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Theorem pcorevlem 22766
Description: Lemma for pcorev 22767. Prove continuity of the homotopy function. (Contributed by Jeff Madsen, 11-Jun-2010.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 8-Jun-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
pcorev.1 𝐺 = (𝑥 ∈ (0[,]1) ↦ (𝐹‘(1 − 𝑥)))
pcorev.2 𝑃 = ((0[,]1) × {(𝐹‘1)})
pcorevlem.3 𝐻 = (𝑠 ∈ (0[,]1), 𝑡 ∈ (0[,]1) ↦ (𝐹‘if(𝑠 ≤ (1 / 2), (1 − ((1 − 𝑡) · (2 · 𝑠))), (1 − ((1 − 𝑡) · (1 − ((2 · 𝑠) − 1)))))))
Assertion
Ref Expression
pcorevlem (𝐹 ∈ (II Cn 𝐽) → (𝐻 ∈ ((𝐺(*𝑝𝐽)𝐹)(PHtpy‘𝐽)𝑃) ∧ (𝐺(*𝑝𝐽)𝐹)( ≃ph𝐽)𝑃))
Distinct variable groups:   𝑡,𝑠,𝑥,𝐹   𝐺,𝑠,𝑡   𝐽,𝑠,𝑡,𝑥   𝑃,𝑠,𝑡,𝑥
Allowed substitution hints:   𝐺(𝑥)   𝐻(𝑥,𝑡,𝑠)

Proof of Theorem pcorevlem
Dummy variable 𝑦 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 pcorev.1 . . . . 5 𝐺 = (𝑥 ∈ (0[,]1) ↦ (𝐹‘(1 − 𝑥)))
2 iitopon 22622 . . . . . . 7 II ∈ (TopOn‘(0[,]1))
32a1i 11 . . . . . 6 (𝐹 ∈ (II Cn 𝐽) → II ∈ (TopOn‘(0[,]1)))
4 iirevcn 22669 . . . . . . 7 (𝑥 ∈ (0[,]1) ↦ (1 − 𝑥)) ∈ (II Cn II)
54a1i 11 . . . . . 6 (𝐹 ∈ (II Cn 𝐽) → (𝑥 ∈ (0[,]1) ↦ (1 − 𝑥)) ∈ (II Cn II))
6 id 22 . . . . . 6 (𝐹 ∈ (II Cn 𝐽) → 𝐹 ∈ (II Cn 𝐽))
73, 5, 6cnmpt11f 21407 . . . . 5 (𝐹 ∈ (II Cn 𝐽) → (𝑥 ∈ (0[,]1) ↦ (𝐹‘(1 − 𝑥))) ∈ (II Cn 𝐽))
81, 7syl5eqel 2702 . . . 4 (𝐹 ∈ (II Cn 𝐽) → 𝐺 ∈ (II Cn 𝐽))
9 1elunit 12249 . . . . 5 1 ∈ (0[,]1)
10 oveq2 6623 . . . . . . . 8 (𝑥 = 1 → (1 − 𝑥) = (1 − 1))
11 1m1e0 11049 . . . . . . . 8 (1 − 1) = 0
1210, 11syl6eq 2671 . . . . . . 7 (𝑥 = 1 → (1 − 𝑥) = 0)
1312fveq2d 6162 . . . . . 6 (𝑥 = 1 → (𝐹‘(1 − 𝑥)) = (𝐹‘0))
14 fvex 6168 . . . . . 6 (𝐹‘0) ∈ V
1513, 1, 14fvmpt 6249 . . . . 5 (1 ∈ (0[,]1) → (𝐺‘1) = (𝐹‘0))
169, 15mp1i 13 . . . 4 (𝐹 ∈ (II Cn 𝐽) → (𝐺‘1) = (𝐹‘0))
178, 6, 16pcocn 22757 . . 3 (𝐹 ∈ (II Cn 𝐽) → (𝐺(*𝑝𝐽)𝐹) ∈ (II Cn 𝐽))
18 cntop2 20985 . . . . . 6 (𝐹 ∈ (II Cn 𝐽) → 𝐽 ∈ Top)
19 eqid 2621 . . . . . . 7 𝐽 = 𝐽
2019toptopon 20662 . . . . . 6 (𝐽 ∈ Top ↔ 𝐽 ∈ (TopOn‘ 𝐽))
2118, 20sylib 208 . . . . 5 (𝐹 ∈ (II Cn 𝐽) → 𝐽 ∈ (TopOn‘ 𝐽))
22 iiuni 22624 . . . . . . 7 (0[,]1) = II
2322, 19cnf 20990 . . . . . 6 (𝐹 ∈ (II Cn 𝐽) → 𝐹:(0[,]1)⟶ 𝐽)
24 ffvelrn 6323 . . . . . 6 ((𝐹:(0[,]1)⟶ 𝐽 ∧ 1 ∈ (0[,]1)) → (𝐹‘1) ∈ 𝐽)
2523, 9, 24sylancl 693 . . . . 5 (𝐹 ∈ (II Cn 𝐽) → (𝐹‘1) ∈ 𝐽)
26 pcorev.2 . . . . . 6 𝑃 = ((0[,]1) × {(𝐹‘1)})
2726pcoptcl 22761 . . . . 5 ((𝐽 ∈ (TopOn‘ 𝐽) ∧ (𝐹‘1) ∈ 𝐽) → (𝑃 ∈ (II Cn 𝐽) ∧ (𝑃‘0) = (𝐹‘1) ∧ (𝑃‘1) = (𝐹‘1)))
2821, 25, 27syl2anc 692 . . . 4 (𝐹 ∈ (II Cn 𝐽) → (𝑃 ∈ (II Cn 𝐽) ∧ (𝑃‘0) = (𝐹‘1) ∧ (𝑃‘1) = (𝐹‘1)))
2928simp1d 1071 . . 3 (𝐹 ∈ (II Cn 𝐽) → 𝑃 ∈ (II Cn 𝐽))
30 pcorevlem.3 . . . 4 𝐻 = (𝑠 ∈ (0[,]1), 𝑡 ∈ (0[,]1) ↦ (𝐹‘if(𝑠 ≤ (1 / 2), (1 − ((1 − 𝑡) · (2 · 𝑠))), (1 − ((1 − 𝑡) · (1 − ((2 · 𝑠) − 1)))))))
31 eqid 2621 . . . . . 6 (topGen‘ran (,)) = (topGen‘ran (,))
32 eqid 2621 . . . . . 6 ((topGen‘ran (,)) ↾t (0[,](1 / 2))) = ((topGen‘ran (,)) ↾t (0[,](1 / 2)))
33 eqid 2621 . . . . . 6 ((topGen‘ran (,)) ↾t ((1 / 2)[,]1)) = ((topGen‘ran (,)) ↾t ((1 / 2)[,]1))
34 dfii2 22625 . . . . . 6 II = ((topGen‘ran (,)) ↾t (0[,]1))
35 0red 10001 . . . . . 6 (𝐹 ∈ (II Cn 𝐽) → 0 ∈ ℝ)
36 1red 10015 . . . . . 6 (𝐹 ∈ (II Cn 𝐽) → 1 ∈ ℝ)
37 halfre 11206 . . . . . . . 8 (1 / 2) ∈ ℝ
38 0re 10000 . . . . . . . . 9 0 ∈ ℝ
39 halfgt0 11208 . . . . . . . . 9 0 < (1 / 2)
4038, 37, 39ltleii 10120 . . . . . . . 8 0 ≤ (1 / 2)
41 1re 9999 . . . . . . . . 9 1 ∈ ℝ
42 halflt1 11210 . . . . . . . . 9 (1 / 2) < 1
4337, 41, 42ltleii 10120 . . . . . . . 8 (1 / 2) ≤ 1
4438, 41elicc2i 12197 . . . . . . . 8 ((1 / 2) ∈ (0[,]1) ↔ ((1 / 2) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (1 / 2) ∧ (1 / 2) ≤ 1))
4537, 40, 43, 44mpbir3an 1242 . . . . . . 7 (1 / 2) ∈ (0[,]1)
4645a1i 11 . . . . . 6 (𝐹 ∈ (II Cn 𝐽) → (1 / 2) ∈ (0[,]1))
47 simprl 793 . . . . . . . . . . 11 ((𝐹 ∈ (II Cn 𝐽) ∧ (𝑠 = (1 / 2) ∧ 𝑡 ∈ (0[,]1))) → 𝑠 = (1 / 2))
4847oveq2d 6631 . . . . . . . . . 10 ((𝐹 ∈ (II Cn 𝐽) ∧ (𝑠 = (1 / 2) ∧ 𝑡 ∈ (0[,]1))) → (2 · 𝑠) = (2 · (1 / 2)))
49 2cn 11051 . . . . . . . . . . 11 2 ∈ ℂ
50 2ne0 11073 . . . . . . . . . . 11 2 ≠ 0
