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Theorem pcorevlem 23557
Description: Lemma for pcorev 23558. Prove continuity of the homotopy function. (Contributed by Jeff Madsen, 11-Jun-2010.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 8-Jun-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
pcorev.1 𝐺 = (𝑥 ∈ (0[,]1) ↦ (𝐹‘(1 − 𝑥)))
pcorev.2 𝑃 = ((0[,]1) × {(𝐹‘1)})
pcorevlem.3 𝐻 = (𝑠 ∈ (0[,]1), 𝑡 ∈ (0[,]1) ↦ (𝐹‘if(𝑠 ≤ (1 / 2), (1 − ((1 − 𝑡) · (2 · 𝑠))), (1 − ((1 − 𝑡) · (1 − ((2 · 𝑠) − 1)))))))
Assertion
Ref Expression
pcorevlem (𝐹 ∈ (II Cn 𝐽) → (𝐻 ∈ ((𝐺(*𝑝𝐽)𝐹)(PHtpy‘𝐽)𝑃) ∧ (𝐺(*𝑝𝐽)𝐹)( ≃ph𝐽)𝑃))
Distinct variable groups:   𝑡,𝑠,𝑥,𝐹   𝐺,𝑠,𝑡   𝐽,𝑠,𝑡,𝑥   𝑃,𝑠,𝑡,𝑥
Allowed substitution hints:   𝐺(𝑥)   𝐻(𝑥,𝑡,𝑠)

Proof of Theorem pcorevlem
Dummy variable 𝑦 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 pcorev.1 . . . . 5 𝐺 = (𝑥 ∈ (0[,]1) ↦ (𝐹‘(1 − 𝑥)))
2 iitopon 23414 . . . . . . 7 II ∈ (TopOn‘(0[,]1))
32a1i 11 . . . . . 6 (𝐹 ∈ (II Cn 𝐽) → II ∈ (TopOn‘(0[,]1)))
4 iirevcn 23461 . . . . . . 7 (𝑥 ∈ (0[,]1) ↦ (1 − 𝑥)) ∈ (II Cn II)
54a1i 11 . . . . . 6 (𝐹 ∈ (II Cn 𝐽) → (𝑥 ∈ (0[,]1) ↦ (1 − 𝑥)) ∈ (II Cn II))
6 id 22 . . . . . 6 (𝐹 ∈ (II Cn 𝐽) → 𝐹 ∈ (II Cn 𝐽))
73, 5, 6cnmpt11f 22200 . . . . 5 (𝐹 ∈ (II Cn 𝐽) → (𝑥 ∈ (0[,]1) ↦ (𝐹‘(1 − 𝑥))) ∈ (II Cn 𝐽))
81, 7eqeltrid 2914 . . . 4 (𝐹 ∈ (II Cn 𝐽) → 𝐺 ∈ (II Cn 𝐽))
9 1elunit 12844 . . . . 5 1 ∈ (0[,]1)
10 oveq2 7153 . . . . . . . 8 (𝑥 = 1 → (1 − 𝑥) = (1 − 1))
11 1m1e0 11697 . . . . . . . 8 (1 − 1) = 0
1210, 11syl6eq 2869 . . . . . . 7 (𝑥 = 1 → (1 − 𝑥) = 0)
1312fveq2d 6667 . . . . . 6 (𝑥 = 1 → (𝐹‘(1 − 𝑥)) = (𝐹‘0))
14 fvex 6676 . . . . . 6 (𝐹‘0) ∈ V
1513, 1, 14fvmpt 6761 . . . . 5 (1 ∈ (0[,]1) → (𝐺‘1) = (𝐹‘0))
169, 15mp1i 13 . . . 4 (𝐹 ∈ (II Cn 𝐽) → (𝐺‘1) = (𝐹‘0))
178, 6, 16pcocn 23548 . . 3 (𝐹 ∈ (II Cn 𝐽) → (𝐺(*𝑝𝐽)𝐹) ∈ (II Cn 𝐽))
18 cntop2 21777 . . . . . 6 (𝐹 ∈ (II Cn 𝐽) → 𝐽 ∈ Top)
19 toptopon2 21454 . . . . . 6 (𝐽 ∈ Top ↔ 𝐽 ∈ (TopOn‘ 𝐽))
2018, 19sylib 219 . . . . 5 (𝐹 ∈ (II Cn 𝐽) → 𝐽 ∈ (TopOn‘ 𝐽))
21 iiuni 23416 . . . . . . 7 (0[,]1) = II
22 eqid 2818 . . . . . . 7 𝐽 = 𝐽
2321, 22cnf 21782 . . . . . 6 (𝐹 ∈ (II Cn 𝐽) → 𝐹:(0[,]1)⟶ 𝐽)
24 ffvelrn 6841 . . . . . 6 ((𝐹:(0[,]1)⟶ 𝐽 ∧ 1 ∈ (0[,]1)) → (𝐹‘1) ∈ 𝐽)
2523, 9, 24sylancl 586 . . . . 5 (𝐹 ∈ (II Cn 𝐽) → (𝐹‘1) ∈ 𝐽)
26 pcorev.2 . . . . . 6 𝑃 = ((0[,]1) × {(𝐹‘1)})
2726pcoptcl 23552 . . . . 5 ((𝐽 ∈ (TopOn‘ 𝐽) ∧ (𝐹‘1) ∈ 𝐽) → (𝑃 ∈ (II Cn 𝐽) ∧ (𝑃‘0) = (𝐹‘1) ∧ (𝑃‘1) = (𝐹‘1)))
2820, 25, 27syl2anc 584 . . . 4 (𝐹 ∈ (II Cn 𝐽) → (𝑃 ∈ (II Cn 𝐽) ∧ (𝑃‘0) = (𝐹‘1) ∧ (𝑃‘1) = (𝐹‘1)))
2928simp1d 1134 . . 3 (𝐹 ∈ (II Cn 𝐽) → 𝑃 ∈ (II Cn 𝐽))
30 pcorevlem.3 . . . 4 𝐻 = (𝑠 ∈ (0[,]1), 𝑡 ∈ (0[,]1) ↦ (𝐹‘if(𝑠 ≤ (1 / 2), (1 − ((1 − 𝑡) · (2 · 𝑠))), (1 − ((1 − 𝑡) · (1 − ((2 · 𝑠) − 1)))))))
31 eqid 2818 . . . . . 6 (topGen‘ran (,)) = (topGen‘ran (,))
32 eqid 2818 . . . . . 6 ((topGen‘ran (,)) ↾t (0[,](1 / 2))) = ((topGen‘ran (,)) ↾t (0[,](1 / 2)))
33 eqid 2818 . . . . . 6 ((topGen‘ran (,)) ↾t ((1 / 2)[,]1)) = ((topGen‘ran (,)) ↾t ((1 / 2)[,]1))
34 dfii2 23417 . . . . . 6 II = ((topGen‘ran (,)) ↾t (0[,]1))
35 0red 10632 . . . . . 6 (𝐹 ∈ (II Cn 𝐽) → 0 ∈ ℝ)
36 1red 10630 . . . . . 6 (𝐹 ∈ (II Cn 𝐽) → 1 ∈ ℝ)
37 halfre 11839 . . . . . . . 8 (1 / 2) ∈ ℝ
38 halfge0 11842 . . . . . . . 8 0 ≤ (1 / 2)
39 1re 10629 . . . . . . . . 9 1 ∈ ℝ
40 halflt1 11843 . . . . . . . . 9 (1 / 2) < 1
4137, 39, 40ltleii 10751 . . . . . . . 8 (1 / 2) ≤ 1
42 elicc01 12842 . . . . . . . 8 ((1 / 2) ∈ (0[,]1) ↔ ((1 / 2) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (1 / 2) ∧ (1 / 2) ≤ 1))
4337, 38, 41, 42mpbir3an 1333 . . . . . . 7 (1 / 2) ∈ (0[,]1)
4443a1i 11 . . . . . 6 (𝐹 ∈ (II Cn 𝐽) → (1 / 2) ∈ (0[,]1))
45 simprl 767 . . . . . . . . . . 11 ((𝐹 ∈ (II Cn 𝐽) ∧ (𝑠 = (1 / 2) ∧ 𝑡 ∈ (0[,]1))) → 𝑠 = (1 / 2))
4645oveq2d 7161 . . . . . . . . . 10 ((𝐹 ∈ (II Cn 𝐽) ∧ (𝑠 = (1 / 2) ∧ 𝑡 ∈ (0[,]1))) → (2 · 𝑠) = (2 · (1 / 2)))
47 2cn 11700 . . . . . . . . . . 11 2 ∈ ℂ
48 2ne0 11729 . . . . . . . . . . 11 2 ≠ 0
4947, 48recidi 11359 . . . . . . . . . 10 (2 · (1 / 2)) = 1
