MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  peano2zm Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem peano2zm 11612
Description: "Reverse" second Peano postulate for integers. (Contributed by NM, 12-Sep-2005.)
Assertion
Ref Expression
peano2zm (𝑁 ∈ ℤ → (𝑁 − 1) ∈ ℤ)

Proof of Theorem peano2zm
StepHypRef Expression
1 1z 11599 . 2 1 ∈ ℤ
2 zsubcl 11611 . 2 ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 1 ∈ ℤ) → (𝑁 − 1) ∈ ℤ)
31, 2mpan2 709 1 (𝑁 ∈ ℤ → (𝑁 − 1) ∈ ℤ)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wcel 2139  (class class class)co 6813  1c1 10129  cmin 10458  cz 11569
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1871  ax-4 1886  ax-5 1988  ax-6 2054  ax-7 2090  ax-8 2141  ax-9 2148  ax-10 2168  ax-11 2183  ax-12 2196  ax-13 2391  ax-ext 2740  ax-sep 4933  ax-nul 4941  ax-pow 4992  ax-pr 5055  ax-un 7114  ax-resscn 10185  ax-1cn 10186  ax-icn 10187  ax-addcl 10188  ax-addrcl 10189  ax-mulcl 10190  ax-mulrcl 10191  ax-mulcom 10192  ax-addass 10193  ax-mulass 10194  ax-distr 10195  ax-i2m1 10196  ax-1ne0 10197  ax-1rid 10198  ax-rnegex 10199  ax-rrecex 10200  ax-cnre 10201  ax-pre-lttri 10202  ax-pre-lttrn 10203  ax-pre-ltadd 10204  ax-pre-mulgt0 10205
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1073  df-3an 1074  df-tru 1635  df-ex 1854  df-nf 1859  df-sb 2047  df-eu 2611  df-mo 2612  df-clab 2747  df-cleq 2753  df-clel 2756  df-nfc 2891  df-ne 2933  df-nel 3036  df-ral 3055  df-rex 3056  df-reu 3057  df-rab 3059  df-v 3342  df-sbc 3577  df-csb 3675  df-dif 3718  df-un 3720  df-in 3722  df-ss 3729  df-pss 3731  df-nul 4059  df-if 4231  df-pw 4304  df-sn 4322  df-pr 4324  df-tp 4326  df-op 4328  df-uni 4589  df-iun 4674  df-br 4805  df-opab 4865  df-mpt 4882  df-tr 4905  df-id 5174  df-eprel 5179  df-po 5187  df-so 5188  df-fr 5225  df-we 5227  df-xp 5272  df-rel 5273  df-cnv 5274  df-co 5275  df-dm 5276  df-rn 5277  df-res 5278  df-ima 5279  df-pred 5841  df-ord 5887  df-on 5888  df-lim 5889  df-suc 5890  df-iota 6012  df-fun 6051  df-fn 6052  df-f 6053  df-f1 6054  df-fo 6055  df-f1o 6056  df-fv 6057  df-riota 6774  df-ov 6816  df-oprab 6817  df-mpt2 6818  df-om 7231  df-wrecs 7576  df-recs 7637  df-rdg 7675  df-er 7911  df-en 8122  df-dom 8123  df-sdom 8124  df-pnf 10268  df-mnf 10269  df-xr 10270  df-ltxr 10271  df-le 10272  df-sub 10460  df-neg 10461  df-nn 11213  df-n0 11485  df-z 11570
This theorem is referenced by:  zlem1lt  11621  zltlem1  11622  zextlt  11643  zeo  11655  eluzp1m1  11903  uzm1  11911  zbtwnre  11979  fz01en  12562  fzsuc2  12591  elfzm11  12604  uzdisj  12606  preduz  12655  predfz  12658  elfzo  12666  fzon  12683  fzoss2  12690  fzossrbm1  12691  fzosplitsnm1  12737  ubmelm1fzo  12758  elfzom1b  12761  fzosplitprm1  12772  fzoshftral  12779  sermono  13027  seqf1olem1  13034  seqf1olem2  13035  bcm1k  13296  bcn2  13300  bcp1m1  13301  