5149, 50recidi 10716 . . . . . . . . . 10 (2 · (1 / 2)) = 1
5248, 51syl6eq 2671 . . . . . . . . 9 ((𝐹 ∈ (II Cn 𝐽) ∧ (𝑠 = (1 / 2) ∧ 𝑡 ∈ (0[,]1))) → (2 · 𝑠) = 1)
5352oveq1d 6630 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐹 ∈ (II Cn 𝐽) ∧ (𝑠 = (1 / 2) ∧ 𝑡 ∈ (0[,]1))) → ((2 · 𝑠) − 1) = (1 − 1))
5453, 11syl6eq 2671 . . . . . . . . . . 11 ((𝐹 ∈ (II Cn 𝐽) ∧ (𝑠 = (1 / 2) ∧ 𝑡 ∈ (0[,]1))) → ((2 · 𝑠) − 1) = 0)
5554oveq2d 6631 . . . . . . . . . 10 ((𝐹 ∈ (II Cn 𝐽) ∧ (𝑠 = (1 / 2) ∧ 𝑡 ∈ (0[,]1))) → (1 − ((2 · 𝑠) − 1)) = (1 − 0))
56 1m0e1 11091 . . . . . . . . . 10 (1 − 0) = 1
5755, 56syl6eq 2671 . . . . . . . . 9 ((𝐹 ∈ (II Cn 𝐽) ∧ (𝑠 = (1 / 2) ∧ 𝑡 ∈ (0[,]1))) → (1 − ((2 · 𝑠) − 1)) = 1)
5852, 57eqtr4d 2658 . . . . . . . 8 ((𝐹 ∈ (II Cn 𝐽) ∧ (𝑠 = (1 / 2) ∧ 𝑡 ∈ (0[,]1))) → (2 · 𝑠) = (1 − ((2 · 𝑠) − 1)))
5958oveq2d 6631 . . . . . . 7 ((𝐹 ∈ (II Cn 𝐽) ∧ (𝑠 = (1 / 2) ∧ 𝑡 ∈ (0[,]1))) → ((1 − 𝑡) · (2 · 𝑠)) = ((1 − 𝑡) · (1 − ((2 · 𝑠) − 1))))
6059oveq2d 6631 . . . . . 6 ((𝐹 ∈ (II Cn 𝐽) ∧ (𝑠 = (1 / 2) ∧ 𝑡 ∈ (0[,]1))) → (1 − ((1 − 𝑡) · (2 · 𝑠))) = (1 − ((1 − 𝑡) · (1 − ((2 · 𝑠) − 1)))))
61 retopon 22507 . . . . . . . . 9 (topGen‘ran (,)) ∈ (TopOn‘ℝ)
62 iccssre 12213 . . . . . . . . . 10 ((0 ∈ ℝ ∧ (1 / 2) ∈ ℝ) → (0[,](1 / 2)) ⊆ ℝ)
6338, 37, 62mp2an 707 . . . . . . . . 9 (0[,](1 / 2)) ⊆ ℝ
64 resttopon 20905 . . . . . . . . 9 (((topGen‘ran (,)) ∈ (TopOn‘ℝ) ∧ (0[,](1 / 2)) ⊆ ℝ) → ((topGen‘ran (,)) ↾t (0[,](1 / 2))) ∈ (TopOn‘(0[,](1 / 2))))
6561, 63, 64mp2an 707 . . . . . . . 8 ((topGen‘ran (,)) ↾t (0[,](1 / 2))) ∈ (TopOn‘(0[,](1 / 2)))
6665a1i 11 . . . . . . 7 (𝐹 ∈ (II Cn 𝐽) → ((topGen‘ran (,)) ↾t (0[,](1 / 2))) ∈ (TopOn‘(0[,](1 / 2))))
6766, 3cnmpt2nd 21412 . . . . . . . . 9 (𝐹 ∈ (II Cn 𝐽) → (𝑠 ∈ (0[,](1 / 2)), 𝑡 ∈ (0[,]1) ↦ 𝑡) ∈ ((((topGen‘ran (,)) ↾t (0[,](1 / 2))) ×t II) Cn II))
68 oveq2 6623 . . . . . . . . 9 (𝑥 = 𝑡 → (1 − 𝑥) = (1 − 𝑡))
6966, 3, 67, 3, 5, 68cnmpt21 21414 . . . . . . . 8 (𝐹 ∈ (II Cn 𝐽) → (𝑠 ∈ (0[,](1 / 2)), 𝑡 ∈ (0[,]1) ↦ (1 − 𝑡)) ∈ ((((topGen‘ran (,)) ↾t (0[,](1 / 2))) ×t II) Cn II))
7066, 3cnmpt1st 21411 . . . . . . . . 9 (𝐹 ∈ (II Cn 𝐽) → (𝑠 ∈ (0[,](1 / 2)), 𝑡 ∈ (0[,]1) ↦ 𝑠) ∈ ((((topGen‘ran (,)) ↾t (0[,](1 / 2))) ×t II) Cn ((topGen‘ran (,)) ↾t (0[,](1 / 2)))))
7132iihalf1cn 22671 . . . . . . . . . 10 (𝑥 ∈ (0[,](1 / 2)) ↦ (2 · 𝑥)) ∈ (((topGen‘ran (,)) ↾t (0[,](1 / 2))) Cn II)
7271a1i 11 . . . . . . . . 9 (𝐹 ∈ (II Cn 𝐽) → (𝑥 ∈ (0[,](1 / 2)) ↦ (2 · 𝑥)) ∈ (((topGen‘ran (,)) ↾t (0[,](1 / 2))) Cn II))
73 oveq2 6623 . . . . . . . . 9 (𝑥 = 𝑠 → (2 · 𝑥) = (2 · 𝑠))
7466, 3, 70, 66, 72, 73cnmpt21 21414 . . . . . . . 8 (𝐹 ∈ (II Cn 𝐽) → (𝑠 ∈ (0[,](1 / 2)), 𝑡 ∈ (0[,]1) ↦ (2 · 𝑠)) ∈ ((((topGen‘ran (,)) ↾t (0[,](1 / 2))) ×t II) Cn II))
75 iimulcn 22677 . . . . . . . . 9 (𝑥 ∈ (0[,]1), 𝑦 ∈ (0[,]1) ↦ (𝑥 · 𝑦)) ∈ ((II ×t II) Cn II)
7675a1i 11 . . . . . . . 8 (𝐹 ∈ (II Cn 𝐽) → (𝑥 ∈ (0[,]1), 𝑦 ∈ (0[,]1) ↦ (𝑥 · 𝑦)) ∈ ((II ×t II) Cn II))
77 oveq12 6624 . . . . . . . 8 ((𝑥 = (1 − 𝑡) ∧ 𝑦 = (2 · 𝑠)) → (𝑥 · 𝑦) = ((1 − 𝑡) · (2 · 𝑠)))
7866, 3, 69, 74, 3, 3, 76, 77cnmpt22 21417 . . . . . . 7 (𝐹 ∈ (II Cn 𝐽) → (𝑠 ∈ (0[,](1 / 2)), 𝑡 ∈ (0[,]1) ↦ ((1 − 𝑡) · (2 · 𝑠))) ∈ ((((topGen‘ran (,)) ↾t (0[,](1 / 2))) ×t II) Cn II))
79 oveq2 6623 . . . . . . 7 (𝑥 = ((1 − 𝑡) · (2 · 𝑠)) → (1 − 𝑥) = (1 − ((1 − 𝑡) · (2 · 𝑠))))
8066, 3, 78, 3, 5, 79cnmpt21 21414 . . . . . 6 (𝐹 ∈ (II Cn 𝐽) → (𝑠 ∈ (0[,](1 / 2)), 𝑡 ∈ (0[,]1) ↦ (1 − ((1 − 𝑡) · (2 · 𝑠)))) ∈ ((((topGen‘ran (,)) ↾t (0[,](1 / 2))) ×t II) Cn II))
81 iccssre 12213 . . . . . . . . . 10 (((1 / 2) ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ) → ((1 / 2)[,]1) ⊆ ℝ)
8237, 41, 81mp2an 707 . . . . . . . . 9 ((1 / 2)[,]1) ⊆ ℝ
83 resttopon 20905 . . . . . . . . 9 (((topGen‘ran (,)) ∈ (TopOn‘ℝ) ∧ ((1 / 2)[,]1) ⊆ ℝ) → ((topGen‘ran (,)) ↾t ((1 / 2)[,]1)) ∈ (TopOn‘((1 / 2)[,]1)))
8461, 82, 83mp2an 707 . . . . . . . 8 ((topGen‘ran (,)) ↾t ((1 / 2)[,]1)) ∈ (TopOn‘((1 / 2)[,]1))
8584a1i 11 . . . . . . 7 (𝐹 ∈ (II Cn 𝐽) → ((topGen‘ran (,)) ↾t ((1 / 2)[,]1)) ∈ (TopOn‘((1 / 2)[,]1)))
