MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  pcohtpylem Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem pcohtpylem 22558
Description: Lemma for pcohtpy 22559. (Contributed by Jeff Madsen, 15-Jun-2010.) (Revised by Mario Carneiro, 24-Feb-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
pcohtpy.4 (𝜑 → (𝐹‘1) = (𝐺‘0))
pcohtpy.5 (𝜑𝐹( ≃ph𝐽)𝐻)
pcohtpy.6 (𝜑𝐺( ≃ph𝐽)𝐾)
pcohtpylem.7 𝑃 = (𝑥 ∈ (0[,]1), 𝑦 ∈ (0[,]1) ↦ if(𝑥 ≤ (1 / 2), ((2 · 𝑥)𝑀𝑦), (((2 · 𝑥) − 1)𝑁𝑦)))
pcohtpylem.8 (𝜑𝑀 ∈ (𝐹(PHtpy‘𝐽)𝐻))
pcohtpylem.9 (𝜑𝑁 ∈ (𝐺(PHtpy‘𝐽)𝐾))
Assertion
Ref Expression
pcohtpylem (𝜑𝑃 ∈ ((𝐹(*𝑝𝐽)𝐺)(PHtpy‘𝐽)(𝐻(*𝑝𝐽)𝐾)))
Distinct variable groups:   𝑥,𝑦,𝐹   𝑥,𝑀,𝑦   𝑥,𝑁,𝑦   𝜑,𝑥,𝑦   𝑥,𝐺,𝑦   𝑥,𝐻,𝑦   𝑥,𝐽,𝑦   𝑥,𝐾,𝑦
Allowed substitution hints:   𝑃(𝑥,𝑦)

Proof of Theorem pcohtpylem
Dummy variables 𝑠 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 pcohtpy.5 . . . . 5 (𝜑𝐹( ≃ph𝐽)𝐻)
2 isphtpc 22532 . . . . 5 (𝐹( ≃ph𝐽)𝐻 ↔ (𝐹 ∈ (II Cn 𝐽) ∧ 𝐻 ∈ (II Cn 𝐽) ∧ (𝐹(PHtpy‘𝐽)𝐻) ≠ ∅))
31, 2sylib 206 . . . 4 (𝜑 → (𝐹 ∈ (II Cn 𝐽) ∧ 𝐻 ∈ (II Cn 𝐽) ∧ (𝐹(PHtpy‘𝐽)𝐻) ≠ ∅))
43simp1d 1065 . . 3 (𝜑𝐹 ∈ (II Cn 𝐽))
5 pcohtpy.6 . . . . 5 (𝜑𝐺( ≃ph𝐽)𝐾)
6 isphtpc 22532 . . . . 5 (𝐺( ≃ph𝐽)𝐾 ↔ (𝐺 ∈ (II Cn 𝐽) ∧ 𝐾 ∈ (II Cn 𝐽) ∧ (𝐺(PHtpy‘𝐽)𝐾) ≠ ∅))
75, 6sylib 206 . . . 4 (𝜑 → (𝐺 ∈ (II Cn 𝐽) ∧ 𝐾 ∈ (II Cn 𝐽) ∧ (𝐺(PHtpy‘𝐽)𝐾) ≠ ∅))
87simp1d 1065 . . 3 (𝜑𝐺 ∈ (II Cn 𝐽))
9 pcohtpy.4 . . 3 (𝜑 → (𝐹‘1) = (𝐺‘0))
104, 8, 9pcocn 22556 . 2 (𝜑 → (𝐹(*𝑝𝐽)𝐺) ∈ (II Cn 𝐽))
113simp2d 1066 . . 3 (𝜑𝐻 ∈ (II Cn 𝐽))
127simp2d 1066 . . 3 (𝜑𝐾 ∈ (II Cn 𝐽))
13 pcohtpylem.8 . . . . . 6 (𝜑𝑀 ∈ (𝐹(PHtpy‘𝐽)𝐻))
144, 11, 13phtpy01 22523 . . . . 5 (𝜑 → ((𝐹‘0) = (𝐻‘0) ∧ (𝐹‘1) = (𝐻‘1)))
1514simprd 477 . . . 4 (𝜑 → (𝐹‘1) = (𝐻‘1))
16 pcohtpylem.9 . . . . . 6 (𝜑𝑁 ∈ (𝐺(PHtpy‘𝐽)𝐾))
178, 12, 16phtpy01 22523 . . . . 5 (𝜑 → ((𝐺‘0) = (𝐾‘0) ∧ (𝐺‘1) = (𝐾‘1)))
1817simpld 473 . . . 4 (𝜑 → (𝐺‘0) = (𝐾‘0))
199, 15, 183eqtr3d 2651 . . 3 (𝜑 → (𝐻‘1) = (𝐾‘0))
2011, 12, 19pcocn 22556 . 2 (𝜑 → (𝐻(*𝑝𝐽)𝐾) ∈ (II Cn 𝐽))
21 pcohtpylem.7 . . 3 𝑃 = (𝑥 ∈ (0[,]1), 𝑦 ∈ (0[,]1) ↦ if(𝑥 ≤ (1 / 2), ((2 · 𝑥)𝑀𝑦), (((2 · 𝑥) − 1)𝑁𝑦)))
22 eqid 2609 . . . 4 (topGen‘ran (,)) = (topGen‘ran (,))
23 eqid 2609 . . . 4 ((topGen‘ran (,)) ↾t (0[,](1 / 2))) = ((topGen‘ran (,)) ↾t (0[,](1 / 2)))
24 eqid 2609 . . . 4 ((topGen‘ran (,)) ↾t ((1 / 2)[,]1)) = ((topGen‘ran (,)) ↾t ((1 / 2)[,]1))
25 dfii2 22424 . . . 4 II = ((topGen‘ran (,)) ↾t (0[,]1))
26 0red 9897 . . . 4 (𝜑 → 0 ∈ ℝ)
27 1red 9911 . . . 4 (𝜑 → 1 ∈ ℝ)
28 halfre 11093 . . . . . 6 (1 / 2) ∈ ℝ
29 0re 9896 . . . . . . 7 0 ∈ ℝ
30 halfgt0 11095 . . . . . . 7 0 < (1 / 2)
3129, 28, 30ltleii 10011 . . . . . 6 0 ≤ (1 / 2)
32 1re 9895 . . . . . . 7 1 ∈ ℝ
33 halflt1 11097 . . . . . . 7 (1 / 2) < 1
3428, 32, 33ltleii 10011 . . . . . 6 (1 / 2) ≤ 1
3529, 32elicc2i 12066 . . . . . 6 ((1 / 2) ∈ (0[,]1) ↔ ((1 / 2) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (1 / 2) ∧ (1 / 2) ≤ 1))
3628, 31, 34, 35mpbir3an 1236 . . . . 5 (1 / 2) ∈ (0[,]1)