bcpasc  13302  bccl  13303  hashbclem  13428  seqcoll  13440  revccat  13715  revrev  13716  absrdbnd  14280  fsumm1  14679  binomlem  14760  isumsplit  14771  climcndslem1  14780  arisum2  14792  mertenslem1  14815  fprodser  14878  fprodm1  14896  risefacval2  14940  fallfacval2  14941  fallfacval3  14942  fallfacfwd  14966  binomfallfaclem2  14970  3dvds  15254  3dvdsOLD  15255  oddm1even  15269  oddp1even  15270  mod2eq1n2dvds  15273  zob  15285  nno  15300  pwp1fsum  15316  isprm3  15598  ncoprmlnprm  15638  hashdvds  15682  pockthlem  15811  4sqlem11  15861  vdwapun  15880  vdwap0  15882  vdwnnlem2  15902  efgsp1  18350  efgsres  18351  srgbinomlem4  18743  srgbinomlem  18744  znunit  20114  dvexp3  23940  dvfsumlem1  23988  degltlem1  24031  abelthlem6  24389  atantayl2  24864  wilthlem1  24993  basellem5  25010  mersenne  25151  perfectlem1  25153  lgslem1  25221  lgsval2lem  25231  lgseisenlem1  25299  lgseisenlem2  25300  lgseisenlem3  25301  lgsquadlem1  25304  lgsquadlem3  25306  lgsquad2lem1  25308  lgsquad3  25311  2sqlem8  25350  2sqblem  25355  dchrisumlem1  25377  logdivbnd  25444  pntrsumbnd2  25455  ostth2lem3  25523  axlowdim  26040  pthdlem1  26872  pthdlem2  26874  wwlksm1edg  26990  clwwlkccatlem  27112  clwlkclwwlklem2fv1  27118  clwlkclwwlklem2a4  27120  clwlkclwwlklem2a  27121  clwlkclwwlklem2  27123  clwlkclwwlk  27125  clwwisshclwwslem  27137  clwwlkf  27176  wwlksubclwwlk  27189  clwlksfclwwlkOLD  27216  numclwwlk5  27556  numclwwlk7  27559  frgrreggt1  27561  erdszelem7  31486  elfzm12  31876  fz0n  31923  fwddifnp1  32578  knoppndvlem2  32810  ltflcei  33710  poimirlem1  33723  poimirlem2  33724  poimirlem6  33728  poimirlem7  33729  poimirlem8  33730  poimirlem9  33731  poimirlem15  33737  poimirlem16  33738  poimirlem17  33739  poimirlem18  33740  poimirlem19  33741  poimirlem20  33742  poimirlem24  33746  poimirlem27  33749  poimirlem31  33753  poimirlem32  33754  mettrifi  33866  rmxluc  38003  rmyluc  38004  jm2.24  38032  jm2.18  38057  jm2.22  38064  jm2.23  38065  jm2.26lem3  38070  jm2.15nn0  38072  jm2.16nn0  38073  jm2.27a  38074  jm2.27c  38076  jm3.1lem3  38088  hashnzfz  39021  monoords  40010  fzisoeu  40013  dvnmul  40661  stoweidlem11  40731  dirkercncflem1  40823  fourierdlem48  40874  fourierdlem49  40875  fourierdlem65  40891  fourierdlem79  40905  zm1nn  41826  iccpartipre  41867  pwdif  42011  pwm1geoserALT  42012  sfprmdvdsmersenne  42030  lighneallem4a  42035  proththd  42041  dfodd6  42060  evenm1odd  42062  oddm1eveni  42065  onego  42069  m1expoddALTV  42071  dfodd4  42081  oddflALTV  42085  oddm1evenALTV  42096  nnoALTV  42116  perfectALTVlem1  42140  altgsumbcALT  42641  pw2m1lepw2m1  42820  m1modmmod  42826  difmodm1lt  42827  zofldiv2  42835  logbpw2m1  42871  nnolog2flm1  42894  dignn0flhalflem1  42919
  Copyright terms: Public domain W3C validator