MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  peano2nn0 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem peano2nn0 11926
Description: Second Peano postulate for nonnegative integers. (Contributed by NM, 9-May-2004.)
Assertion
Ref Expression
peano2nn0 (𝑁 ∈ ℕ0 → (𝑁 + 1) ∈ ℕ0)

Proof of Theorem peano2nn0
StepHypRef Expression
1 1nn0 11902 . 2 1 ∈ ℕ0
2 nn0addcl 11921 . 2 ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 1 ∈ ℕ0) → (𝑁 + 1) ∈ ℕ0)
31, 2mpan2 687 1 (𝑁 ∈ ℕ0 → (𝑁 + 1) ∈ ℕ0)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wcel 2105  (class class class)co 7145  1c1 10527   + caddc 10529  0cn0 11886
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1787  ax-4 1801  ax-5 1902  ax-6 1961  ax-7 2006  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2151  ax-12 2167  ax-ext 2793  ax-sep 5195  ax-nul 5202  ax-pow 5258  ax-pr 5321  ax-un 7450  ax-resscn 10583  ax-1cn 10584  ax-icn 10585  ax-addcl 10586  ax-addrcl 10587  ax-mulcl 10588  ax-mulrcl 10589  ax-mulcom 10590  ax-addass 10591  ax-mulass 10592  ax-distr 10593  ax-i2m1 10594  ax-1ne0 10595  ax-1rid 10596  ax-rnegex 10597  ax-rrecex 10598  ax-cnre 10599  ax-pre-lttri 10600  ax-pre-lttrn 10601  ax-pre-ltadd 10602
This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 842  df-3or 1080  df-3an 1081  df-tru 1531  df-ex 1772  df-nf 1776  df-sb 2061  df-mo 2618  df-eu 2650  df-clab 2800  df-cleq 2814  df-clel 2893  df-nfc 2963  df-ne 3017  df-nel 3124  df-ral 3143  df-rex 3144  df-reu 3145  df-rab 3147  df-v 3497  df-sbc 3772  df-csb 3883  df-dif 3938  df-un 3940  df-in 3942  df-ss 3951  df-pss 3953  df-nul 4291  df-if 4466  df-pw 4539  df-sn 4560  df-pr 4562  df-tp 4564  df-op 4566  df-uni 4833  df-iun 4914  df-br 5059  df-opab 5121  df-mpt 5139  df-tr 5165  df-id 5454  df-eprel 5459  df-po 5468  df-so 5469  df-fr 5508  df-we 5510  df-xp 5555  df-rel 5556  df-cnv 5557  df-co 5558  df-dm 5559  df-rn 5560  df-res 5561  df-ima 5562  df-pred 6142  df-ord 6188  df-on 6189  df-lim 6190  df-suc 6191  df-iota 6308  df-fun 6351  df-fn 6352  df-f 6353  df-f1 6354  df-fo 6355  df-f1o 6356  df-fv 6357  df-ov 7148  df-om 7569  df-wrecs 7938  df-recs 7999  df-rdg 8037  df-er 8279  df-en 8499  df-dom 8500  df-sdom 8501  df-pnf 10666  df-mnf 10667  df-ltxr 10669  df-nn 11628  df-n0 11887
This theorem is referenced by:  nn0split  13012  fzonn0p1p1  13106  leexp2r  13528  expnbnd  13583  facdiv  13637  facwordi  13639  faclbnd  13640  faclbnd2  13641  faclbnd3  13642  faclbnd6  13649  bcnp1n  13664  bcp1m1  13670  bcpasc  13671  hashfz  13778  hashf1  13805  hashdifsnp1  13844  fi1uzind  13845  brfi1indALT  13848  pfxccatpfx2  14089  pfxccat3a  14090  swrds2  14292  iseraltlem2  15029  bcxmas  15180  climcndslem1  15194  climcnds  15196  pwdif  15213  