MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  peano2zm Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem peano2zm 11253
Description: "Reverse" second Peano postulate for integers. (Contributed by NM, 12-Sep-2005.)
Assertion
Ref Expression
peano2zm (𝑁 ∈ ℤ → (𝑁 − 1) ∈ ℤ)

Proof of Theorem peano2zm
StepHypRef Expression
1 1z 11240 . 2 1 ∈ ℤ
2 zsubcl 11252 . 2 ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 1 ∈ ℤ) → (𝑁 − 1) ∈ ℤ)
31, 2mpan2 702 1 (𝑁 ∈ ℤ → (𝑁 − 1) ∈ ℤ)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wcel 1976  (class class class)co 6527  1c1 9793  cmin 10117  cz 11210
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1712  ax-4 1727  ax-5 1826  ax-6 1874  ax-7 1921  ax-8 1978  ax-9 1985  ax-10 2005  ax-11 2020  ax-12 2033  ax-13 2233  ax-ext 2589  ax-sep 4703  ax-nul 4712  ax-pow 4764  ax-pr 4828  ax-un 6824  ax-resscn 9849  ax-1cn 9850  ax-icn 9851  ax-addcl 9852  ax-addrcl 9853  ax-mulcl 9854  ax-mulrcl 9855  ax-mulcom 9856  ax-addass 9857  ax-mulass 9858  ax-distr 9859  ax-i2m1 9860  ax-1ne0 9861  ax-1rid 9862  ax-rnegex 9863  ax-rrecex 9864  ax-cnre 9865  ax-pre-lttri 9866  ax-pre-lttrn 9867  ax-pre-ltadd 9868  ax-pre-mulgt0 9869
This theorem depends on definitions:  df-bi 195  df-or 383  df-an 384  df-3or 1031  df-3an 1032  df-tru 1477  df-ex 1695  df-nf 1700  df-sb 1867  df-eu 2461  df-mo 2462  df-clab 2596  df-cleq 2602  df-clel 2605  df-nfc 2739  df-ne 2781  df-nel 2782  df-ral 2900  df-rex 2901  df-reu 2902  df-rab 2904  df-v 3174  df-sbc 3402  df-csb 3499  df-dif 3542  df-un 3544  df-in 3546  df-ss 3553  df-pss 3555  df-nul 3874  df-if 4036  df-pw 4109  df-sn 4125  df-pr 4127  df-tp 4129  df-op 4131  df-uni 4367  df-iun 4451  df-br 4578  df-opab 4638  df-mpt 4639  df-tr 4675  df-eprel 4939  df-id 4943  df-po 4949  df-so 4950  df-fr 4987  df-we 4989  df-xp 5034  df-rel 5035  df-cnv 5036  df-co 5037  df-dm 5038  df-rn 5039  df-res 5040  df-ima 5041  df-pred 5583  df-ord 5629  df-on 5630  df-lim 5631  df-suc 5632  df-iota 5754  df-fun 5792  df-fn 5793  df-f 5794  df-f1 5795  df-fo 5796  df-f1o 5797  df-fv 5798  df-riota 6489  df-ov 6530  df-oprab 6531  df-mpt2 6532  df-om 6935  df-wrecs 7271  df-recs 7332  df-rdg 7370  df-er 7606  df-en 7819  df-dom 7820  df-sdom 7821  df-pnf 9932  df-mnf 9933  df-xr 9934  df-ltxr 9935  df-le 9936  df-sub 10119  df-neg 10120  df-nn 10868  df-n0 11140  df-z 11211