8685, 3cnmpt2nd 21412 . . . . . . . . 9 (𝐹 ∈ (II Cn 𝐽) → (𝑠 ∈ ((1 / 2)[,]1), 𝑡 ∈ (0[,]1) ↦ 𝑡) ∈ ((((topGen‘ran (,)) ↾t ((1 / 2)[,]1)) ×t II) Cn II))
8785, 3, 86, 3, 5, 68cnmpt21 21414 . . . . . . . 8 (𝐹 ∈ (II Cn 𝐽) → (𝑠 ∈ ((1 / 2)[,]1), 𝑡 ∈ (0[,]1) ↦ (1 − 𝑡)) ∈ ((((topGen‘ran (,)) ↾t ((1 / 2)[,]1)) ×t II) Cn II))
8885, 3cnmpt1st 21411 . . . . . . . . . 10 (𝐹 ∈ (II Cn 𝐽) → (𝑠 ∈ ((1 / 2)[,]1), 𝑡 ∈ (0[,]1) ↦ 𝑠) ∈ ((((topGen‘ran (,)) ↾t ((1 / 2)[,]1)) ×t II) Cn ((topGen‘ran (,)) ↾t ((1 / 2)[,]1))))
8933iihalf2cn 22673 . . . . . . . . . . 11 (𝑥 ∈ ((1 / 2)[,]1) ↦ ((2 · 𝑥) − 1)) ∈ (((topGen‘ran (,)) ↾t ((1 / 2)[,]1)) Cn II)
9089a1i 11 . . . . . . . . . 10 (𝐹 ∈ (II Cn 𝐽) → (𝑥 ∈ ((1 / 2)[,]1) ↦ ((2 · 𝑥) − 1)) ∈ (((topGen‘ran (,)) ↾t ((1 / 2)[,]1)) Cn II))
9173oveq1d 6630 . . . . . . . . . 10 (𝑥 = 𝑠 → ((2 · 𝑥) − 1) = ((2 · 𝑠) − 1))
9285, 3, 88, 85, 90, 91cnmpt21 21414 . . . . . . . . 9 (𝐹 ∈ (II Cn 𝐽) → (𝑠 ∈ ((1 / 2)[,]1), 𝑡 ∈ (0[,]1) ↦ ((2 · 𝑠) − 1)) ∈ ((((topGen‘ran (,)) ↾t ((1 / 2)[,]1)) ×t II) Cn II))
93 oveq2 6623 . . . . . . . . 9 (𝑥 = ((2 · 𝑠) − 1) → (1 − 𝑥) = (1 − ((2 · 𝑠) − 1)))
9485, 3, 92, 3, 5, 93cnmpt21 21414 . . . . . . . 8 (𝐹 ∈ (II Cn 𝐽) → (𝑠 ∈ ((1 / 2)[,]1), 𝑡 ∈ (0[,]1) ↦ (1 − ((2 · 𝑠) − 1))) ∈ ((((topGen‘ran (,)) ↾t ((1 / 2)[,]1)) ×t II) Cn II))
95 oveq12 6624 . . . . . . . 8 ((𝑥 = (1 − 𝑡) ∧ 𝑦 = (1 − ((2 · 𝑠) − 1))) → (𝑥 · 𝑦) = ((1 − 𝑡) · (1 − ((2 · 𝑠) − 1))))
9685, 3, 87, 94, 3, 3, 76, 95cnmpt22 21417 . . . . . . 7 (𝐹 ∈ (II Cn 𝐽) → (𝑠 ∈ ((1 / 2)[,]1), 𝑡 ∈ (0[,]1) ↦ ((1 − 𝑡) · (1 − ((2 · 𝑠) − 1)))) ∈ ((((topGen‘ran (,)) ↾t ((1 / 2)[,]1)) ×t II) Cn II))
97 oveq2 6623 . . . . . . 7 (𝑥 = ((1 − 𝑡) · (1 − ((2 · 𝑠) − 1))) → (1 − 𝑥) = (1 − ((1 − 𝑡) · (1 − ((2 · 𝑠) − 1)))))
9885, 3, 96, 3, 5, 97cnmpt21 21414 . . . . . 6 (𝐹 ∈ (II Cn 𝐽) → (𝑠 ∈ ((1 / 2)[,]1), 𝑡 ∈ (0[,]1) ↦ (1 − ((1 − 𝑡) · (1 − ((2 · 𝑠) − 1))))) ∈ ((((topGen‘ran (,)) ↾t ((1 / 2)[,]1)) ×t II) Cn II))
9931, 32, 33, 34, 35, 36, 46, 3, 60, 80, 98cnmpt2pc 22667 . . . . 5 (𝐹 ∈ (II Cn 𝐽) → (𝑠 ∈ (0[,]1), 𝑡 ∈ (0[,]1) ↦ if(𝑠 ≤ (1 / 2), (1 − ((1 − 𝑡) · (2 · 𝑠))), (1 − ((1 − 𝑡) · (1 − ((2 · 𝑠) − 1)))))) ∈ ((II ×t II) Cn II))
1003, 3, 99, 6cnmpt21f 21415 . . . 4 (𝐹 ∈ (II Cn 𝐽) → (𝑠 ∈ (0[,]1), 𝑡 ∈ (0[,]1) ↦ (𝐹‘if(𝑠 ≤ (1 / 2), (1 − ((1 − 𝑡) · (2 · 𝑠))), (1 − ((1 − 𝑡) · (1 − ((2 · 𝑠) − 1))))))) ∈ ((II ×t II) Cn 𝐽))
10130, 100syl5eqel 2702 . . 3 (𝐹 ∈ (II Cn 𝐽) → 𝐻 ∈ ((II ×t II) Cn 𝐽))
102 simpr 477 . . . . 5 ((𝐹 ∈ (II Cn 𝐽) ∧ 𝑦 ∈ (0[,]1)) → 𝑦 ∈ (0[,]1))
103 0elunit 12248 . . . . 5 0 ∈ (0[,]1)
104 simpl 473 . . . . . . . . 9 ((𝑠 = 𝑦𝑡 = 0) → 𝑠 = 𝑦)
105104breq1d 4633 . . . . . . . 8 ((𝑠 = 𝑦𝑡 = 0) → (𝑠 ≤ (1 / 2) ↔ 𝑦 ≤ (1 / 2)))
106 simpr 477 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑠 = 𝑦𝑡 = 0) → 𝑡 = 0)
107106oveq2d 6631 . . . . . . . . . . 11 ((𝑠 = 𝑦𝑡 = 0) → (1 − 𝑡) = (1 − 0))
108107, 56syl6eq 2671 . . . . . . . . . 10 ((𝑠 = 𝑦𝑡 = 0) → (1 − 𝑡) = 1)
109104oveq2d 6631 . . . . . . . . . 10 ((𝑠 = 𝑦𝑡 = 0) → (2 · 𝑠) = (2 · 𝑦))
110108, 109oveq12d 6633 . . . . . . . . 9 ((𝑠 = 𝑦𝑡 = 0) → ((1 − 𝑡) · (2 · 𝑠)) = (1 · (2 · 𝑦)))
111110oveq2d 6631 . . . . . . . 8 ((𝑠 = 𝑦𝑡 = 0) → (1 − ((1 − 𝑡) · (2 · 𝑠))) = (1 − (1 · (2 · 𝑦))))
112109oveq1d 6630 . . . . . . . . . . 11 ((𝑠 = 𝑦𝑡 = 0) → ((2 · 𝑠) − 1) = ((2 · 𝑦) − 1))
113112oveq2d 6631 . . . . . . . . . 10 ((𝑠 = 𝑦𝑡 = 0) → (1 − ((2 · 𝑠) − 1)) = (1 − ((2 · 𝑦) − 1)))
114108, 113oveq12d 6633 . . . . . . . . 9 ((𝑠 = 𝑦𝑡 = 0) → ((1 − 𝑡) · (1 − ((2 · 𝑠) − 1))) = (1 · (1 − ((2 · 𝑦) − 1))))
115114oveq2d 6631 . . . . . . . 8 ((𝑠 = 𝑦𝑡 = 0) → (1 − ((1 − 𝑡) · (1 − ((2 · 𝑠) − 1)))) = (1 − (1 · (1 − ((2 · 𝑦) − 1)))))
116105, 111, 115ifbieq12d 4091 . . . . . . 7 ((𝑠 = 𝑦𝑡 = 0) → if(𝑠 ≤ (1 / 2), (1 − ((1 − 𝑡) · (2 · 𝑠))), (1 − ((1 − 𝑡) · (1 − ((2 · 𝑠) − 1))))) = if(𝑦 ≤ (1 / 2), (1 − (1 · (2 · 𝑦))), (1 − (1 · (1 − ((2 · 𝑦) − 1))))))
117116fveq2d 6162 . . . . . 6 ((𝑠 = 𝑦𝑡 = 0) → (𝐹‘if(𝑠 ≤ (1 / 2), (1 − ((1 − 𝑡) · (2 · 𝑠))), (1 − ((1 − 𝑡) · (1 − ((2 · 𝑠) − 1)))))) = (𝐹‘if(𝑦 ≤ (1 / 2), (1 − (1 · (2 · 𝑦))), (1 − (1 · (1 − ((2 · 𝑦) − 1)))))))
118 fvex 6168 . . . . . 6 (𝐹‘if(𝑦 ≤ (1 / 2), (1 − (1 · (2 · 𝑦))), (1 − (1 · (1 − ((2 · 𝑦) − 1)))))) ∈ V
