MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  pcovalg Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem pcovalg 23012
Description: Evaluate the concatenation of two paths. (Contributed by Mario Carneiro, 7-Jun-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
pcoval.2 (𝜑𝐹 ∈ (II Cn 𝐽))
pcoval.3 (𝜑𝐺 ∈ (II Cn 𝐽))
Assertion
Ref Expression
pcovalg ((𝜑𝑋 ∈ (0[,]1)) → ((𝐹(*𝑝𝐽)𝐺)‘𝑋) = if(𝑋 ≤ (1 / 2), (𝐹‘(2 · 𝑋)), (𝐺‘((2 · 𝑋) − 1))))

Proof of Theorem pcovalg
Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 pcoval.2 . . . 4 (𝜑𝐹 ∈ (II Cn 𝐽))
2 pcoval.3 . . . 4 (𝜑𝐺 ∈ (II Cn 𝐽))
31, 2pcoval 23011 . . 3 (𝜑 → (𝐹(*𝑝𝐽)𝐺) = (𝑥 ∈ (0[,]1) ↦ if(𝑥 ≤ (1 / 2), (𝐹‘(2 · 𝑥)), (𝐺‘((2 · 𝑥) − 1)))))
43fveq1d 6354 . 2 (𝜑 → ((𝐹(*𝑝𝐽)𝐺)‘𝑋) = ((𝑥 ∈ (0[,]1) ↦ if(𝑥 ≤ (1 / 2), (𝐹‘(2 · 𝑥)), (𝐺‘((2 · 𝑥) − 1))))‘𝑋))
5 breq1 4807 . . . 4 (𝑥 = 𝑋 → (𝑥 ≤ (1 / 2) ↔ 𝑋 ≤ (1 / 2)))
6 oveq2 6821 . . . . 5 (𝑥 = 𝑋 → (2 · 𝑥) = (2 · 𝑋))
76fveq2d 6356 . . . 4 (𝑥 = 𝑋 → (𝐹‘(2 · 𝑥)) = (𝐹‘(2 · 𝑋)))
86oveq1d 6828 . . . . 5 (𝑥 = 𝑋 → ((2 · 𝑥) − 1) = ((2 · 𝑋) − 1))
98fveq2d 6356 . . . 4 (𝑥 = 𝑋 → (𝐺‘((2 · 𝑥) − 1)) = (𝐺‘((2 · 𝑋) − 1)))
105, 7, 9ifbieq12d 4257 . . 3 (𝑥 = 𝑋 → if(𝑥 ≤ (1 / 2), (𝐹‘(2 · 𝑥)), (𝐺‘((2 · 𝑥) − 1))) = if(𝑋 ≤ (1 / 2), (𝐹‘(2 · 𝑋)), (𝐺‘((2 · 𝑋) − 1))))
11 eqid 2760 . . 3 (𝑥 ∈ (0[,]1) ↦ if(𝑥 ≤ (1 / 2), (𝐹‘(2 · 𝑥)), (𝐺‘((2 · 𝑥) − 1)))) = (𝑥 ∈ (0[,]1) ↦ if(𝑥 ≤ (1 / 2), (𝐹‘(2 · 𝑥)), (𝐺‘((2 · 𝑥) − 1))))
12 fvex 6362 . . . 4 (𝐹‘(2 · 𝑋)) ∈ V
13 fvex 6362 . . . 4 (𝐺‘((2 · 𝑋) − 1)) ∈ V
1412, 13ifex 4300 . . 3 if(𝑋 ≤ (1 / 2), (𝐹‘(2 · 𝑋)), (𝐺‘((2 · 𝑋) − 1))) ∈ V
1510, 11, 14fvmpt 6444 . 2 (𝑋 ∈ (0[,]1) → ((𝑥 ∈ (0[,]1) ↦ if(𝑥 ≤ (1 / 2), (𝐹‘(2 · 𝑥)), (𝐺‘((2 · 𝑥) − 1))))‘𝑋) = if(𝑋 ≤ (1 / 2), (𝐹‘(2 · 𝑋)), (𝐺‘((2 · 𝑋) − 1))))
164, 15sylan9eq 2814 1 ((𝜑𝑋 ∈ (0[,]1)) → ((𝐹(*𝑝𝐽)𝐺)‘𝑋) = if(𝑋 ≤ (1 / 2), (𝐹‘(2 · 𝑋)), (𝐺‘((2 · 𝑋) − 1))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 383   = wceq 1632  wcel 2139  ifcif 4230   class class class wbr 4804  cmpt 4881  cfv 6049  (class class class)co 6813  0cc0 10128  1c1 10129   · cmul 10133  cle 10267  cmin 10458   / cdiv 10876  2c2 11262  [,]cicc 12371   Cn ccn 21230  IIcii 22879  *𝑝cpco 23000
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1871  ax-4 1886  ax-5 1988  ax-6 2054  ax-7 2090  ax-8 2141  ax-9 2148  ax-10 2168  ax-11 2183  ax-12 2196  ax-13 2391  ax-ext 2740  ax-rep 4923  ax-sep 4933  ax-nul 4941  ax-pow 4992  ax-pr 5055  ax-un 7114
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3an 1074  df-tru 1635  df-ex 1854  df-nf 1859  df-sb 2047  df-eu 2611  df-mo 2612  df-clab 2747  df-cleq 2753  df-clel 2756  df-nfc 2891  df-ne 2933  df-ral 3055  df-rex 3056  df-reu 3057  df-rab 3059  df-v 3342  df-sbc 3577  df-csb 3675  df-dif 3718  df-un 3720  df-in 3722  df-ss 3729  df-nul 4059  df-if 4231  df-pw 4304  df-sn 4322  df-pr 4324  df-op 4328  df-uni 4589  df-iun 4674  df-br 4805  df-opab 4865  df-mpt 4882  df-id 5174  df-xp 5272  df-rel 5273  df-cnv 5274  df-co 5275  df-dm 5276  df-rn 5277  df-res 5278  df-ima 5279  df-iota 6012  df-fun 6051  df-fn 6052  df-f 6053  df-f1 6054  df-fo 6055  df-f1o 6056  df-fv 6057  df-ov 6816  df-oprab 6817  df-mpt2 6818  df-1st 7333  df-2nd 7334  df-map 8025  df-top 20901  df-topon 20918  df-cn 21233  df-pco 23005
This theorem is referenced by:  pcoval1  23013  pcoval2  23016  pcohtpylem  23019
  Copyright terms: Public domain W3C validator