MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  pcz Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem pcz 16205
Description: The prime count function can be used as an indicator that a given rational number is an integer. (Contributed by Mario Carneiro, 23-Feb-2014.)
Assertion
Ref Expression
pcz (𝐴 ∈ ℚ → (𝐴 ∈ ℤ ↔ ∀𝑝 ∈ ℙ 0 ≤ (𝑝 pCnt 𝐴)))
Distinct variable group:   𝐴,𝑝

Proof of Theorem pcz
Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 pcge0 16186 . . . 4 ((𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℤ) → 0 ≤ (𝑝 pCnt 𝐴))
21ancoms 459 . . 3 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑝 ∈ ℙ) → 0 ≤ (𝑝 pCnt 𝐴))
32ralrimiva 3179 . 2 (𝐴 ∈ ℤ → ∀𝑝 ∈ ℙ 0 ≤ (𝑝 pCnt 𝐴))
4 elq 12338 . . 3 (𝐴 ∈ ℚ ↔ ∃𝑥 ∈ ℤ ∃𝑦 ∈ ℕ 𝐴 = (𝑥 / 𝑦))
5 nnz 11992 . . . . . . . . . . 11 (𝑦 ∈ ℕ → 𝑦 ∈ ℤ)
6 dvds0 15613 . . . . . . . . . . 11 (𝑦 ∈ ℤ → 𝑦 ∥ 0)
75, 6syl 17 . . . . . . . . . 10 (𝑦 ∈ ℕ → 𝑦 ∥ 0)
87ad2antlr 723 . . . . . . . . 9 (((𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℕ) ∧ 𝑥 = 0) → 𝑦 ∥ 0)
9 simpr 485 . . . . . . . . 9 (((𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℕ) ∧ 𝑥 = 0) → 𝑥 = 0)
108, 9breqtrrd 5085 . . . . . . . 8 (((𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℕ) ∧ 𝑥 = 0) → 𝑦𝑥)
1110a1d 25 . . . . . . 7 (((𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℕ) ∧ 𝑥 = 0) → (∀𝑝 ∈ ℙ 0 ≤ (𝑝 pCnt (𝑥 / 𝑦)) → 𝑦𝑥))
12 simpr 485 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℕ) ∧ 𝑥 ≠ 0) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) → 𝑝 ∈ ℙ)
13 simplll 771 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℕ) ∧ 𝑥 ≠ 0) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) → 𝑥 ∈ ℤ)
14 simplr 765 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℕ) ∧ 𝑥 ≠ 0) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) → 𝑥 ≠ 0)
15 simpllr 772 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℕ) ∧ 𝑥 ≠ 0) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) → 𝑦 ∈ ℕ)
16 pcdiv 16177 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑝 ∈ ℙ ∧ (𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑥 ≠ 0) ∧ 𝑦 ∈ ℕ) → (𝑝 pCnt (𝑥 / 𝑦)) = ((𝑝 pCnt 𝑥) − (𝑝 pCnt 𝑦)))
1712, 13, 14, 15, 16syl121anc 1367 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℕ) ∧ 𝑥 ≠ 0) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) → (𝑝 pCnt (𝑥 / 𝑦)) = ((𝑝 pCnt 𝑥) − (𝑝 pCnt 𝑦)))
1817breq2d 5069 . . . . . . . . . . 11 ((((𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℕ) ∧ 𝑥 ≠ 0) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) → (0 ≤ (𝑝 pCnt (𝑥 / 𝑦)) ↔ 0 ≤ ((𝑝 pCnt 𝑥) − (𝑝 pCnt 𝑦))))
19 pczcl 16173 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑝 ∈ ℙ ∧ (𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑥 ≠ 0)) → (𝑝 pCnt 𝑥) ∈ ℕ0)
2012, 13, 14, 19syl12anc 832 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℕ) ∧ 𝑥 ≠ 0) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) → (𝑝 pCnt 𝑥) ∈ ℕ0)