119117, 30, 118ovmpt2a 6756 . . . . 5 ((𝑦 ∈ (0[,]1) ∧ 0 ∈ (0[,]1)) → (𝑦𝐻0) = (𝐹‘if(𝑦 ≤ (1 / 2), (1 − (1 · (2 · 𝑦))), (1 − (1 · (1 − ((2 · 𝑦) − 1)))))))
120102, 103, 119sylancl 693 . . . 4 ((𝐹 ∈ (II Cn 𝐽) ∧ 𝑦 ∈ (0[,]1)) → (𝑦𝐻0) = (𝐹‘if(𝑦 ≤ (1 / 2), (1 − (1 · (2 · 𝑦))), (1 − (1 · (1 − ((2 · 𝑦) − 1)))))))
121 iftrue 4070 . . . . . . . 8 (𝑦 ≤ (1 / 2) → if(𝑦 ≤ (1 / 2), (1 − (1 · (2 · 𝑦))), (1 − (1 · (1 − ((2 · 𝑦) − 1))))) = (1 − (1 · (2 · 𝑦))))
122121adantl 482 . . . . . . 7 (((𝐹 ∈ (II Cn 𝐽) ∧ 𝑦 ∈ (0[,]1)) ∧ 𝑦 ≤ (1 / 2)) → if(𝑦 ≤ (1 / 2), (1 − (1 · (2 · 𝑦))), (1 − (1 · (1 − ((2 · 𝑦) − 1))))) = (1 − (1 · (2 · 𝑦))))
123122fveq2d 6162 . . . . . 6 (((𝐹 ∈ (II Cn 𝐽) ∧ 𝑦 ∈ (0[,]1)) ∧ 𝑦 ≤ (1 / 2)) → (𝐹‘if(𝑦 ≤ (1 / 2), (1 − (1 · (2 · 𝑦))), (1 − (1 · (1 − ((2 · 𝑦) − 1)))))) = (𝐹‘(1 − (1 · (2 · 𝑦)))))
124 elii1 22674 . . . . . . . 8 (𝑦 ∈ (0[,](1 / 2)) ↔ (𝑦 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑦 ≤ (1 / 2)))
1258, 6pcoval1 22753 . . . . . . . . 9 ((𝐹 ∈ (II Cn 𝐽) ∧ 𝑦 ∈ (0[,](1 / 2))) → ((𝐺(*𝑝𝐽)𝐹)‘𝑦) = (𝐺‘(2 · 𝑦)))
126 iihalf1 22670 . . . . . . . . . . 11 (𝑦 ∈ (0[,](1 / 2)) → (2 · 𝑦) ∈ (0[,]1))
127126adantl 482 . . . . . . . . . 10 ((𝐹 ∈ (II Cn 𝐽) ∧ 𝑦 ∈ (0[,](1 / 2))) → (2 · 𝑦) ∈ (0[,]1))
128 oveq2 6623 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑥 = (2 · 𝑦) → (1 − 𝑥) = (1 − (2 · 𝑦)))
129128fveq2d 6162 . . . . . . . . . . . 12 (𝑥 = (2 · 𝑦) → (𝐹‘(1 − 𝑥)) = (𝐹‘(1 − (2 · 𝑦))))
130 fvex 6168 . . . . . . . . . . . 12 (𝐹‘(1 − (2 · 𝑦))) ∈ V
131129, 1, 130fvmpt 6249 . . . . . . . . . . 11 ((2 · 𝑦) ∈ (0[,]1) → (𝐺‘(2 · 𝑦)) = (𝐹‘(1 − (2 · 𝑦))))
132 unitssre 12277 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (0[,]1) ⊆ ℝ
133132sseli 3584 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((2 · 𝑦) ∈ (0[,]1) → (2 · 𝑦) ∈ ℝ)
134133recnd 10028 . . . . . . . . . . . . . 14 ((2 · 𝑦) ∈ (0[,]1) → (2 · 𝑦) ∈ ℂ)
135134mulid2d 10018 . . . . . . . . . . . . 13 ((2 · 𝑦) ∈ (0[,]1) → (1 · (2 · 𝑦)) = (2 · 𝑦))
136135oveq2d 6631 . . . . . . . . . . . 12 ((2 · 𝑦) ∈ (0[,]1) → (1 − (1 · (2 · 𝑦))) = (1 − (2 · 𝑦)))
137136fveq2d 6162 . . . . . . . . . . 11 ((2 · 𝑦) ∈ (0[,]1) → (𝐹‘(1 − (1 · (2 · 𝑦)))) = (𝐹‘(1 − (2 · 𝑦))))
138131, 137eqtr4d 2658 . . . . . . . . . 10 ((2 · 𝑦) ∈ (0[,]1) → (𝐺‘(2 · 𝑦)) = (𝐹‘(1 − (1 · (2 · 𝑦)))))
139127, 138syl 17 . . . . . . . . 9 ((𝐹 ∈ (II Cn 𝐽) ∧ 𝑦 ∈ (0[,](1 / 2))) → (𝐺‘(2 · 𝑦)) = (𝐹‘(1 − (1 · (2 · 𝑦)))))
140125, 139eqtrd 2655 . . . . . . . 8 ((𝐹 ∈ (II Cn 𝐽) ∧ 𝑦 ∈ (0[,](1 / 2))) → ((𝐺(*𝑝𝐽)𝐹)‘𝑦) = (𝐹‘(1 − (1 · (2 · 𝑦)))))
141124, 140sylan2br 493 . . . . . . 7 ((𝐹 ∈ (II Cn 𝐽) ∧ (𝑦 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑦 ≤ (1 / 2))) → ((𝐺(*𝑝𝐽)𝐹)‘𝑦) = (𝐹‘(1 − (1 · (2 · 𝑦)))))
142141anassrs 679 . . . . . 6 (((𝐹 ∈ (II Cn 𝐽) ∧ 𝑦 ∈ (0[,]1)) ∧ 𝑦 ≤ (1 / 2)) → ((𝐺(*𝑝𝐽)𝐹)‘𝑦) = (𝐹‘(1 − (1 · (2 · 𝑦)))))
143123, 142eqtr4d 2658 . . . . 5 (((𝐹 ∈ (II Cn 𝐽) ∧ 𝑦 ∈ (0[,]1)) ∧ 𝑦 ≤ (1 / 2)) → (𝐹‘if(𝑦 ≤ (1 / 2), (1 − (1 · (2 · 𝑦))), (1 − (1 · (1 − ((2 · 𝑦) − 1)))))) = ((𝐺(*𝑝𝐽)𝐹)‘𝑦))
144 iffalse 4073 . . . . . . . 8 𝑦 ≤ (1 / 2) → if(𝑦 ≤ (1 / 2), (1 − (1 · (2 · 𝑦))), (1 − (1 · (1 − ((2 · 𝑦) − 1))))) = (1 − (1 · (1 − ((2 · 𝑦) − 1)))))
145144adantl 482 . . . . . . 7 (((𝐹 ∈ (II Cn 𝐽) ∧ 𝑦 ∈ (0[,]1)) ∧ ¬ 𝑦 ≤ (1 / 2)) → if(𝑦 ≤ (1 / 2), (1 − (1 · (2 · 𝑦))), (1 − (1 · (1 − ((2 · 𝑦) − 1))))) = (1 − (1 · (1 − ((2 · 𝑦) − 1)))))
146145fveq2d 6162 . . . . . 6 (((𝐹 ∈ (II Cn 𝐽) ∧ 𝑦 ∈ (0[,]1)) ∧ ¬ 𝑦 ≤ (1 / 2)) → (𝐹‘if(𝑦 ≤ (1 / 2), (1 − (1 · (2 · 𝑦))), (1 − (1 · (1 − ((2 · 𝑦) − 1)))))) = (𝐹‘(1 − (1 · (1 − ((2 · 𝑦) − 1))))))
147 elii2 22675 . . . . . . . 8 ((𝑦 ∈ (0[,]1) ∧ ¬ 𝑦 ≤ (1 / 2)) → 𝑦 ∈ ((1 / 2)[,]1))
1488, 6, 16pcoval2 22756 . . . . . . . . 9 ((𝐹 ∈ (II Cn 𝐽) ∧ 𝑦 ∈ ((1 / 2)[,]1)) → ((𝐺(*𝑝𝐽)𝐹)‘𝑦) = (𝐹‘((2 · 𝑦) − 1)))
149 iihalf2 22672 . . . . . . . . . . . 12 (𝑦 ∈ ((1 / 2)[,]1) → ((2 · 𝑦) − 1) ∈ (0[,]1))
150149adantl 482 . . . . . . . . . . 11 ((𝐹 ∈ (II Cn 𝐽) ∧ 𝑦 ∈ ((1 / 2)[,]1)) → ((2 · 𝑦) − 1) ∈ (0[,]1))
151 ax-1cn 9954 . . . . . . . . . . . . . . 15 1 ∈ ℂ
152132sseli 3584 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((2 · 𝑦) − 1) ∈ (0[,]1) → ((2 · 𝑦) − 1) ∈ ℝ)