3736a1i 11 . . . 4 (𝜑 → (1 / 2) ∈ (0[,]1))
38 iitopon 22421 . . . . 5 II ∈ (TopOn‘(0[,]1))
3938a1i 11 . . . 4 (𝜑 → II ∈ (TopOn‘(0[,]1)))
409adantr 479 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝑥 = (1 / 2) ∧ 𝑦 ∈ (0[,]1))) → (𝐹‘1) = (𝐺‘0))
414, 11, 13phtpyi 22522 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑦 ∈ (0[,]1)) → ((0𝑀𝑦) = (𝐹‘0) ∧ (1𝑀𝑦) = (𝐹‘1)))
4241simprd 477 . . . . . . 7 ((𝜑𝑦 ∈ (0[,]1)) → (1𝑀𝑦) = (𝐹‘1))
4342adantrl 747 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝑥 = (1 / 2) ∧ 𝑦 ∈ (0[,]1))) → (1𝑀𝑦) = (𝐹‘1))
448, 12, 16phtpyi 22522 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑦 ∈ (0[,]1)) → ((0𝑁𝑦) = (𝐺‘0) ∧ (1𝑁𝑦) = (𝐺‘1)))
4544simpld 473 . . . . . . 7 ((𝜑𝑦 ∈ (0[,]1)) → (0𝑁𝑦) = (𝐺‘0))
4645adantrl 747 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝑥 = (1 / 2) ∧ 𝑦 ∈ (0[,]1))) → (0𝑁𝑦) = (𝐺‘0))
4740, 43, 463eqtr4d 2653 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝑥 = (1 / 2) ∧ 𝑦 ∈ (0[,]1))) → (1𝑀𝑦) = (0𝑁𝑦))
48 simprl 789 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ (𝑥 = (1 / 2) ∧ 𝑦 ∈ (0[,]1))) → 𝑥 = (1 / 2))
4948oveq2d 6543 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝑥 = (1 / 2) ∧ 𝑦 ∈ (0[,]1))) → (2 · 𝑥) = (2 · (1 / 2)))
50 2cn 10938 . . . . . . . 8 2 ∈ ℂ
51 2ne0 10960 . . . . . . . 8 2 ≠ 0
5250, 51recidi 10605 . . . . . . 7 (2 · (1 / 2)) = 1
5349, 52syl6eq 2659 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝑥 = (1 / 2) ∧ 𝑦 ∈ (0[,]1))) → (2 · 𝑥) = 1)
5453oveq1d 6542 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝑥 = (1 / 2) ∧ 𝑦 ∈ (0[,]1))) → ((2 · 𝑥)𝑀𝑦) = (1𝑀𝑦))
5553oveq1d 6542 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝑥 = (1 / 2) ∧ 𝑦 ∈ (0[,]1))) → ((2 · 𝑥) − 1) = (1 − 1))
56 1m1e0 10936 . . . . . . 7 (1 − 1) = 0
5755, 56syl6eq 2659 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝑥 = (1 / 2) ∧ 𝑦 ∈ (0[,]1))) → ((2 · 𝑥) − 1) = 0)
5857oveq1d 6542 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝑥 = (1 / 2) ∧ 𝑦 ∈ (0[,]1))) → (((2 · 𝑥) − 1)𝑁𝑦) = (0𝑁𝑦))
5947, 54, 583eqtr4d 2653 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝑥 = (1 / 2) ∧ 𝑦 ∈ (0[,]1))) → ((2 · 𝑥)𝑀𝑦) = (((2 · 𝑥) − 1)𝑁𝑦))
60 retopon 22309 . . . . . . 7 (topGen‘ran (,)) ∈ (TopOn‘ℝ)
61 iccssre 12082 . . . . . . . 8 ((0 ∈ ℝ ∧ (1 / 2) ∈ ℝ) → (0[,](1 / 2)) ⊆ ℝ)
6229, 28, 61mp2an 703 . . . . . . 7 (0[,](1 / 2)) ⊆ ℝ
63 resttopon 20717 . . . . . . 7 (((topGen‘ran (,)) ∈ (TopOn‘ℝ) ∧ (0[,](1 / 2)) ⊆ ℝ) → ((topGen‘ran (,)) ↾t (0[,](1 / 2))) ∈ (TopOn‘(0[,](1 / 2))))
6460, 62, 63mp2an 703 . . . . . 6 ((topGen‘ran (,)) ↾t (0[,](1 / 2))) ∈ (TopOn‘(0[,](1 / 2)))
6564a1i 11 . . . . 5 (𝜑 → ((topGen‘ran (,)) ↾t (0[,](1 / 2))) ∈ (TopOn‘(0[,](1 / 2))))
6665, 39cnmpt1st 21223 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑥 ∈ (0[,](1 / 2)), 𝑦 ∈ (0[,]1) ↦ 𝑥) ∈ ((((topGen‘ran (,)) ↾t (0[,](1 / 2))) ×t II) Cn ((topGen‘ran (,)) ↾t (0[,](1 / 2)))))
