Theorem peano2zd 12093

Description: Deduction from second Peano postulate generalized to integers. (Contributed by Mario Carneiro, 28-May-2016.)

Hypothesis

Ref	Expression
zred.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℤ)

Assertion

Ref	Expression
peano2zd	⊢ (𝜑 → (𝐴 + 1) ∈ ℤ)

Proof of Theorem peano2zd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		zred.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℤ)
2		peano2z 12026	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℤ → (𝐴 + 1) ∈ ℤ)
3	1, 2	syl 17	1 ⊢ (𝜑 → (𝐴 + 1) ∈ ℤ)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2114  (class class class)co 7158  1c1 10540   + caddc 10542  ℤcz 11984

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2145  ax-11 2161  ax-12 2177  ax-ext 2795  ax-sep 5205  ax-nul 5212  ax-pow 5268  ax-pr 5332  ax-un 7463  ax-resscn 10596  ax-1cn 10597  ax-icn 10598  ax-addcl 10599  ax-addrcl 10600  ax-mulcl 10601  ax-mulrcl 10602  ax-mulcom 10603  ax-addass 10604  ax-mulass 10605  ax-distr 10606  ax-i2m1 10607  ax-1ne0 10608  ax-1rid 10609  ax-rnegex 10610  ax-rrecex 10611  ax-cnre 10612  ax-pre-lttri 10613  ax-pre-lttrn 10614  ax-pre-ltadd 10615  ax-pre-mulgt0 10616

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3or 1084  df-3an 1085  df-tru 1540  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2070  df-mo 2622  df-eu 2654  df-clab 2802  df-cleq 2816  df-clel 2895  df-nfc 2965  df-ne 3019  df-nel 3126  df-ral 3145  df-rex 3146  df-reu 3147  df-rab 3149  df-v 3498  df-sbc 3775  df-csb 3886  df-dif 3941  df-un 3943  df-in 3945  df-ss 3954  df-pss 3956  df-nul 4294  df-if 4470  df-pw 4543  df-sn 4570  df-pr 4572  df-tp 4574  df-op 4576  df-uni 4841  df-iun 4923  df-br 5069  df-opab 5131  df-mpt 5149  df-tr 5175  df-id 5462  df-eprel 5467  df-po 5476  df-so 5477  df-fr 5516  df-we 5518  df-xp 5563  df-rel 5564  df-cnv 5565  df-co 5566  df-dm 5567  df-rn 5568  df-res 5569  df-ima 5570  df-pred 6150  df-ord 6196  df-on 6197  df-lim 6198  df-suc 6199  df-iota 6316  df-fun 6359  df-fn 6360  df-f 6361  df-f1 6362  df-fo 6363  df-f1o 6364  df-fv 6365  df-riota 7116  df-ov 7161  df-oprab 7162  df-mpo 7163  df-om 7583  df-wrecs 7949  df-recs 8010  df-rdg 8048  df-er 8291  df-en 8512  df-dom 8513  df-sdom 8514  df-pnf 10679  df-mnf 10680  df-xr 10681  df-ltxr 10682  df-le 10683  df-sub 10874  df-neg 10875  df-nn 11641  df-n0 11901  df-z 11985

