Theorem peano2uz 11576

Description: Second Peano postulate for an upper set of integers. (Contributed by NM, 7-Sep-2005.)

Assertion

Ref	Expression
peano2uz	⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → (𝑁 + 1) ∈ (ℤ≥‘𝑀))

Proof of Theorem peano2uz

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simp1 1054	. . 3 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≤ 𝑁) → 𝑀 ∈ ℤ)
2		peano2z 11254	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → (𝑁 + 1) ∈ ℤ)
3	2	3ad2ant2 1076	. . 3 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≤ 𝑁) → (𝑁 + 1) ∈ ℤ)
4		zre 11217	. . . 4 ⊢ (𝑀 ∈ ℤ → 𝑀 ∈ ℝ)
5		zre 11217	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → 𝑁 ∈ ℝ)
6		letrp1 10717	. . . . 5 ⊢ ((𝑀 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ ∧ 𝑀 ≤ 𝑁) → 𝑀 ≤ (𝑁 + 1))
7	5, 6	syl3an2 1352	. . . 4 ⊢ ((𝑀 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≤ 𝑁) → 𝑀 ≤ (𝑁 + 1))
8	4, 7	syl3an1 1351	. . 3 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≤ 𝑁) → 𝑀 ≤ (𝑁 + 1))
9	1, 3, 8	3jca 1235	. 2 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≤ 𝑁) → (𝑀 ∈ ℤ ∧ (𝑁 + 1) ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≤ (𝑁 + 1)))
10		eluz2 11528	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) ↔ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≤ 𝑁))
11		eluz2 11528	. 2 ⊢ ((𝑁 + 1) ∈ (ℤ≥‘𝑀) ↔ (𝑀 ∈ ℤ ∧ (𝑁 + 1) ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≤ (𝑁 + 1)))
12	9, 10, 11	3imtr4i 280	1 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → (𝑁 + 1) ∈ (ℤ≥‘𝑀))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ w3a 1031   ∈ wcel 1977   class class class wbr 4578  ‘cfv 5790  (class class class)co 6527  ℝcr 9792  1c1 9794   + caddc 9796   ≤ cle 9932  ℤcz 11213  ℤ_≥cuz 11522

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-8 1979  ax-9 1986  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-sep 4704  ax-nul 4712  ax-pow 4764  ax-pr 4828  ax-un 6825  ax-cnex 9849  ax-resscn 9850  ax-1cn 9851  ax-icn 9852  ax-addcl 9853  ax-addrcl 9854  ax-mulcl 9855  ax-mulrcl 9856  ax-mulcom 9857  ax-addass 9858  ax-mulass 9859  ax-distr 9860  ax-i2m1 9861  ax-1ne0 9862  ax-1rid 9863  ax-rnegex 9864  ax-rrecex 9865  ax-cnre 9866  ax-pre-lttri 9867  ax-pre-lttrn 9868  ax-pre-ltadd 9869  ax-pre-mulgt0 9870

This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-3or 1032  df-3an 1033  df-tru 1478  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-eu 2462  df-mo 2463  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ne 2782  df-nel 2783  df-ral 2901  df-rex 2902  df-reu 2903  df-rab 2905  df-v 3175  df-sbc 3403  df-csb 3500  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-pss 3556  df-nul 3875  df-if 4037  df-pw 4110  df-sn 4126  df-pr 4128  df-tp 4130  df-op 4132  df-uni 4368  df-iun 4452  df-br 4579  df-opab 4639  df-mpt 4640  df-tr 4676  df-eprel 4939  df-id 4943  df-po 4949  df-so 4950  df-fr 4987  df-we 4989  df-xp 5034  df-rel 5035  df-cnv 5036  df-co 5037  df-dm 5038  df-rn 5039  df-res 5040  df-ima 5041  df-pred 5583  df-ord 5629  df-on 5630  df-lim 5631  df-suc 5632  df-iota 5754  df-fun 5792  df-fn 5793  df-f 5794  df-f1 5795  df-fo 5796  df-f1o 5797  df-fv 5798  df-riota 6489  df-ov 6530  df-oprab 6531  df-mpt2 6532  df-om 6936  df-wrecs 7272  df-recs 7333  df-rdg 7371  df-er 7607  df-en 7820  df-dom 7821  df-sdom 7822  df-pnf 9933  df-mnf 9934  df-xr 9935  df-ltxr 9936  df-le 9937  df-sub 10120  df-neg 10121  df-nn 10871  df-n0 11143  df-z 11214  df-uz 11523

This theorem is referenced by:  peano2uzs  11577  peano2uzr  11578  uzaddcl  11579  fzsplit  12196  fzssp1  12213  fzsuc  12216  fzpred  12217  fzp1ss  12220  fzp1elp1  12222  fztp  12225  fzneuz  12248  fzosplitsnm1  12367  fzofzp1  12389  fzosplitsn  12400  fzostep1  12404  om2uzuzi  12568  uzrdgsuci  12579  fzen2  12588  fzfi  12591  seqsplit  12654  seqf1olem1  12660  seqf1olem2  12661  seqz  12669  faclbnd3  12899  bcm1k  12922  seqcoll  13060  seqcoll2  13061  swrds1  13252  clim2ser  14182  clim2ser2  14183  serf0  14208  iseraltlem2  14210  iseralt  14212  fsump1  14278  fsump1i  14291  fsumparts  14328  cvgcmp  14338  isum1p  14361  isumsup2  14366  climcndslem1  14369  climcndslem2  14370  climcnds  14371  cvgrat  14403  mertenslem1  14404  clim2prod  14408  clim2div  14409  ntrivcvgfvn0  14419  fprodntriv  14460  fprodp1  14487  fprodabs  14492  binomfallfaclem2  14559  pcfac  15390  gsumprval  17053  telgsumfzslem  18157  telgsumfzs  18158  dvply2g  23789  aaliou3lem2  23847  ppinprm  24623  chtnprm  24625  ppiublem1  24672  chtublem  24681  chtub  24682  bposlem6  24759  pntlemf  25039  ostth2lem2  25068  clwwlkvbij  26123  fzsplit3  28734  esumcvg  29269  sseqf  29575  gsumnunsn  29736  signstfvp  29768  iprodefisumlem  30673  poimirlem1  32374  poimirlem2  32375  poimirlem3  32376  poimirlem4  32377  poimirlem6  32379  poimirlem7  32380  poimirlem8  32381  poimirlem9  32382  poimirlem12  32385  poimirlem13  32386  poimirlem14  32387  poimirlem15  32388  poimirlem16  32389  poimirlem17  32390  poimirlem18  32391  poimirlem19  32392  poimirlem20  32393  poimirlem21  32394  poimirlem22  32395  poimirlem23  32396  poimirlem24  32397  poimirlem26  32399  poimirlem27  32400  poimirlem31  32404  poimirlem32  32405  sdclem2  32502  fdc  32505  mettrifi  32517  bfplem2  32586  rexrabdioph  36170  monotuz  36318  wallispilem1  38752  dirkertrigeqlem2  38786  sge0p1  39101  carageniuncllem1  39205  iccpartres  39751  iccelpart  39766  fmtno4prm  39820  pfxccatpfx2  40086  fzosplitpr  40179  clwwlksvbij  41221