MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  pcoval2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem pcoval2 22797
Description: Evaluate the concatenation of two paths on the second half. (Contributed by Jeff Madsen, 15-Jun-2010.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 7-Jun-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
pcoval.2 (𝜑𝐹 ∈ (II Cn 𝐽))
pcoval.3 (𝜑𝐺 ∈ (II Cn 𝐽))
pcoval2.4 (𝜑 → (𝐹‘1) = (𝐺‘0))
Assertion
Ref Expression
pcoval2 ((𝜑𝑋 ∈ ((1 / 2)[,]1)) → ((𝐹(*𝑝𝐽)𝐺)‘𝑋) = (𝐺‘((2 · 𝑋) − 1)))

Proof of Theorem pcoval2
StepHypRef Expression
1 0re 10025 . . . . 5 0 ∈ ℝ
2 1re 10024 . . . . 5 1 ∈ ℝ
3 halfre 11231 . . . . . 6 (1 / 2) ∈ ℝ
4 halfgt0 11233 . . . . . 6 0 < (1 / 2)
51, 3, 4ltleii 10145 . . . . 5 0 ≤ (1 / 2)
6 1le1 10640 . . . . 5 1 ≤ 1
7 iccss 12226 . . . . 5 (((0 ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ) ∧ (0 ≤ (1 / 2) ∧ 1 ≤ 1)) → ((1 / 2)[,]1) ⊆ (0[,]1))
81, 2, 5, 6, 7mp4an 708 . . . 4 ((1 / 2)[,]1) ⊆ (0[,]1)
98sseli 3591 . . 3 (𝑋 ∈ ((1 / 2)[,]1) → 𝑋 ∈ (0[,]1))
10 pcoval.2 . . . 4 (𝜑𝐹 ∈ (II Cn 𝐽))
11 pcoval.3 . . . 4 (𝜑𝐺 ∈ (II Cn 𝐽))
1210, 11pcovalg 22793 . . 3 ((𝜑𝑋 ∈ (0[,]1)) → ((𝐹(*𝑝𝐽)𝐺)‘𝑋) = if(𝑋 ≤ (1 / 2), (𝐹‘(2 · 𝑋)), (𝐺‘((2 · 𝑋) − 1))))
139, 12sylan2 491 . 2 ((𝜑𝑋 ∈ ((1 / 2)[,]1)) → ((𝐹(*𝑝𝐽)𝐺)‘𝑋) = if(𝑋 ≤ (1 / 2), (𝐹‘(2 · 𝑋)), (𝐺‘((2 · 𝑋) − 1))))
14 pcoval2.4 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝐹‘1) = (𝐺‘0))
1514adantr 481 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝑋 ∈ ((1 / 2)[,]1) ∧ 𝑋 ≤ (1 / 2))) → (𝐹‘1) = (𝐺‘0))
16 simprr 795 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑 ∧ (𝑋 ∈ ((1 / 2)[,]1) ∧ 𝑋 ≤ (1 / 2))) → 𝑋 ≤ (1 / 2))
173, 2elicc2i 12224 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑋 ∈ ((1 / 2)[,]1) ↔ (𝑋 ∈ ℝ ∧ (1 / 2) ≤ 𝑋𝑋 ≤ 1))
1817simp2bi 1075 . . . . . . . . . . . 12 (𝑋 ∈ ((1 / 2)[,]1) → (1 / 2) ≤ 𝑋)
1918ad2antrl 763 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑 ∧ (𝑋 ∈ ((1 / 2)[,]1) ∧ 𝑋 ≤ (1 / 2))) → (1 / 2) ≤ 𝑋)
2017simp1bi 1074 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑋 ∈ ((1 / 2)[,]1) → 𝑋 ∈ ℝ)
2120ad2antrl 763 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑 ∧ (𝑋 ∈ ((1 / 2)[,]1) ∧ 𝑋 ≤ (1 / 2))) → 𝑋 ∈ ℝ)
22 letri3 10108 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑋 ∈ ℝ ∧ (1 / 2) ∈ ℝ) → (𝑋 = (1 / 2) ↔ (𝑋 ≤ (1 / 2) ∧ (1 / 2) ≤ 𝑋)))