6723iihalf1cn 22470 . . . . . . 7 (𝑧 ∈ (0[,](1 / 2)) ↦ (2 · 𝑧)) ∈ (((topGen‘ran (,)) ↾t (0[,](1 / 2))) Cn II)
6867a1i 11 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑧 ∈ (0[,](1 / 2)) ↦ (2 · 𝑧)) ∈ (((topGen‘ran (,)) ↾t (0[,](1 / 2))) Cn II))
69 oveq2 6535 . . . . . 6 (𝑧 = 𝑥 → (2 · 𝑧) = (2 · 𝑥))
7065, 39, 66, 65, 68, 69cnmpt21 21226 . . . . 5 (𝜑 → (𝑥 ∈ (0[,](1 / 2)), 𝑦 ∈ (0[,]1) ↦ (2 · 𝑥)) ∈ ((((topGen‘ran (,)) ↾t (0[,](1 / 2))) ×t II) Cn II))
7165, 39cnmpt2nd 21224 . . . . 5 (𝜑 → (𝑥 ∈ (0[,](1 / 2)), 𝑦 ∈ (0[,]1) ↦ 𝑦) ∈ ((((topGen‘ran (,)) ↾t (0[,](1 / 2))) ×t II) Cn II))
724, 11phtpycn 22521 . . . . . 6 (𝜑 → (𝐹(PHtpy‘𝐽)𝐻) ⊆ ((II ×t II) Cn 𝐽))
7372, 13sseldd 3568 . . . . 5 (𝜑𝑀 ∈ ((II ×t II) Cn 𝐽))
7465, 39, 70, 71, 73cnmpt22f 21230 . . . 4 (𝜑 → (𝑥 ∈ (0[,](1 / 2)), 𝑦 ∈ (0[,]1) ↦ ((2 · 𝑥)𝑀𝑦)) ∈ ((((topGen‘ran (,)) ↾t (0[,](1 / 2))) ×t II) Cn 𝐽))
75 iccssre 12082 . . . . . . . 8 (((1 / 2) ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ) → ((1 / 2)[,]1) ⊆ ℝ)
7628, 32, 75mp2an 703 . . . . . . 7 ((1 / 2)[,]1) ⊆ ℝ
77 resttopon 20717 . . . . . . 7 (((topGen‘ran (,)) ∈ (TopOn‘ℝ) ∧ ((1 / 2)[,]1) ⊆ ℝ) → ((topGen‘ran (,)) ↾t ((1 / 2)[,]1)) ∈ (TopOn‘((1 / 2)[,]1)))
7860, 76, 77mp2an 703 . . . . . 6 ((topGen‘ran (,)) ↾t ((1 / 2)[,]1)) ∈ (TopOn‘((1 / 2)[,]1))
7978a1i 11 . . . . 5 (𝜑 → ((topGen‘ran (,)) ↾t ((1 / 2)[,]1)) ∈ (TopOn‘((1 / 2)[,]1)))
8079, 39cnmpt1st 21223 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑥 ∈ ((1 / 2)[,]1), 𝑦 ∈ (0[,]1) ↦ 𝑥) ∈ ((((topGen‘ran (,)) ↾t ((1 / 2)[,]1)) ×t II) Cn ((topGen‘ran (,)) ↾t ((1 / 2)[,]1))))
8124iihalf2cn 22472 . . . . . . 7 (𝑧 ∈ ((1 / 2)[,]1) ↦ ((2 · 𝑧) − 1)) ∈ (((topGen‘ran (,)) ↾t ((1 / 2)[,]1)) Cn II)
8281a1i 11 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑧 ∈ ((1 / 2)[,]1) ↦ ((2 · 𝑧) − 1)) ∈ (((topGen‘ran (,)) ↾t ((1 / 2)[,]1)) Cn II))
8369oveq1d 6542 . . . . . 6 (𝑧 = 𝑥 → ((2 · 𝑧) − 1) = ((2 · 𝑥) − 1))
8479, 39, 80, 79, 82, 83cnmpt21 21226 . . . . 5 (𝜑 → (𝑥 ∈ ((1 / 2)[,]1), 𝑦 ∈ (0[,]1) ↦ ((2 · 𝑥) − 1)) ∈ ((((topGen‘ran (,)) ↾t ((1 / 2)[,]1)) ×t II) Cn II))
8579, 39cnmpt2nd 21224 . . . . 5 (𝜑 → (𝑥 ∈ ((1 / 2)[,]1), 𝑦 ∈ (0[,]1) ↦ 𝑦) ∈ ((((topGen‘ran (,)) ↾t ((1 / 2)[,]1)) ×t II) Cn II))
868, 12phtpycn 22521 . . . . . 6 (𝜑 → (𝐺(PHtpy‘𝐽)𝐾) ⊆ ((II ×t II) Cn 𝐽))
8786, 16sseldd 3568 . . . . 5 (𝜑𝑁 ∈ ((II ×t II) Cn 𝐽))
8879, 39, 84, 85, 87cnmpt22f 21230 . . . 4 (𝜑 → (𝑥 ∈ ((1 / 2)[,]1), 𝑦 ∈ (0[,]1) ↦ (((2 · 𝑥) − 1)𝑁𝑦)) ∈ ((((topGen‘ran (,)) ↾t ((1 / 2)[,]1)) ×t II) Cn 𝐽))
8922, 23, 24, 25, 26, 27, 37, 39, 59, 74, 88cnmpt2pc 22466 . . 3 (𝜑 → (𝑥 ∈ (0[,]1), 𝑦 ∈ (0[,]1) ↦ if(𝑥 ≤ (1 / 2), ((2 · 𝑥)𝑀𝑦), (((2 · 𝑥) − 1)𝑁𝑦))) ∈ ((II ×t II) Cn 𝐽))
9021, 89syl5eqel 2691 . 2 (𝜑𝑃 ∈ ((II ×t II) Cn 𝐽))
91 simpll 785 . . . . . . 7 (((𝜑𝑠 ∈ (0[,]1)) ∧ 𝑠 ≤ (1 / 2)) → 𝜑)
92 elii1 22473 . . . . . . . . 9 (𝑠 ∈ (0[,](1 / 2)) ↔ (𝑠 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑠 ≤ (1 / 2)))
93 iihalf1 22469 . . . . . . . . 9 (𝑠 ∈ (0[,](1 / 2)) → (2 · 𝑠) ∈ (0[,]1))
