ((𝑥 / 2) + (1 / 2))) = if(𝑥 ≤ (1 / 4), (2 · 𝑥), (𝑥 + (1 / 4))))
330327, 221syl6eqbr 4616 . . . . . . 7 (𝑥 = 0 → 𝑥 ≤ (1 / 4))
331330iftrued 4043 . . . . . 6 (𝑥 = 0 → if(𝑥 ≤ (1 / 4), (2 · 𝑥), (𝑥 + (1 / 4))) = (2 · 𝑥))
332 oveq2 6535 . . . . . . 7 (𝑥 = 0 → (2 · 𝑥) = (2 · 0))
333 2t0e0 11030 . . . . . . 7 (2 · 0) = 0
334332, 333syl6eq 2659 . . . . . 6 (𝑥 = 0 → (2 · 𝑥) = 0)
335329, 331, 3343eqtrd 2647 . . . . 5 (𝑥 = 0 → if(𝑥 ≤ (1 / 2), if(𝑥 ≤ (1 / 4), (2 · 𝑥), (𝑥 + (1 / 4))), ((𝑥 / 2) + (1 / 2))) = 0)
336 c0ex 9890 . . . . 5 0 ∈ V
337335, 190, 336fvmpt 6176 . . . 4 (0 ∈ (0[,]1) → (𝑃‘0) = 0)
338195, 337syl 17 . . 3 (𝜑 → (𝑃‘0) = 0)
339148a1i 11 . . . 4 (𝜑 → 1 ∈ (0[,]1))
34060, 6ltnlei 10009 . . . . . . . . 9 ((1 / 2) < 1 ↔ ¬ 1 ≤ (1 / 2))
341144, 340mpbi 218 . . . . . . . 8 ¬ 1 ≤ (1 / 2)
342 breq1 4580 . . . . . . . 8 (𝑥 = 1 → (𝑥 ≤ (1 / 2) ↔ 1 ≤ (1 / 2)))
343341, 342mtbiri 315 . . . . . . 7 (𝑥 = 1 → ¬ 𝑥 ≤ (1 / 2))
344343iffalsed 4046 . . . . . 6 (𝑥 = 1 → if(𝑥 ≤ (1 / 2), if(𝑥 ≤ (1 / 4), (2 · 𝑥), (𝑥 + (1 / 4))), ((𝑥 / 2) + (1 / 2))) = ((𝑥 / 2) + (1 / 2)))
345 oveq1 6534 . . . . . . . 8 (𝑥 = 1 → (𝑥 / 2) = (1 / 2))
346345oveq1d 6542 . . . . . . 7 (𝑥 = 1 → ((𝑥 / 2) + (1 / 2)) = ((1 / 2) + (1 / 2)))
347346, 84syl6eq 2659 . . . . . 6 (𝑥 = 1 → ((𝑥 / 2) + (1 / 2)) = 1)
348344, 347eqtrd 2643 . . . . 5 (𝑥 = 1 → if(𝑥 ≤ (1 / 2), if(𝑥 ≤ (1 / 4), (2 · 𝑥), (𝑥 + (1 / 4))), ((𝑥 / 2) + (1 / 2))) = 1)
349 1ex 9891 . . . . 5 1 ∈ V
350348, 190, 349fvmpt 6176 . . . 4 (1 ∈ (0[,]1) → (𝑃‘1) = 1)
351339, 350syl 17 . . 3 (𝜑 → (𝑃‘1) = 1)
352317, 310, 338, 351reparpht 22537 . 2 (𝜑 → ((𝐹(*𝑝𝐽)(𝐺(*𝑝𝐽)𝐻)) ∘ 𝑃)( ≃ph𝐽)(𝐹(*𝑝𝐽)(𝐺(*𝑝𝐽)𝐻)))
353326, 352eqbrtrd 4599 1 (𝜑 → ((𝐹(*𝑝𝐽)𝐺)(*𝑝𝐽)𝐻)( ≃ph𝐽)(𝐹(*𝑝𝐽)(𝐺(*𝑝𝐽)𝐻)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wo 381  wa 382   = wceq 1474  wcel 1976  wne 2779  wral 2895  Vcvv 3172  wss 3539  ifcif 4035   cuni 4366   class class class wbr 4577  cmpt 4637  ran crn 5029  ccom 5032  wf 5786  cfv 5790  (class class class)co 6527  cc 9790  cr 9791  0cc0 9792  1c1 9793   + caddc 9795   · cmul 9797  *cxr 9929   < clt 9930  cle 9931  cmin 10117   / cdiv 10533  cn 10867  2c2 10917  4c4 10919  (,)cioo 12002  [,]cicc 12005  t crest 15850  TopOpenctopn 15851  topGenctg 15867  fldccnfld 19513  Topctop 20459  TopOnctopon 20460   Cn ccn 20780   ×t ctx 21115  IIcii 22417  phcphtpc 22507  *𝑝cpco 22539
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1712  ax-4 1727  ax-5 1826  ax-6 1874  ax-7 1921  ax-8 1978  ax-9 1985  ax-10 2005  ax-11 2020  ax-12 2033  ax-13 2233  ax-ext 2589  ax-rep 4693  ax-sep 4703  ax-nul 4712  ax-pow 4764  ax-pr 4828  ax-un 6824  ax-inf2 8398  ax-cnex 9848  ax-resscn 9849  ax-1cn 9850  ax-icn 9851  ax-addcl 9852  ax-addrcl 9853  ax-mulcl 9854  ax-mulrcl 9855  ax-mulcom 9856  ax-addass 9857  ax-mulass 9858  ax-distr 9859  ax-i2m1 9860  ax-1ne0 9861  ax-1rid 9862  ax-rnegex 9863  ax-rrecex 9864  ax-cnre 9865  ax-pre-lttri 9866  ax-pre-lttrn 9867  ax-pre-ltadd 9868  ax-pre-mulgt0 9869  ax-pre-sup 9870  ax-addf 9871  ax-mulf 9872
