MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  peano2uz Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem peano2uz 12289
Description: Second Peano postulate for an upper set of integers. (Contributed by NM, 7-Sep-2005.)
Assertion
Ref Expression
peano2uz (𝑁 ∈ (ℤ𝑀) → (𝑁 + 1) ∈ (ℤ𝑀))

Proof of Theorem peano2uz
StepHypRef Expression
1 simp1 1128 . . 3 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀𝑁) → 𝑀 ∈ ℤ)
2 peano2z 12011 . . . 4 (𝑁 ∈ ℤ → (𝑁 + 1) ∈ ℤ)
323ad2ant2 1126 . . 3 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀𝑁) → (𝑁 + 1) ∈ ℤ)
4 zre 11973 . . . 4 (𝑀 ∈ ℤ → 𝑀 ∈ ℝ)
5 zre 11973 . . . . 5 (𝑁 ∈ ℤ → 𝑁 ∈ ℝ)
6 letrp1 11472 . . . . 5 ((𝑀 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ ∧ 𝑀𝑁) → 𝑀 ≤ (𝑁 + 1))
75, 6syl3an2 1156 . . . 4 ((𝑀 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀𝑁) → 𝑀 ≤ (𝑁 + 1))
84, 7syl3an1 1155 . . 3 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀𝑁) → 𝑀 ≤ (𝑁 + 1))
91, 3, 83jca 1120 . 2 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀𝑁) → (𝑀 ∈ ℤ ∧ (𝑁 + 1) ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≤ (𝑁 + 1)))
10 eluz2 12237 . 2 (𝑁 ∈ (ℤ𝑀) ↔ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀𝑁))
11 eluz2 12237 . 2 ((𝑁 + 1) ∈ (ℤ𝑀) ↔ (𝑀 ∈ ℤ ∧ (𝑁 + 1) ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≤ (𝑁 + 1)))
129, 10, 113imtr4i 293 1 (𝑁 ∈ (ℤ𝑀) → (𝑁 + 1) ∈ (ℤ𝑀))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  w3a 1079  wcel 2105   class class class wbr 5057  cfv 6348  (class class class)co 7145  cr 10524  1c1 10526   + caddc 10528  cle 10664  cz 11969  cuz 12231
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1787  ax-4 1801  ax-5 1902  ax-6 1961  ax-7 2006  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2151  ax-12 2167  ax-ext 2790  ax-sep 5194  ax-nul 5201  ax-pow 5257  ax-pr 5320  ax-un 7450  ax-cnex 10581  ax-resscn 10582  ax-1cn 10583  ax-icn 10584  ax-addcl 10585  ax-addrcl 10586  ax-mulcl 10587  ax-mulrcl 10588  ax-mulcom 10589  ax-addass 10590  ax-mulass 10591  ax-distr 10592  ax-i2m1 10593  ax-1ne0 10594  ax-1rid 10595  ax-rnegex 10596  ax-rrecex 10597  ax-cnre 10598  ax-pre-lttri 10599  ax-pre-lttrn 10600  ax-pre-ltadd 10601  ax-pre-mulgt0 10602
This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 842  df-3or 1080  df-3an 1081  df-tru 1531  df-ex 1772  df-nf 1776  df-sb 2061  df-mo 2615  df-eu 2647  df-clab 2797  df-cleq 2811  df-clel 2890  df-nfc 2960  df-ne 3014  df-nel 3121  df-ral 3140  df-rex 3141  df-reu 3142  df-rab 3144  df-v 3494  df-sbc 3770  df-csb 3881  df-dif 3936  df-un 3938  df-in 3940  df-ss 3949  df-pss 3951  df-nul 4289  df-if 4464  df-pw 4537  df-sn 4558  df-pr 4560  df-tp 4562  df-op 4564  df-uni 4831  df-iun 4912  df-br 5058  df-opab 5120  df-mpt 5138  df-tr 