9492, 93sylbir 223 . . . . . . . 8 ((𝑠 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑠 ≤ (1 / 2)) → (2 · 𝑠) ∈ (0[,]1))
9594adantll 745 . . . . . . 7 (((𝜑𝑠 ∈ (0[,]1)) ∧ 𝑠 ≤ (1 / 2)) → (2 · 𝑠) ∈ (0[,]1))
964, 11phtpyhtpy 22520 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝐹(PHtpy‘𝐽)𝐻) ⊆ (𝐹(II Htpy 𝐽)𝐻))
9796, 13sseldd 3568 . . . . . . . 8 (𝜑𝑀 ∈ (𝐹(II Htpy 𝐽)𝐻))
9839, 4, 11, 97htpyi 22512 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (2 · 𝑠) ∈ (0[,]1)) → (((2 · 𝑠)𝑀0) = (𝐹‘(2 · 𝑠)) ∧ ((2 · 𝑠)𝑀1) = (𝐻‘(2 · 𝑠))))
9991, 95, 98syl2anc 690 . . . . . 6 (((𝜑𝑠 ∈ (0[,]1)) ∧ 𝑠 ≤ (1 / 2)) → (((2 · 𝑠)𝑀0) = (𝐹‘(2 · 𝑠)) ∧ ((2 · 𝑠)𝑀1) = (𝐻‘(2 · 𝑠))))
10099simpld 473 . . . . 5 (((𝜑𝑠 ∈ (0[,]1)) ∧ 𝑠 ≤ (1 / 2)) → ((2 · 𝑠)𝑀0) = (𝐹‘(2 · 𝑠)))
101 iftrue 4041 . . . . . 6 (𝑠 ≤ (1 / 2) → if(𝑠 ≤ (1 / 2), ((2 · 𝑠)𝑀0), (((2 · 𝑠) − 1)𝑁0)) = ((2 · 𝑠)𝑀0))
102101adantl 480 . . . . 5 (((𝜑𝑠 ∈ (0[,]1)) ∧ 𝑠 ≤ (1 / 2)) → if(𝑠 ≤ (1 / 2), ((2 · 𝑠)𝑀0), (((2 · 𝑠) − 1)𝑁0)) = ((2 · 𝑠)𝑀0))
103 iftrue 4041 . . . . . 6 (𝑠 ≤ (1 / 2) → if(𝑠 ≤ (1 / 2), (𝐹‘(2 · 𝑠)), (𝐺‘((2 · 𝑠) − 1))) = (𝐹‘(2 · 𝑠)))
104103adantl 480 . . . . 5 (((𝜑𝑠 ∈ (0[,]1)) ∧ 𝑠 ≤ (1 / 2)) → if(𝑠 ≤ (1 / 2), (𝐹‘(2 · 𝑠)), (𝐺‘((2 · 𝑠) − 1))) = (𝐹‘(2 · 𝑠)))
105100, 102, 1043eqtr4d 2653 . . . 4 (((𝜑𝑠 ∈ (0[,]1)) ∧ 𝑠 ≤ (1 / 2)) → if(𝑠 ≤ (1 / 2), ((2 · 𝑠)𝑀0), (((2 · 𝑠) − 1)𝑁0)) = if(𝑠 ≤ (1 / 2), (𝐹‘(2 · 𝑠)), (𝐺‘((2 · 𝑠) − 1))))
106 simpll 785 . . . . . . 7 (((𝜑𝑠 ∈ (0[,]1)) ∧ ¬ 𝑠 ≤ (1 / 2)) → 𝜑)
107 elii2 22474 . . . . . . . . 9 ((𝑠 ∈ (0[,]1) ∧ ¬ 𝑠 ≤ (1 / 2)) → 𝑠 ∈ ((1 / 2)[,]1))
108107adantll 745 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑠 ∈ (0[,]1)) ∧ ¬ 𝑠 ≤ (1 / 2)) → 𝑠 ∈ ((1 / 2)[,]1))
109 iihalf2 22471 . . . . . . . 8 (𝑠 ∈ ((1 / 2)[,]1) → ((2 · 𝑠) − 1) ∈ (0[,]1))
110108, 109syl 17 . . . . . . 7 (((𝜑𝑠 ∈ (0[,]1)) ∧ ¬ 𝑠 ≤ (1 / 2)) → ((2 · 𝑠) − 1) ∈ (0[,]1))
1118, 12phtpyhtpy 22520 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝐺(PHtpy‘𝐽)𝐾) ⊆ (𝐺(II Htpy 𝐽)𝐾))
112111, 16sseldd 3568 . . . . . . . 8 (𝜑𝑁 ∈ (𝐺(II Htpy 𝐽)𝐾))
11339, 8, 12, 112htpyi 22512 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ ((2 · 𝑠) − 1) ∈ (0[,]1)) → ((((2 · 𝑠) − 1)𝑁0) = (𝐺‘((2 · 𝑠) − 1)) ∧ (((2 · 𝑠) − 1)𝑁1) = (𝐾‘((2 · 𝑠) − 1))))
114106, 110, 113syl2anc 690 . . . . . 6 (((𝜑𝑠 ∈ (0[,]1)) ∧ ¬ 𝑠 ≤ (1 / 2)) → ((((2 · 𝑠) − 1)𝑁0) = (𝐺‘((2 · 𝑠) − 1)) ∧ (((2 · 𝑠) − 1)𝑁1) = (𝐾‘((2 · 𝑠) − 1))))
115114simpld 473 . . . . 5 (((𝜑𝑠 ∈ (0[,]1)) ∧ ¬ 𝑠 ≤ (1 / 2)) → (((2 · 𝑠) − 1)𝑁0) = (𝐺‘((2 · 𝑠) − 1)))
116 iffalse 4044 . . . . . 6 𝑠 ≤ (1 / 2) → if(𝑠 ≤ (1 / 2), ((2 · 𝑠)𝑀0), (((2 · 𝑠) − 1)𝑁0)) = (((2 · 𝑠) − 1)𝑁0))
117116adantl 480 . . . . 5 (((𝜑𝑠 ∈ (0[,]1)) ∧ ¬ 𝑠 ≤ (1 / 2)) → if(𝑠 ≤ (1 / 2), ((2 · 𝑠)𝑀0), (((2 · 𝑠) − 1)𝑁0)) = (((2 · 𝑠) − 1)𝑁0))
118 iffalse 4044 . . . . . 6 𝑠 ≤ (1 / 2) → if(𝑠 ≤ (1 / 2), (𝐹‘(2 · 𝑠)), (𝐺‘((2 · 𝑠) − 1))) = (𝐺‘((2 · 𝑠) − 1)))
119118adantl 480 . . . . 5 (((𝜑𝑠 ∈ (0[,]1)) ∧ ¬ 𝑠 ≤ (1 / 2)) → if(𝑠 ≤ (1 / 2), (𝐹‘(2 · 𝑠)), (𝐺‘((2 · 𝑠) − 1))) = (𝐺‘((2 · 𝑠) − 1)))