153152recnd 10028 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((2 · 𝑦) − 1) ∈ (0[,]1) → ((2 · 𝑦) − 1) ∈ ℂ)
154 subcl 10240 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((1 ∈ ℂ ∧ ((2 · 𝑦) − 1) ∈ ℂ) → (1 − ((2 · 𝑦) − 1)) ∈ ℂ)
155151, 153, 154sylancr 694 . . . . . . . . . . . . . 14 (((2 · 𝑦) − 1) ∈ (0[,]1) → (1 − ((2 · 𝑦) − 1)) ∈ ℂ)
156155mulid2d 10018 . . . . . . . . . . . . 13 (((2 · 𝑦) − 1) ∈ (0[,]1) → (1 · (1 − ((2 · 𝑦) − 1))) = (1 − ((2 · 𝑦) − 1)))
157156oveq2d 6631 . . . . . . . . . . . 12 (((2 · 𝑦) − 1) ∈ (0[,]1) → (1 − (1 · (1 − ((2 · 𝑦) − 1)))) = (1 − (1 − ((2 · 𝑦) − 1))))
158 nncan 10270 . . . . . . . . . . . . 13 ((1 ∈ ℂ ∧ ((2 · 𝑦) − 1) ∈ ℂ) → (1 − (1 − ((2 · 𝑦) − 1))) = ((2 · 𝑦) − 1))
159151, 153, 158sylancr 694 . . . . . . . . . . . 12 (((2 · 𝑦) − 1) ∈ (0[,]1) → (1 − (1 − ((2 · 𝑦) − 1))) = ((2 · 𝑦) − 1))
160157, 159eqtr2d 2656 . . . . . . . . . . 11 (((2 · 𝑦) − 1) ∈ (0[,]1) → ((2 · 𝑦) − 1) = (1 − (1 · (1 − ((2 · 𝑦) − 1)))))
161150, 160syl 17 . . . . . . . . . 10 ((𝐹 ∈ (II Cn 𝐽) ∧ 𝑦 ∈ ((1 / 2)[,]1)) → ((2 · 𝑦) − 1) = (1 − (1 · (1 − ((2 · 𝑦) − 1)))))
162161fveq2d 6162 . . . . . . . . 9 ((𝐹 ∈ (II Cn 𝐽) ∧ 𝑦 ∈ ((1 / 2)[,]1)) → (𝐹‘((2 · 𝑦) − 1)) = (𝐹‘(1 − (1 · (1 − ((2 · 𝑦) − 1))))))
163148, 162eqtrd 2655 . . . . . . . 8 ((𝐹 ∈ (II Cn 𝐽) ∧ 𝑦 ∈ ((1 / 2)[,]1)) → ((𝐺(*𝑝𝐽)𝐹)‘𝑦) = (𝐹‘(1 − (1 · (1 − ((2 · 𝑦) − 1))))))
164147, 163sylan2 491 . . . . . . 7 ((𝐹 ∈ (II Cn 𝐽) ∧ (𝑦 ∈ (0[,]1) ∧ ¬ 𝑦 ≤ (1 / 2))) → ((𝐺(*𝑝𝐽)𝐹)‘𝑦) = (𝐹‘(1 − (1 · (1 − ((2 · 𝑦) − 1))))))
165164anassrs 679 . . . . . 6 (((𝐹 ∈ (II Cn 𝐽) ∧ 𝑦 ∈ (0[,]1)) ∧ ¬ 𝑦 ≤ (1 / 2)) → ((𝐺(*𝑝𝐽)𝐹)‘𝑦) = (𝐹‘(1 − (1 · (1 − ((2 · 𝑦) − 1))))))
166146, 165eqtr4d 2658 . . . . 5 (((𝐹 ∈ (II Cn 𝐽) ∧ 𝑦 ∈ (0[,]1)) ∧ ¬ 𝑦 ≤ (1 / 2)) → (𝐹‘if(𝑦 ≤ (1 / 2), (1 − (1 · (2 · 𝑦))), (1 − (1 · (1 − ((2 · 𝑦) − 1)))))) = ((𝐺(*𝑝𝐽)𝐹)‘𝑦))
167143, 166pm2.61dan 831 . . . 4 ((𝐹 ∈ (II Cn 𝐽) ∧ 𝑦 ∈ (0[,]1)) → (𝐹‘if(𝑦 ≤ (1 / 2), (1 − (1 · (2 · 𝑦))), (1 − (1 · (1 − ((2 · 𝑦) − 1)))))) = ((𝐺(*𝑝𝐽)𝐹)‘𝑦))
168120, 167eqtrd 2655 . . 3 ((𝐹 ∈ (II Cn 𝐽) ∧ 𝑦 ∈ (0[,]1)) → (𝑦𝐻0) = ((𝐺(*𝑝𝐽)𝐹)‘𝑦))
169132sseli 3584 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑦 ∈ (0[,]1) → 𝑦 ∈ ℝ)
170169recnd 10028 . . . . . . . . . . . 12 (𝑦 ∈ (0[,]1) → 𝑦 ∈ ℂ)
171 mulcl 9980 . . . . . . . . . . . 12 ((2 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℂ) → (2 · 𝑦) ∈ ℂ)
17249, 170, 171sylancr 694 . . . . . . . . . . 11 (𝑦 ∈ (0[,]1) → (2 · 𝑦) ∈ ℂ)
173172adantl 482 . . . . . . . . . 10 ((𝐹 ∈ (II Cn 𝐽) ∧ 𝑦 ∈ (0[,]1)) → (2 · 𝑦) ∈ ℂ)
174173mul02d 10194 . . . . . . . . 9 ((𝐹 ∈ (II Cn 𝐽) ∧ 𝑦 ∈ (0[,]1)) → (0 · (2 · 𝑦)) = 0)
175174oveq2d 6631 . . . . . . . 8 ((𝐹 ∈ (II Cn 𝐽) ∧ 𝑦 ∈ (0[,]1)) → (1 − (0 · (2 · 𝑦))) = (1 − 0))
176175, 56syl6eq 2671 . . . . . . 7 ((𝐹 ∈ (II Cn 𝐽) ∧ 𝑦 ∈ (0[,]1)) → (1 − (0 · (2 · 𝑦))) = 1)
177 subcl 10240 . . . . . . . . . . . 12 (((2 · 𝑦) ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ) → ((2 · 𝑦) − 1) ∈ ℂ)
178173, 151, 177sylancl 693 . . . . . . . . . . 11 ((𝐹 ∈ (II Cn 𝐽) ∧ 𝑦 ∈ (0[,]1)) → ((2 · 𝑦) − 1) ∈ ℂ)
179151, 178, 154sylancr 694 . . . . . . . . . 10 ((𝐹 ∈ (II Cn 𝐽) ∧ 𝑦 ∈ (0[,]1)) → (1 − ((2 · 𝑦) − 1)) ∈ ℂ)
180179mul02d 10194 . . . . . . . . 9 ((𝐹 ∈ (II Cn 𝐽) ∧ 𝑦 ∈ (0[,]1)) → (0 · (1 − ((2 · 𝑦) − 1))) = 0)
181180oveq2d 6631 . . . . . . . 8 ((𝐹 ∈ (II Cn 𝐽) ∧ 𝑦 ∈ (0[,]1)) → (1 − (0 · (1 − ((2 · 𝑦) − 1)))) = (1 − 0))
182181, 56syl6eq 2671 . . . . . . 7 ((𝐹 ∈ (II Cn 𝐽) ∧ 𝑦 ∈ (0[,]1)) → (1 − (0 · (1 − ((2 · 𝑦) − 1)))) = 1)
183176, 182ifeq12d 4084 . . . . . 6 ((𝐹 ∈ (II Cn 𝐽) ∧ 𝑦 ∈ (0[,]1)) → if(𝑦 ≤ (1 / 2), (1 − (0 · (2 · 𝑦))), (1 − (0 · (1 − ((2 · 𝑦) − 1))))) = if(𝑦 ≤ (1 / 2), 1, 1))
184 ifid 4103 . . . . . 6 if(𝑦 ≤ (1 / 2), 1, 1) = 1
185183, 184syl6eq 2671 . . . . 5 ((𝐹 ∈ (II Cn 𝐽) ∧ 𝑦 ∈ (0[,]1)) → if(𝑦 ≤ (1 / 2), (1 − (0 · (2 · 𝑦))), (1 − (0 · (1 − ((2 · 𝑦) − 1))))) = 1)
186185fveq2d 6162 . . . 4 ((𝐹 ∈ (II Cn 𝐽) ∧ 𝑦 ∈ (0[,]1)) → (𝐹‘if(𝑦 ≤ (1 / 2), (1 − (0 · (2 · 𝑦))), (1 − (0 · (1 − ((2 · 𝑦) − 1)))))) = (𝐹‘1))
187 simpl 473 . . . . . . . . 9 ((𝑠 = 𝑦𝑡 = 1) → 𝑠 = 𝑦)
