Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  pcprmpw Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem pcprmpw 15511
 Description: Self-referential expression for a prime power. (Contributed by Mario Carneiro, 16-Jan-2015.)
Assertion
Ref Expression
pcprmpw ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℕ) → (∃𝑛 ∈ ℕ0 𝐴 = (𝑃𝑛) ↔ 𝐴 = (𝑃↑(𝑃 pCnt 𝐴))))
Distinct variable groups:   𝐴,𝑛   𝑃,𝑛

Proof of Theorem pcprmpw
StepHypRef Expression
1 prmz 15313 . . . . . . . 8 (𝑃 ∈ ℙ → 𝑃 ∈ ℤ)
21adantr 481 . . . . . . 7 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℕ) → 𝑃 ∈ ℤ)
3 zexpcl 12815 . . . . . . 7 ((𝑃 ∈ ℤ ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → (𝑃𝑛) ∈ ℤ)
42, 3sylan 488 . . . . . 6 (((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℕ) ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → (𝑃𝑛) ∈ ℤ)
5 iddvds 14919 . . . . . 6 ((𝑃𝑛) ∈ ℤ → (𝑃𝑛) ∥ (𝑃𝑛))
64, 5syl 17 . . . . 5 (((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℕ) ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → (𝑃𝑛) ∥ (𝑃𝑛))
7 breq1 4616 . . . . 5 (𝐴 = (𝑃𝑛) → (𝐴 ∥ (𝑃𝑛) ↔ (𝑃𝑛) ∥ (𝑃𝑛)))
86, 7syl5ibrcom 237 . . . 4 (((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℕ) ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → (𝐴 = (𝑃𝑛) → 𝐴 ∥ (𝑃𝑛)))
98reximdva 3011 . . 3 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℕ) → (∃𝑛 ∈ ℕ0 𝐴 = (𝑃𝑛) → ∃𝑛 ∈ ℕ0 𝐴 ∥ (𝑃𝑛)))
10 pcprmpw2 15510 . . 3 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℕ) → (∃𝑛 ∈ ℕ0 𝐴 ∥ (𝑃𝑛) ↔ 𝐴 = (𝑃↑(𝑃 pCnt 𝐴))))
119, 10sylibd 229 . 2 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℕ) → (∃𝑛 ∈ ℕ0 𝐴 = (𝑃𝑛) → 𝐴 = (𝑃↑(𝑃 pCnt 𝐴))))
12 pccl 15478 . . 3 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℕ) → (𝑃 pCnt 𝐴) ∈ ℕ0)
13 oveq2 6612 . . . . . 6 (𝑛 = (𝑃 pCnt 𝐴) → (𝑃𝑛) = (𝑃↑(𝑃 pCnt 𝐴)))
1413eqeq2d 2631 . . . . 5 (𝑛 = (𝑃 pCnt 𝐴) → (𝐴 = (𝑃𝑛) ↔ 𝐴 = (𝑃↑(𝑃 pCnt 𝐴))))
1514rspcev 3295 . . . 4 (((𝑃 pCnt 𝐴) ∈ ℕ0𝐴 = (𝑃↑(𝑃 pCnt 𝐴))) → ∃𝑛 ∈ ℕ0 𝐴 = (𝑃𝑛))
1615ex 450 . . 3 ((𝑃 pCnt 𝐴) ∈ ℕ0 → (𝐴 = (𝑃↑(𝑃 pCnt 𝐴)) → ∃𝑛 ∈ ℕ0 𝐴 = (𝑃𝑛)))
1712, 16syl 17 . 2 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℕ) → (𝐴 = (𝑃↑(𝑃 pCnt 𝐴)) → ∃𝑛 ∈ ℕ0 𝐴 = (𝑃𝑛)))