5046, 49syl6eq 2869 . . . . . . . . 9 ((𝐹 ∈ (II Cn 𝐽) ∧ (𝑠 = (1 / 2) ∧ 𝑡 ∈ (0[,]1))) → (2 · 𝑠) = 1)
5150oveq1d 7160 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐹 ∈ (II Cn 𝐽) ∧ (𝑠 = (1 / 2) ∧ 𝑡 ∈ (0[,]1))) → ((2 · 𝑠) − 1) = (1 − 1))
5251, 11syl6eq 2869 . . . . . . . . . . 11 ((𝐹 ∈ (II Cn 𝐽) ∧ (𝑠 = (1 / 2) ∧ 𝑡 ∈ (0[,]1))) → ((2 · 𝑠) − 1) = 0)
5352oveq2d 7161 . . . . . . . . . 10 ((𝐹 ∈ (II Cn 𝐽) ∧ (𝑠 = (1 / 2) ∧ 𝑡 ∈ (0[,]1))) → (1 − ((2 · 𝑠) − 1)) = (1 − 0))
54 1m0e1 11746 . . . . . . . . . 10 (1 − 0) = 1
5553, 54syl6eq 2869 . . . . . . . . 9 ((𝐹 ∈ (II Cn 𝐽) ∧ (𝑠 = (1 / 2) ∧ 𝑡 ∈ (0[,]1))) → (1 − ((2 · 𝑠) − 1)) = 1)
5650, 55eqtr4d 2856 . . . . . . . 8 ((𝐹 ∈ (II Cn 𝐽) ∧ (𝑠 = (1 / 2) ∧ 𝑡 ∈ (0[,]1))) → (2 · 𝑠) = (1 − ((2 · 𝑠) − 1)))
5756oveq2d 7161 . . . . . . 7 ((𝐹 ∈ (II Cn 𝐽) ∧ (𝑠 = (1 / 2) ∧ 𝑡 ∈ (0[,]1))) → ((1 − 𝑡) · (2 · 𝑠)) = ((1 − 𝑡) · (1 − ((2 · 𝑠) − 1))))
5857oveq2d 7161 . . . . . 6 ((𝐹 ∈ (II Cn 𝐽) ∧ (𝑠 = (1 / 2) ∧ 𝑡 ∈ (0[,]1))) → (1 − ((1 − 𝑡) · (2 · 𝑠))) = (1 − ((1 − 𝑡) · (1 − ((2 · 𝑠) − 1)))))
59 retopon 23299 . . . . . . . . 9 (topGen‘ran (,)) ∈ (TopOn‘ℝ)
60 0re 10631 . . . . . . . . . 10 0 ∈ ℝ
61 iccssre 12806 . . . . . . . . . 10 ((0 ∈ ℝ ∧ (1 / 2) ∈ ℝ) → (0[,](1 / 2)) ⊆ ℝ)
6260, 37, 61mp2an 688 . . . . . . . . 9 (0[,](1 / 2)) ⊆ ℝ
63 resttopon 21697 . . . . . . . . 9 (((topGen‘ran (,)) ∈ (TopOn‘ℝ) ∧ (0[,](1 / 2)) ⊆ ℝ) → ((topGen‘ran (,)) ↾t (0[,](1 / 2))) ∈ (TopOn‘(0[,](1 / 2))))
6459, 62, 63mp2an 688 . . . . . . . 8 ((topGen‘ran (,)) ↾t (0[,](1 / 2))) ∈ (TopOn‘(0[,](1 / 2)))
6564a1i 11 . . . . . . 7 (𝐹 ∈ (II Cn 𝐽) → ((topGen‘ran (,)) ↾t (0[,](1 / 2))) ∈ (TopOn‘(0[,](1 / 2))))
6665, 3cnmpt2nd 22205 . . . . . . . . 9 (𝐹 ∈ (II Cn 𝐽) → (𝑠 ∈ (0[,](1 / 2)), 𝑡 ∈ (0[,]1) ↦ 𝑡) ∈ ((((topGen‘ran (,)) ↾t (0[,](1 / 2))) ×t II) Cn II))
67 oveq2 7153 . . . . . . . . 9 (𝑥 = 𝑡 → (1 − 𝑥) = (1 − 𝑡))
6865, 3, 66, 3, 5, 67cnmpt21 22207 . . . . . . . 8 (𝐹 ∈ (II Cn 𝐽) → (𝑠 ∈ (0[,](1 / 2)), 𝑡 ∈ (0[,]1) ↦ (1 − 𝑡)) ∈ ((((topGen‘ran (,)) ↾t (0[,](1 / 2))) ×t II) Cn II))
6965, 3cnmpt1st 22204 . . . . . . . . 9 (𝐹 ∈ (II Cn 𝐽) → (𝑠 ∈ (0[,](1 / 2)), 𝑡 ∈ (0[,]1) ↦ 𝑠) ∈ ((((topGen‘ran (,)) ↾t (0[,](1 / 2))) ×t II) Cn ((topGen‘ran (,)) ↾t (0[,](1 / 2)))))
7032iihalf1cn 23463 . . . . . . . . . 10 (𝑥 ∈ (0[,](1 / 2)) ↦ (2 · 𝑥)) ∈ (((topGen‘ran (,)) ↾t (0[,](1 / 2))) Cn II)
7170a1i 11 . . . . . . . . 9 (𝐹 ∈ (II Cn 𝐽) → (𝑥 ∈ (0[,](1 / 2)) ↦ (2 · 𝑥)) ∈ (((topGen‘ran (,)) ↾t (0[,](1 / 2))) Cn II))
72 oveq2 7153 . . . . . . . . 9 (𝑥 = 𝑠 → (2 · 𝑥) = (2 · 𝑠))
7365, 3, 69, 65, 71, 72cnmpt21 22207 . . . . . . . 8 (𝐹 ∈ (II Cn 𝐽) → (𝑠 ∈ (0[,](1 / 2)), 𝑡 ∈ (0[,]1) ↦ (2 · 𝑠)) ∈ ((((topGen‘ran (,)) ↾t (0[,](1 / 2))) ×t II) Cn II))
74 iimulcn 23469 . . . . . . . . 9 (𝑥 ∈ (0[,]1), 𝑦 ∈ (0[,]1) ↦ (𝑥 · 𝑦)) ∈ ((II ×t II) Cn II)
7574a1i 11 . . . . . . . 8 (𝐹 ∈ (II Cn 𝐽) → (𝑥 ∈ (0[,]1), 𝑦 ∈ (0[,]1) ↦ (𝑥 · 𝑦)) ∈ ((II ×t II) Cn II))
76 oveq12 7154 . . . . . . . 8 ((𝑥 = (1 − 𝑡) ∧ 𝑦 = (2 · 𝑠)) → (𝑥 · 𝑦) = ((1 − 𝑡) · (2 · 𝑠)))
7765, 3, 68, 73, 3, 3, 75, 76cnmpt22 22210 . . . . . . 7 (𝐹 ∈ (II Cn 𝐽) → (𝑠 ∈ (0[,](1 / 2)), 𝑡 ∈ (0[,]1) ↦ ((1 − 𝑡) · (2 · 𝑠))) ∈ ((((topGen‘ran (,)) ↾t (0[,](1 / 2))) ×t II) Cn II))
78 oveq2 7153 . . . . . . 7 (𝑥 = ((1 − 𝑡) · (2 · 𝑠)) → (1 − 𝑥) = (1 − ((1 − 𝑡) · (2 · 𝑠))))
7965, 3, 77, 3, 5, 78cnmpt21 22207 . . . . . 6 (𝐹 ∈ (II Cn 𝐽) → (𝑠 ∈ (0[,](1 / 2)), 𝑡 ∈ (0[,]1) ↦ (1 − ((1 − 𝑡) · (2 · 𝑠)))) ∈ ((((topGen‘ran (,)) ↾t (0[,](1 / 2))) ×t II) Cn II))
80 iccssre 12806 . . . . . . . . . 10 (((1 / 2) ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ) → ((1 / 2)[,]1) ⊆ ℝ)
8137, 39, 80mp2an 688 . . . . . . . . 9 ((1 / 2)[,]1) ⊆ ℝ
82 resttopon 21697 . . . . . . . . 9 (((topGen‘ran (,)) ∈ (TopOn‘ℝ) ∧ ((1 / 2)[,]1) ⊆ ℝ) → ((topGen‘ran (,)) ↾t ((1 / 2)[,]1)) ∈ (TopOn‘((1 / 2)[,]1)))
8359, 81, 82mp2an 688 . . . . . . . 8 ((topGen‘ran (,)) ↾t ((1 / 2)[,]1)) ∈ (TopOn‘((1 / 2)[,]1))
8483a1i 11 . . . . . . 7 (𝐹 ∈ (II Cn 𝐽) → ((topGen‘ran (,)) ↾t ((1 / 2)[,]1)) ∈ (TopOn‘((1 / 2)[,]1)))
8584, 3cnmpt2nd 22205 . . . . . . . . 9 (𝐹 ∈ (II Cn 𝐽) → (𝑠 ∈ ((1 / 2)[,]1), 𝑡 ∈ (0[,]1) ↦ 𝑡) ∈ ((((topGen‘ran (,)) ↾t ((1 / 2)[,]1)) ×t II) Cn II))
