MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  peano2nnd Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem peano2nnd 10881
Description: Peano postulate: a successor of a positive integer is a positive integer. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)
Hypothesis
Ref Expression
nnred.1 (𝜑𝐴 ∈ ℕ)
Assertion
Ref Expression
peano2nnd (𝜑 → (𝐴 + 1) ∈ ℕ)

Proof of Theorem peano2nnd
StepHypRef Expression
1 nnred.1 . 2 (𝜑𝐴 ∈ ℕ)
2 peano2nn 10876 . 2 (𝐴 ∈ ℕ → (𝐴 + 1) ∈ ℕ)
31, 2syl 17 1 (𝜑 → (𝐴 + 1) ∈ ℕ)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wcel 1976  (class class class)co 6524  1c1 9790   + caddc 9792  cn 10864
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1712  ax-4 1727  ax-5 1826  ax-6 1874  ax-7 1921  ax-8 1978  ax-9 1985  ax-10 2005  ax-11 2020  ax-12 2032  ax-13 2229  ax-ext 2586  ax-sep 4700  ax-nul 4709  ax-pow 4761  ax-pr 4825  ax-un 6821
This theorem depends on definitions:  df-bi 195  df-or 383  df-an 384  df-3or 1031  df-3an 1032  df-tru 1477  df-ex 1695  df-nf 1700  df-sb 1867  df-eu 2458  df-mo 2459  df-clab 2593  df-cleq 2599  df-clel 2602  df-nfc 2736  df-ne 2778  df-ral 2897  df-rex 2898  df-reu 2899  df-rab 2901  df-v 3171  df-sbc 3399  df-csb 3496  df-dif 3539  df-un 3541  df-in 3543  df-ss 3550  df-pss 3552  df-nul 3871  df-if 4033  df-pw 4106  df-sn 4122  df-pr 4124  df-tp 4126  df-op 4128  df-uni 4364  df-iun 4448  df-br 4575  df-opab 4635  df-mpt 4636  df-tr 4672  df-eprel 4936  df-id 4940  df-po 4946  df-so 4947  df-fr 4984  df-we 4986  df-xp 5031  df-rel 5032  df-cnv 5033  df-co 5034  df-dm 5035  df-rn 5036  df-res 5037  df-ima 5038  df-pred 5580  df-ord 5626  df-on 5627  df-lim 5628  df-suc 5629  df-iota 5751  df-fun 5789  df-fn 5790  df-f 5791  df-f1 5792  df-fo 5793  df-f1o 5794  df-fv 5795  df-ov 6527  df-om 6932  df-wrecs 7268  df-recs 7329  df-rdg 7367  df-nn 10865
This theorem is referenced by:  bcpasc  12922  relexpsucnnr  13556  o1fsum  14329  bpolydiflem  14567  eftlub  14621  eirrlem  14714  infpnlem1  15395  infpnlem2  15396  prmreclem4  15404  prmreclem5  15405  prmreclem6  15406  vdwlem6  15471  cayhamlem1  20429  ovolunlem1a  22985  ovolicc2lem3  23008  uniioombllem3  23073  uniioombllem4  23074  vieta1lem1  23783  vieta1lem2  23784  aaliou3lem2  23816  lgamgulmlem3  24471  lgamgulmlem4  24472  lgamgulmlem5  24473  lgamgulmlem6  24474  lgamgulm2  24476  lgamcvg2  24495  gamcvg  24496  gamcvg2lem  24499  regamcl  24501  relgamcl  24502  basellem1  24521  basellem2  24522  basellem3  24523  basellem4  24524  basellem5  24525  basellem6  24526  basellem7  24527  basellem8  24528  basellem9  24529  perfectlem1  24668  perfectlem2  24669  bclbnd  24719  lgsdilem2  24772  rplogsumlem2  24888  dchrisumlem2  24893  pntrsumbnd2  24970  pntrlog2bndlem2  24981  pntpbnd1a  24988  pntpbnd1  24989  pntpbnd2  24990  axlowdimlem16  25552  isarchi3  28875  ofldchr  28948  fzto1st  28987  psgnfzto1st  28989  smatrcl  28993  esumfzf  29261  esumpcvgval  29270  esumcvg  29278  dstfrvunirn  29666  dstfrvclim1  29669  subfacp1lem1  30218  subfacp1lem5  30223  subfaclim  30227  poimirlem7  32386  poimirlem15  32394  poimirlem17  32396  poimirlem19  32398  poimirlem28  32407  4rexfrabdioph  36180  6rexfrabdioph  36181  pellfundge  36264  pellfundgt1  36265  wallispilem5  38763  wallispi2lem1  38765  wallispi2  38767  fourierdlem47  38847  nnfoctbdjlem  39149  hoidmvlelem2  39287  vonioolem2  39373  vonicclem2  39376  fmtnof1  39787  fmtnoprmfac1lem  39816  lighneallem4b  39866  proththdlem  39870  perfectALTVlem1  39966  perfectALTVlem2  39967  blennngt2o2  42183
  Copyright terms: Public domain W3C validator