1811, 17impbid 202 1 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℕ) → (∃𝑛 ∈ ℕ0 𝐴 = (𝑃𝑛) ↔ 𝐴 = (𝑃↑(𝑃 pCnt 𝐴))))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 196   ∧ wa 384   = wceq 1480   ∈ wcel 1987  ∃wrex 2908   class class class wbr 4613  (class class class)co 6604  ℕcn 10964  ℕ0cn0 11236  ℤcz 11321  ↑cexp 12800   ∥ cdvds 14907  ℙcprime 15309   pCnt cpc 15465 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1719  ax-4 1734  ax-5 1836  ax-6 1885  ax-7 1932  ax-8 1989  ax-9 1996  ax-10 2016  ax-11 2031  ax-12 2044  ax-13 2245  ax-ext 2601  ax-sep 4741  ax-nul 4749  ax-pow 4803  ax-pr 4867  ax-un 6902  ax-cnex 9936  ax-resscn 9937  ax-1cn 9938  ax-icn 9939  ax-addcl 9940  ax-addrcl 9941  ax-mulcl 9942  ax-mulrcl 9943  ax-mulcom 9944  ax-addass 9945  ax-mulass 9946  ax-distr 9947  ax-i2m1 9948  ax-1ne0 9949  ax-1rid 9950  ax-rnegex 9951  ax-rrecex 9952  ax-cnre 9953  ax-pre-lttri 9954  ax-pre-lttrn 9955  ax-pre-ltadd 9956  ax-pre-mulgt0 9957  ax-pre-sup 9958 This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1037  df-3an 1038  df-tru 1483  df-ex 1702  df-nf 1707  df-sb 1878  df-eu 2473  df-mo 2474  df-clab 2608  df-cleq 2614  df-clel 2617  df-nfc 2750  df-ne 2791  df-nel 2894  df-ral 2912  df-rex 2913  df-reu 2914  df-rmo 2915  df-rab 2916  df-v 3188  df-sbc 3418  df-csb 3515  df-dif 3558  df-un 3560  df-in 3562  df-ss 3569  df-pss 3571  df-nul 3892  df-if 4059  df-pw 4132  df-sn 4149  df-pr 4151  df-tp 4153  df-op 4155  df-uni 4403  df-int 4441  df-iun 4487  df-br 4614  df-opab 4674  df-mpt 4675  df-tr 4713  df-eprel 4985  df-id 4989  df-po 4995  df-so 4996  df-fr 5033  df-we 5035  df-xp 5080  df-rel 5081  df-cnv 5082  df-co 5083  df-dm 5084  df-rn 5085  df-res 5086  df-ima 5087  df-pred 5639  df-ord 5685  df-on 5686  df-lim 5687  df-suc 5688  df-iota 5810  df-fun 5849  df-fn 5850  df-f 5851  df-f1 5852  df-fo 5853  df-f1o 5854  df-fv 5855  df-riota 6565  df-ov 6607  df-oprab 6608  df-mpt2 6609  df-om 7013  df-1st 7113  df-2nd 7114  df-wrecs 7352  df-recs 7413  df-rdg 7451  df-1o 7505  df-2o 7506  df-oadd 7509  df-er 7687  df-en 7900  df-dom 7901  df-sdom 7902  df-fin 7903  df-sup 8292  df-inf 8293  df-pnf 10020  df-mnf 10021  df-xr 10022  df-ltxr 10023  df-le 10024  df-sub 10212  df-neg 10213  df-div 10629  df-nn 10965  df-2 11023  df-3 11024  df-n0 11237  df-z 11322  df-uz 11632  df-q 11733  df-rp 11777  df-fz 12269  df-fl 12533  df-mod 12609  df-seq 12742  df-exp 12801  df-cj 13773  df-re 13774  df-im 13775  df-sqrt 13909  df-abs 13910  df-dvds 14908  df-gcd 15141  df-prm 15310  df-pc 15466 This theorem is referenced by:  pgpfi1  17931  pgpfi  17941  pgpfi2  17942  fislw  17961
 Copyright terms: Public domain W3C validator