8684, 3, 85, 3, 5, 67cnmpt21 22207 . . . . . . . 8 (𝐹 ∈ (II Cn 𝐽) → (𝑠 ∈ ((1 / 2)[,]1), 𝑡 ∈ (0[,]1) ↦ (1 − 𝑡)) ∈ ((((topGen‘ran (,)) ↾t ((1 / 2)[,]1)) ×t II) Cn II))
8784, 3cnmpt1st 22204 . . . . . . . . . 10 (𝐹 ∈ (II Cn 𝐽) → (𝑠 ∈ ((1 / 2)[,]1), 𝑡 ∈ (0[,]1) ↦ 𝑠) ∈ ((((topGen‘ran (,)) ↾t ((1 / 2)[,]1)) ×t II) Cn ((topGen‘ran (,)) ↾t ((1 / 2)[,]1))))
8833iihalf2cn 23465 . . . . . . . . . . 11 (𝑥 ∈ ((1 / 2)[,]1) ↦ ((2 · 𝑥) − 1)) ∈ (((topGen‘ran (,)) ↾t ((1 / 2)[,]1)) Cn II)
8988a1i 11 . . . . . . . . . 10 (𝐹 ∈ (II Cn 𝐽) → (𝑥 ∈ ((1 / 2)[,]1) ↦ ((2 · 𝑥) − 1)) ∈ (((topGen‘ran (,)) ↾t ((1 / 2)[,]1)) Cn II))
9072oveq1d 7160 . . . . . . . . . 10 (𝑥 = 𝑠 → ((2 · 𝑥) − 1) = ((2 · 𝑠) − 1))
9184, 3, 87, 84, 89, 90cnmpt21 22207 . . . . . . . . 9 (𝐹 ∈ (II Cn 𝐽) → (𝑠 ∈ ((1 / 2)[,]1), 𝑡 ∈ (0[,]1) ↦ ((2 · 𝑠) − 1)) ∈ ((((topGen‘ran (,)) ↾t ((1 / 2)[,]1)) ×t II) Cn II))
92 oveq2 7153 . . . . . . . . 9 (𝑥 = ((2 · 𝑠) − 1) → (1 − 𝑥) = (1 − ((2 · 𝑠) − 1)))
9384, 3, 91, 3, 5, 92cnmpt21 22207 . . . . . . . 8 (𝐹 ∈ (II Cn 𝐽) → (𝑠 ∈ ((1 / 2)[,]1), 𝑡 ∈ (0[,]1) ↦ (1 − ((2 · 𝑠) − 1))) ∈ ((((topGen‘ran (,)) ↾t ((1 / 2)[,]1)) ×t II) Cn II))
94 oveq12 7154 . . . . . . . 8 ((𝑥 = (1 − 𝑡) ∧ 𝑦 = (1 − ((2 · 𝑠) − 1))) → (𝑥 · 𝑦) = ((1 − 𝑡) · (1 − ((2 · 𝑠) − 1))))
9584, 3, 86, 93, 3, 3, 75, 94cnmpt22 22210 . . . . . . 7 (𝐹 ∈ (II Cn 𝐽) → (𝑠 ∈ ((1 / 2)[,]1), 𝑡 ∈ (0[,]1) ↦ ((1 − 𝑡) · (1 − ((2 · 𝑠) − 1)))) ∈ ((((topGen‘ran (,)) ↾t ((1 / 2)[,]1)) ×t II) Cn II))
96 oveq2 7153 . . . . . . 7 (𝑥 = ((1 − 𝑡) · (1 − ((2 · 𝑠) − 1))) → (1 − 𝑥) = (1 − ((1 − 𝑡) · (1 − ((2 · 𝑠) − 1)))))
9784, 3, 95, 3, 5, 96cnmpt21 22207 . . . . . 6 (𝐹 ∈ (II Cn 𝐽) → (𝑠 ∈ ((1 / 2)[,]1), 𝑡 ∈ (0[,]1) ↦ (1 − ((1 − 𝑡) · (1 − ((2 · 𝑠) − 1))))) ∈ ((((topGen‘ran (,)) ↾t ((1 / 2)[,]1)) ×t II) Cn II))
9831, 32, 33, 34, 35, 36, 44, 3, 58, 79, 97cnmpopc 23459 . . . . 5 (𝐹 ∈ (II Cn 𝐽) → (𝑠 ∈ (0[,]1), 𝑡 ∈ (0[,]1) ↦ if(𝑠 ≤ (1 / 2), (1 − ((1 − 𝑡) · (2 · 𝑠))), (1 − ((1 − 𝑡) · (1 − ((2 · 𝑠) − 1)))))) ∈ ((II ×t II) Cn II))
993, 3, 98, 6cnmpt21f 22208 . . . 4 (𝐹 ∈ (II Cn 𝐽) → (𝑠 ∈ (0[,]1), 𝑡 ∈ (0[,]1) ↦ (𝐹‘if(𝑠 ≤ (1 / 2), (1 − ((1 − 𝑡) · (2 · 𝑠))), (1 − ((1 − 𝑡) · (1 − ((2 · 𝑠) − 1))))))) ∈ ((II ×t II) Cn 𝐽))
10030, 99eqeltrid 2914 . . 3 (𝐹 ∈ (II Cn 𝐽) → 𝐻 ∈ ((II ×t II) Cn 𝐽))
101 simpr 485 . . . . 5 ((𝐹 ∈ (II Cn 𝐽) ∧ 𝑦 ∈ (0[,]1)) → 𝑦 ∈ (0[,]1))
102 0elunit 12843 . . . . 5 0 ∈ (0[,]1)
103 simpl 483 . . . . . . . . 9 ((𝑠 = 𝑦𝑡 = 0) → 𝑠 = 𝑦)
104103breq1d 5067 . . . . . . . 8 ((𝑠 = 𝑦𝑡 = 0) → (𝑠 ≤ (1 / 2) ↔ 𝑦 ≤ (1 / 2)))
105 simpr 485 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑠 = 𝑦𝑡 = 0) → 𝑡 = 0)
106105oveq2d 7161 . . . . . . . . . . 11 ((𝑠 = 𝑦𝑡 = 0) → (1 − 𝑡) = (1 − 0))
107106, 54syl6eq 2869 . . . . . . . . . 10 ((𝑠 = 𝑦𝑡 = 0) → (1 − 𝑡) = 1)
108103oveq2d 7161 . . . . . . . . . 10 ((𝑠 = 𝑦𝑡 = 0) → (2 · 𝑠) = (2 · 𝑦))
109107, 108oveq12d 7163 . . . . . . . . 9 ((𝑠 = 𝑦𝑡 = 0) → ((1 − 𝑡) · (2 · 𝑠)) = (1 · (2 · 𝑦)))
110109oveq2d 7161 . . . . . . . 8 ((𝑠 = 𝑦𝑡 = 0) → (1 − ((1 − 𝑡) · (2 · 𝑠))) = (1 − (1 · (2 · 𝑦))))
111108oveq1d 7160 . . . . . . . . . . 11 ((𝑠 = 𝑦𝑡 = 0) → ((2 · 𝑠) − 1) = ((2 · 𝑦) − 1))
112111oveq2d 7161 . . . . . . . . . 10 ((𝑠 = 𝑦𝑡 = 0) → (1 − ((2 · 𝑠) − 1)) = (1 − ((2 · 𝑦) − 1)))
113107, 112oveq12d 7163 . . . . . . . . 9 ((𝑠 = 𝑦𝑡 = 0) → ((1 − 𝑡) · (1 − ((2 · 𝑠) − 1))) = (1 · (1 − ((2 · 𝑦) − 1))))
114113oveq2d 7161 . . . . . . . 8 ((𝑠 = 𝑦𝑡 = 0) → (1 − ((1 − 𝑡) · (1 − ((2 · 𝑠) − 1)))) = (1 − (1 · (1 − ((2 · 𝑦) − 1)))))
115104, 110, 114ifbieq12d 4490 . . . . . . 7 ((𝑠 = 𝑦𝑡 = 0) → if(𝑠 ≤ (1 / 2), (1 − ((1 − 𝑡) · (2 · 𝑠))), (1 − ((1 − 𝑡) · (1 − ((2 · 𝑠) − 1))))) = if(𝑦 ≤ (1 / 2), (1 − (1 · (2 · 𝑦))), (1 − (1 · (1 − ((2 · 𝑦) − 1))))))
116115fveq2d 6667 . . . . . 6 ((𝑠 = 𝑦𝑡 = 0) → (𝐹‘if(𝑠 ≤ (1 / 2), (1 − ((1 − 𝑡) · (2 · 𝑠))), (1 − ((1 − 𝑡) · (1 − ((2 · 𝑠) − 1)))))) = (𝐹‘if(𝑦 ≤ (1 / 2), (1 − (1 · (2 · 𝑦))), (1 − (1 · (1 − ((2 · 𝑦) − 1)))))))
117 fvex 6676 . . . . . 6 (𝐹‘if(𝑦 ≤ (1 / 2), (1 − (1 · (2 · 𝑦))), (1 − (1 · (1 − ((2 · 𝑦) − 1)))))) ∈ V