188187breq1d 4633 . . . . . . . 8 ((𝑠 = 𝑦𝑡 = 1) → (𝑠 ≤ (1 / 2) ↔ 𝑦 ≤ (1 / 2)))
189 simpr 477 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑠 = 𝑦𝑡 = 1) → 𝑡 = 1)
190189oveq2d 6631 . . . . . . . . . . 11 ((𝑠 = 𝑦𝑡 = 1) → (1 − 𝑡) = (1 − 1))
191190, 11syl6eq 2671 . . . . . . . . . 10 ((𝑠 = 𝑦𝑡 = 1) → (1 − 𝑡) = 0)
192187oveq2d 6631 . . . . . . . . . 10 ((𝑠 = 𝑦𝑡 = 1) → (2 · 𝑠) = (2 · 𝑦))
193191, 192oveq12d 6633 . . . . . . . . 9 ((𝑠 = 𝑦𝑡 = 1) → ((1 − 𝑡) · (2 · 𝑠)) = (0 · (2 · 𝑦)))
194193oveq2d 6631 . . . . . . . 8 ((𝑠 = 𝑦𝑡 = 1) → (1 − ((1 − 𝑡) · (2 · 𝑠))) = (1 − (0 · (2 · 𝑦))))
195192oveq1d 6630 . . . . . . . . . . 11 ((𝑠 = 𝑦𝑡 = 1) → ((2 · 𝑠) − 1) = ((2 · 𝑦) − 1))
196195oveq2d 6631 . . . . . . . . . 10 ((𝑠 = 𝑦𝑡 = 1) → (1 − ((2 · 𝑠) − 1)) = (1 − ((2 · 𝑦) − 1)))
197191, 196oveq12d 6633 . . . . . . . . 9 ((𝑠 = 𝑦𝑡 = 1) → ((1 − 𝑡) · (1 − ((2 · 𝑠) − 1))) = (0 · (1 − ((2 · 𝑦) − 1))))
198197oveq2d 6631 . . . . . . . 8 ((𝑠 = 𝑦𝑡 = 1) → (1 − ((1 − 𝑡) · (1 − ((2 · 𝑠) − 1)))) = (1 − (0 · (1 − ((2 · 𝑦) − 1)))))
199188, 194, 198ifbieq12d 4091 . . . . . . 7 ((𝑠 = 𝑦𝑡 = 1) → if(𝑠 ≤ (1 / 2), (1 − ((1 − 𝑡) · (2 · 𝑠))), (1 − ((1 − 𝑡) · (1 − ((2 · 𝑠) − 1))))) = if(𝑦 ≤ (1 / 2), (1 − (0 · (2 · 𝑦))), (1 − (0 · (1 − ((2 · 𝑦) − 1))))))
200199fveq2d 6162 . . . . . 6 ((𝑠 = 𝑦𝑡 = 1) → (𝐹‘if(𝑠 ≤ (1 / 2), (1 − ((1 − 𝑡) · (2 · 𝑠))), (1 − ((1 − 𝑡) · (1 − ((2 · 𝑠) − 1)))))) = (𝐹‘if(𝑦 ≤ (1 / 2), (1 − (0 · (2 · 𝑦))), (1 − (0 · (1 − ((2 · 𝑦) − 1)))))))
201 fvex 6168 . . . . . 6 (𝐹‘if(𝑦 ≤ (1 / 2), (1 − (0 · (2 · 𝑦))), (1 − (0 · (1 − ((2 · 𝑦) − 1)))))) ∈ V
202200, 30, 201ovmpt2a 6756 . . . . 5 ((𝑦 ∈ (0[,]1) ∧ 1 ∈ (0[,]1)) → (𝑦𝐻1) = (𝐹‘if(𝑦 ≤ (1 / 2), (1 − (0 · (2 · 𝑦))), (1 − (0 · (1 − ((2 · 𝑦) − 1)))))))
203102, 9, 202sylancl 693 . . . 4 ((𝐹 ∈ (II Cn 𝐽) ∧ 𝑦 ∈ (0[,]1)) → (𝑦𝐻1) = (𝐹‘if(𝑦 ≤ (1 / 2), (1 − (0 · (2 · 𝑦))), (1 − (0 · (1 − ((2 · 𝑦) − 1)))))))
20426fveq1i 6159 . . . . 5 (𝑃𝑦) = (((0[,]1) × {(𝐹‘1)})‘𝑦)
205 fvex 6168 . . . . . . 7 (𝐹‘1) ∈ V
206205fvconst2 6434 . . . . . 6 (𝑦 ∈ (0[,]1) → (((0[,]1) × {(𝐹‘1)})‘𝑦) = (𝐹‘1))
207206adantl 482 . . . . 5 ((𝐹 ∈ (II Cn 𝐽) ∧ 𝑦 ∈ (0[,]1)) → (((0[,]1) × {(𝐹‘1)})‘𝑦) = (𝐹‘1))
208204, 207syl5eq 2667 . . . 4 ((𝐹 ∈ (II Cn 𝐽) ∧ 𝑦 ∈ (0[,]1)) → (𝑃𝑦) = (𝐹‘1))
209186, 203, 2083eqtr4d 2665 . . 3 ((𝐹 ∈ (II Cn 𝐽) ∧ 𝑦 ∈ (0[,]1)) → (𝑦𝐻1) = (𝑃𝑦))
210 simpl 473 . . . . . . . . . . 11 ((𝑠 = 0 ∧ 𝑡 = 𝑦) → 𝑠 = 0)
211210, 40syl6eqbr 4662 . . . . . . . . . 10 ((𝑠 = 0 ∧ 𝑡 = 𝑦) → 𝑠 ≤ (1 / 2))
212211iftrued 4072 . . . . . . . . 9 ((𝑠 = 0 ∧ 𝑡 = 𝑦) → if(𝑠 ≤ (1 / 2), (1 − ((1 − 𝑡) · (2 · 𝑠))), (1 − ((1 − 𝑡) · (1 − ((2 · 𝑠) − 1))))) = (1 − ((1 − 𝑡) · (2 · 𝑠))))
213 simpr 477 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑠 = 0 ∧ 𝑡 = 𝑦) → 𝑡 = 𝑦)
214213oveq2d 6631 . . . . . . . . . . 11 ((𝑠 = 0 ∧ 𝑡 = 𝑦) → (1 − 𝑡) = (1 − 𝑦))
215210oveq2d 6631 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑠 = 0 ∧ 𝑡 = 𝑦) → (2 · 𝑠) = (2 · 0))
216 2t0e0 11143 . . . . . . . . . . . 12 (2 · 0) = 0
217215, 216syl6eq 2671 . . . . . . . . . . 11 ((𝑠 = 0 ∧ 𝑡 = 𝑦) → (2 · 𝑠) = 0)
218214, 217oveq12d 6633 . . . . . . . . . 10 ((𝑠 = 0 ∧ 𝑡 = 𝑦) → ((1 − 𝑡) · (2 · 𝑠)) = ((1 − 𝑦) · 0))
219218oveq2d 6631 . . . . . . . . 9 ((𝑠 = 0 ∧ 𝑡 = 𝑦) → (1 − ((1 − 𝑡) · (2 · 𝑠))) = (1 − ((1 − 𝑦) · 0)))
220212, 219eqtrd 2655 . . . . . . . 8 ((𝑠 = 0 ∧ 𝑡 = 𝑦) → if(𝑠 ≤ (1 / 2), (1 − ((1 − 𝑡) · (2 · 𝑠))), (1 − ((1 − 𝑡) · (1 − ((2 · 𝑠) − 1))))) = (1 − ((1 − 𝑦) · 0)))
221220fveq2d 6162 . . . . . . 7 ((𝑠 = 0 ∧ 𝑡 = 𝑦) → (𝐹‘if(𝑠 ≤ (1 / 2), (1 − ((1 − 𝑡) · (2 · 𝑠))), (1 − ((1 − 𝑡) · (1 − ((2 · 𝑠) − 1)))))) = (𝐹‘(1 − ((1 − 𝑦) · 0))))
222 fvex 6168 . . . . . . 7 (𝐹‘(1 − ((1 − 𝑦) · 0))) ∈ V
223221, 30, 222ovmpt2a 6756 . . . . . 6 ((0 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑦 ∈ (0[,]1)) → (0𝐻𝑦) = (𝐹‘(1 − ((1 − 𝑦) · 0))))
224103, 223mpan 705 . . . . 5 (𝑦 ∈ (0[,]1) → (0𝐻𝑦) = (𝐹‘(1 − ((1 − 𝑦) · 0))))
225 subcl 10240 . . . . . . . . . 10 ((1 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℂ) → (1 − 𝑦) ∈ ℂ)
226151, 170, 225sylancr 694 . . . . . . . . 9 (𝑦 ∈ (0[,]1) → (1 − 𝑦) ∈ ℂ)