2120nn0red 11944 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℕ) ∧ 𝑥 ≠ 0) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) → (𝑝 pCnt 𝑥) ∈ ℝ)
2212, 15pccld 16175 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℕ) ∧ 𝑥 ≠ 0) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) → (𝑝 pCnt 𝑦) ∈ ℕ0)
2322nn0red 11944 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℕ) ∧ 𝑥 ≠ 0) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) → (𝑝 pCnt 𝑦) ∈ ℝ)
2421, 23subge0d 11218 . . . . . . . . . . 11 ((((𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℕ) ∧ 𝑥 ≠ 0) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) → (0 ≤ ((𝑝 pCnt 𝑥) − (𝑝 pCnt 𝑦)) ↔ (𝑝 pCnt 𝑦) ≤ (𝑝 pCnt 𝑥)))
2518, 24bitrd 280 . . . . . . . . . 10 ((((𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℕ) ∧ 𝑥 ≠ 0) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) → (0 ≤ (𝑝 pCnt (𝑥 / 𝑦)) ↔ (𝑝 pCnt 𝑦) ≤ (𝑝 pCnt 𝑥)))
2625ralbidva 3193 . . . . . . . . 9 (((𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℕ) ∧ 𝑥 ≠ 0) → (∀𝑝 ∈ ℙ 0 ≤ (𝑝 pCnt (𝑥 / 𝑦)) ↔ ∀𝑝 ∈ ℙ (𝑝 pCnt 𝑦) ≤ (𝑝 pCnt 𝑥)))
27 id 22 . . . . . . . . . . 11 (𝑥 ∈ ℤ → 𝑥 ∈ ℤ)
28 pc2dvds 16203 . . . . . . . . . . 11 ((𝑦 ∈ ℤ ∧ 𝑥 ∈ ℤ) → (𝑦𝑥 ↔ ∀𝑝 ∈ ℙ (𝑝 pCnt 𝑦) ≤ (𝑝 pCnt 𝑥)))
295, 27, 28syl2anr 596 . . . . . . . . . 10 ((𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℕ) → (𝑦𝑥 ↔ ∀𝑝 ∈ ℙ (𝑝 pCnt 𝑦) ≤ (𝑝 pCnt 𝑥)))
3029adantr 481 . . . . . . . . 9 (((𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℕ) ∧ 𝑥 ≠ 0) → (𝑦𝑥 ↔ ∀𝑝 ∈ ℙ (𝑝 pCnt 𝑦) ≤ (𝑝 pCnt 𝑥)))
3126, 30bitr4d 283 . . . . . . . 8 (((𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℕ) ∧ 𝑥 ≠ 0) → (∀𝑝 ∈ ℙ 0 ≤ (𝑝 pCnt (𝑥 / 𝑦)) ↔ 𝑦𝑥))
3231biimpd 230 . . . . . . 7 (((𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℕ) ∧ 𝑥 ≠ 0) → (∀𝑝 ∈ ℙ 0 ≤ (𝑝 pCnt (𝑥 / 𝑦)) → 𝑦𝑥))
3311, 32pm2.61dane 3101 . . . . . 6 ((𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℕ) → (∀𝑝 ∈ ℙ 0 ≤ (𝑝 pCnt (𝑥 / 𝑦)) → 𝑦𝑥))
34 nnne0 11659 . . . . . . 7 (𝑦 ∈ ℕ → 𝑦 ≠ 0)
35 simpl 483 . . . . . . 7 ((𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℕ) → 𝑥 ∈ ℤ)
36 dvdsval2 15598 . . . . . . 7 ((𝑦 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ≠ 0 ∧ 𝑥 ∈ ℤ) → (𝑦𝑥 ↔ (𝑥 / 𝑦) ∈ ℤ))
375, 34, 35, 36syl2an23an 1415 . . . . . 6 ((𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℕ) → (𝑦𝑥 ↔ (𝑥 / 𝑦) ∈ ℤ))
3833, 37sylibd 240 . . . . 5 ((𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℕ) → (∀𝑝 ∈ ℙ 0 ≤ (𝑝 pCnt (𝑥 / 𝑦)) → (𝑥 / 𝑦) ∈ ℤ))
39 oveq2 7153 . . . . . . . 8 (𝐴 = (𝑥 / 𝑦) → (𝑝 pCnt 𝐴) = (𝑝 pCnt (𝑥 / 𝑦)))
4039breq2d 5069 . . . . . . 7 (𝐴 = (𝑥 / 𝑦) → (0 ≤ (𝑝 pCnt 𝐴) ↔ 0 ≤ (𝑝 pCnt (𝑥 / 𝑦))))
4140ralbidv 3194 . . . . . 6 (𝐴 = (𝑥 / 𝑦) → (∀𝑝 ∈ ℙ 0 ≤ (𝑝 pCnt 𝐴) ↔ ∀𝑝 ∈ ℙ 0 ≤ (𝑝 pCnt (𝑥 / 𝑦))))
42 eleq1 2897 . . . . . 6 (𝐴 = (𝑥 / 𝑦) → (𝐴 ∈ ℤ ↔ (𝑥 / 𝑦) ∈ ℤ))
4341, 42imbi12d 346 . . . . 5 (𝐴 = (𝑥 / 𝑦) → ((∀𝑝 ∈ ℙ 0 ≤ (𝑝 pCnt 𝐴) → 𝐴 ∈ ℤ) ↔ (∀𝑝 ∈ ℙ 0 ≤ (𝑝 pCnt (𝑥 / 𝑦)) → (𝑥 / 𝑦) ∈ ℤ)))