118116, 30, 117ovmpoa 7294 . . . . 5 ((𝑦 ∈ (0[,]1) ∧ 0 ∈ (0[,]1)) → (𝑦𝐻0) = (𝐹‘if(𝑦 ≤ (1 / 2), (1 − (1 · (2 · 𝑦))), (1 − (1 · (1 − ((2 · 𝑦) − 1)))))))
119101, 102, 118sylancl 586 . . . 4 ((𝐹 ∈ (II Cn 𝐽) ∧ 𝑦 ∈ (0[,]1)) → (𝑦𝐻0) = (𝐹‘if(𝑦 ≤ (1 / 2), (1 − (1 · (2 · 𝑦))), (1 − (1 · (1 − ((2 · 𝑦) − 1)))))))
120 iftrue 4469 . . . . . . . 8 (𝑦 ≤ (1 / 2) → if(𝑦 ≤ (1 / 2), (1 − (1 · (2 · 𝑦))), (1 − (1 · (1 − ((2 · 𝑦) − 1))))) = (1 − (1 · (2 · 𝑦))))
121120adantl 482 . . . . . . 7 (((𝐹 ∈ (II Cn 𝐽) ∧ 𝑦 ∈ (0[,]1)) ∧ 𝑦 ≤ (1 / 2)) → if(𝑦 ≤ (1 / 2), (1 − (1 · (2 · 𝑦))), (1 − (1 · (1 − ((2 · 𝑦) − 1))))) = (1 − (1 · (2 · 𝑦))))
122121fveq2d 6667 . . . . . 6 (((𝐹 ∈ (II Cn 𝐽) ∧ 𝑦 ∈ (0[,]1)) ∧ 𝑦 ≤ (1 / 2)) → (𝐹‘if(𝑦 ≤ (1 / 2), (1 − (1 · (2 · 𝑦))), (1 − (1 · (1 − ((2 · 𝑦) − 1)))))) = (𝐹‘(1 − (1 · (2 · 𝑦)))))
123 elii1 23466 . . . . . . . 8 (𝑦 ∈ (0[,](1 / 2)) ↔ (𝑦 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑦 ≤ (1 / 2)))
1248, 6pcoval1 23544 . . . . . . . . 9 ((𝐹 ∈ (II Cn 𝐽) ∧ 𝑦 ∈ (0[,](1 / 2))) → ((𝐺(*𝑝𝐽)𝐹)‘𝑦) = (𝐺‘(2 · 𝑦)))
125 iihalf1 23462 . . . . . . . . . . 11 (𝑦 ∈ (0[,](1 / 2)) → (2 · 𝑦) ∈ (0[,]1))
126125adantl 482 . . . . . . . . . 10 ((𝐹 ∈ (II Cn 𝐽) ∧ 𝑦 ∈ (0[,](1 / 2))) → (2 · 𝑦) ∈ (0[,]1))
127 oveq2 7153 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑥 = (2 · 𝑦) → (1 − 𝑥) = (1 − (2 · 𝑦)))
128127fveq2d 6667 . . . . . . . . . . . 12 (𝑥 = (2 · 𝑦) → (𝐹‘(1 − 𝑥)) = (𝐹‘(1 − (2 · 𝑦))))
129 fvex 6676 . . . . . . . . . . . 12 (𝐹‘(1 − (2 · 𝑦))) ∈ V
130128, 1, 129fvmpt 6761 . . . . . . . . . . 11 ((2 · 𝑦) ∈ (0[,]1) → (𝐺‘(2 · 𝑦)) = (𝐹‘(1 − (2 · 𝑦))))
131 unitssre 12873 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (0[,]1) ⊆ ℝ
132131sseli 3960 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((2 · 𝑦) ∈ (0[,]1) → (2 · 𝑦) ∈ ℝ)
133132recnd 10657 . . . . . . . . . . . . . 14 ((2 · 𝑦) ∈ (0[,]1) → (2 · 𝑦) ∈ ℂ)
134133mulid2d 10647 . . . . . . . . . . . . 13 ((2 · 𝑦) ∈ (0[,]1) → (1 · (2 · 𝑦)) = (2 · 𝑦))
135134oveq2d 7161 . . . . . . . . . . . 12 ((2 · 𝑦) ∈ (0[,]1) → (1 − (1 · (2 · 𝑦))) = (1 − (2 · 𝑦)))
136135fveq2d 6667 . . . . . . . . . . 11 ((2 · 𝑦) ∈ (0[,]1) → (𝐹‘(1 − (1 · (2 · 𝑦)))) = (𝐹‘(1 − (2 · 𝑦))))
137130, 136eqtr4d 2856 . . . . . . . . . 10 ((2 · 𝑦) ∈ (0[,]1) → (𝐺‘(2 · 𝑦)) = (𝐹‘(1 − (1 · (2 · 𝑦)))))
138126, 137syl 17 . . . . . . . . 9 ((𝐹 ∈ (II Cn 𝐽) ∧ 𝑦 ∈ (0[,](1 / 2))) → (𝐺‘(2 · 𝑦)) = (𝐹‘(1 − (1 · (2 · 𝑦)))))
139124, 138eqtrd 2853 . . . . . . . 8 ((𝐹 ∈ (II Cn 𝐽) ∧ 𝑦 ∈ (0[,](1 / 2))) → ((𝐺(*𝑝𝐽)𝐹)‘𝑦) = (𝐹‘(1 − (1 · (2 · 𝑦)))))
140123, 139sylan2br 594 . . . . . . 7 ((𝐹 ∈ (II Cn 𝐽) ∧ (𝑦 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑦 ≤ (1 / 2))) → ((𝐺(*𝑝𝐽)𝐹)‘𝑦) = (𝐹‘(1 − (1 · (2 · 𝑦)))))
141140anassrs 468 . . . . . 6 (((𝐹 ∈ (II Cn 𝐽) ∧ 𝑦 ∈ (0[,]1)) ∧ 𝑦 ≤ (1 / 2)) → ((𝐺(*𝑝𝐽)𝐹)‘𝑦) = (𝐹‘(1 − (1 · (2 · 𝑦)))))
142122, 141eqtr4d 2856 . . . . 5 (((𝐹 ∈ (II Cn 𝐽) ∧ 𝑦 ∈ (0[,]1)) ∧ 𝑦 ≤ (1 / 2)) → (𝐹‘if(𝑦 ≤ (1 / 2), (1 − (1 · (2 · 𝑦))), (1 − (1 · (1 − ((2 · 𝑦) − 1)))))) = ((𝐺(*𝑝𝐽)𝐹)‘𝑦))
143 iffalse 4472 . . . . . . . 8 𝑦 ≤ (1 / 2) → if(𝑦 ≤ (1 / 2), (1 − (1 · (2 · 𝑦))), (1 − (1 · (1 − ((2 · 𝑦) − 1))))) = (1 − (1 · (1 − ((2 · 𝑦) − 1)))))
144143adantl 482 . . . . . . 7 (((𝐹 ∈ (II Cn 𝐽) ∧ 𝑦 ∈ (0[,]1)) ∧ ¬ 𝑦 ≤ (1 / 2)) → if(𝑦 ≤ (1 / 2), (1 − (1 · (2 · 𝑦))), (1 − (1 · (1 − ((2 · 𝑦) − 1))))) = (1 − (1 · (1 − ((2 · 𝑦) − 1)))))
145144fveq2d 6667 . . . . . 6 (((𝐹 ∈ (II Cn 𝐽) ∧ 𝑦 ∈ (0[,]1)) ∧ ¬ 𝑦 ≤ (1 / 2)) → (𝐹‘if(𝑦 ≤ (1 / 2), (1 − (1 · (2 · 𝑦))), (1 − (1 · (1 − ((2 · 𝑦) − 1)))))) = (𝐹‘(1 − (1 · (1 − ((2 · 𝑦) − 1))))))
146 elii2 23467 . . . . . . . 8 ((𝑦 ∈ (0[,]1) ∧ ¬ 𝑦 ≤ (1 / 2)) → 𝑦 ∈ ((1 / 2)[,]1))
1478, 6, 16pcoval2 23547 . . . . . . . . 9 ((𝐹 ∈ (II Cn 𝐽) ∧ 𝑦 ∈ ((1 / 2)[,]1)) → ((𝐺(*𝑝𝐽)𝐹)‘𝑦) = (𝐹‘((2 · 𝑦) − 1)))
148 iihalf2 23464 . . . . . . . . . . . 12 (𝑦 ∈ ((1 / 2)[,]1) → ((2 · 𝑦) − 1) ∈ (0[,]1))
149148adantl 482 . . . . . . . . . . 11 ((𝐹 ∈ (II Cn 𝐽) ∧ 𝑦 ∈ ((1 / 2)[,]1)) → ((2 · 𝑦) − 1) ∈ (0[,]1))
150 ax-1cn 10583 . . . . . . . . . . . . . . 15 1 ∈ ℂ
151131sseli 3960 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((2 · 𝑦) − 1) ∈ (0[,]1) → ((2 · 𝑦) − 1) ∈ ℝ)
