MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  peano2zd Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem peano2zd 11523
Description: Deduction from second Peano postulate generalized to integers. (Contributed by Mario Carneiro, 28-May-2016.)
Hypothesis
Ref Expression
zred.1 (𝜑𝐴 ∈ ℤ)
Assertion
Ref Expression
peano2zd (𝜑 → (𝐴 + 1) ∈ ℤ)

Proof of Theorem peano2zd
StepHypRef Expression
1 zred.1 . 2 (𝜑𝐴 ∈ ℤ)
2 peano2z 11456 . 2 (𝐴 ∈ ℤ → (𝐴 + 1) ∈ ℤ)
31, 2syl 17 1 (𝜑 → (𝐴 + 1) ∈ ℤ)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wcel 2030  (class class class)co 6690  1c1 9975   + caddc 9977  cz 11415
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1762  ax-4 1777  ax-5 1879  ax-6 1945  ax-7 1981  ax-8 2032  ax-9 2039  ax-10 2059  ax-11 2074  ax-12 2087  ax-13 2282  ax-ext 2631  ax-sep 4814  ax-nul 4822  ax-pow 4873  ax-pr 4936  ax-un 6991  ax-resscn 10031  ax-1cn 10032  ax-icn 10033  ax-addcl 10034  ax-addrcl 10035  ax-mulcl 10036  ax-mulrcl 10037  ax-mulcom 10038  ax-addass 10039  ax-mulass 10040  ax-distr 10041  ax-i2m1 10042  ax-1ne0 10043  ax-1rid 10044  ax-rnegex 10045  ax-rrecex 10046  ax-cnre 10047  ax-pre-lttri 10048  ax-pre-lttrn 10049  ax-pre-ltadd 10050  ax-pre-mulgt0 10051
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1055  df-3an 1056  df-tru 1526  df-ex 1745  df-nf 1750  df-sb 1938  df-eu 2502  df-mo 2503  df-clab 2638  df-cleq 2644  df-clel 2647  df-nfc 2782  df-ne 2824  df-nel 2927  df-ral 2946  df-rex 2947  df-reu 2948  df-rab 2950  df-v 3233  df-sbc 3469  df-csb 3567  df-dif 3610  df-un 3612  df-in 3614  df-ss 3621  df-pss 3623  df-nul 3949  df-if 4120  df-pw 4193  df-sn 4211  df-pr 4213  df-tp 4215  df-op 4217  df-uni 4469  df-iun 4554  df-br 4686  df-opab 4746  df-mpt 4763  df-tr 4786  df-id 5053  df-eprel 5058  df-po 5064  df-so 5065  df-fr 5102  df-we 5104  df-xp 5149  df-rel 5150  df-cnv 5151  df-co 5152  df-dm 5153  df-rn 5154  df-res 5155  df-ima 5156  df-pred 5718  df-ord 5764  df-on 5765  df-lim 5766  df-suc 5767  df-iota 5889  df-fun 5928  df-fn 5929  df-f 5930  df-f1 5931  df-fo 5932  df-f1o 5933  df-fv 5934  df-riota 6651  df-ov 6693  df-oprab 6694  df-mpt2 6695  df-om 7108  df-wrecs 7452  df-recs 7513  df-rdg 7551  df-er 7787  df-en 7998  df-dom 7999  df-sdom 8000  df-pnf 10114  df-mnf 10115  df-xr 10116  df-ltxr 10117  df-le 10118  df-sub 10306  df-neg 10307  df-nn 11059  df-n0 11331  df-z 11416