This theorem is referenced by:  rpnnen1lem5  12383  fznatpl1  12964  elfzom1elp1fzo1  13140  flge  13178  2tnp1ge0ge0  13202  uzsup  13234  seqf1olem1  13412  bcp1nk  13680  bcval5  13681  cshimadifsn0  14194  rexuzre  14714  limsupgre  14840  rlimclim1  14904  iseraltlem2  15041  telfsumo  15159  fsumparts  15163  climcnds  15208  geo2sum  15231  clim2prod  15246  clim2div  15247  fprodntriv  15298  dvdsfac  15678  2tp1odd  15703  opoe  15714  bits0o  15781  bitsp1o  15784  bitsinv1lem  15792  smupvallem  15834  smueqlem  15841  hashdvds  16114  prmreclem4  16257  prmreclem5  16258  vdwnnlem3  16335  prmgaplem7  16395  prmgaplem8  16396  sylow1lem1  18725  telgsumfzs  19111  srgbinomlem3  19294  chfacfscmul0  21468  chfacfpmmul0  21472  ovoliunlem2  24106  ovolicc2lem4  24123  uniioombllem3  24188  dyaddisjlem  24198  dvfsumlem1  24625  dvfsumlem3  24627  plyco0  24784  abelthlem6  25026  birthdaylem2  25532  wilthlem1  25647  wilth  25650  wilthimp  25651  basellem3  25662  chpp1  25734  perfect  25809  bcmono  25855  lgslem1  25875  lgsval2lem  25885  gausslemma2dlem5  25949  lgseisenlem1  25953  lgsquadlem1  25958  m1lgs  25966  2lgslem1a  25969  2lgslem3c  25976  2lgslem3d  25977  2lgslem3b1  25979  2lgslem3c1  25980  2sqblem  26009  rplogsumlem2  26063  rpvmasumlem  26065  dchrisumlema  26066  dchrisumlem2  26068  pntpbnd1  26164  pntpbnd2  26165  pntlemq  26179  pntlemr  26180  pntlemj  26181  pntlemf  26183  axlowdimlem16  26745  crctcshwlkn0lem3  27592  crctcshwlkn0lem6  27595  clwwlkf  27828  eucrct2eupth  28026  cycpmco2lem3  30772  cycpmco2lem4  30773  cycpmco2lem5  30774  cycpmco2lem6  30775  cycpmco2  30777  isarchi3  30818  archirngz  30820  archiabllem1a  30822  archiabllem2c  30826  submateqlem1  31074  ballotlemsf1o  31773  ballotlemsima  31775  signstfvn  31841  fsum2dsub  31880  breprexplemc  31905  dnizphlfeqhlf  33817  dnibndlem13  33831  knoppndvlem10  33862  knoppndvlem14  33866  knoppndvlem15  33867  knoppndvlem17  33869  ltflcei  34882  poimirlem2  34896  poimirlem10  34904  poimirlem15  34909  poimirlem19  34913  poimirlem23  34917  poimirlem28  34922  fdc  35022  incsequz  35025  cntotbnd  35076  fltnltalem  39281  lzunuz  39372  lzenom  39374  ltrmxnn0  39553  jm2.17a  39564  jm2.17b  39565  jm2.17c  39566  jm2.24  39567  rmygeid  39568  jm2.25  39603  jm2.27a  39609  jm3.1lem1  39621  expdiophlem1  39625  monoords  41571  fmul01lt1lem1  41872  climsuselem1  41895  sumnnodd  41918  supcnvlimsup  42028  ioodvbdlimc1lem2  42224  ioodvbdlimc2lem  42226  dvnmul  42235  iblspltprt  42265  itgspltprt  42271  stoweidlem26  42318  wallispilem4  42360  stirlinglem4  42369  stirlinglem8  42373  stirlinglem11  42376  stirlinglem13  42378  dirkertrigeqlem1  42390  dirkercncflem2  42396  fourierdlem11  42410  fourierdlem12  42411  fourierdlem15  42414  fourierdlem41  42440  fourierdlem50  42448  fourierdlem64  42462  fourierdlem65  42463  fourierdlem79  42477  caratheodorylem1  42815  smflimsuplem4  43104  iccpartgtprec  43587  iccpartiltu  43589  iccpartgt  43594  iccpartnel  43605  fmtnodvds  43713  fmtnoprmfac2lem1  43735  evenp1odd  43812  oddp1eveni  43813  opoeALTV  43855  evenltle  43889  perfectALTV  43895  fllogbd  44627  nnpw2blen  44647  dignn0flhalflem2  44683  nn0sumshdiglemA  44686  aacllem  44909