227226mul01d 10195 . . . . . . . 8 (𝑦 ∈ (0[,]1) → ((1 − 𝑦) · 0) = 0)
228227oveq2d 6631 . . . . . . 7 (𝑦 ∈ (0[,]1) → (1 − ((1 − 𝑦) · 0)) = (1 − 0))
229228, 56syl6eq 2671 . . . . . 6 (𝑦 ∈ (0[,]1) → (1 − ((1 − 𝑦) · 0)) = 1)
230229fveq2d 6162 . . . . 5 (𝑦 ∈ (0[,]1) → (𝐹‘(1 − ((1 − 𝑦) · 0))) = (𝐹‘1))
231224, 230eqtrd 2655 . . . 4 (𝑦 ∈ (0[,]1) → (0𝐻𝑦) = (𝐹‘1))
2328, 6pco0 22754 . . . . 5 (𝐹 ∈ (II Cn 𝐽) → ((𝐺(*𝑝𝐽)𝐹)‘0) = (𝐺‘0))
233 oveq2 6623 . . . . . . . . 9 (𝑥 = 0 → (1 − 𝑥) = (1 − 0))
234233, 56syl6eq 2671 . . . . . . . 8 (𝑥 = 0 → (1 − 𝑥) = 1)
235234fveq2d 6162 . . . . . . 7 (𝑥 = 0 → (𝐹‘(1 − 𝑥)) = (𝐹‘1))
236235, 1, 205fvmpt 6249 . . . . . 6 (0 ∈ (0[,]1) → (𝐺‘0) = (𝐹‘1))
237103, 236ax-mp 5 . . . . 5 (𝐺‘0) = (𝐹‘1)
238232, 237syl6req 2672 . . . 4 (𝐹 ∈ (II Cn 𝐽) → (𝐹‘1) = ((𝐺(*𝑝𝐽)𝐹)‘0))
239231, 238sylan9eqr 2677 . . 3 ((𝐹 ∈ (II Cn 𝐽) ∧ 𝑦 ∈ (0[,]1)) → (0𝐻𝑦) = ((𝐺(*𝑝𝐽)𝐹)‘0))
24037, 41ltnlei 10118 . . . . . . . . . . . 12 ((1 / 2) < 1 ↔ ¬ 1 ≤ (1 / 2))
24142, 240mpbi 220 . . . . . . . . . . 11 ¬ 1 ≤ (1 / 2)
242 simpl 473 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑠 = 1 ∧ 𝑡 = 𝑦) → 𝑠 = 1)
243242breq1d 4633 . . . . . . . . . . 11 ((𝑠 = 1 ∧ 𝑡 = 𝑦) → (𝑠 ≤ (1 / 2) ↔ 1 ≤ (1 / 2)))
244241, 243mtbiri 317 . . . . . . . . . 10 ((𝑠 = 1 ∧ 𝑡 = 𝑦) → ¬ 𝑠 ≤ (1 / 2))
245244iffalsed 4075 . . . . . . . . 9 ((𝑠 = 1 ∧ 𝑡 = 𝑦) → if(𝑠 ≤ (1 / 2), (1 − ((1 − 𝑡) · (2 · 𝑠))), (1 − ((1 − 𝑡) · (1 − ((2 · 𝑠) − 1))))) = (1 − ((1 − 𝑡) · (1 − ((2 · 𝑠) − 1)))))
246 simpr 477 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑠 = 1 ∧ 𝑡 = 𝑦) → 𝑡 = 𝑦)
247246oveq2d 6631 . . . . . . . . . . 11 ((𝑠 = 1 ∧ 𝑡 = 𝑦) → (1 − 𝑡) = (1 − 𝑦))
248242oveq2d 6631 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑠 = 1 ∧ 𝑡 = 𝑦) → (2 · 𝑠) = (2 · 1))
249 2t1e2 11136 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (2 · 1) = 2
250248, 249syl6eq 2671 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑠 = 1 ∧ 𝑡 = 𝑦) → (2 · 𝑠) = 2)
251250oveq1d 6630 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑠 = 1 ∧ 𝑡 = 𝑦) → ((2 · 𝑠) − 1) = (2 − 1))
252 2m1e1 11095 . . . . . . . . . . . . . 14 (2 − 1) = 1
253251, 252syl6eq 2671 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑠 = 1 ∧ 𝑡 = 𝑦) → ((2 · 𝑠) − 1) = 1)
254253oveq2d 6631 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑠 = 1 ∧ 𝑡 = 𝑦) → (1 − ((2 · 𝑠) − 1)) = (1 − 1))
255254, 11syl6eq 2671 . . . . . . . . . . 11 ((𝑠 = 1 ∧ 𝑡 = 𝑦) → (1 − ((2 · 𝑠) − 1)) = 0)
256247, 255oveq12d 6633 . . . . . . . . . 10 ((𝑠 = 1 ∧ 𝑡 = 𝑦) → ((1 − 𝑡) · (1 − ((2 · 𝑠) − 1))) = ((1 − 𝑦) · 0))
257256oveq2d 6631 . . . . . . . . 9 ((𝑠 = 1 ∧ 𝑡 = 𝑦) → (1 − ((1 − 𝑡) · (1 − ((2 · 𝑠) − 1)))) = (1 − ((1 − 𝑦) · 0)))
258245, 257eqtrd 2655 . . . . . . . 8 ((𝑠 = 1 ∧ 𝑡 = 𝑦) → if(𝑠 ≤ (1 / 2), (1 − ((1 − 𝑡) · (2 · 𝑠))), (1 − ((1 − 𝑡) · (1 − ((2 · 𝑠) − 1))))) = (1 − ((1 − 𝑦) · 0)))
259258fveq2d 6162 . . . . . . 7 ((𝑠 = 1 ∧ 𝑡 = 𝑦) → (𝐹‘if(𝑠 ≤ (1 / 2), (1 − ((1 − 𝑡) · (2 · 𝑠))), (1 − ((1 − 𝑡) · (1 − ((2 · 𝑠) − 1)))))) = (𝐹‘(1 − ((1 − 𝑦) · 0))))
260259, 30, 222ovmpt2a 6756 . . . . . 6 ((1 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑦 ∈ (0[,]1)) → (1𝐻𝑦) = (𝐹‘(1 − ((1 − 𝑦) · 0))))
2619, 260mpan 705 . . . . 5 (𝑦 ∈ (0[,]1) → (1𝐻𝑦) = (𝐹‘(1 − ((1 − 𝑦) · 0))))
262261, 230eqtrd 2655 . . . 4 (𝑦 ∈ (0[,]1) → (1𝐻𝑦) = (𝐹‘1))
2638, 6pco1 22755 . . . . 5 (𝐹 ∈ (II Cn 𝐽) → ((𝐺(*𝑝𝐽)𝐹)‘1) = (𝐹‘1))
264263eqcomd 2627 . . . 4 (𝐹 ∈ (II Cn 𝐽) → (𝐹‘1) = ((𝐺(*𝑝𝐽)𝐹)‘1))
265262, 264sylan9eqr 2677 . . 3 ((𝐹 ∈ (II Cn 𝐽) ∧ 𝑦 ∈ (0[,]1)) → (1𝐻𝑦) = ((𝐺(*𝑝𝐽)𝐹)‘1))
26617, 29, 101, 168, 209, 239, 265isphtpy2d 22726 . 2 (𝐹 ∈ (II Cn 𝐽) → 𝐻 ∈ ((𝐺(*𝑝𝐽)𝐹)(PHtpy‘𝐽)𝑃))
267 ne0i 3903 . . . 4 (𝐻 ∈ ((𝐺(*𝑝𝐽)𝐹)(PHtpy‘𝐽)𝑃) → ((𝐺(*𝑝𝐽)𝐹)(PHtpy‘𝐽)𝑃) ≠ ∅)
268266, 267syl 17 . . 3 (𝐹 ∈ (II Cn 𝐽) → ((𝐺(*𝑝𝐽)𝐹)(PHtpy‘𝐽)𝑃) ≠ ∅)
269 isphtpc 22733 . . 3 ((𝐺(*𝑝𝐽)𝐹)( ≃ph𝐽)𝑃 ↔ ((𝐺(*𝑝𝐽)𝐹) ∈ (II Cn 𝐽) ∧ 𝑃 ∈ (II Cn 𝐽) ∧ ((𝐺(*𝑝𝐽)𝐹)(PHtpy‘𝐽)𝑃) ≠ ∅))
27017, 29, 268, 269syl3anbrc 1244 . 2 (𝐹 ∈ (II Cn 𝐽) → (𝐺(*𝑝𝐽)𝐹)( ≃ph𝐽)𝑃)
