MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  peano2rem Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem peano2rem 10333
Description: "Reverse" second Peano postulate analogue for reals. (Contributed by NM, 6-Feb-2007.)
Assertion
Ref Expression
peano2rem (𝑁 ∈ ℝ → (𝑁 − 1) ∈ ℝ)

Proof of Theorem peano2rem
StepHypRef Expression
1 1re 10024 . 2 1 ∈ ℝ
2 resubcl 10330 . 2 ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ) → (𝑁 − 1) ∈ ℝ)
31, 2mpan2 706 1 (𝑁 ∈ ℝ → (𝑁 − 1) ∈ ℝ)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wcel 1988  (class class class)co 6635  cr 9920  1c1 9922  cmin 10251
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1720  ax-4 1735  ax-5 1837  ax-6 1886  ax-7 1933  ax-8 1990  ax-9 1997  ax-10 2017  ax-11 2032  ax-12 2045  ax-13 2244  ax-ext 2600  ax-sep 4772  ax-nul 4780  ax-pow 4834  ax-pr 4897  ax-un 6934  ax-resscn 9978  ax-1cn 9979  ax-icn 9980  ax-addcl 9981  ax-addrcl 9982  ax-mulcl 9983  ax-mulrcl 9984  ax-mulcom 9985  ax-addass 9986  ax-mulass 9987  ax-distr 9988  ax-i2m1 9989  ax-1ne0 9990  ax-1rid 9991  ax-rnegex 9992  ax-rrecex 9993  ax-cnre 9994  ax-pre-lttri 9995  ax-pre-lttrn 9996  ax-pre-ltadd 9997
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1037  df-3an 1038  df-tru 1484  df-ex 1703  df-nf 1708  df-sb 1879  df-eu 2472  df-mo 2473  df-clab 2607  df-cleq 2613  df-clel 2616  df-nfc 2751  df-ne 2792  df-nel 2895  df-ral 2914  df-rex 2915  df-reu 2916  df-rab 2918  df-v 3197  df-sbc 3430  df-csb 3527  df-dif 3570  df-un 3572  df-in 3574  df-ss 3581  df-nul 3908  df-if 4078  df-pw 4151  df-sn 4169  df-pr 4171  df-op 4175  df-uni 4428  df-br 4645  df-opab 4704  df-mpt 4721  df-id 5014  df-po 5025  df-so 5026  df-xp 5110  df-rel 5111  df-cnv 5112  df-co 5113  df-dm 5114  df-rn 5115  df-res 5116  df-ima 5117  df-iota 5839  df-fun 5878  df-fn 5879  df-f 5880  df-f1 5881  df-fo 5882  df-f1o 5883  df-fv 5884  df-riota 6596  df-ov 6638  df-oprab 6639  df-mpt2 6640  df-er 7727  df-en 7941  df-dom 7942  df-sdom 7943  df-pnf 10061  df-mnf 10062  df-ltxr 10064  df-sub 10253  df-neg 10254
This theorem is referenced by:  lem1  10849  addltmul  11253  div4p1lem1div2  11272  nnunb  11273  suprzcl  11442  zbtwnre  11771  rebtwnz  11772  qbtwnre  12015  qbtwnxr  12016  xrinfmsslem  12123  xrub  12127  reltre  12155  elfznelfzo  12557  fldiv4p1lem1div2  12619  fldiv4lem1div2uz2  12620  ceile  12631  intfracq  12641  fldiv  12642  m1modnnsub1  12699  expubnd  12904  bernneq2  12974  expnbnd  12976  cshwidxm1  13534  isercolllem1  14376  tgioo  22580  icoopnst  22719  mbfi1fseqlem6  23468  dvfsumlem1  23770  dvfsumlem2  23771  dgreq0  24002  advlog  24381  atanlogsublem  24623  birthdaylem3  24661  wilthlem1  24775  ftalem5  24784  ppiub  24910  chtublem  24917  chtub  24918  logfaclbnd  24928  logfacbnd3  24929  perfectlem2  24936  lgsval2lem  25013  lgsqrlem2  25053  gausslemma2dlem0c  25064  gausslemma2dlem1a  25071  lgseisenlem2  25082  lgseisen  25085  lgsquadlem1  25086  lgsquadlem2  25087  2lgslem1c  25099  2lgsoddprmlem2  25115  rplogsumlem1  25154  selberg2lem  25220  pntrsumo1  25235  pntpbnd1a  25255  colinearalglem4  25770  axlowdimlem16  25818  axeuclidlem  25823  nbusgrvtxm1  26262  pthdlem1  26643  crctcshwlkn0lem1  26683  wwlksm1edg  26748  clwwlksel  26894  numclwwlkovf2ex  27191  numclwwlk7  27219  addltmulALT  29275  cvmliftlem2  31242  cvmliftlem6  31246  cvmliftlem8  31248  cvmliftlem9  31249  cvmliftlem10  31250  iooelexlt  33181  ltflcei  33368  poimirlem12  33392  poimirlem13  33393  poimirlem14  33394  poimirlem31  33411  poimirlem32  33412  itg2addnclem2  33433  itg2addnclem3  33434  monoords  39324  supxrgere  39362  infleinflem2  39400  unb2ltle  39455  limsupre3lem  39764  stoweidlem14  39994  stoweidlem34  40014  fourierdlem11  40098  fourierdlem12  40099  fourierdlem15  40102  fourierdlem42  40129  fourierdlem50  40136  fourierdlem64  40150  fourierdlem79  40165  smfresal  40758  zm1nn  41079  m1mod0mod1  41103  nn0oALTV  41372  perfectALTVlem2  41396  m1modmmod  42081  difmodm1lt  42082  flnn0div2ge  42092  logbpw2m1  42126  fllog2  42127
  Copyright terms: Public domain W3C validator