MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  peano2z Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem peano2z 11365
Description: Second Peano postulate generalized to integers. (Contributed by NM, 13-Feb-2005.)
Assertion
Ref Expression
peano2z (𝑁 ∈ ℤ → (𝑁 + 1) ∈ ℤ)

Proof of Theorem peano2z
StepHypRef Expression
1 1z 11354 . 2 1 ∈ ℤ
2 zaddcl 11364 . 2 ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 1 ∈ ℤ) → (𝑁 + 1) ∈ ℤ)
31, 2mpan2 706 1 (𝑁 ∈ ℤ → (𝑁 + 1) ∈ ℤ)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wcel 1987  (class class class)co 6607  1c1 9884   + caddc 9886  cz 11324
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1719  ax-4 1734  ax-5 1836  ax-6 1885  ax-7 1932  ax-8 1989  ax-9 1996  ax-10 2016  ax-11 2031  ax-12 2044  ax-13 2245  ax-ext 2601  ax-sep 4743  ax-nul 4751  ax-pow 4805  ax-pr 4869  ax-un 6905  ax-resscn 9940  ax-1cn 9941  ax-icn 9942  ax-addcl 9943  ax-addrcl 9944  ax-mulcl 9945  ax-mulrcl 9946  ax-mulcom 9947  ax-addass 9948  ax-mulass 9949  ax-distr 9950  ax-i2m1 9951  ax-1ne0 9952  ax-1rid 9953  ax-rnegex 9954  ax-rrecex 9955  ax-cnre 9956  ax-pre-lttri 9957  ax-pre-lttrn 9958  ax-pre-ltadd 9959  ax-pre-mulgt0 9960
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1037  df-3an 1038  df-tru 1483  df-ex 1702  df-nf 1707  df-sb 1878  df-eu 2473  df-mo 2474  df-clab 2608  df-cleq 2614  df-clel 2617  df-nfc 2750  df-ne 2791  df-nel 2894  df-ral 2912  df-rex 2913  df-reu 2914  df-rab 2916  df-v 3188  df-sbc 3419  df-csb 3516  df-dif 3559  df-un 3561  df-in 3563  df-ss 3570  df-pss 3572  df-nul 3894  df-if 4061  df-pw 4134  df-sn 4151  df-pr 4153  df-tp 4155  df-op 4157  df-uni 4405  df-iun 4489  df-br 4616  df-opab 4676  df-mpt 4677  df-tr 4715  df-eprel 4987  df-id 4991  df-po 4997  df-so 4998  df-fr 5035  df-we 5037  df-xp 5082  df-rel 5083  df-cnv 5084  df-co 5085  df-dm 5086  df-rn 5087  df-res 5088  df-ima 5089  df-pred 5641  df-ord 5687  df-on 5688  df-lim 5689  df-suc 5690  df-iota 5812  df-fun 5851  df-fn 5852  df-f 5853  df-f1 5854  df-fo 5855  df-f1o 5856  df-fv 5857  df-riota 6568  df-ov 6610  df-oprab 6611  df-mpt2 6612  df-om 7016  df-wrecs 7355  df-recs 7416  df-rdg 7454  df-er 7690  df-en 7903  df-dom 7904  df-sdom 7905  df-pnf 10023  df-mnf 10024  df-xr 10025  df-ltxr 10026  df-le 10027  df-sub 10215  df-neg 10216  df-nn 10968  df-n0 11240  df-z 11325
This theorem is referenced by:  zleltp1  11375  btwnnz  11400  peano2uz2  11412  uzind  11416  uzind2  11417  peano2zd  11432  eluzp1m1  11658  eluzp1p1  11660  peano2uz  11688  zltaddlt1le  12269  elfzp1b  12361  fzval3  12480  fzossfzop1  12489  zesq  12930  hashfzp1  13161  odd2np1lem  14991  odd2np1  14992  mulsucdiv2z  15004  oddp1d2  15009  zob  15010  ltoddhalfle  15012  fldivp1  15528  telgsumfzs  18310  degltp1le  23744  ppiprm  24784  ppinprm  24785  chtprm  24786  chtnprm  24787  chtub  24844  lgsdir2lem2  24958  poimirlem3  33065  poimirlem4  33066  poimirlem16  33078  poimirlem17  33079  poimirlem19  33081  poimirlem20  33082  itg2addnclem2  33115  fdc  33194  ellz1  36831  rmxluc  37002  rmyluc  37003  jm2.27dlem2  37078  fzopredsuc  40646  icceuelpartlem  40685  oddp1evenALTV  40902  elfzolborelfzop1  41613  dignn0flhalflem1  41717
  Copyright terms: Public domain W3C validator