152151recnd 10657 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((2 · 𝑦) − 1) ∈ (0[,]1) → ((2 · 𝑦) − 1) ∈ ℂ)
153 subcl 10873 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((1 ∈ ℂ ∧ ((2 · 𝑦) − 1) ∈ ℂ) → (1 − ((2 · 𝑦) − 1)) ∈ ℂ)
154150, 152, 153sylancr 587 . . . . . . . . . . . . . 14 (((2 · 𝑦) − 1) ∈ (0[,]1) → (1 − ((2 · 𝑦) − 1)) ∈ ℂ)
155154mulid2d 10647 . . . . . . . . . . . . 13 (((2 · 𝑦) − 1) ∈ (0[,]1) → (1 · (1 − ((2 · 𝑦) − 1))) = (1 − ((2 · 𝑦) − 1)))
156155oveq2d 7161 . . . . . . . . . . . 12 (((2 · 𝑦) − 1) ∈ (0[,]1) → (1 − (1 · (1 − ((2 · 𝑦) − 1)))) = (1 − (1 − ((2 · 𝑦) − 1))))
157 nncan 10903 . . . . . . . . . . . . 13 ((1 ∈ ℂ ∧ ((2 · 𝑦) − 1) ∈ ℂ) → (1 − (1 − ((2 · 𝑦) − 1))) = ((2 · 𝑦) − 1))
158150, 152, 157sylancr 587 . . . . . . . . . . . 12 (((2 · 𝑦) − 1) ∈ (0[,]1) → (1 − (1 − ((2 · 𝑦) − 1))) = ((2 · 𝑦) − 1))
159156, 158eqtr2d 2854 . . . . . . . . . . 11 (((2 · 𝑦) − 1) ∈ (0[,]1) → ((2 · 𝑦) − 1) = (1 − (1 · (1 − ((2 · 𝑦) − 1)))))
160149, 159syl 17 . . . . . . . . . 10 ((𝐹 ∈ (II Cn 𝐽) ∧ 𝑦 ∈ ((1 / 2)[,]1)) → ((2 · 𝑦) − 1) = (1 − (1 · (1 − ((2 · 𝑦) − 1)))))
161160fveq2d 6667 . . . . . . . . 9 ((𝐹 ∈ (II Cn 𝐽) ∧ 𝑦 ∈ ((1 / 2)[,]1)) → (𝐹‘((2 · 𝑦) − 1)) = (𝐹‘(1 − (1 · (1 − ((2 · 𝑦) − 1))))))
162147, 161eqtrd 2853 . . . . . . . 8 ((𝐹 ∈ (II Cn 𝐽) ∧ 𝑦 ∈ ((1 / 2)[,]1)) → ((𝐺(*𝑝𝐽)𝐹)‘𝑦) = (𝐹‘(1 − (1 · (1 − ((2 · 𝑦) − 1))))))
163146, 162sylan2 592 . . . . . . 7 ((𝐹 ∈ (II Cn 𝐽) ∧ (𝑦 ∈ (0[,]1) ∧ ¬ 𝑦 ≤ (1 / 2))) → ((𝐺(*𝑝𝐽)𝐹)‘𝑦) = (𝐹‘(1 − (1 · (1 − ((2 · 𝑦) − 1))))))
164163anassrs 468 . . . . . 6 (((𝐹 ∈ (II Cn 𝐽) ∧ 𝑦 ∈ (0[,]1)) ∧ ¬ 𝑦 ≤ (1 / 2)) → ((𝐺(*𝑝𝐽)𝐹)‘𝑦) = (𝐹‘(1 − (1 · (1 − ((2 · 𝑦) − 1))))))
165145, 164eqtr4d 2856 . . . . 5 (((𝐹 ∈ (II Cn 𝐽) ∧ 𝑦 ∈ (0[,]1)) ∧ ¬ 𝑦 ≤ (1 / 2)) → (𝐹‘if(𝑦 ≤ (1 / 2), (1 − (1 · (2 · 𝑦))), (1 − (1 · (1 − ((2 · 𝑦) − 1)))))) = ((𝐺(*𝑝𝐽)𝐹)‘𝑦))
166142, 165pm2.61dan 809 . . . 4 ((𝐹 ∈ (II Cn 𝐽) ∧ 𝑦 ∈ (0[,]1)) → (𝐹‘if(𝑦 ≤ (1 / 2), (1 − (1 · (2 · 𝑦))), (1 − (1 · (1 − ((2 · 𝑦) − 1)))))) = ((𝐺(*𝑝𝐽)𝐹)‘𝑦))
167119, 166eqtrd 2853 . . 3 ((𝐹 ∈ (II Cn 𝐽) ∧ 𝑦 ∈ (0[,]1)) → (𝑦𝐻0) = ((𝐺(*𝑝𝐽)𝐹)‘𝑦))
168131sseli 3960 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑦 ∈ (0[,]1) → 𝑦 ∈ ℝ)
169168recnd 10657 . . . . . . . . . . . 12 (𝑦 ∈ (0[,]1) → 𝑦 ∈ ℂ)
170 mulcl 10609 . . . . . . . . . . . 12 ((2 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℂ) → (2 · 𝑦) ∈ ℂ)
17147, 169, 170sylancr 587 . . . . . . . . . . 11 (𝑦 ∈ (0[,]1) → (2 · 𝑦) ∈ ℂ)
172171adantl 482 . . . . . . . . . 10 ((𝐹 ∈ (II Cn 𝐽) ∧ 𝑦 ∈ (0[,]1)) → (2 · 𝑦) ∈ ℂ)
173172mul02d 10826 . . . . . . . . 9 ((𝐹 ∈ (II Cn 𝐽) ∧ 𝑦 ∈ (0[,]1)) → (0 · (2 · 𝑦)) = 0)
174173oveq2d 7161 . . . . . . . 8 ((𝐹 ∈ (II Cn 𝐽) ∧ 𝑦 ∈ (0[,]1)) → (1 − (0 · (2 · 𝑦))) = (1 − 0))
175174, 54syl6eq 2869 . . . . . . 7 ((𝐹 ∈ (II Cn 𝐽) ∧ 𝑦 ∈ (0[,]1)) → (1 − (0 · (2 · 𝑦))) = 1)
176 subcl 10873 . . . . . . . . . . . 12 (((2 · 𝑦) ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ) → ((2 · 𝑦) − 1) ∈ ℂ)
177172, 150, 176sylancl 586 . . . . . . . . . . 11 ((𝐹 ∈ (II Cn 𝐽) ∧ 𝑦 ∈ (0[,]1)) → ((2 · 𝑦) − 1) ∈ ℂ)
178150, 177, 153sylancr 587 . . . . . . . . . 10 ((𝐹 ∈ (II Cn 𝐽) ∧ 𝑦 ∈ (0[,]1)) → (1 − ((2 · 𝑦) − 1)) ∈ ℂ)
179178mul02d 10826 . . . . . . . . 9 ((𝐹 ∈ (II Cn 𝐽) ∧ 𝑦 ∈ (0[,]1)) → (0 · (1 − ((2 · 𝑦) − 1))) = 0)
180179oveq2d 7161 . . . . . . . 8 ((𝐹 ∈ (II Cn 𝐽) ∧ 𝑦 ∈ (0[,]1)) → (1 − (0 · (1 − ((2 · 𝑦) − 1)))) = (1 − 0))
181180, 54syl6eq 2869 . . . . . . 7 ((𝐹 ∈ (II Cn 𝐽) ∧ 𝑦 ∈ (0[,]1)) → (1 − (0 · (1 − ((2 · 𝑦) − 1)))) = 1)
182175, 181ifeq12d 4483 . . . . . 6 ((𝐹 ∈ (II Cn 𝐽) ∧ 𝑦 ∈ (0[,]1)) → if(𝑦 ≤ (1 / 2), (1 − (0 · (2 · 𝑦))), (1 − (0 · (1 − ((2 · 𝑦) − 1))))) = if(𝑦 ≤ (1 / 2), 1, 1))
183 ifid 4502 . . . . . 6 if(𝑦 ≤ (1 / 2), 1, 1) = 1
184182, 183syl6eq 2869 . . . . 5 ((𝐹 ∈ (II Cn 𝐽) ∧ 𝑦 ∈ (0[,]1)) → if(𝑦 ≤ (1 / 2), (1 − (0 · (2 · 𝑦))), (1 − (0 · (1 − ((2 · 𝑦) − 1))))) = 1)
185184fveq2d 6667 . . . 4 ((𝐹 ∈ (II Cn 𝐽) ∧ 𝑦 ∈ (0[,]1)) → (𝐹‘if(𝑦 ≤ (1 / 2), (1 − (0 · (2 · 𝑦))), (1 − (0 · (1 − ((2 · 𝑦) − 1)))))) = (𝐹‘1))
186 simpl 483 . . . . . . . . 9 ((𝑠 = 𝑦𝑡 = 1) → 𝑠 = 𝑦)