5164  df-id 5453  df-eprel 5458  df-po 5467  df-so 5468  df-fr 5507  df-we 5509  df-xp 5554  df-rel 5555  df-cnv 5556  df-co 5557  df-dm 5558  df-rn 5559  df-res 5560  df-ima 5561  df-pred 6141  df-ord 6187  df-on 6188  df-lim 6189  df-suc 6190  df-iota 6307  df-fun 6350  df-fn 6351  df-f 6352  df-f1 6353  df-fo 6354  df-f1o 6355  df-fv 6356  df-riota 7103  df-ov 7148  df-oprab 7149  df-mpo 7150  df-om 7570  df-wrecs 7936  df-recs 7997  df-rdg 8035  df-er 8278  df-en 8498  df-dom 8499  df-sdom 8500  df-pnf 10665  df-mnf 10666  df-xr 10667  df-ltxr 10668  df-le 10669  df-sub 10860  df-neg 10861  df-nn 11627  df-n0 11886  df-z 11970  df-uz 12232
This theorem is referenced by:  peano2uzs  12290  peano2uzr  12291  uzaddcl  12292  fzsplit  12921  fzssp1  12938  fzsuc  12942  fzpred  12943  fzp1ss  12946  fzp1elp1  12948  fztp  12951  fzneuz  12976  fzosplitsnm1  13100  fzofzp1  13122  fzosplitsn  13133  fzosplitpr  13134  fzostep1  13141  om2uzuzi  13305  uzrdgsuci  13316  fzen2  13325  fzfi  13328  seqsplit  13391  seqf1olem1  13397  seqf1olem2  13398  seqz  13406  faclbnd3  13640  bcm1k  13663  seqcoll  13810  seqcoll2  13811  swrds1  14016  pfxccatpfx2  14087  clim2ser  14999  clim2ser2  15000  serf0  15025  iseraltlem2  15027  iseralt  15029  fsump1  15099  fsump1i  15112  fsumparts  15149  cvgcmp  15159  isum1p  15184  isumsup2  15189  climcndslem1  15192  climcndslem2  15193  climcnds  15194  cvgrat  15227  mertenslem1  15228  clim2prod  15232  clim2div  15233  ntrivcvgfvn0  15243  fprodntriv  15284  fprodp1  15311  fprodabs  15316  binomfallfaclem2  15382  pcfac  16223  gsumsplit1r  17885  gsumprval  17886  telgsumfzslem  19037  telgsumfzs  19038  dvply2g  24801  aaliou3lem2  24859  ppinprm  25656  chtnprm  25658  ppiublem1  25705  chtublem  25714  chtub  25715  bposlem6  25792  pntlemf  26108  ostth2lem2  26137  clwwlkvbij  27819  fzsplit3  30443  esumcvg  31244  sseqf  31549  gsumnunsn  31710  signstfvp  31740  iprodefisumlem  32869  poimirlem1  34774  poimirlem2  34775  poimirlem3  34776  poimirlem4  34777  poimirlem6  34779  poimirlem7  34780  poimirlem8  34781  poimirlem9  34782  poimirlem12  34785  poimirlem13  34786  poimirlem14  34787  poimirlem15  34788  poimirlem16  34789  poimirlem17  34790  poimirlem18  34791  poimirlem19  34792  poimirlem20  34793  poimirlem21  34794  poimirlem22  34795  poimirlem23  34796  poimirlem24  34797  poimirlem26  34799  poimirlem27  34800  poimirlem31  34804  poimirlem32  34805  sdclem2  34898  fdc  34901  mettrifi  34913  bfplem2  34982  rexrabdioph  39269  monotuz  39416  wallispilem1  42227  dirkertrigeqlem2  42261  sge0p1  42573  carageniuncllem1  42680  iccpartres  43455  iccelpart  43470  fmtno4prm  43614
  Copyright terms: Public domain W3C validator