120115, 117, 1193eqtr4d 2653 . . . 4 (((𝜑𝑠 ∈ (0[,]1)) ∧ ¬ 𝑠 ≤ (1 / 2)) → if(𝑠 ≤ (1 / 2), ((2 · 𝑠)𝑀0), (((2 · 𝑠) − 1)𝑁0)) = if(𝑠 ≤ (1 / 2), (𝐹‘(2 · 𝑠)), (𝐺‘((2 · 𝑠) − 1))))
121105, 120pm2.61dan 827 . . 3 ((𝜑𝑠 ∈ (0[,]1)) → if(𝑠 ≤ (1 / 2), ((2 · 𝑠)𝑀0), (((2 · 𝑠) − 1)𝑁0)) = if(𝑠 ≤ (1 / 2), (𝐹‘(2 · 𝑠)), (𝐺‘((2 · 𝑠) − 1))))
122 simpr 475 . . . 4 ((𝜑𝑠 ∈ (0[,]1)) → 𝑠 ∈ (0[,]1))
123 0elunit 12117 . . . 4 0 ∈ (0[,]1)
124 simpl 471 . . . . . . 7 ((𝑥 = 𝑠𝑦 = 0) → 𝑥 = 𝑠)
125124breq1d 4587 . . . . . 6 ((𝑥 = 𝑠𝑦 = 0) → (𝑥 ≤ (1 / 2) ↔ 𝑠 ≤ (1 / 2)))
126124oveq2d 6543 . . . . . . 7 ((𝑥 = 𝑠𝑦 = 0) → (2 · 𝑥) = (2 · 𝑠))
127 simpr 475 . . . . . . 7 ((𝑥 = 𝑠𝑦 = 0) → 𝑦 = 0)
128126, 127oveq12d 6545 . . . . . 6 ((𝑥 = 𝑠𝑦 = 0) → ((2 · 𝑥)𝑀𝑦) = ((2 · 𝑠)𝑀0))
129126oveq1d 6542 . . . . . . 7 ((𝑥 = 𝑠𝑦 = 0) → ((2 · 𝑥) − 1) = ((2 · 𝑠) − 1))
130129, 127oveq12d 6545 . . . . . 6 ((𝑥 = 𝑠𝑦 = 0) → (((2 · 𝑥) − 1)𝑁𝑦) = (((2 · 𝑠) − 1)𝑁0))
131125, 128, 130ifbieq12d 4062 . . . . 5 ((𝑥 = 𝑠𝑦 = 0) → if(𝑥 ≤ (1 / 2), ((2 · 𝑥)𝑀𝑦), (((2 · 𝑥) − 1)𝑁𝑦)) = if(𝑠 ≤ (1 / 2), ((2 · 𝑠)𝑀0), (((2 · 𝑠) − 1)𝑁0)))
132 ovex 6555 . . . . . 6 ((2 · 𝑠)𝑀0) ∈ V
133 ovex 6555 . . . . . 6 (((2 · 𝑠) − 1)𝑁0) ∈ V
134132, 133ifex 4105 . . . . 5 if(𝑠 ≤ (1 / 2), ((2 · 𝑠)𝑀0), (((2 · 𝑠) − 1)𝑁0)) ∈ V
135131, 21, 134ovmpt2a 6667 . . . 4 ((𝑠 ∈ (0[,]1) ∧ 0 ∈ (0[,]1)) → (𝑠𝑃0) = if(𝑠 ≤ (1 / 2), ((2 · 𝑠)𝑀0), (((2 · 𝑠) − 1)𝑁0)))
136122, 123, 135sylancl 692 . . 3 ((𝜑𝑠 ∈ (0[,]1)) → (𝑠𝑃0) = if(𝑠 ≤ (1 / 2), ((2 · 𝑠)𝑀0), (((2 · 𝑠) − 1)𝑁0)))
1374, 8pcovalg 22551 . . 3 ((𝜑𝑠 ∈ (0[,]1)) → ((𝐹(*𝑝𝐽)𝐺)‘𝑠) = if(𝑠 ≤ (1 / 2), (𝐹‘(2 · 𝑠)), (𝐺‘((2 · 𝑠) − 1))))
138121, 136, 1373eqtr4d 2653 . 2 ((𝜑𝑠 ∈ (0[,]1)) → (𝑠𝑃0) = ((𝐹(*𝑝𝐽)𝐺)‘𝑠))
13999simprd 477 . . . . 5 (((𝜑𝑠 ∈ (0[,]1)) ∧ 𝑠 ≤ (1 / 2)) → ((2 · 𝑠)𝑀1) = (𝐻‘(2 · 𝑠)))
140 iftrue 4041 . . . . . 6 (𝑠 ≤ (1 / 2) → if(𝑠 ≤ (1 / 2), ((2 · 𝑠)𝑀1), (((2 · 𝑠) − 1)𝑁1)) = ((2 · 𝑠)𝑀1))
141140adantl 480 . . . . 5 (((𝜑𝑠 ∈ (0[,]1)) ∧ 𝑠 ≤ (1 / 2)) → if(𝑠 ≤ (1 / 2), ((2 · 𝑠)𝑀1), (((2 · 𝑠) − 1)𝑁1)) = ((2 · 𝑠)𝑀1))
142 iftrue 4041 . . . . . 6 (𝑠 ≤ (1 / 2) → if(𝑠 ≤ (1 / 2), (𝐻‘(2 · 𝑠)), (𝐾‘((2 · 𝑠) − 1))) = (𝐻‘(2 · 𝑠)))
143142adantl 480 . . . . 5 (((𝜑𝑠 ∈ (0[,]1)) ∧ 𝑠 ≤ (1 / 2)) → if(𝑠 ≤ (1 / 2), (𝐻‘(2 · 𝑠)), (𝐾‘((2 · 𝑠) − 1))) = (𝐻‘(2 · 𝑠)))
144139, 141, 1433eqtr4d 2653 . . . 4 (((𝜑𝑠 ∈ (0[,]1)) ∧ 𝑠 ≤ (1 / 2)) → if(𝑠 ≤ (1 / 2), ((2 · 𝑠)𝑀1), (((2 · 𝑠) − 1)𝑁1)) = if(𝑠 ≤ (1 / 2), (𝐻‘(2 · 𝑠)), (𝐾‘((2 · 𝑠) − 1))))
145114simprd 477 . . . . 5 (((𝜑𝑠 ∈ (0[,]1)) ∧ ¬ 𝑠 ≤ (1 / 2)) → (((2 · 𝑠) − 1)𝑁1) = (𝐾‘((2 · 𝑠) − 1)))
146 iffalse 4044 . . . . . 6 𝑠 ≤ (1 / 2) → if(𝑠 ≤ (1 / 2), ((2 · 𝑠)𝑀1), (((2 · 𝑠) − 1)𝑁1)) = (((2 · 𝑠) − 1)𝑁1))
147146adantl 480 . . . . 5 (((𝜑𝑠 ∈ (0[,]1)) ∧ ¬ 𝑠 ≤ (1 / 2)) → if(𝑠 ≤ (1 / 2), ((2 · 𝑠)𝑀1), (((2 · 𝑠) − 1)𝑁1)) = (((2 · 𝑠) − 1)𝑁1))
148 iffalse 4044 . . . . . 6 𝑠 ≤ (1 / 2) → if(𝑠 ≤ (1 / 2), (𝐻‘(2 · 𝑠)), (𝐾‘((2 · 𝑠) − 1))) = (𝐾‘((2 · 𝑠) − 1)))