271266, 270jca 554 1 (𝐹 ∈ (II Cn 𝐽) → (𝐻 ∈ ((𝐺(*𝑝𝐽)𝐹)(PHtpy‘𝐽)𝑃) ∧ (𝐺(*𝑝𝐽)𝐹)( ≃ph𝐽)𝑃))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wa 384  w3a 1036   = wceq 1480  wcel 1987  wne 2790  wss 3560  c0 3897  ifcif 4064  {csn 4155   cuni 4409   class class class wbr 4623  cmpt 4683   × cxp 5082  ran crn 5085  wf 5853  cfv 5857  (class class class)co 6615  cmpt2 6617  cc 9894  cr 9895  0cc0 9896  1c1 9897   · cmul 9901   < clt 10034  cle 10035  cmin 10226   / cdiv 10644  2c2 11030  (,)cioo 12133  [,]cicc 12136  t crest 16021  topGenctg 16038  Topctop 20638  TopOnctopon 20655   Cn ccn 20968   ×t ctx 21303  IIcii 22618  PHtpycphtpy 22707  phcphtpc 22708  *𝑝cpco 22740
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1719  ax-4 1734  ax-5 1836  ax-6 1885  ax-7 1932  ax-8 1989  ax-9 1996  ax-10 2016  ax-11 2031  ax-12 2044  ax-13 2245  ax-ext 2601  ax-rep 4741  ax-sep 4751  ax-nul 4759  ax-pow 4813  ax-pr 4877  ax-un 6914  ax-inf2 8498  ax-cnex 9952  ax-resscn 9953  ax-1cn 9954  ax-icn 9955  ax-addcl 9956  ax-addrcl 9957  ax-mulcl 9958  ax-mulrcl 9959  ax-mulcom 9960  ax-addass 9961  ax-mulass 9962  ax-distr 9963  ax-i2m1 9964  ax-1ne0 9965  ax-1rid 9966  ax-rnegex 9967  ax-rrecex 9968  ax-cnre 9969  ax-pre-lttri 9970  ax-pre-lttrn 9971  ax-pre-ltadd 9972  ax-pre-mulgt0 9973  ax-pre-sup 9974  ax-mulf 9976
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1037  df-3an 1038  df-tru 1483  df-ex 1702  df-nf 1707  df-sb 1878  df-eu 2473  df-mo 2474  df-clab 2608  df-cleq 2614  df-clel 2617  df-nfc 2750  df-ne 2791  df-nel 2894  df-ral 2913  df-rex 2914  df-reu 2915  df-rmo 2916  df-rab 2917  df-v 3192  df-sbc 3423  df-csb 3520  df-dif 3563  df-un 3565  df-in 3567  df-ss 3574  df-pss 3576  df-nul 3898  df-if 4065  df-pw 4138  df-sn 4156  df-pr 4158  df-tp 4160  df-op 4162  df-uni 4410  df-int 4448  df-iun 4494  df-iin 4495  df-br 4624  df-opab 4684  df-mpt 4685  df-tr 4723  df-eprel 4995  df-id 4999  df-po 5005  df-so 5006  df-fr 5043  df-se 5044  df-we 5045  df-xp 5090  df-rel 5091  df-cnv 5092  df-co 5093  df-dm 5094  df-rn 5095  df-res 5096  df-ima 5097  df-pred 5649  df-ord 5695  df-on 5696  df-lim 5697  df-suc 5698  df-iota 5820  df-fun 5859  df-fn 5860  df-f 5861  df-f1 5862  df-fo 5863  df-f1o 5864  df-fv 5865  df-isom 5866  df-riota 6576  df-ov 6618  df-oprab 6619  df-mpt2 6620  df-of 6862  df-om 7028  df-1st 7128  df-2nd 7129  df-supp 7256  df-wrecs 7367  df-recs 7428  df-rdg 7466  df-1o 7520  df-2o 7521  df-oadd 7524  df-er 7702  df-map 7819  df-ixp 7869  df-en 7916  df-dom 7917  df-sdom 7918  df-fin 7919  df-fsupp 8236  df-fi 8277  df-sup 8308  df-inf 8309  df-oi 8375  df-card 8725  df-cda 8950  df-pnf 10036  df-mnf 10037  df-xr 10038  df-ltxr 10039  df-le 10040  df-sub 10228  df-neg 10229  df-div 10645  df-nn 10981  df-2 11039  df-3 11040  df-4 11041  df-5 11042  df-6 11043  df-7 11044  df-8 11045  df-9 11046  df-n0 11253  df-z 11338  df-dec 11454  df-uz 11648  df-q 11749  df-rp 11793  df-xneg 11906  df-xadd 11907  df-xmul 11908  df-ioo 12137  df-icc 12140  df-fz 12285  df-fzo 12423  df-seq 12758  df-exp 12817  df-hash 13074  df-cj 13789  df-re 13790  df-im 13791  df-sqrt 13925  df-abs 13926  df-struct 15802  df-ndx 15803  df-slot 15804  df-base 15805  df-sets 15806  df-ress 15807  df-plusg 15894  df-mulr 15895  df-starv 15896  df-sca 15897  df-vsca 15898  df-ip 15899  df-tset 15900  df-ple 15901  df-ds 15904  df-unif 15905  df-hom 15906  df-cco 15907  df-rest 16023  df-topn 16024  df-0g 16042  df-gsum 16043  df-topgen 16044  df-pt 16045  df-prds 16048  df-xrs 16102  df-qtop 16107  df-imas 16108  df-xps 16110  df-mre 16186  df-mrc 16187  df-acs 16189  df-mgm 17182  df-sgrp 17224  df-mnd 17235  df-submnd 17276  df-mulg 17481  df-cntz 17690  df-cmn 18135  df-psmet 19678  df-xmet 19679  df-met 19680  df-bl 19681  df-mopn 19682  df-cnfld 19687  df-top 20639  df-topon 20656  df-topsp 20677  df-bases 20690  df-cld 20763  df-cn 20971  df-cnp 20972  df-tx 21305  df-hmeo 21498  df-xms 22065  df-ms 22066  df-tms 22067  df-ii 22620  df-htpy 22709  df-phtpy 22710  df-phtpc 22731  df-pco 22745
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