MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  peano2zd Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem peano2zd 11320
Description: Deduction from second Peano postulate generalized to integers. (Contributed by Mario Carneiro, 28-May-2016.)
Hypothesis
Ref Expression
zred.1 (𝜑𝐴 ∈ ℤ)
Assertion
Ref Expression
peano2zd (𝜑 → (𝐴 + 1) ∈ ℤ)

Proof of Theorem peano2zd
StepHypRef Expression
1 zred.1 . 2 (𝜑𝐴 ∈ ℤ)
2 peano2z 11254 . 2 (𝐴 ∈ ℤ → (𝐴 + 1) ∈ ℤ)
31, 2syl 17 1 (𝜑 → (𝐴 + 1) ∈ ℤ)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wcel 1976  (class class class)co 6527  1c1 9794   + caddc 9796  cz 11213
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1712  ax-4 1727  ax-5 1826  ax-6 1874  ax-7 1921  ax-8 1978  ax-9 1985  ax-10 2005  ax-11 2020  ax-12 2033  ax-13 2233  ax-ext 2589  ax-sep 4703  ax-nul 4712  ax-pow 4764  ax-pr 4828  ax-un 6825  ax-resscn 9850  ax-1cn 9851  ax-icn 9852  ax-addcl 9853  ax-addrcl 9854  ax-mulcl 9855  ax-mulrcl 9856  ax-mulcom 9857  ax-addass 9858  ax-mulass 9859  ax-distr 9860  ax-i2m1 9861  ax-1ne0 9862  ax-1rid 9863  ax-rnegex 9864  ax-rrecex 9865  ax-cnre 9866  ax-pre-lttri 9867  ax-pre-lttrn 9868  ax-pre-ltadd 9869  ax-pre-mulgt0 9870
This theorem depends on definitions:  df-bi 195  df-or 383  df-an 384  df-3or 1031  df-3an 1032  df-tru 1477  df-ex 1695  df-nf 1700  df-sb 1867  df-eu 2461  df-mo 2462  df-clab 2596  df-cleq 2602  df-clel 2605  df-nfc 2739  df-ne 2781  df-nel 2782  df-ral 2900  df-rex 2901  df-reu 2902  df-rab 2904  df-v 3174  df-sbc 3402  df-csb 3499  df-dif 3542  df-un 3544  df-in 3546  df-ss 3553  df-pss 3555  df-nul 3874  df-if 4036  df-pw 4109  df-sn 4125  df-pr 4127  df-tp 4129  df-op 4131  df-uni 4367  df-iun 4451  df-br 4578  df-opab 4638  df-mpt 4639  df-tr 4675  df-eprel 4939  df-id 4943  df-po 4949  df-so 4950  df-fr 4987  df-we 4989  df-xp 5034  df-rel 5035  df-cnv 5036  df-co 5037  df-dm 5038  df-rn 5039  df-res 5040  df-ima 5041  df-pred 5583  df-ord 5629  df-on 5630  df-lim 5631  df-suc 5632  df-iota 5754  df-fun 5792  df-fn 5793  df-f 5794  df-f1 5795  df-fo 5796  df-f1o 5797  df-fv 5798  df-riota 6489  df-ov 6530  df-oprab 6531  df-mpt2 6532  df-om 6936  df-wrecs 7272  df-recs 7333  df-rdg 7371  df-er 7607  df-en 7820  df-dom 7821  df-sdom 7822  df-pnf 9933  df-mnf 9934  df-xr 9935  df-ltxr 9936  df-le 9937  df-sub 10120  df-neg 10121  df-nn 10871  df-n0 11143  df-z 11214