2321, 3, 22sylancl 693 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑 ∧ (𝑋 ∈ ((1 / 2)[,]1) ∧ 𝑋 ≤ (1 / 2))) → (𝑋 = (1 / 2) ↔ (𝑋 ≤ (1 / 2) ∧ (1 / 2) ≤ 𝑋)))
2416, 19, 23mpbir2and 956 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ (𝑋 ∈ ((1 / 2)[,]1) ∧ 𝑋 ≤ (1 / 2))) → 𝑋 = (1 / 2))
2524oveq2d 6651 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ (𝑋 ∈ ((1 / 2)[,]1) ∧ 𝑋 ≤ (1 / 2))) → (2 · 𝑋) = (2 · (1 / 2)))
26 2cn 11076 . . . . . . . . . 10 2 ∈ ℂ
27 2ne0 11098 . . . . . . . . . 10 2 ≠ 0
2826, 27recidi 10741 . . . . . . . . 9 (2 · (1 / 2)) = 1
2925, 28syl6eq 2670 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ (𝑋 ∈ ((1 / 2)[,]1) ∧ 𝑋 ≤ (1 / 2))) → (2 · 𝑋) = 1)
3029fveq2d 6182 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝑋 ∈ ((1 / 2)[,]1) ∧ 𝑋 ≤ (1 / 2))) → (𝐹‘(2 · 𝑋)) = (𝐹‘1))
3129oveq1d 6650 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ (𝑋 ∈ ((1 / 2)[,]1) ∧ 𝑋 ≤ (1 / 2))) → ((2 · 𝑋) − 1) = (1 − 1))
32 1m1e0 11074 . . . . . . . . 9 (1 − 1) = 0
3331, 32syl6eq 2670 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ (𝑋 ∈ ((1 / 2)[,]1) ∧ 𝑋 ≤ (1 / 2))) → ((2 · 𝑋) − 1) = 0)
3433fveq2d 6182 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝑋 ∈ ((1 / 2)[,]1) ∧ 𝑋 ≤ (1 / 2))) → (𝐺‘((2 · 𝑋) − 1)) = (𝐺‘0))
3515, 30, 343eqtr4d 2664 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝑋 ∈ ((1 / 2)[,]1) ∧ 𝑋 ≤ (1 / 2))) → (𝐹‘(2 · 𝑋)) = (𝐺‘((2 · 𝑋) − 1)))
3635ifeq1d 4095 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝑋 ∈ ((1 / 2)[,]1) ∧ 𝑋 ≤ (1 / 2))) → if(𝑋 ≤ (1 / 2), (𝐹‘(2 · 𝑋)), (𝐺‘((2 · 𝑋) − 1))) = if(𝑋 ≤ (1 / 2), (𝐺‘((2 · 𝑋) − 1)), (𝐺‘((2 · 𝑋) − 1))))
37 ifid 4116 . . . . 5 if(𝑋 ≤ (1 / 2), (𝐺‘((2 · 𝑋) − 1)), (𝐺‘((2 · 𝑋) − 1))) = (𝐺‘((2 · 𝑋) − 1))
3836, 37syl6eq 2670 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝑋 ∈ ((1 / 2)[,]1) ∧ 𝑋 ≤ (1 / 2))) → if(𝑋 ≤ (1 / 2), (𝐹‘(2 · 𝑋)), (𝐺‘((2 · 𝑋) − 1))) = (𝐺‘((2 · 𝑋) − 1)))
3938expr 642 . . 3 ((𝜑𝑋 ∈ ((1 / 2)[,]1)) → (𝑋 ≤ (1 / 2) → if(𝑋 ≤ (1 / 2), (𝐹‘(2 · 𝑋)), (𝐺‘((2 · 𝑋) − 1))) = (𝐺‘((2 · 𝑋) − 1))))
40 iffalse 4086 . . 3 𝑋 ≤ (1 / 2) → if(𝑋 ≤ (1 / 2), (𝐹‘(2 · 𝑋)), (𝐺‘((2 · 𝑋) − 1))) = (𝐺‘((2 · 𝑋) − 1)))
4139, 40pm2.61d1 171 . 2 ((𝜑𝑋 ∈ ((1 / 2)[,]1)) → if(𝑋 ≤ (1 / 2), (𝐹‘(2 · 𝑋)), (𝐺‘((2 · 𝑋) − 1))) = (𝐺‘((2 · 𝑋) − 1)))
