Users' Mathboxes Mathbox for Mario Carneiro < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  pconnpi1 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem pconnpi1 31526
Description: All fundamental groups in a path-connected space are isomorphic. (Contributed by Mario Carneiro, 12-Feb-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
pconnpi1.x 𝑋 = 𝐽
pconnpi1.p 𝑃 = (𝐽 π1 𝐴)
pconnpi1.q 𝑄 = (𝐽 π1 𝐵)
pconnpi1.s 𝑆 = (Base‘𝑃)
pconnpi1.t 𝑇 = (Base‘𝑄)
Assertion
Ref Expression
pconnpi1 ((𝐽 ∈ PConn ∧ 𝐴𝑋𝐵𝑋) → 𝑃𝑔 𝑄)

Proof of Theorem pconnpi1
Dummy variables 𝑓 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 pconnpi1.x . . 3 𝑋 = 𝐽
21pconncn 31513 . 2 ((𝐽 ∈ PConn ∧ 𝐴𝑋𝐵𝑋) → ∃𝑓 ∈ (II Cn 𝐽)((𝑓‘0) = 𝐴 ∧ (𝑓‘1) = 𝐵))
3 eqid 2760 . . . . 5 (𝐽 π1 (𝑓‘0)) = (𝐽 π1 (𝑓‘0))
4 eqid 2760 . . . . 5 (𝐽 π1 (𝑓‘1)) = (𝐽 π1 (𝑓‘1))
5 eqid 2760 . . . . 5 (Base‘(𝐽 π1 (𝑓‘0))) = (Base‘(𝐽 π1 (𝑓‘0)))
6 eqid 2760 . . . . 5 ran ( (Base‘(𝐽 π1 (𝑓‘0))) ↦ ⟨[]( ≃ph𝐽), [((𝑥 ∈ (0[,]1) ↦ (𝑓‘(1 − 𝑥)))(*𝑝𝐽)((*𝑝𝐽)𝑓))]( ≃ph𝐽)⟩) = ran ( (Base‘(𝐽 π1 (𝑓‘0))) ↦ ⟨[]( ≃ph𝐽), [((𝑥 ∈ (0[,]1) ↦ (𝑓‘(1 − 𝑥)))(*𝑝𝐽)((*𝑝𝐽)𝑓))]( ≃ph𝐽)⟩)
7 simpl1 1228 . . . . . . 7 (((𝐽 ∈ PConn ∧ 𝐴𝑋𝐵𝑋) ∧ (𝑓 ∈ (II Cn 𝐽) ∧ ((𝑓‘0) = 𝐴 ∧ (𝑓‘1) = 𝐵))) → 𝐽 ∈ PConn)
8 pconntop 31514 . . . . . . 7 (𝐽 ∈ PConn → 𝐽 ∈ Top)
97, 8syl 17 . . . . . 6 (((𝐽 ∈ PConn ∧ 𝐴𝑋𝐵𝑋) ∧ (𝑓 ∈ (II Cn 𝐽) ∧ ((𝑓‘0) = 𝐴 ∧ (𝑓‘1) = 𝐵))) → 𝐽 ∈ Top)
101toptopon 20924 . . . . . 6 (𝐽 ∈ Top ↔ 𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋))
119, 10sylib 208 . . . . 5 (((𝐽 ∈ PConn ∧ 𝐴𝑋𝐵𝑋) ∧ (𝑓 ∈ (II Cn 𝐽) ∧ ((𝑓‘0) = 𝐴 ∧ (𝑓‘1) = 𝐵))) → 𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋))
12 simprl 811 . . . . 5 (((𝐽 ∈ PConn ∧ 𝐴𝑋𝐵𝑋) ∧ (𝑓 ∈ (II Cn 𝐽) ∧ ((𝑓‘0) = 𝐴 ∧ (𝑓‘1) = 𝐵))) → 𝑓 ∈ (II Cn 𝐽))
13 oveq2 6821 . . . . . . 7 (𝑥 = 𝑦 → (1 − 𝑥) = (1 − 𝑦))
1413fveq2d 6356 . . . . . 6 (𝑥 = 𝑦 → (𝑓‘(1 − 𝑥)) = (𝑓‘(1 − 𝑦)))
1514cbvmptv 4902 . . . . 5 (𝑥 ∈ (0[,]1) ↦ (𝑓‘(1 − 𝑥))) = (𝑦 ∈ (0[,]1) ↦ (𝑓‘(1 − 𝑦)))