This theorem depends on definitions:  df-bi 195  df-or 383  df-an 384  df-3or 1031  df-3an 1032  df-tru 1477  df-ex 1695  df-nf 1700  df-sb 1867  df-eu 2461  df-mo 2462  df-clab 2596  df-cleq 2602  df-clel 2605  df-nfc 2739  df-ne 2781  df-nel 2782  df-ral 2900  df-rex 2901  df-reu 2902  df-rmo 2903  df-rab 2904  df-v 3174  df-sbc 3402  df-csb 3499  df-dif 3542  df-un 3544  df-in 3546  df-ss 3553  df-pss 3555  df-nul 3874  df-if 4036  df-pw 4109  df-sn 4125  df-pr 4127  df-tp 4129  df-op 4131  df-uni 4367  df-int 4405  df-iun 4451  df-iin 4452  df-br 4578  df-opab 4638  df-mpt 4639  df-tr 4675  df-eprel 4939  df-id 4943  df-po 4949  df-so 4950  df-fr 4987  df-se 4988  df-we 4989  df-xp 5034  df-rel 5035  df-cnv 5036  df-co 5037  df-dm 5038  df-rn 5039  df-res 5040  df-ima 5041  df-pred 5583  df-ord 5629  df-on 5630  df-lim 5631  df-suc 5632  df-iota 5754  df-fun 5792  df-fn 5793  df-f 5794  df-f1 5795  df-fo 5796  df-f1o 5797  df-fv 5798  df-isom 5799  df-riota 6489  df-ov 6530  df-oprab 6531  df-mpt2 6532  df-of 6772  df-om 6935  df-1st 7036  df-2nd 7037  df-supp 7160  df-wrecs 7271  df-recs 7332  df-rdg 7370  df-1o 7424  df-2o 7425  df-oadd 7428  df-er 7606  df-map 7723  df-ixp 7772  df-en 7819  df-dom 7820  df-sdom 7821  df-fin 7822  df-fsupp 8136  df-fi 8177  df-sup 8208  df-inf 8209  df-oi 8275  df-card 8625  df-cda 8850  df-pnf 9932  df-mnf 9933  df-xr 9934  df-ltxr 9935  df-le 9936  df-sub 10119  df-neg 10120  df-div 10534  df-nn 10868  df-2 10926  df-3 10927  df-4 10928  df-5 10929  df-6 10930  df-7 10931  df-8 10932  df-9 10933  df-n0 11140  df-z 11211  df-dec 11326  df-uz 11520  df-q 11621  df-rp 11665  df-xneg 11778  df-xadd 11779  df-xmul 11780  df-ioo 12006  df-icc 12009  df-fz 12153  df-fzo 12290  df-seq 12619  df-exp 12678  df-hash 12935  df-cj 13633  df-re 13634  df-im 13635  df-sqrt 13769  df-abs 13770  df-struct 15643  df-ndx 15644  df-slot 15645  df-base 15646  df-sets 15647  df-ress 15648  df-plusg 15727  df-mulr 15728  df-starv 15729  df-sca 15730  df-vsca 15731  df-ip 15732  df-tset 15733  df-ple 15734  df-ds 15737  df-unif 15738  df-hom 15739  df-cco 15740  df-rest 15852  df-topn 15853  df-0g 15871  df-gsum 15872  df-topgen 15873  df-pt 15874  df-prds 15877  df-xrs 15931  df-qtop 15936  df-imas 15937  df-xps 15939  df-mre 16015  df-mrc 16016  df-acs 16018  df-mgm 17011  df-sgrp 17053  df-mnd 17064  df-submnd 17105  df-mulg 17310  df-cntz 17519  df-cmn 17964  df-psmet 19505  df-xmet 19506  df-met 19507  df-bl 19508  df-mopn 19509  df-cnfld 19514  df-top 20463  df-bases 20464  df-topon 20465  df-topsp 20466  df-cld 20575  df-cn 20783  df-cnp 20784  df-tx 21117  df-hmeo 21310  df-xms 21876  df-ms 21877  df-tms 21878  df-ii 22419  df-htpy 22508  df-phtpy 22509  df-phtpc 22530  df-pco 22544
This theorem is referenced by:  pcophtb  22568  pi1grplem  22588  pi1xfr  22594  pi1xfrcnvlem  22595
  Copyright terms: Public domain W3C validator