Theorem pcoval1 23619

Description: Evaluate the concatenation of two paths on the first half. (Contributed by Jeff Madsen, 15-Jun-2010.) (Revised by Mario Carneiro, 7-Jun-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
pcoval.2	⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ (II Cn 𝐽))
pcoval.3	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ (II Cn 𝐽))

Assertion

Ref	Expression
pcoval1	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ (0[,](1 / 2))) → ((𝐹(*𝑝‘𝐽)𝐺)‘𝑋) = (𝐹‘(2 · 𝑋)))

Proof of Theorem pcoval1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		0re 10645	. . . . 5 ⊢ 0 ∈ ℝ
2		1re 10643	. . . . 5 ⊢ 1 ∈ ℝ
3		0le0 11741	. . . . 5 ⊢ 0 ≤ 0
4		halfre 11854	. . . . . 6 ⊢ (1 / 2) ∈ ℝ
5		halflt1 11858	. . . . . 6 ⊢ (1 / 2) < 1
6	4, 2, 5	ltleii 10765	. . . . 5 ⊢ (1 / 2) ≤ 1
7		iccss 12807	. . . . 5 ⊢ (((0 ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ) ∧ (0 ≤ 0 ∧ (1 / 2) ≤ 1)) → (0[,](1 / 2)) ⊆ (0[,]1))
8	1, 2, 3, 6, 7	mp4an 691	. . . 4 ⊢ (0[,](1 / 2)) ⊆ (0[,]1)
9	8	sseli 3965	. . 3 ⊢ (𝑋 ∈ (0[,](1 / 2)) → 𝑋 ∈ (0[,]1))
10		pcoval.2	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ (II Cn 𝐽))
11		pcoval.3	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ (II Cn 𝐽))
12	10, 11	pcovalg 23618	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ (0[,]1)) → ((𝐹(*𝑝‘𝐽)𝐺)‘𝑋) = if(𝑋 ≤ (1 / 2), (𝐹‘(2 · 𝑋)), (𝐺‘((2 · 𝑋) − 1))))
13	9, 12	sylan2 594	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ (0[,](1 / 2))) → ((𝐹(*𝑝‘𝐽)𝐺)‘𝑋) = if(𝑋 ≤ (1 / 2), (𝐹‘(2 · 𝑋)), (𝐺‘((2 · 𝑋) − 1))))
14		elii1 23541	. . . . 5 ⊢ (𝑋 ∈ (0[,](1 / 2)) ↔ (𝑋 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑋 ≤ (1 / 2)))
15	14	simprbi 499	. . . 4 ⊢ (𝑋 ∈ (0[,](1 / 2)) → 𝑋 ≤ (1 / 2))
16	15	iftrued 4477	. . 3 ⊢ (𝑋 ∈ (0[,](1 / 2)) → if(𝑋 ≤ (1 / 2), (𝐹‘(2 · 𝑋)), (𝐺‘((2 · 𝑋) − 1))) = (𝐹‘(2 · 𝑋)))
17	16	adantl 484	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ (0[,](1 / 2))) → if(𝑋 ≤ (1 / 2), (𝐹‘(2 · 𝑋)), (𝐺‘((2 · 𝑋) − 1))) = (𝐹‘(2 · 𝑋)))
18	13, 17	eqtrd 2858	1 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ (0[,](1 / 2))) → ((𝐹(*𝑝‘𝐽)𝐺)‘𝑋) = (𝐹‘(2 · 𝑋)))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 398   = wceq 1537   ∈ wcel 2114   ⊆ wss 3938  ifcif 4469   class class class wbr 5068  ‘cfv 6357  (class class class)co 7158  ℝcr 10538  0cc0 10539  1c1 10540   · cmul 10544   ≤ cle 10678   − cmin 10872   / cdiv 11299  2c2 11695  [,]cicc 12744   Cn ccn 21834  IIcii 23485  *_𝑝cpco 23606

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2145  ax-11 2161  ax-12 2177  ax-ext 2795  ax-rep 5192  ax-sep 5205  ax-nul 5212  ax-pow 5268  ax-pr 5332  ax-un 7463  ax-cnex 10595  ax-resscn 10596  ax-1cn 10597  ax-icn 10598  ax-addcl 10599  ax-addrcl 10600  ax-mulcl 10601  ax-mulrcl 10602  ax-mulcom 10603  ax-addass 10604  ax-mulass 10605  ax-distr 10606  ax-i2m1 10607  ax-1ne0 10608  ax-1rid 10609  ax-rnegex 10610  ax-rrecex 10611  ax-cnre 10612  ax-pre-lttri 10613  ax-pre-lttrn 10614  ax-pre-ltadd 10615  ax-pre-mulgt0 10616

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3or 1084  df-3an 1085  df-tru 1540  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2070  df-mo 2622  df-eu 2654  df-clab 2802  df-cleq 2816  df-clel 2895  df-nfc 2965  df-ne 3019  df-nel 3126  df-ral 3145  df-rex 3146  df-reu 3147  df-rmo 3148  df-rab 3149  df-v 3498  df-sbc 3775  df-csb 3886  df-dif 3941  df-un 3943  df-in 3945  df-ss 3954  df-nul 4294  df-if 4470  df-pw 4543  df-sn 4570  df-pr 4572  df-op 4576  df-uni 4841  df-iun 4923  df-br 5069  df-opab 5131  df-mpt 5149  df-id 5462  df-po 5476  df-so 5477  df-xp 5563  df-rel 5564  df-cnv 5565  df-co 5566  df-dm 5567  df-rn 5568  df-res 5569  df-ima 5570  df-iota 6316  df-fun 6359  df-fn 6360  df-f 6361  df-f1 6362  df-fo 6363  df-f1o 6364  df-fv 6365  df-riota 7116  df-ov 7161  df-oprab 7162  df-mpo 7163  df-1st 7691  df-2nd 7692  df-er 8291  df-map 8410  df-en 8512  df-dom 8513  df-sdom 8514  df-pnf 10679  df-mnf 10680  df-xr 10681  df-ltxr 10682  df-le 10683  df-sub 10874  df-neg 10875  df-div 11300  df-2 11703  df-icc 12748  df-top 21504  df-topon 21521  df-cn 21837  df-pco 23611

This theorem is referenced by:  pco0  23620  pcoass  23630  pcorevlem  23632