This theorem is referenced by:  rpnnen1lem5  11653  rpnnen1lem5OLD  11659  fznatpl1  12223  elfzom1elp1fzo1  12392  flge  12426  2tnp1ge0ge0  12450  uzsup  12482  seqf1olem1  12660  bcp1nk  12924  bcval5  12925  cshimadifsn0  13376  rexuzre  13889  limsupgre  14009  rlimclim1  14073  iseraltlem2  14210  telfsumo  14324  fsumparts  14328  climcnds  14371  geo2sum  14392  clim2prod  14408  clim2div  14409  fprodntriv  14460  dvdsfac  14835  2tp1odd  14863  opoe  14874  bits0o  14939  bitsp1o  14942  bitsinv1lem  14950  smupvallem  14992  smueqlem  14999  hashdvds  15267  prmreclem4  15410  prmreclem5  15411  vdwnnlem3  15488  prmgaplem7  15548  prmgaplem8  15549  sylow1lem1  17785  telgsumfzs  18158  srgbinomlem3  18314  chfacfscmul0  20430  chfacfpmmul0  20434  ovoliunlem2  23023  ovolicc2lem4  23040  uniioombllem3  23104  dyaddisjlem  23114  dvfsumlem1  23538  dvfsumlem3  23540  plyco0  23697  abelthlem6  23939  birthdaylem2  24424  wilthlem1  24539  wilth  24542  wilthimp  24543  basellem3  24554  chpp1  24626  perfect  24701  bcmono  24747  lgslem1  24767  lgsval2lem  24777  gausslemma2dlem5  24841  lgseisenlem1  24845  lgsquadlem1  24850  m1lgs  24858  2lgslem1a  24861  2lgslem3c  24868  2lgslem3d  24869  2lgslem3b1  24871  2lgslem3c1  24872  2sqblem  24901  rplogsumlem2  24919  rpvmasumlem  24921  dchrisumlema  24922  dchrisumlem2  24924  pntpbnd1  25020  pntpbnd2  25021  pntlemq  25035  pntlemr  25036  pntlemj  25037  pntlemf  25039  axlowdimlem16  25583  wwlkextproplem1  26063  clwwlkf  26116  eupath2lem3  26300  isarchi3  28906  archirngz  28908  archiabllem1a  28910  archiabllem2c  28914  submateqlem1  29035  ballotlemsf1o  29736  ballotlemsima  29738  signstfvn  29806  dnizphlfeqhlf  31470  dnibndlem13  31484  knoppndvlem10  31516  knoppndvlem14  31520  knoppndvlem15  31521  knoppndvlem17  31523  ltflcei  32391  poimirlem2  32405  poimirlem10  32413  poimirlem15  32418  poimirlem19  32422  poimirlem23  32426  poimirlem28  32431  fdc  32535  incsequz  32538  cntotbnd  32589  lzunuz  36173  lzenom  36175  ltrmxnn0  36358  jm2.17a  36369  jm2.17b  36370  jm2.17c  36371  jm2.24  36372  rmygeid  36373  jm2.25  36408  jm2.27a  36414  jm3.1lem1  36426  expdiophlem1  36430  monoords  38276  fmul01lt1lem1  38475  climsuselem1  38498  sumnnodd  38521  ioodvbdlimc1lem2  38646  ioodvbdlimc2lem  38648  dvnmul  38657  iblspltprt  38689  itgspltprt  38695  stoweidlem26  38743  wallispilem4  38785  stirlinglem4  38794  stirlinglem8  38798  stirlinglem11  38801  stirlinglem13  38803  dirkertrigeqlem1  38815  dirkercncflem2  38821  fourierdlem11  38835  fourierdlem12  38836  fourierdlem15  38839  fourierdlem41  38865  fourierdlem50  38873  fourierdlem64  38887  fourierdlem65  38888  fourierdlem79  38902  caratheodorylem1  39240  iccpartgtprec  39783  iccpartiltu  39785  iccpartgt  39790  iccpartnel  39801  fmtnodvds  39819  fmtnoprmfac2lem1  39841  evenp1odd  39916  oddp1eveni  39917  opoeALTV  39957  perfectALTV  39991  crctcsh1wlkn0lem3  41037  crctcsh1wlkn0lem6  41040  clwwlksf  41244  eucrct2eupth  41435  fllogbd  42174  nnpw2blen  42194  dignn0flhalflem2  42230  nn0sumshdiglemA  42233  aacllem  42339
  Copyright terms: Public domain W3C validator