187186breq1d 5067 . . . . . . . 8 ((𝑠 = 𝑦𝑡 = 1) → (𝑠 ≤ (1 / 2) ↔ 𝑦 ≤ (1 / 2)))
188 simpr 485 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑠 = 𝑦𝑡 = 1) → 𝑡 = 1)
189188oveq2d 7161 . . . . . . . . . . 11 ((𝑠 = 𝑦𝑡 = 1) → (1 − 𝑡) = (1 − 1))
190189, 11syl6eq 2869 . . . . . . . . . 10 ((𝑠 = 𝑦𝑡 = 1) → (1 − 𝑡) = 0)
191186oveq2d 7161 . . . . . . . . . 10 ((𝑠 = 𝑦𝑡 = 1) → (2 · 𝑠) = (2 · 𝑦))
192190, 191oveq12d 7163 . . . . . . . . 9 ((𝑠 = 𝑦𝑡 = 1) → ((1 − 𝑡) · (2 · 𝑠)) = (0 · (2 · 𝑦)))
193192oveq2d 7161 . . . . . . . 8 ((𝑠 = 𝑦𝑡 = 1) → (1 − ((1 − 𝑡) · (2 · 𝑠))) = (1 − (0 · (2 · 𝑦))))
194191oveq1d 7160 . . . . . . . . . . 11 ((𝑠 = 𝑦𝑡 = 1) → ((2 · 𝑠) − 1) = ((2 · 𝑦) − 1))
195194oveq2d 7161 . . . . . . . . . 10 ((𝑠 = 𝑦𝑡 = 1) → (1 − ((2 · 𝑠) − 1)) = (1 − ((2 · 𝑦) − 1)))
196190, 195oveq12d 7163 . . . . . . . . 9 ((𝑠 = 𝑦𝑡 = 1) → ((1 − 𝑡) · (1 − ((2 · 𝑠) − 1))) = (0 · (1 − ((2 · 𝑦) − 1))))
197196oveq2d 7161 . . . . . . . 8 ((𝑠 = 𝑦𝑡 = 1) → (1 − ((1 − 𝑡) · (1 − ((2 · 𝑠) − 1)))) = (1 − (0 · (1 − ((2 · 𝑦) − 1)))))
198187, 193, 197ifbieq12d 4490 . . . . . . 7 ((𝑠 = 𝑦𝑡 = 1) → if(𝑠 ≤ (1 / 2), (1 − ((1 − 𝑡) · (2 · 𝑠))), (1 − ((1 − 𝑡) · (1 − ((2 · 𝑠) − 1))))) = if(𝑦 ≤ (1 / 2), (1 − (0 · (2 · 𝑦))), (1 − (0 · (1 − ((2 · 𝑦) − 1))))))
199198fveq2d 6667 . . . . . 6 ((𝑠 = 𝑦𝑡 = 1) → (𝐹‘if(𝑠 ≤ (1 / 2), (1 − ((1 − 𝑡) · (2 · 𝑠))), (1 − ((1 − 𝑡) · (1 − ((2 · 𝑠) − 1)))))) = (𝐹‘if(𝑦 ≤ (1 / 2), (1 − (0 · (2 · 𝑦))), (1 − (0 · (1 − ((2 · 𝑦) − 1)))))))
200 fvex 6676 . . . . . 6 (𝐹‘if(𝑦 ≤ (1 / 2), (1 − (0 · (2 · 𝑦))), (1 − (0 · (1 − ((2 · 𝑦) − 1)))))) ∈ V
201199, 30, 200ovmpoa 7294 . . . . 5 ((𝑦 ∈ (0[,]1) ∧ 1 ∈ (0[,]1)) → (𝑦𝐻1) = (𝐹‘if(𝑦 ≤ (1 / 2), (1 − (0 · (2 · 𝑦))), (1 − (0 · (1 − ((2 · 𝑦) − 1)))))))
202101, 9, 201sylancl 586 . . . 4 ((𝐹 ∈ (II Cn 𝐽) ∧ 𝑦 ∈ (0[,]1)) → (𝑦𝐻1) = (𝐹‘if(𝑦 ≤ (1 / 2), (1 − (0 · (2 · 𝑦))), (1 − (0 · (1 − ((2 · 𝑦) − 1)))))))
20326fveq1i 6664 . . . . 5 (𝑃𝑦) = (((0[,]1) × {(𝐹‘1)})‘𝑦)
204 fvex 6676 . . . . . . 7 (𝐹‘1) ∈ V
205204fvconst2 6958 . . . . . 6 (𝑦 ∈ (0[,]1) → (((0[,]1) × {(𝐹‘1)})‘𝑦) = (𝐹‘1))
206205adantl 482 . . . . 5 ((𝐹 ∈ (II Cn 𝐽) ∧ 𝑦 ∈ (0[,]1)) → (((0[,]1) × {(𝐹‘1)})‘𝑦) = (𝐹‘1))
207203, 206syl5eq 2865 . . . 4 ((𝐹 ∈ (II Cn 𝐽) ∧ 𝑦 ∈ (0[,]1)) → (𝑃𝑦) = (𝐹‘1))
208185, 202, 2073eqtr4d 2863 . . 3 ((𝐹 ∈ (II Cn 𝐽) ∧ 𝑦 ∈ (0[,]1)) → (𝑦𝐻1) = (𝑃𝑦))
209 simpl 483 . . . . . . . . . . 11 ((𝑠 = 0 ∧ 𝑡 = 𝑦) → 𝑠 = 0)
210209, 38eqbrtrdi 5096 . . . . . . . . . 10 ((𝑠 = 0 ∧ 𝑡 = 𝑦) → 𝑠 ≤ (1 / 2))
211210iftrued 4471 . . . . . . . . 9 ((𝑠 = 0 ∧ 𝑡 = 𝑦) → if(𝑠 ≤ (1 / 2), (1 − ((1 − 𝑡) · (2 · 𝑠))), (1 − ((1 − 𝑡) · (1 − ((2 · 𝑠) − 1))))) = (1 − ((1 − 𝑡) · (2 · 𝑠))))
212 simpr 485 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑠 = 0 ∧ 𝑡 = 𝑦) → 𝑡 = 𝑦)
213212oveq2d 7161 . . . . . . . . . . 11 ((𝑠 = 0 ∧ 𝑡 = 𝑦) → (1 − 𝑡) = (1 − 𝑦))
214209oveq2d 7161 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑠 = 0 ∧ 𝑡 = 𝑦) → (2 · 𝑠) = (2 · 0))
215 2t0e0 11794 . . . . . . . . . . . 12 (2 · 0) = 0
216214, 215syl6eq 2869 . . . . . . . . . . 11 ((𝑠 = 0 ∧ 𝑡 = 𝑦) → (2 · 𝑠) = 0)
217213, 216oveq12d 7163 . . . . . . . . . 10 ((𝑠 = 0 ∧ 𝑡 = 𝑦) → ((1 − 𝑡) · (2 · 𝑠)) = ((1 − 𝑦) · 0))
218217oveq2d 7161 . . . . . . . . 9 ((𝑠 = 0 ∧ 𝑡 = 𝑦) → (1 − ((1 − 𝑡) · (2 · 𝑠))) = (1 − ((1 − 𝑦) · 0)))
219211, 218eqtrd 2853 . . . . . . . 8 ((𝑠 = 0 ∧ 𝑡 = 𝑦) → if(𝑠 ≤ (1 / 2), (1 − ((1 − 𝑡) · (2 · 𝑠))), (1 − ((1 − 𝑡) · (1 − ((2 · 𝑠) − 1))))) = (1 − ((1 − 𝑦) · 0)))
220219fveq2d 6667 . . . . . . 7 ((𝑠 = 0 ∧ 𝑡 = 𝑦) → (𝐹‘if(𝑠 ≤ (1 / 2), (1 − ((1 − 𝑡) · (2 · 𝑠))), (1 − ((1 − 𝑡) · (1 − ((2 · 𝑠) − 1)))))) = (𝐹‘(1 − ((1 − 𝑦) · 0))))
221 fvex 6676 . . . . . . 7 (𝐹‘(1 − ((1 − 𝑦) · 0))) ∈ V
222220, 30, 221ovmpoa 7294 . . . . . 6 ((0 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑦 ∈ (0[,]1)) → (0𝐻𝑦) = (𝐹‘(1 − ((1 − 𝑦) · 0))))
223102, 222mpan 686 . . . . 5 (𝑦 ∈ (0[,]1) → (0𝐻𝑦) = (𝐹‘(1 − ((1 − 𝑦) · 0))))
224 subcl 10873 . . . . . . . . . 10 ((1 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℂ) → (1 − 𝑦) ∈ ℂ)
225150, 169, 224sylancr 587 . . . . . . . . 9 (𝑦 ∈ (0[,]1) → (1 − 𝑦) ∈ ℂ)