163, 4, 5, 6, 11, 12, 15pi1xfrgim 23058 . . . 4 (((𝐽 ∈ PConn ∧ 𝐴𝑋𝐵𝑋) ∧ (𝑓 ∈ (II Cn 𝐽) ∧ ((𝑓‘0) = 𝐴 ∧ (𝑓‘1) = 𝐵))) → ran ( (Base‘(𝐽 π1 (𝑓‘0))) ↦ ⟨[]( ≃ph𝐽), [((𝑥 ∈ (0[,]1) ↦ (𝑓‘(1 − 𝑥)))(*𝑝𝐽)((*𝑝𝐽)𝑓))]( ≃ph𝐽)⟩) ∈ ((𝐽 π1 (𝑓‘0)) GrpIso (𝐽 π1 (𝑓‘1))))
17 simprrl 823 . . . . . . 7 (((𝐽 ∈ PConn ∧ 𝐴𝑋𝐵𝑋) ∧ (𝑓 ∈ (II Cn 𝐽) ∧ ((𝑓‘0) = 𝐴 ∧ (𝑓‘1) = 𝐵))) → (𝑓‘0) = 𝐴)
1817oveq2d 6829 . . . . . 6 (((𝐽 ∈ PConn ∧ 𝐴𝑋𝐵𝑋) ∧ (𝑓 ∈ (II Cn 𝐽) ∧ ((𝑓‘0) = 𝐴 ∧ (𝑓‘1) = 𝐵))) → (𝐽 π1 (𝑓‘0)) = (𝐽 π1 𝐴))
19 pconnpi1.p . . . . . 6 𝑃 = (𝐽 π1 𝐴)
2018, 19syl6eqr 2812 . . . . 5 (((𝐽 ∈ PConn ∧ 𝐴𝑋𝐵𝑋) ∧ (𝑓 ∈ (II Cn 𝐽) ∧ ((𝑓‘0) = 𝐴 ∧ (𝑓‘1) = 𝐵))) → (𝐽 π1 (𝑓‘0)) = 𝑃)
21 simprrr 824 . . . . . . 7 (((𝐽 ∈ PConn ∧ 𝐴𝑋𝐵𝑋) ∧ (𝑓 ∈ (II Cn 𝐽) ∧ ((𝑓‘0) = 𝐴 ∧ (𝑓‘1) = 𝐵))) → (𝑓‘1) = 𝐵)
2221oveq2d 6829 . . . . . 6 (((𝐽 ∈ PConn ∧ 𝐴𝑋𝐵𝑋) ∧ (𝑓 ∈ (II Cn 𝐽) ∧ ((𝑓‘0) = 𝐴 ∧ (𝑓‘1) = 𝐵))) → (𝐽 π1 (𝑓‘1)) = (𝐽 π1 𝐵))
23 pconnpi1.q . . . . . 6 𝑄 = (𝐽 π1 𝐵)
2422, 23syl6eqr 2812 . . . . 5 (((𝐽 ∈ PConn ∧ 𝐴𝑋𝐵𝑋) ∧ (𝑓 ∈ (II Cn 𝐽) ∧ ((𝑓‘0) = 𝐴 ∧ (𝑓‘1) = 𝐵))) → (𝐽 π1 (𝑓‘1)) = 𝑄)
2520, 24oveq12d 6831 . . . 4 (((𝐽 ∈ PConn ∧ 𝐴𝑋𝐵𝑋) ∧ (𝑓 ∈ (II Cn 𝐽) ∧ ((𝑓‘0) = 𝐴 ∧ (𝑓‘1) = 𝐵))) → ((𝐽 π1 (𝑓‘0)) GrpIso (𝐽 π1 (𝑓‘1))) = (𝑃 GrpIso 𝑄))
2616, 25eleqtrd 2841 . . 3 (((𝐽 ∈ PConn ∧ 𝐴𝑋𝐵𝑋) ∧ (𝑓 ∈ (II Cn 𝐽) ∧ ((𝑓‘0) = 𝐴 ∧ (𝑓‘1) = 𝐵))) → ran ( (Base‘(𝐽 π1 (𝑓‘0))) ↦ ⟨[]( ≃ph𝐽), [((𝑥 ∈ (0[,]1) ↦ (𝑓‘(1 − 𝑥)))(*𝑝𝐽)((*𝑝𝐽)𝑓))]( ≃ph𝐽)⟩) ∈ (𝑃 GrpIso 𝑄))
27 brgici 17913 . . 3 (ran ( (Base‘(𝐽 π1 (𝑓‘0))) ↦ ⟨[]( ≃ph𝐽), [((𝑥 ∈ (0[,]1) ↦ (𝑓‘(1 − 𝑥)))(*𝑝𝐽)((*𝑝𝐽)𝑓))]( ≃ph𝐽)⟩) ∈ (𝑃 GrpIso 𝑄) → 𝑃𝑔 𝑄)
2826, 27syl 17 . 2 (((𝐽 ∈ PConn ∧ 𝐴𝑋𝐵𝑋) ∧ (𝑓 ∈ (II Cn 𝐽) ∧ ((𝑓‘0) = 𝐴 ∧ (𝑓‘1) = 𝐵))) → 𝑃𝑔 𝑄)
292, 28rexlimddv 3173 1 ((𝐽 ∈ PConn ∧ 𝐴𝑋𝐵𝑋) → 𝑃𝑔 𝑄)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 383  w3a 1072   = wceq 1632  wcel 2139  cop 4327   cuni 4588   class class class wbr 4804  cmpt 4881  ran crn 5267  cfv 6049  (class class class)co 6813  [cec 7909  0cc0 10128  1c1 10129  cmin 10458  [,]cicc 12371  Basecbs 16059   GrpIso cgim 17900  𝑔 cgic 17901  Topctop 20900  TopOnctopon 20917   Cn ccn 21230  IIcii 22879  phcphtpc 22969  *𝑝cpco 23000   π1 cpi1 23003  PConncpconn 31508