149148adantl 480 . . . . 5 (((𝜑𝑠 ∈ (0[,]1)) ∧ ¬ 𝑠 ≤ (1 / 2)) → if(𝑠 ≤ (1 / 2), (𝐻‘(2 · 𝑠)), (𝐾‘((2 · 𝑠) − 1))) = (𝐾‘((2 · 𝑠) − 1)))
150145, 147, 1493eqtr4d 2653 . . . 4 (((𝜑𝑠 ∈ (0[,]1)) ∧ ¬ 𝑠 ≤ (1 / 2)) → if(𝑠 ≤ (1 / 2), ((2 · 𝑠)𝑀1), (((2 · 𝑠) − 1)𝑁1)) = if(𝑠 ≤ (1 / 2), (𝐻‘(2 · 𝑠)), (𝐾‘((2 · 𝑠) − 1))))
151144, 150pm2.61dan 827 . . 3 ((𝜑𝑠 ∈ (0[,]1)) → if(𝑠 ≤ (1 / 2), ((2 · 𝑠)𝑀1), (((2 · 𝑠) − 1)𝑁1)) = if(𝑠 ≤ (1 / 2), (𝐻‘(2 · 𝑠)), (𝐾‘((2 · 𝑠) − 1))))
152 1elunit 12118 . . . 4 1 ∈ (0[,]1)
153 simpl 471 . . . . . . 7 ((𝑥 = 𝑠𝑦 = 1) → 𝑥 = 𝑠)
154153breq1d 4587 . . . . . 6 ((𝑥 = 𝑠𝑦 = 1) → (𝑥 ≤ (1 / 2) ↔ 𝑠 ≤ (1 / 2)))
155153oveq2d 6543 . . . . . . 7 ((𝑥 = 𝑠𝑦 = 1) → (2 · 𝑥) = (2 · 𝑠))
156 simpr 475 . . . . . . 7 ((𝑥 = 𝑠𝑦 = 1) → 𝑦 = 1)
157155, 156oveq12d 6545 . . . . . 6 ((𝑥 = 𝑠𝑦 = 1) → ((2 · 𝑥)𝑀𝑦) = ((2 · 𝑠)𝑀1))
158155oveq1d 6542 . . . . . . 7 ((𝑥 = 𝑠𝑦 = 1) → ((2 · 𝑥) − 1) = ((2 · 𝑠) − 1))
159158, 156oveq12d 6545 . . . . . 6 ((𝑥 = 𝑠𝑦 = 1) → (((2 · 𝑥) − 1)𝑁𝑦) = (((2 · 𝑠) − 1)𝑁1))
160154, 157, 159ifbieq12d 4062 . . . . 5 ((𝑥 = 𝑠𝑦 = 1) → if(𝑥 ≤ (1 / 2), ((2 · 𝑥)𝑀𝑦), (((2 · 𝑥) − 1)𝑁𝑦)) = if(𝑠 ≤ (1 / 2), ((2 · 𝑠)𝑀1), (((2 · 𝑠) − 1)𝑁1)))
161 ovex 6555 . . . . . 6 ((2 · 𝑠)𝑀1) ∈ V
162 ovex 6555 . . . . . 6 (((2 · 𝑠) − 1)𝑁1) ∈ V
163161, 162ifex 4105 . . . . 5 if(𝑠 ≤ (1 / 2), ((2 · 𝑠)𝑀1), (((2 · 𝑠) − 1)𝑁1)) ∈ V
164160, 21, 163ovmpt2a 6667 . . . 4 ((𝑠 ∈ (0[,]1) ∧ 1 ∈ (0[,]1)) → (𝑠𝑃1) = if(𝑠 ≤ (1 / 2), ((2 · 𝑠)𝑀1), (((2 · 𝑠) − 1)𝑁1)))
165122, 152, 164sylancl 692 . . 3 ((𝜑𝑠 ∈ (0[,]1)) → (𝑠𝑃1) = if(𝑠 ≤ (1 / 2), ((2 · 𝑠)𝑀1), (((2 · 𝑠) − 1)𝑁1)))
16611, 12pcovalg 22551 . . 3 ((𝜑𝑠 ∈ (0[,]1)) → ((𝐻(*𝑝𝐽)𝐾)‘𝑠) = if(𝑠 ≤ (1 / 2), (𝐻‘(2 · 𝑠)), (𝐾‘((2 · 𝑠) − 1))))
167151, 165, 1663eqtr4d 2653 . 2 ((𝜑𝑠 ∈ (0[,]1)) → (𝑠𝑃1) = ((𝐻(*𝑝𝐽)𝐾)‘𝑠))
1684, 11, 13phtpyi 22522 . . . 4 ((𝜑𝑠 ∈ (0[,]1)) → ((0𝑀𝑠) = (𝐹‘0) ∧ (1𝑀𝑠) = (𝐹‘1)))
169168simpld 473 . . 3 ((𝜑𝑠 ∈ (0[,]1)) → (0𝑀𝑠) = (𝐹‘0))
170 simpl 471 . . . . . . . 8 ((𝑥 = 0 ∧ 𝑦 = 𝑠) → 𝑥 = 0)
171170, 31syl6eqbr 4616 . . . . . . 7 ((𝑥 = 0 ∧ 𝑦 = 𝑠) → 𝑥 ≤ (1 / 2))
172171iftrued 4043 . . . . . 6 ((𝑥 = 0 ∧ 𝑦 = 𝑠) → if(𝑥 ≤ (1 / 2), ((2 · 𝑥)𝑀𝑦), (((2 · 𝑥) − 1)𝑁𝑦)) = ((2 · 𝑥)𝑀𝑦))
173170oveq2d 6543 . . . . . . . 8 ((𝑥 = 0 ∧ 𝑦 = 𝑠) → (2 · 𝑥) = (2 · 0))
174 2t0e0 11030 . . . . . . . 8 (2 · 0) = 0
175173, 174syl6eq 2659 . . . . . . 7 ((𝑥 = 0 ∧ 𝑦 = 𝑠) → (2 · 𝑥) = 0)
176 simpr 475 . . . . . . 7 ((𝑥 = 0 ∧ 𝑦 = 𝑠) → 𝑦 = 𝑠)
177175, 176oveq12d 6545 . . . . . 6 ((𝑥 = 0 ∧ 𝑦 = 𝑠) → ((2 · 𝑥)𝑀𝑦) = (0𝑀𝑠))
178172, 177eqtrd 2643 . . . . 5 ((𝑥 = 0 ∧ 𝑦 = 𝑠) → if(𝑥 ≤ (1 / 2), ((2 · 𝑥)𝑀𝑦), (((2 · 𝑥) − 1)𝑁𝑦)) = (0𝑀𝑠))
179 ovex 6555 . . . . 5 (0𝑀𝑠) ∈ V
180178, 21, 179ovmpt2a 6667 . . . 4 ((0 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑠 ∈ (0[,]1)) → (0𝑃𝑠) = (0𝑀𝑠))
181123, 122, 180sylancr 693 . . 3 ((𝜑𝑠 ∈ (0[,]1)) → (0𝑃𝑠) = (0𝑀𝑠))
1824, 8pco0 22553 . . . 4 (𝜑 → ((𝐹(*𝑝𝐽)𝐺)‘0) = (𝐹‘0))
183182adantr 479 . . 3 ((𝜑𝑠 ∈ (0[,]1)) → ((𝐹(*𝑝𝐽)𝐺)‘0) = (𝐹‘0))
184169, 181, 1833eqtr4d 2653 . 2 ((𝜑𝑠 ∈ (0[,]1)) → (0𝑃𝑠) = ((𝐹(*𝑝𝐽)𝐺)‘0))