226225mul01d 10827 . . . . . . . 8 (𝑦 ∈ (0[,]1) → ((1 − 𝑦) · 0) = 0)
227226oveq2d 7161 . . . . . . 7 (𝑦 ∈ (0[,]1) → (1 − ((1 − 𝑦) · 0)) = (1 − 0))
228227, 54syl6eq 2869 . . . . . 6 (𝑦 ∈ (0[,]1) → (1 − ((1 − 𝑦) · 0)) = 1)
229228fveq2d 6667 . . . . 5 (𝑦 ∈ (0[,]1) → (𝐹‘(1 − ((1 − 𝑦) · 0))) = (𝐹‘1))
230223, 229eqtrd 2853 . . . 4 (𝑦 ∈ (0[,]1) → (0𝐻𝑦) = (𝐹‘1))
2318, 6pco0 23545 . . . . 5 (𝐹 ∈ (II Cn 𝐽) → ((𝐺(*𝑝𝐽)𝐹)‘0) = (𝐺‘0))
232 oveq2 7153 . . . . . . . . 9 (𝑥 = 0 → (1 − 𝑥) = (1 − 0))
233232, 54syl6eq 2869 . . . . . . . 8 (𝑥 = 0 → (1 − 𝑥) = 1)
234233fveq2d 6667 . . . . . . 7 (𝑥 = 0 → (𝐹‘(1 − 𝑥)) = (𝐹‘1))
235234, 1, 204fvmpt 6761 . . . . . 6 (0 ∈ (0[,]1) → (𝐺‘0) = (𝐹‘1))
236102, 235ax-mp 5 . . . . 5 (𝐺‘0) = (𝐹‘1)
237231, 236syl6req 2870 . . . 4 (𝐹 ∈ (II Cn 𝐽) → (𝐹‘1) = ((𝐺(*𝑝𝐽)𝐹)‘0))
238230, 237sylan9eqr 2875 . . 3 ((𝐹 ∈ (II Cn 𝐽) ∧ 𝑦 ∈ (0[,]1)) → (0𝐻𝑦) = ((𝐺(*𝑝𝐽)𝐹)‘0))
23937, 39ltnlei 10749 . . . . . . . . . . . 12 ((1 / 2) < 1 ↔ ¬ 1 ≤ (1 / 2))
24040, 239mpbi 231 . . . . . . . . . . 11 ¬ 1 ≤ (1 / 2)
241 simpl 483 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑠 = 1 ∧ 𝑡 = 𝑦) → 𝑠 = 1)
242241breq1d 5067 . . . . . . . . . . 11 ((𝑠 = 1 ∧ 𝑡 = 𝑦) → (𝑠 ≤ (1 / 2) ↔ 1 ≤ (1 / 2)))
243240, 242mtbiri 328 . . . . . . . . . 10 ((𝑠 = 1 ∧ 𝑡 = 𝑦) → ¬ 𝑠 ≤ (1 / 2))
244243iffalsed 4474 . . . . . . . . 9 ((𝑠 = 1 ∧ 𝑡 = 𝑦) → if(𝑠 ≤ (1 / 2), (1 − ((1 − 𝑡) · (2 · 𝑠))), (1 − ((1 − 𝑡) · (1 − ((2 · 𝑠) − 1))))) = (1 − ((1 − 𝑡) · (1 − ((2 · 𝑠) − 1)))))
245 simpr 485 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑠 = 1 ∧ 𝑡 = 𝑦) → 𝑡 = 𝑦)
246245oveq2d 7161 . . . . . . . . . . 11 ((𝑠 = 1 ∧ 𝑡 = 𝑦) → (1 − 𝑡) = (1 − 𝑦))
247241oveq2d 7161 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑠 = 1 ∧ 𝑡 = 𝑦) → (2 · 𝑠) = (2 · 1))
248 2t1e2 11788 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (2 · 1) = 2
249247, 248syl6eq 2869 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑠 = 1 ∧ 𝑡 = 𝑦) → (2 · 𝑠) = 2)
250249oveq1d 7160 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑠 = 1 ∧ 𝑡 = 𝑦) → ((2 · 𝑠) − 1) = (2 − 1))
251 2m1e1 11751 . . . . . . . . . . . . . 14 (2 − 1) = 1
252250, 251syl6eq 2869 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑠 = 1 ∧ 𝑡 = 𝑦) → ((2 · 𝑠) − 1) = 1)
253252oveq2d 7161 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑠 = 1 ∧ 𝑡 = 𝑦) → (1 − ((2 · 𝑠) − 1)) = (1 − 1))
254253, 11syl6eq 2869 . . . . . . . . . . 11 ((𝑠 = 1 ∧ 𝑡 = 𝑦) → (1 − ((2 · 𝑠) − 1)) = 0)
255246, 254oveq12d 7163 . . . . . . . . . 10 ((𝑠 = 1 ∧ 𝑡 = 𝑦) → ((1 − 𝑡) · (1 − ((2 · 𝑠) − 1))) = ((1 − 𝑦) · 0))
256255oveq2d 7161 . . . . . . . . 9 ((𝑠 = 1 ∧ 𝑡 = 𝑦) → (1 − ((1 − 𝑡) · (1 − ((2 · 𝑠) − 1)))) = (1 − ((1 − 𝑦) · 0)))
257244, 256eqtrd 2853 . . . . . . . 8 ((𝑠 = 1 ∧ 𝑡 = 𝑦) → if(𝑠 ≤ (1 / 2), (1 − ((1 − 𝑡) · (2 · 𝑠))), (1 − ((1 − 𝑡) · (1 − ((2 · 𝑠) − 1))))) = (1 − ((1 − 𝑦) · 0)))
258257fveq2d 6667 . . . . . . 7 ((𝑠 = 1 ∧ 𝑡 = 𝑦) → (𝐹‘if(𝑠 ≤ (1 / 2), (1 − ((1 − 𝑡) · (2 · 𝑠))), (1 − ((1 − 𝑡) · (1 − ((2 · 𝑠) − 1)))))) = (𝐹‘(1 − ((1 − 𝑦) · 0))))
259258, 30, 221ovmpoa 7294 . . . . . 6 ((1 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑦 ∈ (0[,]1)) → (1𝐻𝑦) = (𝐹‘(1 − ((1 − 𝑦) · 0))))
2609, 259mpan 686 . . . . 5 (𝑦 ∈ (0[,]1) → (1𝐻𝑦) = (𝐹‘(1 − ((1 − 𝑦) · 0))))
261260, 229eqtrd 2853 . . . 4 (𝑦 ∈ (0[,]1) → (1𝐻𝑦) = (𝐹‘1))
2628, 6pco1 23546 . . . . 5 (𝐹 ∈ (II Cn 𝐽) → ((𝐺(*𝑝𝐽)𝐹)‘1) = (𝐹‘1))
263262eqcomd 2824 . . . 4 (𝐹 ∈ (II Cn 𝐽) → (𝐹‘1) = ((𝐺(*𝑝𝐽)𝐹)‘1))
264261, 263sylan9eqr 2875 . . 3 ((𝐹 ∈ (II Cn 𝐽) ∧ 𝑦 ∈ (0[,]1)) → (1𝐻𝑦) = ((𝐺(*𝑝𝐽)𝐹)‘1))
26517, 29, 100, 167, 208, 238, 264isphtpy2d 23518 . 2 (𝐹 ∈ (II Cn 𝐽) → 𝐻 ∈ ((𝐺(*𝑝𝐽)𝐹)(PHtpy‘𝐽)𝑃))
266265ne0d 4298 . . 3 (𝐹 ∈ (II Cn 𝐽) → ((𝐺(*𝑝𝐽)𝐹)(PHtpy‘𝐽)𝑃) ≠ ∅)
267 isphtpc 23525 . . 3 ((𝐺(*𝑝𝐽)𝐹)( ≃ph𝐽)𝑃 ↔ ((𝐺(*𝑝𝐽)𝐹) ∈ (II Cn 𝐽) ∧ 𝑃 ∈ (II Cn 𝐽) ∧ ((𝐺(*𝑝𝐽)𝐹)(PHtpy‘𝐽)𝑃) ≠ ∅))
26817, 29, 266, 267syl3anbrc 1335 . 2 (𝐹 ∈ (II Cn 𝐽) → (𝐺(*𝑝𝐽)𝐹)( ≃ph𝐽)𝑃)
