MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  peano2nn0 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem peano2nn0 11293
Description: Second Peano postulate for nonnegative integers. (Contributed by NM, 9-May-2004.)
Assertion
Ref Expression
peano2nn0 (𝑁 ∈ ℕ0 → (𝑁 + 1) ∈ ℕ0)

Proof of Theorem peano2nn0
StepHypRef Expression
1 1nn0 11268 . 2 1 ∈ ℕ0
2 nn0addcl 11288 . 2 ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 1 ∈ ℕ0) → (𝑁 + 1) ∈ ℕ0)
31, 2mpan2 706 1 (𝑁 ∈ ℕ0 → (𝑁 + 1) ∈ ℕ0)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wcel 1987  (class class class)co 6615  1c1 9897   + caddc 9899  0cn0 11252
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1719  ax-4 1734  ax-5 1836  ax-6 1885  ax-7 1932  ax-8 1989  ax-9 1996  ax-10 2016  ax-11 2031  ax-12 2044  ax-13 2245  ax-ext 2601  ax-sep 4751  ax-nul 4759  ax-pow 4813  ax-pr 4877  ax-un 6914  ax-resscn 9953  ax-1cn 9954  ax-icn 9955  ax-addcl 9956  ax-addrcl 9957  ax-mulcl 9958  ax-mulrcl 9959  ax-mulcom 9960  ax-addass 9961  ax-mulass 9962  ax-distr 9963  ax-i2m1 9964  ax-1ne0 9965  ax-1rid 9966  ax-rnegex 9967  ax-rrecex 9968  ax-cnre 9969  ax-pre-lttri 9970  ax-pre-lttrn 9971  ax-pre-ltadd 9972
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1037  df-3an 1038  df-tru 1483  df-ex 1702  df-nf 1707  df-sb 1878  df-eu 2473  df-mo 2474  df-clab 2608  df-cleq 2614  df-clel 2617  df-nfc 2750  df-ne 2791  df-nel 2894  df-ral 2913  df-rex 2914  df-reu 2915  df-rab 2917  df-v 3192  df-sbc 3423  df-csb 3520  df-dif 3563  df-un 3565  df-in 3567  df-ss 3574  df-pss 3576  df-nul 3898  df-if 4065  df-pw 4138  df-sn 4156  df-pr 4158  df-tp 4160  df-op 4162  df-uni 4410  df-iun 4494  df-br 4624  df-opab 4684  df-mpt 4685  df-tr 4723  df-eprel 4995  df-id 4999  df-po 5005  df-so 5006  df-fr 5043  df-we 5045  df-xp 5090  df-rel 5091  df-cnv 5092  df-co 5093  df-dm 5094  df-rn 5095  df-res 5096  df-ima 5097  df-pred 5649  df-ord 5695  df-on 5696  df-lim 5697  df-suc 5698  df-iota 5820  df-fun 5859  df-fn 5860  df-f 5861  df-f1 5862  df-fo 5863  df-f1o 5864  df-fv 5865  df-ov 6618  df-om 7028  df-wrecs 7367  df-recs 7428  df-rdg 7466  df-er 7702  df-en 7916  df-dom 7917  df-sdom 7918  df-pnf 10036  df-mnf 10037  df-ltxr 10039  df-nn 10981  df-n0 11253
This theorem is referenced by:  nn0split  12411  fzonn0p1p1  12503  elfzom1p1elfzo  12504  leexp2r  12874  expnbnd  12949  facdiv  13030  facwordi  13032  faclbnd  13033  faclbnd2  13034  faclbnd3  13035  faclbnd6  13042  bcnp1n  13057  bcp1m1  13063  bcpasc  13064  hashfz  13170  hashf1  13195  brfi1indlem  13233  fi1uzind  13234  brfi1indALT  13237  fi1uzindOLD  13240  brfi1indALTOLD  13243  swrds2  13635  iseraltlem2  14363  bcxmas  14511  climcndslem1  14525  climcnds  14527  geolim  14545  geo2sum  14548  