1858, 12, 16phtpyi 22522 . . . 4 ((𝜑𝑠 ∈ (0[,]1)) → ((0𝑁𝑠) = (𝐺‘0) ∧ (1𝑁𝑠) = (𝐺‘1)))
186185simprd 477 . . 3 ((𝜑𝑠 ∈ (0[,]1)) → (1𝑁𝑠) = (𝐺‘1))
18728, 32ltnlei 10009 . . . . . . . . 9 ((1 / 2) < 1 ↔ ¬ 1 ≤ (1 / 2))
18833, 187mpbi 218 . . . . . . . 8 ¬ 1 ≤ (1 / 2)
189 simpl 471 . . . . . . . . 9 ((𝑥 = 1 ∧ 𝑦 = 𝑠) → 𝑥 = 1)
190189breq1d 4587 . . . . . . . 8 ((𝑥 = 1 ∧ 𝑦 = 𝑠) → (𝑥 ≤ (1 / 2) ↔ 1 ≤ (1 / 2)))
191188, 190mtbiri 315 . . . . . . 7 ((𝑥 = 1 ∧ 𝑦 = 𝑠) → ¬ 𝑥 ≤ (1 / 2))
192191iffalsed 4046 . . . . . 6 ((𝑥 = 1 ∧ 𝑦 = 𝑠) → if(𝑥 ≤ (1 / 2), ((2 · 𝑥)𝑀𝑦), (((2 · 𝑥) − 1)𝑁𝑦)) = (((2 · 𝑥) − 1)𝑁𝑦))
193189oveq2d 6543 . . . . . . . . . 10 ((𝑥 = 1 ∧ 𝑦 = 𝑠) → (2 · 𝑥) = (2 · 1))
194 2t1e2 11023 . . . . . . . . . 10 (2 · 1) = 2
195193, 194syl6eq 2659 . . . . . . . . 9 ((𝑥 = 1 ∧ 𝑦 = 𝑠) → (2 · 𝑥) = 2)
196195oveq1d 6542 . . . . . . . 8 ((𝑥 = 1 ∧ 𝑦 = 𝑠) → ((2 · 𝑥) − 1) = (2 − 1))
197 2m1e1 10982 . . . . . . . 8 (2 − 1) = 1
198196, 197syl6eq 2659 . . . . . . 7 ((𝑥 = 1 ∧ 𝑦 = 𝑠) → ((2 · 𝑥) − 1) = 1)
199 simpr 475 . . . . . . 7 ((𝑥 = 1 ∧ 𝑦 = 𝑠) → 𝑦 = 𝑠)
200198, 199oveq12d 6545 . . . . . 6 ((𝑥 = 1 ∧ 𝑦 = 𝑠) → (((2 · 𝑥) − 1)𝑁𝑦) = (1𝑁𝑠))
201192, 200eqtrd 2643 . . . . 5 ((𝑥 = 1 ∧ 𝑦 = 𝑠) → if(𝑥 ≤ (1 / 2), ((2 · 𝑥)𝑀𝑦), (((2 · 𝑥) − 1)𝑁𝑦)) = (1𝑁𝑠))
202 ovex 6555 . . . . 5 (1𝑁𝑠) ∈ V
203201, 21, 202ovmpt2a 6667 . . . 4 ((1 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑠 ∈ (0[,]1)) → (1𝑃𝑠) = (1𝑁𝑠))
204152, 122, 203sylancr 693 . . 3 ((𝜑𝑠 ∈ (0[,]1)) → (1𝑃𝑠) = (1𝑁𝑠))
2054, 8pco1 22554 . . . 4 (𝜑 → ((𝐹(*𝑝𝐽)𝐺)‘1) = (𝐺‘1))
206205adantr 479 . . 3 ((𝜑𝑠 ∈ (0[,]1)) → ((𝐹(*𝑝𝐽)𝐺)‘1) = (𝐺‘1))
207186, 204, 2063eqtr4d 2653 . 2 ((𝜑𝑠 ∈ (0[,]1)) → (1𝑃𝑠) = ((𝐹(*𝑝𝐽)𝐺)‘1))
20810, 20, 90, 138, 167, 184, 207isphtpy2d 22525 1 (𝜑𝑃 ∈ ((𝐹(*𝑝𝐽)𝐺)(PHtpy‘𝐽)(𝐻(*𝑝𝐽)𝐾)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wa 382  w3a 1030   = wceq 1474  wcel 1976  wne 2779  wss 3539  c0 3873  ifcif 4035   class class class wbr 4577  cmpt 4637  ran crn 5029  cfv 5790  (class class class)co 6527  cmpt2 6529  cr 9791  0cc0 9792  1c1 9793   · cmul 9797   < clt 9930  cle 9931  cmin 10117   / cdiv 10533  2c2 10917  (,)cioo 12002  [,]cicc 12005  t crest 15850  topGenctg 15867  TopOnctopon 20460   Cn ccn 20780   ×t ctx 21115  IIcii 22417   Htpy chtpy 22505  PHtpycphtpy 22506  phcphtpc 22507  *𝑝cpco 22539
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1712  ax-4 1727  ax-5 1826  ax-6 1874  ax-7 1921  ax-8 1978  ax-9 1985  ax-10 2005  ax-11 2020  ax-12 2032  ax-13 2232  ax-ext 2589  ax-rep 4693  ax-sep 4703  ax-nul 4712  ax-pow 4764  ax-pr 4828  ax-un 6824  ax-inf2 8398  ax-cnex 9848  ax-resscn 9849  ax-1cn 9850  ax-icn 9851  ax-addcl 9852  ax-addrcl 9853  ax-mulcl 9854  ax-mulrcl 9855  ax-mulcom 9856  ax-addass 9857  ax-mulass 9858  ax-distr 9859  ax-i2m1 9860  ax-1ne0 9861  ax-1rid 9862  ax-rnegex 9863  ax-rrecex 9864  ax-cnre 9865  ax-pre-lttri 9866  ax-pre-lttrn 9867  ax-pre-ltadd 9868  ax-pre-mulgt0 9869  ax-pre-sup 9870  ax-mulf 9872