geolim  15216  geo2sum  15219  mertenslem1  15230  mertenslem2  15231  mertens  15232  risefacp1  15373  fallfacp1  15374  binomfallfaclem1  15383  binomfallfaclem2  15384  fsumkthpow  15400  efcllem  15421  eftlub  15452  efsep  15453  effsumlt  15454  ruclem9  15581  nn0ob  15725  nn0oddm1d2  15726  pwp1fsum  15732  bitsp1  15770  sadcp1  15794  smuval2  15821  smu01lem  15824  smup1  15828  nn0seqcvgd  15904  algcvg  15910  nonsq  16089  iserodd  16162  pcprendvds  16167  pcpremul  16170  pcdvdsb  16195  4sqlem11  16281  vdwapun  16300  vdwlem1  16307  vdwlem9  16315  ramub1  16354  ramcl  16355  prmop1  16364  decexp2  16401  sylow1lem3  18656  efgsfo  18796  efgred  18805  telgsums  19044  telgsum  19045  srgbinomlem3  19223  srgbinomlem4  19224  assamulgscmlem2  20059  chfacffsupp  21394  chfacfscmulfsupp  21397  chfacfscmulgsum  21398  chfacfpmmulfsupp  21401  chfacfpmmulgsum  21402  cpnord  24461  ply1divex  24659  fta1glem1  24688  fta1glem2  24689  fta1g  24690  plyco0  24711  plyaddlem1  24732  plymullem1  24733  plyco  24760  dvply1  24802  dvply2g  24803  aaliou3lem8  24863  aaliou3lem9  24868  dvtaylp  24887  dvradcnv  24938  pserdvlem2  24945  advlogexp  25165  atantayl3  25444  leibpi  25448  log2cnv  25450  ftalem4  25581  ftalem5  25582  perfectlem1  25733  bcp1ctr  25783  2lgslem3d1  25907  dchrisum0flblem1  26012  ostth2lem2  26138  ostth2lem3  26139  crctcshwlkn0lem7  27522  wwlksnred  27598  wwlksnext  27599  wwlksnextbi  27600  wwlksnredwwlkn  27601  wwlksnredwwlkn0  27602  wwlksnfiOLD  27613  wwlksnextproplem1  27616  wwlksnextproplem2  27617  wwlksnextproplem3  27618  rusgrnumwwlks  27681  clwwlkf  27754  clwwlknonex2lem2  27815  eupth2lems  27945  eucrct2eupth  27952  numclwlk2lem2f  28084  nndiffz1  30436  subfacval2  32332  erdsze2lem1  32348  bccolsum  32869  fwddifnp1  33524  knoppndvlem6  33754  poimirlem17  34791  heiborlem3  34974  heiborlem4  34975  heiborlem6  34977  sqn5i  39051  2rexfrabdioph  39273  elnn0rabdioph  39280  dvdsrabdioph  39287  jm2.17a  39437  jm2.17b  39438  expdiophlem1  39498  expdiophlem2  39499  hbt  39610  cotrclrcl  39967  k0004ss3  40383  bccp1k  40553  binomcxplemnn0  40561  ioodvbdlimc1lem2  42097  ioodvbdlimc2lem  42099  dvnmul  42108  stoweidlem17  42183  wallispilem1  42231  stirlinglem5  42244  etransclem23  42423  etransclem46  42446  etransclem48  42448  fmtnoge3  43539  fmtnorec1  43546  sqrtpwpw2p  43547  fmtnosqrt  43548  fmtnorec2lem  43551  fmtnorec3  43557  fmtnoprmfac1  43574  fmtnoprmfac2lem1  43575  fmtnofac1  43579  flsqrt  43603  perfectALTVlem1  43733  nn0eo  44486  fllog2  44526  dignnld  44561  0dig2nn0o  44571  dignn0ehalf  44575  dignn0flhalf  44576  nn0sumshdiglemA  44577  aacllem  44800
  Copyright terms: Public domain W3C validator