mertenslem1  14560  mertenslem2  14561  mertens  14562  risefacp1  14704  fallfacp1  14705  binomfallfaclem1  14714  binomfallfaclem2  14715  fsumkthpow  14731  efcllem  14752  eftlub  14783  efsep  14784  effsumlt  14785  ruclem9  14911  nn0ob  15043  nn0oddm1d2  15044  pwp1fsum  15057  bitsp1  15096  sadcp1  15120  smuval2  15147  smu01lem  15150  smup1  15154  nn0seqcvgd  15226  algcvg  15232  nonsq  15410  iserodd  15483  pcprendvds  15488  pcpremul  15491  pcdvdsb  15516  4sqlem11  15602  vdwapun  15621  vdwlem1  15628  vdwlem9  15636  ramub1  15675  ramcl  15676  prmop1  15685  decexp2  15722  sylow1lem3  17955  efgsfo  18092  efgred  18101  telgsums  18330  telgsum  18331  srgbinomlem3  18482  srgbinomlem4  18483  assamulgscmlem2  19289  chfacffsupp  20601  chfacfscmulfsupp  20604  chfacfscmulgsum  20605  chfacfpmmulfsupp  20608  chfacfpmmulgsum  20609  cpnord  23638  ply1divex  23834  fta1glem1  23863  fta1glem2  23864  fta1g  23865  plyco0  23886  plyaddlem1  23907  plymullem1  23908  plyco  23935  dvply1  23977  dvply2g  23978  aaliou3lem8  24038  aaliou3lem9  24043  dvtaylp  24062  dvradcnv  24113  pserdvlem2  24120  advlogexp  24335  atantayl3  24600  leibpi  24603  log2cnv  24605  ftalem4  24736  ftalem5  24737  perfectlem1  24888  bcp1ctr  24938  2lgslem3d1  25062  dchrisum0flblem1  25131  ostth2lem2  25257  ostth2lem3  25258  crctcshwlkn0lem7  26611  wwlksnred  26690  wwlksnext  26691  wwlksnextbi  26692  wwlksnredwwlkn  26693  wwlksnredwwlkn0  26694  wwlksnfi  26704  wwlksnextproplem1  26707  wwlksnextproplem2  26708  wwlksnextproplem3  26709  rusgrnumwwlks  26770  clwwlksf  26815  eupth2lems  26998  eucrct2eupth  27005  numclwwlkovf2ex  27109  numclwlk2lem2f  27125  nndiffz1  29431  subfacval2  30930  erdsze2lem1  30946  bccolsum  31386  fwddifnp1  31967  knoppndvlem6  32203  poimirlem17  33097  heiborlem3  33283  heiborlem4  33284  heiborlem6  33286  2rexfrabdioph  36879  elnn0rabdioph  36886  dvdsrabdioph  36893  jm2.17a  37046  jm2.17b  37047  expdiophlem1  37107  expdiophlem2  37108  hbt  37220  cotrclrcl  37554  k0004ss3  37972  bccp1k  38061  binomcxplemnn0  38069  ioodvbdlimc1lem2  39484  ioodvbdlimc2lem  39486  dvnmul  39495  stoweidlem17  39571  wallispilem1  39619  stirlinglem5  39632  etransclem23  39811  etransclem46  39834  etransclem48  39836  pfxccatpfx2  40757  pfxccat3a  40758  fmtnoge3  40771  fmtnorec1  40778  sqrtpwpw2p  40779  fmtnosqrt  40780  fmtnorec2lem  40783  fmtnorec3  40789  fmtnoprmfac1  40806  fmtnoprmfac2lem1  40807  fmtnofac1  40811  pwdif  40830  flsqrt  40837  perfectALTVlem1  40955  nn0eo  41640  fllog2  41684  dignnld  41719  0dig2nn0o  41729  dignn0ehalf  41733  dignn0flhalf  41734  nn0sumshdiglemA  41735  aacllem  41880
  Copyright terms: Public domain W3C validator