This theorem is referenced by:  rpnnen1lem5  11856  rpnnen1lem5OLD  11862  fznatpl1  12433  elfzom1elp1fzo1  12608  flge  12646  2tnp1ge0ge0  12670  uzsup  12702  seqf1olem1  12880  bcp1nk  13144  bcval5  13145  cshimadifsn0  13622  rexuzre  14136  limsupgre  14256  rlimclim1  14320  iseraltlem2  14457  telfsumo  14578  fsumparts  14582  climcnds  14627  geo2sum  14648  clim2prod  14664  clim2div  14665  fprodntriv  14716  dvdsfac  15095  2tp1odd  15123  opoe  15134  bits0o  15199  bitsp1o  15202  bitsinv1lem  15210  smupvallem  15252  smueqlem  15259  hashdvds  15527  prmreclem4  15670  prmreclem5  15671  vdwnnlem3  15748  prmgaplem7  15808  prmgaplem8  15809  sylow1lem1  18059  telgsumfzs  18432  srgbinomlem3  18588  chfacfscmul0  20711  chfacfpmmul0  20715  ovoliunlem2  23317  ovolicc2lem4  23334  uniioombllem3  23399  dyaddisjlem  23409  dvfsumlem1  23834  dvfsumlem3  23836  plyco0  23993  abelthlem6  24235  birthdaylem2  24724  wilthlem1  24839  wilth  24842  wilthimp  24843  basellem3  24854  chpp1  24926  perfect  25001  bcmono  25047  lgslem1  25067  lgsval2lem  25077  gausslemma2dlem5  25141  lgseisenlem1  25145  lgsquadlem1  25150  m1lgs  25158  2lgslem1a  25161  2lgslem3c  25168  2lgslem3d  25169  2lgslem3b1  25171  2lgslem3c1  25172  2sqblem  25201  rplogsumlem2  25219  rpvmasumlem  25221  dchrisumlema  25222  dchrisumlem2  25224  pntpbnd1  25320  pntpbnd2  25321  pntlemq  25335  pntlemr  25336  pntlemj  25337  pntlemf  25339  axlowdimlem16  25882  crctcshwlkn0lem3  26760  crctcshwlkn0lem6  26763  clwwlkf  27010  eucrct2eupth  27223  isarchi3  29869  archirngz  29871  archiabllem1a  29873  archiabllem2c  29877  submateqlem1  30001  ballotlemsf1o  30703  ballotlemsima  30705  signstfvn  30774  fsum2dsub  30813  breprexplemc  30838  dnizphlfeqhlf  32591  dnibndlem13  32605  knoppndvlem10  32637  knoppndvlem14  32641  knoppndvlem15  32642  knoppndvlem17  32644  ltflcei  33527  poimirlem2  33541  poimirlem10  33549  poimirlem15  33554  poimirlem19  33558  poimirlem23  33562  poimirlem28  33567  fdc  33671  incsequz  33674  cntotbnd  33725  lzunuz  37648  lzenom  37650  ltrmxnn0  37833  jm2.17a  37844  jm2.17b  37845  jm2.17c  37846  jm2.24  37847  rmygeid  37848  jm2.25  37883  jm2.27a  37889  jm3.1lem1  37901  expdiophlem1  37905  monoords  39825  fmul01lt1lem1  40134  climsuselem1  40157  sumnnodd  40180  supcnvlimsup  40290  ioodvbdlimc1lem2  40465  ioodvbdlimc2lem  40467  dvnmul  40476  iblspltprt  40507  itgspltprt  40513  stoweidlem26  40561  wallispilem4  40603  stirlinglem4  40612  stirlinglem8  40616  stirlinglem11  40619  stirlinglem13  40621  dirkertrigeqlem1  40633  dirkercncflem2  40639  fourierdlem11  40653  fourierdlem12  40654  fourierdlem15  40657  fourierdlem41  40683  fourierdlem50  40691  fourierdlem64  40705  fourierdlem65  40706  fourierdlem79  40720  caratheodorylem1  41061  smflimsuplem4  41350  iccpartgtprec  41681  iccpartiltu  41683  iccpartgt  41688  iccpartnel  41699  fmtnodvds  41781  fmtnoprmfac2lem1  41803  evenp1odd  41878  oddp1eveni  41879  opoeALTV  41919  evenltle  41951  perfectALTV  41957  fllogbd  42679  nnpw2blen  42699  dignn0flhalflem2  42735  nn0sumshdiglemA  42738  aacllem  42875
  Copyright terms: Public domain W3C validator