4213, 41eqtrd 2654 1 ((𝜑𝑋 ∈ ((1 / 2)[,]1)) → ((𝐹(*𝑝𝐽)𝐺)‘𝑋) = (𝐺‘((2 · 𝑋) − 1)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 196  wa 384   = wceq 1481  wcel 1988  wss 3567  ifcif 4077   class class class wbr 4644  cfv 5876  (class class class)co 6635  cr 9920  0cc0 9921  1c1 9922   · cmul 9926  cle 10060  cmin 10251   / cdiv 10669  2c2 11055  [,]cicc 12163   Cn ccn 21009  IIcii 22659  *𝑝cpco 22781
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1720  ax-4 1735  ax-5 1837  ax-6 1886  ax-7 1933  ax-8 1990  ax-9 1997  ax-10 2017  ax-11 2032  ax-12 2045  ax-13 2244  ax-ext 2600  ax-rep 4762  ax-sep 4772  ax-nul 4780  ax-pow 4834  ax-pr 4897  ax-un 6934  ax-cnex 9977  ax-resscn 9978  ax-1cn 9979  ax-icn 9980  ax-addcl 9981  ax-addrcl 9982  ax-mulcl 9983  ax-mulrcl 9984  ax-mulcom 9985  ax-addass 9986  ax-mulass 9987  ax-distr 9988  ax-i2m1 9989  ax-1ne0 9990  ax-1rid 9991  ax-rnegex 9992  ax-rrecex 9993  ax-cnre 9994  ax-pre-lttri 9995  ax-pre-lttrn 9996  ax-pre-ltadd 9997  ax-pre-mulgt0 9998
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1037  df-3an 1038  df-tru 1484  df-ex 1703  df-nf 1708  df-sb 1879  df-eu 2472  df-mo 2473  df-clab 2607  df-cleq 2613  df-clel 2616  df-nfc 2751  df-ne 2792  df-nel 2895  df-ral 2914  df-rex 2915  df-reu 2916  df-rmo 2917  df-rab 2918  df-v 3197  df-sbc 3430  df-csb 3527  df-dif 3570  df-un 3572  df-in 3574  df-ss 3581  df-nul 3908  df-if 4078  df-pw 4151  df-sn 4169  df-pr 4171  df-op 4175  df-uni 4428  df-iun 4513  df-br 4645  df-opab 4704  df-mpt 4721  df-id 5014  df-po 5025  df-so 5026  df-xp 5110  df-rel 5111  df-cnv 5112  df-co 5113  df-dm 5114  df-rn 5115  df-res 5116  df-ima 5117  df-iota 5839  df-fun 5878  df-fn 5879  df-f 5880  df-f1 5881  df-fo 5882  df-f1o 5883  df-fv 5884  df-riota 6596  df-ov 6638  df-oprab 6639  df-mpt2 6640  df-1st 7153  df-2nd 7154  df-er 7727  df-map 7844  df-en 7941  df-dom 7942  df-sdom 7943  df-pnf 10061  df-mnf 10062  df-xr 10063  df-ltxr 10064  df-le 10065  df-sub 10253  df-neg 10254  df-div 10670  df-2 11064  df-icc 12167  df-top 20680  df-topon 20697  df-cn 21012  df-pco 22786
This theorem is referenced by:  pcoass  22805  pcorevlem  22807
  Copyright terms: Public domain W3C validator