This theorem depends on definitions:  df-bi 195  df-or 383  df-an 384  df-3or 1031  df-3an 1032  df-tru 1477  df-ex 1695  df-nf 1700  df-sb 1867  df-eu 2461  df-mo 2462  df-clab 2596  df-cleq 2602  df-clel 2605  df-nfc 2739  df-ne 2781  df-nel 2782  df-ral 2900  df-rex 2901  df-reu 2902  df-rmo 2903  df-rab 2904  df-v 3174  df-sbc 3402  df-csb 3499  df-dif 3542  df-un 3544  df-in 3546  df-ss 3553  df-pss 3555  df-nul 3874  df-if 4036  df-pw 4109  df-sn 4125  df-pr 4127  df-tp 4129  df-op 4131  df-uni 4367  df-int 4405  df-iun 4451  df-iin 4452  df-br 4578  df-opab 4638  df-mpt 4639  df-tr 4675  df-eprel 4939  df-id 4943  df-po 4949  df-so 4950  df-fr 4987  df-se 4988  df-we 4989  df-xp 5034  df-rel 5035  df-cnv 5036  df-co 5037  df-dm 5038  df-rn 5039  df-res 5040  df-ima 5041  df-pred 5583  df-ord 5629  df-on 5630  df-lim 5631  df-suc 5632  df-iota 5754  df-fun 5792  df-fn 5793  df-f 5794  df-f1 5795  df-fo 5796  df-f1o 5797  df-fv 5798  df-isom 5799  df-riota 6489  df-ov 6530  df-oprab 6531  df-mpt2 6532  df-of 6772  df-om 6935  df-1st 7036  df-2nd 7037  df-supp 7160  df-wrecs 7271  df-recs 7332  df-rdg 7370  df-1o 7424  df-2o 7425  df-oadd 7428  df-er 7606  df-map 7723  df-ixp 7772  df-en 7819  df-dom 7820  df-sdom 7821  df-fin 7822  df-fsupp 8136  df-fi 8177  df-sup 8208  df-inf 8209  df-oi 8275  df-card 8625  df-cda 8850  df-pnf 9932  df-mnf 9933  df-xr 9934  df-ltxr 9935  df-le 9936  df-sub 10119  df-neg 10120  df-div 10534  df-nn 10868  df-2 10926  df-3 10927  df-4 10928  df-5 10929  df-6 10930  df-7 10931  df-8 10932  df-9 10933  df-n0 11140  df-z 11211  df-dec 11326  df-uz 11520  df-q 11621  df-rp 11665  df-xneg 11778  df-xadd 11779  df-xmul 11780  df-ioo 12006  df-icc 12009  df-fz 12153  df-fzo 12290  df-seq 12619  df-exp 12678  df-hash 12935  df-cj 13633  df-re 13634  df-im 13635  df-sqrt 13769  df-abs 13770  df-struct 15643  df-ndx 15644  df-slot 15645  df-base 15646  df-sets 15647  df-ress 15648  df-plusg 15727  df-mulr 15728  df-starv 15729  df-sca 15730  df-vsca 15731  df-ip 15732  df-tset 15733  df-ple 15734  df-ds 15737  df-unif 15738  df-hom 15739  df-cco 15740  df-rest 15852  df-topn 15853  df-0g 15871  df-gsum 15872  df-topgen 15873  df-pt 15874  df-prds 15877  df-xrs 15931  df-qtop 15936  df-imas 15937  df-xps 15939  df-mre 16015  df-mrc 16016  df-acs 16018  df-mgm 17011  df-sgrp 17053  df-mnd 17064  df-submnd 17105  df-mulg 17310  df-cntz 17519  df-cmn 17964  df-psmet 19505  df-xmet 19506  df-met 19507  df-bl 19508  df-mopn 19509  df-cnfld 19514  df-top 20463  df-bases 20464  df-topon 20465  df-topsp 20466  df-cld 20575  df-cn 20783  df-cnp 20784  df-tx 21117  df-hmeo 21310  df-xms 21876  df-ms 21877  df-tms 21878  df-ii 22419  df-htpy 22508  df-phtpy 22509  df-phtpc 22530  df-pco 22544
This theorem is referenced by:  pcohtpy  22559
  Copyright terms: Public domain W3C validator