MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  peano2nnd Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem peano2nnd 10997
Description: Peano postulate: a successor of a positive integer is a positive integer. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)
Hypothesis
Ref Expression
nnred.1 (𝜑𝐴 ∈ ℕ)
Assertion
Ref Expression
peano2nnd (𝜑 → (𝐴 + 1) ∈ ℕ)

Proof of Theorem peano2nnd
StepHypRef Expression
1 nnred.1 . 2 (𝜑𝐴 ∈ ℕ)
2 peano2nn 10992 . 2 (𝐴 ∈ ℕ → (𝐴 + 1) ∈ ℕ)
31, 2syl 17 1 (𝜑 → (𝐴 + 1) ∈ ℕ)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wcel 1987  (class class class)co 6615  1c1 9897   + caddc 9899  cn 10980
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1719  ax-4 1734  ax-5 1836  ax-6 1885  ax-7 1932  ax-8 1989  ax-9 1996  ax-10 2016  ax-11 2031  ax-12 2044  ax-13 2245  ax-ext 2601  ax-sep 4751  ax-nul 4759  ax-pow 4813  ax-pr 4877  ax-un 6914
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1037  df-3an 1038  df-tru 1483  df-ex 1702  df-nf 1707  df-sb 1878  df-eu 2473  df-mo 2474  df-clab 2608  df-cleq 2614  df-clel 2617  df-nfc 2750  df-ne 2791  df-ral 2913  df-rex 2914  df-reu 2915  df-rab 2917  df-v 3192  df-sbc 3423  df-csb 3520  df-dif 3563  df-un 3565  df-in 3567  df-ss 3574  df-pss 3576  df-nul 3898  df-if 4065  df-pw 4138  df-sn 4156  df-pr 4158  df-tp 4160  df-op 4162  df-uni 4410  df-iun 4494  df-br 4624  df-opab 4684  df-mpt 4685  df-tr 4723  df-eprel 4995  df-id 4999  df-po 5005  df-so 5006  df-fr 5043  df-we 5045  df-xp 5090  df-rel 5091  df-cnv 5092  df-co 5093  df-dm 5094  df-rn 5095  df-res 5096  df-ima 5097  df-pred 5649  df-ord 5695  df-on 5696  df-lim 5697  df-suc 5698  df-iota 5820  df-fun 5859  df-fn 5860  df-f 5861  df-f1 5862  df-fo 5863  df-f1o 5864  df-fv 5865  df-ov 6618  df-om 7028  df-wrecs 7367  df-recs 7428  df-rdg 7466  df-nn 10981
This theorem is referenced by:  bcpasc  13064  relexpsucnnr  13715  o1fsum  14491  bpolydiflem  14729  eftlub  14783  eirrlem  14876  infpnlem1  15557  infpnlem2  15558  prmreclem4  15566  prmreclem5  15567  prmreclem6  15568  vdwlem6  15633  cayhamlem1  20611  ovolunlem1a  23204  ovolicc2lem3  23227  uniioombllem3  23293  uniioombllem4  23294  vieta1lem1  24003  vieta1lem2  24004  aaliou3lem2  24036  lgamgulmlem3  24691  lgamgulmlem4  24692  lgamgulmlem5  24693  lgamgulmlem6  24694  lgamgulm2  24696  lgamcvg2  24715  gamcvg  24716  gamcvg2lem  24719  regamcl  24721  relgamcl  24722  basellem1  24741  basellem2  24742  basellem3  24743  basellem4  24744  basellem5  24745  basellem6  24746  basellem7  24747  basellem8  24748  basellem9  24749  perfectlem1  24888  perfectlem2  24889  bclbnd  24939  lgsdilem2  24992  rplogsumlem2  25108  dchrisumlem2  25113  pntrsumbnd2  25190  pntrlog2bndlem2  25201  pntpbnd1a  25208  pntpbnd1  25209  pntpbnd2  25210  axlowdimlem16  25771  isarchi3  29568  ofldchr  29641  fzto1st  29680  psgnfzto1st  29682  smatrcl  29686  esumfzf  29954  esumpcvgval  29963  esumcvg  29971  dstfrvunirn  30359  dstfrvclim1  30362  subfacp1lem1  30922  subfacp1lem5  30927  subfaclim  30931  poimirlem7  33087  poimirlem15  33095  poimirlem17  33097  poimirlem19  33099  poimirlem28  33108  4rexfrabdioph  36881  6rexfrabdioph  36882  pellfundge  36965  pellfundgt1  36966  wallispilem5  39623  wallispi2lem1  39625  wallispi2  39627  fourierdlem47  39707  nnfoctbdjlem  40009  hoidmvlelem2  40147  vonioolem2  40232  vonicclem2  40235  fmtnof1  40776  fmtnoprmfac1lem  40805  lighneallem4b  40855  proththdlem  40859  perfectALTVlem1  40955  perfectALTVlem2  40956  blennngt2o2  41708
  Copyright terms: Public domain W3C validator