269265, 268jca 512 1 (𝐹 ∈ (II Cn 𝐽) → (𝐻 ∈ ((𝐺(*𝑝𝐽)𝐹)(PHtpy‘𝐽)𝑃) ∧ (𝐺(*𝑝𝐽)𝐹)( ≃ph𝐽)𝑃))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wa 396  w3a 1079   = wceq 1528  wcel 2105  wne 3013  wss 3933  c0 4288  ifcif 4463  {csn 4557   cuni 4830   class class class wbr 5057  cmpt 5137   × cxp 5546  ran crn 5549  wf 6344  cfv 6348  (class class class)co 7145  cmpo 7147  cc 10523  cr 10524  0cc0 10525  1c1 10526   · cmul 10530   < clt 10663  cle 10664  cmin 10858   / cdiv 11285  2c2 11680  (,)cioo 12726  [,]cicc 12729  t crest 16682  topGenctg 16699  Topctop 21429  TopOnctopon 21446   Cn ccn 21760   ×t ctx 22096  IIcii 23410  PHtpycphtpy 23499  phcphtpc 23500  *𝑝cpco 23531
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1787  ax-4 1801  ax-5 1902  ax-6 1961  ax-7 2006  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2151  ax-12 2167  ax-ext 2790  ax-rep 5181  ax-sep 5194  ax-nul 5201  ax-pow 5257  ax-pr 5320  ax-un 7450  ax-cnex 10581  ax-resscn 10582  ax-1cn 10583  ax-icn 10584  ax-addcl 10585  ax-addrcl 10586  ax-mulcl 10587  ax-mulrcl 10588  ax-mulcom 10589  ax-addass 10590  ax-mulass 10591  ax-distr 10592  ax-i2m1 10593  ax-1ne0 10594  ax-1rid 10595  ax-rnegex 10596  ax-rrecex 10597  ax-cnre 10598  ax-pre-lttri 10599  ax-pre-lttrn 10600  ax-pre-ltadd 10601  ax-pre-mulgt0 10602  ax-pre-sup 10603  ax-mulf 10605
This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 842  df-3or 1080  df-3an 1081  df-tru 1531  df-ex 1772  df-nf 1776  df-sb 2061  df-mo 2615  df-eu 2647  df-clab 2797  df-cleq 2811  df-clel 2890  df-nfc 2960  df-ne 3014  df-nel 3121  df-ral 3140  df-rex 3141  df-reu 3142  df-rmo 3143  df-rab 3144  df-v 3494  df-sbc 3770  df-csb 3881  df-dif 3936  df-un 3938  df-in 3940  df-ss 3949  df-pss 3951  df-nul 4289  df-if 4464  df-pw 4537  df-sn 4558  df-pr 4560  df-tp 4562  df-op 4564  df-uni 4831  df-int 4868  df-iun 4912  df-iin 4913  df-br 5058  df-opab 5120  df-mpt 5138  df-tr 5164  df-id 5453  df-eprel 5458  df-po 5467  df-so 5468  df-fr 5507  df-se 5508  df-we 5509  df-xp 5554  df-rel 5555  df-cnv 5556  df-co 5557  df-dm 5558  df-rn 5559  df-res 5560  df-ima 5561  df-pred 6141  df-ord 6187  df-on 6188  df-lim 6189  df-suc 6190  df-iota 6307  df-fun 6350  df-fn 6351  df-f 6352  df-f1 6353  df-fo 6354  df-f1o 6355  df-fv 6356  df-isom 6357  df-riota 7103  df-ov 7148  df-oprab 7149  df-mpo 7150  df-of 7398  df-om 7570  df-1st 7678  df-2nd 7679  df-supp 7820  df-wrecs 7936  df-recs 7997  df-rdg 8035  df-1o 8091  df-2o 8092  df-oadd 8095  df-er 8278  df-map 8397  df-ixp 8450  df-en 8498  df-dom 8499  df-sdom 8500  df-fin 8501  df-fsupp 8822  df-fi 8863  df-sup 8894  df-inf 8895  df-oi 8962  df-card 9356  df-pnf 10665  df-mnf 10666  df-xr 10667  df-ltxr 10668  df-le 10669  df-sub 10860  df-neg 10861  df-div 11286  df-nn 11627  df-2 11688  df-3 11689  df-4 11690  df-5 11691  df-6 11692  df-7 11693  df-8 11694  df-9 11695  df-n0 11886  df-z 11970  df-dec 12087  df-uz 12232  df-q 12337  df-rp 12378  df-xneg 12495  df-xadd 12496  df-xmul 12497  df-ioo 12730  df-icc 12733  df-fz 12881  df-fzo 13022  df-seq 13358  df-exp 13418  df-hash 13679  df-cj 14446  df-re 14447  df-im 14448  df-sqrt 14582  df-abs 14583  df-struct 16473  df-ndx 16474  df-slot 16475  df-base 16477  df-sets 16478  df-ress 16479  df-plusg 16566  df-mulr 16567  df-starv 16568  df-sca 16569  df-vsca 16570  df-ip 16571  df-tset 16572  df-ple 16573  df-ds 16575  df-unif 16576  df-hom 16577  df-cco 16578  df-rest 16684  df-topn 16685  df-0g 16703  df-gsum 16704  df-topgen 16705  df-pt 16706  df-prds 16709  df-xrs 16763  df-qtop 16768  df-imas 16769  df-xps 16771  df-mre 16845  df-mrc 16846  df-acs 16848  df-mgm 17840  df-sgrp 17889  df-mnd 17900  df-submnd 17945  df-mulg 18163  df-cntz 18385  df-cmn 18837  df-psmet 20465  df-xmet 20466  df-met 20467  df-bl 20468  df-mopn 20469  df-cnfld 20474  df-top 21430  df-topon 21447  df-topsp 21469  df-bases 21482  df-cld 21555  df-cn 21763  df-cnp 21764  df-tx 22098  df-hmeo 22291  df-xms 22857  df-ms 22858  df-tms 22859  df-ii 23412  df-htpy 23501  df-phtpy 23502  df-phtpc 23523  df-pco 23536
This theorem is referenced by:  pcorev  23558
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