MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  peano2rem Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem peano2rem 10941
Description: "Reverse" second Peano postulate analogue for reals. (Contributed by NM, 6-Feb-2007.)
Assertion
Ref Expression
peano2rem (𝑁 ∈ ℝ → (𝑁 − 1) ∈ ℝ)

Proof of Theorem peano2rem
StepHypRef Expression
1 1re 10629 . 2 1 ∈ ℝ
2 resubcl 10938 . 2 ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ) → (𝑁 − 1) ∈ ℝ)
31, 2mpan2 687 1 (𝑁 ∈ ℝ → (𝑁 − 1) ∈ ℝ)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wcel 2105  (class class class)co 7145  cr 10524  1c1 10526  cmin 10858
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1787  ax-4 1801  ax-5 1902  ax-6 1961  ax-7 2006  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2151  ax-12 2167  ax-ext 2790  ax-sep 5194  ax-nul 5201  ax-pow 5257  ax-pr 5320  ax-un 7450  ax-resscn 10582  ax-1cn 10583  ax-icn 10584  ax-addcl 10585  ax-addrcl 10586  ax-mulcl 10587  ax-mulrcl 10588  ax-mulcom 10589  ax-addass 10590  ax-mulass 10591  ax-distr 10592  ax-i2m1 10593  ax-1ne0 10594  ax-1rid 10595  ax-rnegex 10596  ax-rrecex 10597  ax-cnre 10598  ax-pre-lttri 10599  ax-pre-lttrn 10600  ax-pre-ltadd 10601
This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 842  df-3or 1080  df-3an 1081  df-tru 1531  df-ex 1772  df-nf 1776  df-sb 2061  df-mo 2615  df-eu 2647  df-clab 2797  df-cleq 2811  df-clel 2890  df-nfc 2960  df-ne 3014  df-nel 3121  df-ral 3140  df-rex 3141  df-reu 3142  df-rab 3144  df-v 3494  df-sbc 3770  df-csb 3881  df-dif 3936  df-un 3938  df-in 3940  df-ss 3949  df-nul 4289  df-if 4464  df-pw 4537  df-sn 4558  df-pr 4560  df-op 4564  df-uni 4831  df-br 5058  df-opab 5120  df-mpt 5138  df-id 5453  df-po 5467  df-so 5468  df-xp 5554  df-rel 5555  df-cnv 5556  df-co 5557  df-dm 5558  df-rn 5559  df-res 5560  df-ima 5561  df-iota 6307  df-fun 6350  df-fn 6351  df-f 6352  df-f1 6353  df-fo 6354  df-f1o 6355  df-fv 6356  df-riota 7103  df-ov 7148  df-oprab 7149  df-mpo 7150  df-er 8278  df-en 8498  df-dom 8499  df-sdom 8500  df-pnf 10665  df-mnf 10666  df-ltxr 10668  df-sub 10860  df-neg 10861
This theorem is referenced by:  lem1  11471  addltmul  11861  div4p1lem1div2  11880  nnunb  11881  suprzcl  12050  zbtwnre  12334  rebtwnz  12335  qbtwnre  12580  qbtwnxr  12581  xnn0lem1lt  12625  xrinfmsslem  12689  xrub  12693  reltre  12721  elfznelfzo  13130  fldiv4p1lem1div2  13193  fldiv4lem1div2uz2  13194  ceile  13205  intfracq  13215  fldiv  13216  m1modnnsub1  13273  expubnd  13529  bernneq2  13579  expnbnd  13581  cshwidxm1  14157  isercolllem1  15009  tgioo  23331  icoopnst  23470  mbfi1fseqlem6  24248  dvfsumlem1  24550  dvfsumlem2  24551  dgreq0  24782  advlog  25164  atanlogsublem  25420  birthdaylem3  25458  wilthlem1  25572  ftalem5  25581  ppiub  25707  chtublem  25714  chtub  25715  logfaclbnd  25725  logfacbnd3  25726  perfectlem2  25733  lgsval2lem  25810  lgsqrlem2  25850  gausslemma2dlem0c  25861  gausslemma2dlem1a  25868  lgseisenlem2  25879  lgseisen  25882  lgsquadlem1  25883  lgsquadlem2  25884  2lgslem1c  25896  2lgsoddprmlem2  25912  rplogsumlem1  25987  selberg2lem  26053  pntrsumo1  26068  pntpbnd1a  26088  colinearalglem4  26622  axlowdimlem16  26670  axeuclidlem  26675  nbusgrvtxm1  27088  pthdlem1  27474  crctcshwlkn0lem1  27515  wwlksm1edg  27586  clwwlkel  27752  clwwlknonex2lem2  27814  numclwwlk7  28097  addltmulALT  30150  cvmliftlem2  32430  cvmliftlem6  32434  cvmliftlem8  32436  cvmliftlem9  32437  cvmliftlem10  32438  iooelexlt  34525  ltflcei  34761  poimirlem12  34785  poimirlem13  34786  poimirlem14  34787  poimirlem31  34804  poimirlem32  34805  itg2addnclem2  34825  itg2addnclem3  34826  monoords  41440  supxrgere  41477  infleinflem2  41515  unb2ltle  41565  limsupre3lem  41889  xlimxrre  41988  xlimmnfv  41991  stoweidlem14  42176  stoweidlem34  42196  fourierdlem11  42280  fourierdlem12  42281  fourierdlem15  42284  fourierdlem42  42311  fourierdlem50  42318  fourierdlem64  42332  fourierdlem79  42347  smfresal  42940  zm1nn  43379  m1mod0mod1  43406  nn0oALTV  43738  perfectALTVlem2  43764  m1modmmod  44509  difmodm1lt  44510  flnn0div2ge  44521  logbpw2m1  44555  fllog2  44556
  Copyright terms: Public domain W3C validator