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1871  ax-4 1886  ax-5 1988  ax-6 2054  ax-7 2090  ax-8 2141  ax-9 2148  ax-10 2168  ax-11 2183  ax-12 2196  ax-13 2391  ax-ext 2740  ax-rep 4923  ax-sep 4933  ax-nul 4941  ax-pow 4992  ax-pr 5055  ax-un 7114  ax-inf2 8711  ax-cnex 10184  ax-resscn 10185  ax-1cn 10186  ax-icn 10187  ax-addcl 10188  ax-addrcl 10189  ax-mulcl 10190  ax-mulrcl 10191  ax-mulcom 10192  ax-addass 10193  ax-mulass 10194  ax-distr 10195  ax-i2m1 10196  ax-1ne0 10197  ax-1rid 10198  ax-rnegex 10199  ax-rrecex 10200  ax-cnre 10201  ax-pre-lttri 10202  ax-pre-lttrn 10203  ax-pre-ltadd 10204  ax-pre-mulgt0 10205  ax-pre-sup 10206  ax-addf 10207  ax-mulf 10208
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1073  df-3an 1074  df-tru 1635  df-ex 1854  df-nf 1859  df-sb 2047  df-eu 2611  df-mo 2612  df-clab 2747  df-cleq 2753  df-clel 2756  df-nfc 2891  df-ne 2933  df-nel 3036  df-ral 3055  df-rex 3056  df-reu 3057  df-rmo 3058  df-rab 3059  df-v 3342  df-sbc 3577  df-csb 3675  df-dif 3718  df-un 3720  df-in 3722  df-ss 3729  df-pss 3731  df-nul 4059  df-if 4231  df-pw 4304  df-sn 4322  df-pr 4324  df-tp 4326  df-op 4328  df-uni 4589  df-int 4628  df-iun 4674  df-iin 4675  df-br 4805  df-opab 4865  df-mpt 4882  df-tr 4905  df-id 5174  df-eprel 5179  df-po 5187  df-so 5188  df-fr 5225  df-se 5226  df-we 5227  df-xp 5272  df-rel 5273  df-cnv 5274  df-co 5275  df-dm 5276  df-rn 5277  df-res 5278  df-ima 5279  df-pred 5841  df-ord 5887  df-on 5888  df-lim 5889  df-suc 5890  df-iota 6012  df-fun 6051  df-fn 6052  df-f 6053  df-f1 6054  df-fo 6055  df-f1o 6056  df-fv 6057  df-isom 6058  df-riota 6774  df-ov 6816  df-oprab 6817  df-mpt2 6818  df-of 7062  df-om 7231  df-1st 7333  df-2nd 7334  