4438, 43syl5ibrcom 248 . . . 4 ((𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℕ) → (𝐴 = (𝑥 / 𝑦) → (∀𝑝 ∈ ℙ 0 ≤ (𝑝 pCnt 𝐴) → 𝐴 ∈ ℤ)))
4544rexlimivv 3289 . . 3 (∃𝑥 ∈ ℤ ∃𝑦 ∈ ℕ 𝐴 = (𝑥 / 𝑦) → (∀𝑝 ∈ ℙ 0 ≤ (𝑝 pCnt 𝐴) → 𝐴 ∈ ℤ))
464, 45sylbi 218 . 2 (𝐴 ∈ ℚ → (∀𝑝 ∈ ℙ 0 ≤ (𝑝 pCnt 𝐴) → 𝐴 ∈ ℤ))
473, 46impbid2 227 1 (𝐴 ∈ ℚ → (𝐴 ∈ ℤ ↔ ∀𝑝 ∈ ℙ 0 ≤ (𝑝 pCnt 𝐴)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 207  wa 396   = wceq 1528  wcel 2105  wne 3013  wral 3135  wrex 3136   class class class wbr 5057  (class class class)co 7145  0cc0 10525  cle 10664  cmin 10858   / cdiv 11285  cn 11626  0cn0 11885  cz 11969  cq 12336  cdvds 15595  cprime 16003   pCnt cpc 16161
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1787  ax-4 1801  ax-5 1902  ax-6 1961  ax-7 2006  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2151  ax-12 2167  ax-ext 2790  ax-sep 5194  ax-nul 5201  ax-pow 5257  ax-pr 5320  ax-un 7450  ax-cnex 10581  ax-resscn 10582  ax-1cn 10583  ax-icn 10584  ax-addcl 10585  ax-addrcl 10586  ax-mulcl 10587  ax-mulrcl 10588  ax-mulcom 10589  ax-addass 10590  ax-mulass 10591  ax-distr 10592  ax-i2m1 10593  ax-1ne0 10594  ax-1rid 10595  ax-rnegex 10596  ax-rrecex 10597  ax-cnre 10598  ax-pre-lttri 10599  ax-pre-lttrn 10600  ax-pre-ltadd 10601  ax-pre-mulgt0 10602  ax-pre-sup 10603
This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 842  df-3or 1080  df-3an 1081  df-tru 1531  df-ex 1772  df-nf 1776  df-sb 2061  df-mo 2615  df-eu 2647  df-clab 2797  df-cleq 2811  df-clel 2890  df-nfc 2960  df-ne 3014  df-nel 3121  df-ral 3140  df-rex 3141  df-reu 3142  df-rmo 3143  df-rab 3144  df-v 3494  df-sbc 3770  df-csb 3881  df-dif 3936  df-un 3938  df-in 3940  df-ss 3949  df-pss 3951  df-nul 4289  df-if 4464  df-pw 4537  df-sn 4558  df-pr 4560  df-tp 4562  df-op 4564  df-uni 4831  df-iun 4912  df-br 5058  df-opab 5120  df-mpt 5138  df-tr 5164  df-id 5453  df-eprel 5458  df-po 5467  df-so 5468  df-fr 5507  df-we 5509  df-xp 5554  df-rel 5555  df-cnv 5556  df-co 5557  df-dm 5558  df-rn 5559  df-res 5560  df-ima 5561  df-pred 6141  df-ord 6187  df-on 6188  df-lim 6189  df-suc 6190  df-iota 6307  df-fun 6350  df-fn 6351  df-f 6352  df-f1 6353  df-fo 6354  df-f1o 6355  df-fv 6356  df-riota 7103  df-ov 7148  df-oprab 7149  df-mpo 7150  df-om 7570  df-1st 7678  df-2nd 7679  df-wrecs 7936  df-recs 7997  df-rdg 8035  df-1o 8091  df-2o 8092  df-er 8278  df-en 8498  df-dom 8499  df-sdom 8500  df-fin 8501  df-sup 8894  df-inf 8895  df-pnf 10665  df-mnf 10666  df-xr 10667  df-ltxr 10668  df-le 10669  df-sub 10860  df-neg 10861  df-div 11286  df-nn 11627  df-2 11688  df-3 11689  df-n0 11886  df-z 11970  df-uz 12232  df-q 12337  df-rp 12378  df-fz 12881  df-fl 13150  df-mod 13226  df-seq 13358  df-exp 13418  df-cj 14446  df-re 14447  df-im 14448  df-sqrt 14582  df-abs 14583  df-dvds 15596  df-gcd 15832  df-prm 16004  df-pc 16162
This theorem is referenced by:  pcmptdvds  16218  qexpz  16225
  Copyright terms: Public domain W3C validator