Theorem pdivsq 30760

Description: Condition for a prime dividing a square. (Contributed by Scott Fenton, 8-Apr-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 19-Apr-2014.)

Assertion

Ref	Expression
pdivsq	⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑀 ∈ ℤ) → (𝑃 ∥ 𝑀 ↔ 𝑃 ∥ (𝑀↑2)))

Proof of Theorem pdivsq

Step	Hyp	Ref	Expression
1		zcn 11121	. . . . 5 ⊢ (𝑀 ∈ ℤ → 𝑀 ∈ ℂ)
2	1	sqvald 12732	. . . 4 ⊢ (𝑀 ∈ ℤ → (𝑀↑2) = (𝑀 · 𝑀))
3	2	breq2d 4493	. . 3 ⊢ (𝑀 ∈ ℤ → (𝑃 ∥ (𝑀↑2) ↔ 𝑃 ∥ (𝑀 · 𝑀)))
4	3	adantl 480	. 2 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑀 ∈ ℤ) → (𝑃 ∥ (𝑀↑2) ↔ 𝑃 ∥ (𝑀 · 𝑀)))
5		euclemma 15146	. . . 4 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ) → (𝑃 ∥ (𝑀 · 𝑀) ↔ (𝑃 ∥ 𝑀 ∨ 𝑃 ∥ 𝑀)))
6	5	3anidm23 1376	. . 3 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑀 ∈ ℤ) → (𝑃 ∥ (𝑀 · 𝑀) ↔ (𝑃 ∥ 𝑀 ∨ 𝑃 ∥ 𝑀)))
7		oridm 534	. . 3 ⊢ ((𝑃 ∥ 𝑀 ∨ 𝑃 ∥ 𝑀) ↔ 𝑃 ∥ 𝑀)
8	6, 7	syl6bb 274	. 2 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑀 ∈ ℤ) → (𝑃 ∥ (𝑀 · 𝑀) ↔ 𝑃 ∥ 𝑀))
9	4, 8	bitr2d 267	1 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑀 ∈ ℤ) → (𝑃 ∥ 𝑀 ↔ 𝑃 ∥ (𝑀↑2)))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 194   ∨ wo 381   ∧ wa 382   ∈ wcel 1938   class class class wbr 4481  (class class class)co 6425   · cmul 9694  2c2 10823  ℤcz 11116  ↑cexp 12587   ∥ cdvds 14688  ℙcprime 15106

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1700  ax-4 1713  ax-5 1793  ax-6 1838  ax-7 1885  ax-8 1940  ax-9 1947  ax-10 1966  ax-11 1971  ax-12 1983  ax-13 2137  ax-ext 2494  ax-sep 4607  ax-nul 4616  ax-pow 4668  ax-pr 4732  ax-un 6721  ax-cnex 9745  ax-resscn 9746  ax-1cn 9747  ax-icn 9748  ax-addcl 9749  ax-addrcl 9750  ax-mulcl 9751  ax-mulrcl 9752  ax-mulcom 9753  ax-addass 9754  ax-mulass 9755  ax-distr 9756  ax-i2m1 9757  ax-1ne0 9758  ax-1rid 9759  ax-rnegex 9760  ax-rrecex 9761  ax-cnre 9762  ax-pre-lttri 9763  ax-pre-lttrn 9764  ax-pre-ltadd 9765  ax-pre-mulgt0 9766  ax-pre-sup 9767

This theorem depends on definitions:  df-bi 195  df-or 383  df-an 384  df-3or 1031  df-3an 1032  df-tru 1477  df-ex 1695  df-nf 1699  df-sb 1831  df-eu 2366  df-mo 2367  df-clab 2501  df-cleq 2507  df-clel 2510  df-nfc 2644  df-ne 2686  df-nel 2687  df-ral 2805  df-rex 2806  df-reu 2807  df-rmo 2808  df-rab 2809  df-v 3079  df-sbc 3307  df-csb 3404  df-dif 3447  df-un 3449  df-in 3451  df-ss 3458  df-pss 3460  df-nul 3778  df-if 3940  df-pw 4013  df-sn 4029  df-pr 4031  df-tp 4033  df-op 4035  df-uni 4271  df-int 4309  df-iun 4355  df-br 4482  df-opab 4542  df-mpt 4543  df-tr 4579  df-eprel 4843  df-id 4847  df-po 4853  df-so 4854  df-fr 4891  df-we 4893  df-xp 4938  df-rel 4939  df-cnv 4940  df-co 4941  df-dm 4942  df-rn 4943  df-res 4944  df-ima 4945  df-pred 5487  df-ord 5533  df-on 5534  df-lim 5535  df-suc 5536  df-iota 5653  df-fun 5691  df-fn 5692  df-f 5693  df-f1 5694  df-fo 5695  df-f1o 5696  df-fv 5697  df-riota 6387  df-ov 6428  df-oprab 6429  df-mpt2 6430  df-om 6832  df-2nd 6933  df-wrecs 7167  df-recs 7229  df-rdg 7267  df-1o 7321  df-2o 7322  df-oadd 7325  df-er 7503  df-en 7716  df-dom 7717  df-sdom 7718  df-fin 7719  df-sup 8105  df-inf 8106  df-pnf 9829  df-mnf 9830  df-xr 9831  df-ltxr 9832  df-le 9833  df-sub 10017  df-neg 10018  df-div 10432  df-nn 10774  df-2 10832  df-3 10833  df-n0 11046  df-z 11117  df-uz 11424  df-rp 11571  df-fl 12320  df-mod 12396  df-seq 12529  df-exp 12588  df-cj 13542  df-re 13543  df-im 13544  df-sqrt 13678  df-abs 13679  df-dvds 14689  df-gcd 14926  df-prm 15107

This theorem is referenced by: (None)