df-supp 7464  df-wrecs 7576  df-recs 7637  df-rdg 7675  df-1o 7729  df-2o 7730  df-oadd 7733  df-er 7911  df-ec 7913  df-qs 7917  df-map 8025  df-ixp 8075  df-en 8122  df-dom 8123  df-sdom 8124  df-fin 8125  df-fsupp 8441  df-fi 8482  df-sup 8513  df-inf 8514  df-oi 8580  df-card 8955  df-cda 9182  df-pnf 10268  df-mnf 10269  df-xr 10270  df-ltxr 10271  df-le 10272  df-sub 10460  df-neg 10461  df-div 10877  df-nn 11213  df-2 11271  df-3 11272  df-4 11273  df-5 11274  df-6 11275  df-7 11276  df-8 11277  df-9 11278  df-n0 11485  df-z 11570  df-dec 11686  df-uz 11880  df-q 11982  df-rp 12026  df-xneg 12139  df-xadd 12140  df-xmul 12141  df-ioo 12372  df-icc 12375  df-fz 12520  df-fzo 12660  df-seq 12996  df-exp 13055  df-hash 13312  df-cj 14038  df-re 14039  df-im 14040  df-sqrt 14174  df-abs 14175  df-struct 16061  df-ndx 16062  df-slot 16063  df-base 16065  df-sets 16066  df-ress 16067  df-plusg 16156  df-mulr 16157  df-starv 16158  df-sca 16159  df-vsca 16160  df-ip 16161  df-tset 16162  df-ple 16163  df-ds 16166  df-unif 16167  df-hom 16168  df-cco 16169  df-rest 16285  df-topn 16286  df-0g 16304  df-gsum 16305  df-topgen 16306  df-pt 16307  df-prds 16310  df-xrs 16364  df-qtop 16369  df-imas 16370  df-qus 16371  df-xps 16372  df-mre 16448  df-mrc 16449  df-acs 16451  df-mgm 17443  df-sgrp 17485  df-mnd 17496  df-submnd 17537  df-grp 17626  df-mulg 17742  df-ghm 17859  df-gim 17902  df-gic 17903  df-cntz 17950  df-cmn 18395  df-psmet 19940  df-xmet 19941  df-met 19942  df-bl 19943  df-mopn 19944  df-cnfld 19949  df-top 20901  df-topon 20918  df-topsp 20939  df-bases 20952  df-cld 21025  df-cn 21233  df-cnp 21234  df-tx 21567  df-hmeo 21760  df-xms 22326  df-ms 22327  df-tms 22328  df-ii 22881  df-htpy 22970  df-phtpy 22971  df-phtpc 22992  df-pco 23005  df-om1 23006  df-pi1 23008  df-pconn 31510
This theorem is referenced by:  sconnpi1  31528
  Copyright terms: Public domain W3C validator