MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  peano2uz2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem peano2uz2 11450
Description: Second Peano postulate for upper integers. (Contributed by NM, 3-Oct-2004.)
Assertion
Ref Expression
peano2uz2 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ {𝑥 ∈ ℤ ∣ 𝐴𝑥}) → (𝐵 + 1) ∈ {𝑥 ∈ ℤ ∣ 𝐴𝑥})
Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝐵

Proof of Theorem peano2uz2
StepHypRef Expression
1 peano2z 11403 . . . 4 (𝐵 ∈ ℤ → (𝐵 + 1) ∈ ℤ)
21ad2antrl 763 . . 3 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ (𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐴𝐵)) → (𝐵 + 1) ∈ ℤ)
3 zre 11366 . . . . 5 (𝐴 ∈ ℤ → 𝐴 ∈ ℝ)
4 zre 11366 . . . . 5 (𝐵 ∈ ℤ → 𝐵 ∈ ℝ)
5 lep1 10847 . . . . . . 7 (𝐵 ∈ ℝ → 𝐵 ≤ (𝐵 + 1))
65adantl 482 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → 𝐵 ≤ (𝐵 + 1))
7 peano2re 10194 . . . . . . . 8 (𝐵 ∈ ℝ → (𝐵 + 1) ∈ ℝ)
87ancli 573 . . . . . . 7 (𝐵 ∈ ℝ → (𝐵 ∈ ℝ ∧ (𝐵 + 1) ∈ ℝ))
9 letr 10116 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ (𝐵 + 1) ∈ ℝ) → ((𝐴𝐵𝐵 ≤ (𝐵 + 1)) → 𝐴 ≤ (𝐵 + 1)))
1093expb 1264 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ (𝐵 + 1) ∈ ℝ)) → ((𝐴𝐵𝐵 ≤ (𝐵 + 1)) → 𝐴 ≤ (𝐵 + 1)))
118, 10sylan2 491 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → ((𝐴𝐵𝐵 ≤ (𝐵 + 1)) → 𝐴 ≤ (𝐵 + 1)))
126, 11mpan2d 709 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝐴𝐵𝐴 ≤ (𝐵 + 1)))
133, 4, 12syl2an 494 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → (𝐴𝐵𝐴 ≤ (𝐵 + 1)))
1413impr 648 . . 3 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ (𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐴𝐵)) → 𝐴 ≤ (𝐵 + 1))
152, 14jca 554 . 2 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ (𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐴𝐵)) → ((𝐵 + 1) ∈ ℤ ∧ 𝐴 ≤ (𝐵 + 1)))
16 breq2 4648 . . . 4 (𝑥 = 𝐵 → (𝐴𝑥𝐴𝐵))
1716elrab 3357 . . 3 (𝐵 ∈ {𝑥 ∈ ℤ ∣ 𝐴𝑥} ↔ (𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐴𝐵))
1817anbi2i 729 . 2 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ {𝑥 ∈ ℤ ∣ 𝐴𝑥}) ↔ (𝐴 ∈ ℤ ∧ (𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐴𝐵)))
19 breq2 4648 . . 3 (𝑥 = (𝐵 + 1) → (𝐴𝑥𝐴 ≤ (𝐵 + 1)))
2019elrab 3357 . 2 ((𝐵 + 1) ∈ {𝑥 ∈ ℤ ∣ 𝐴𝑥} ↔ ((𝐵 + 1) ∈ ℤ ∧ 𝐴 ≤ (𝐵 + 1)))
2115, 18, 203imtr4i 281 1 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ {𝑥 ∈ ℤ ∣ 𝐴𝑥}) → (𝐵 + 1) ∈ {𝑥 ∈ ℤ ∣ 𝐴𝑥})
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 384  wcel 1988  {crab 2913   class class class wbr 4644  (class class class)co 6635  cr 9920  1c1 9922   + caddc 9924  cle 10060  cz 11362
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1720  ax-4 1735  ax-5 1837  ax-6 1886  ax-7 1933  ax-8 1990  ax-9 1997  ax-10 2017  ax-11 2032  ax-12 2045  ax-13 2244  ax-ext 2600  ax-sep 4772  ax-nul 4780  ax-pow 4834  ax-pr 4897  ax-un 6934  ax-resscn 9978  ax-1cn 9979  ax-icn 9980  ax-addcl 9981  ax-addrcl 9982  ax-mulcl 9983  ax-mulrcl 9984  ax-mulcom 9985  ax-addass 9986  ax-mulass 9987  ax-distr 9988  ax-i2m1 9989  ax-1ne0 9990  ax-1rid 9991  ax-rnegex 9992  ax-rrecex 9993  ax-cnre 9994  ax-pre-lttri 9995  ax-pre-lttrn 9996  ax-pre-ltadd 9997  ax-pre-mulgt0 9998
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1037  df-3an 1038  df-tru 1484  df-ex 1703  df-nf 1708  df-sb 1879  df-eu 2472  df-mo 2473  df-clab 2607  df-cleq 2613  df-clel 2616  df-nfc 2751  df-ne 2792  df-nel 2895  df-ral 2914  df-rex 2915  df-reu 2916  df-rab 2918  df-v 3197  df-sbc 3430  df-csb 3527  df-dif 3570  df-un 3572  df-in 3574  df-ss 3581  df-pss 3583  df-nul 3908  df-if 4078  df-pw 4151  df-sn 4169  df-pr 4171  df-tp 4173  df-op 4175  df-uni 4428  df-iun 4513  df-br 4645  df-opab 4704  df-mpt 4721  df-tr 4744  df-id 5014  df-eprel 5019  df-po 5025  df-so 5026  df-fr 5063  df-we 5065  df-xp 5110  df-rel 5111  df-cnv 5112  df-co 5113  df-dm 5114  df-rn 5115  df-res 5116  df-ima 5117  df-pred 5668  df-ord 5714  df-on 5715  df-lim 5716  df-suc 5717  df-iota 5839  df-fun 5878  df-fn 5879  df-f 5880  df-f1 5881  df-fo 5882  df-f1o 5883  df-fv 5884  df-riota 6596  df-ov 6638  df-oprab 6639  df-mpt2 6640  df-om 7051  df-wrecs 7392  df-recs 7453  df-rdg 7491  df-er 7727  df-en 7941  df-dom 7942  df-sdom 7943  df-pnf 10061  df-mnf 10062  df-xr 10063  df-ltxr 10064  df-le 10065  df-sub 10253  df-neg 10254  df-nn 11006  df-n0 11278  df-z 11363
This theorem is referenced by:  dfuzi  11453
  Copyright terms: Public domain W3C validator