This theorem is referenced by:  zlem1lt  11262  zltlem1  11263  zextlt  11283  zeo  11295  eluzp1m1  11543  uzm1  11550  zbtwnre  11618  fz01en  12195  fzsuc2  12223  elfzm11  12235  uzdisj  12237  preduz  12285  predfz  12288  elfzo  12296  fzon  12313  fzoss2  12320  fzossrbm1  12321  fzosplitsnm1  12364  ubmelm1fzo  12385  elfzom1b  12388  fzosplitprm1  12398  fzoshftral  12402  sermono  12650  seqf1olem1  12657  seqf1olem2  12658  bcm1k  12919  bcn2  12923  bcp1m1  12924  bcpasc  12925  bccl  12926  hashbclem  13045  seqcoll  13057  revccat  13312  revrev  13313  absrdbnd  13875  fsumm1  14270  binomlem  14346  isumsplit  14357  climcndslem1  14366  arisum2  14378  mertenslem1  14401  fprodser  14464  fprodm1  14482  risefacval2  14526  fallfacval2  14527  fallfacval3  14528  fallfacfwd  14552  binomfallfaclem2  14556  3dvds  14836  3dvdsOLD  14837  oddm1even  14851  oddp1even  14852  mod2eq1n2dvds  14855  zob  14867  nno  14882  pwp1fsum  14898  isprm3  15180  ncoprmlnprm  15220  hashdvds  15264  pockthlem  15393  4sqlem11  15443  vdwapun  15462  vdwap0  15464  vdwnnlem2  15484  efgsp1  17919  efgsres  17920  srgbinomlem4  18312  srgbinomlem  18313  znunit  19676  dvexp3  23462  dvfsumlem1  23510  degltlem1  23553  abelthlem6  23911  atantayl2  24382  wilthlem1  24511  basellem5  24528  mersenne  24669  perfectlem1  24671  lgslem1  24739  lgsval2lem  24749  lgseisenlem1  24817  lgseisenlem2  24818  lgseisenlem3  24819  lgsquadlem1  24822  lgsquadlem3  24824  lgsquad2lem1  24826  lgsquad3  24829  2sqlem8  24868  2sqblem  24873  dchrisumlem1  24895  logdivbnd  24962  pntrsumbnd2  24973  ostth2lem3  25041  axlowdim  25559  wwlkm1edg  26029  clwlkisclwwlklem2fv1  26076  clwlkisclwwlklem2a4  26078  clwlkisclwwlklem2a  26079  clwlkisclwwlklem1  26081  clwlkisclwwlk  26083  clwwlkf  26088  wwlksubclwwlk  26098  clwwisshclwwlem  26100  clwlkfclwwlk  26137  nbhashuvtx1  26208  extwwlkfablem2  26371  numclwwlk5  26405  numclwwlk7  26407  frgrareggt1  26409  erdszelem7  30239  elfzm12  30629  fz0n  30675  fwddifnp1  31248  knoppndvlem2  31480  ltflcei  32363  poimirlem1  32376  poimirlem2  32377  poimirlem6  32381  poimirlem7  32382  poimirlem8  32383  poimirlem9  32384  poimirlem15  32390  poimirlem16  32391  poimirlem17  32392  poimirlem18  32393  poimirlem19  32394  poimirlem20  32395  poimirlem24  32399  poimirlem27  32402  poimirlem31  32406  poimirlem32  32407  mettrifi  32519  rmxluc  36315  rmyluc  36316  jm2.24  36344  jm2.18  36369  jm2.22  36376  jm2.23  36377  jm2.26lem3  36382  jm2.15nn0  36384  jm2.16nn0  36385  jm2.27a  36386  jm2.27c  36388  jm3.1lem3  36400  hashnzfz  37337  monoords  38248  fzisoeu  38251  dvnmul  38630  stoweidlem11  38701  dirkercncflem1  38793  fourierdlem48  38844  fourierdlem49  38845  fourierdlem65  38861  fourierdlem79  38875  iccpartipre  39757  pwdif  39837  pwm1geoserALT  39838  sfprmdvdsmersenne  39856  lighneallem4a  39861  proththd  39867  dfodd6  39886  evenm1odd  39888  oddm1eveni  39891  onego  39895  m1expoddALTV  39897  dfodd4  39907  oddflALTV  39911  oddm1evenALTV  39922  nnoALTV  39942  perfectALTVlem1  39962  zm1nn  40168  pthdlem1  40967  pthdlem2  40969  wwlksm1edg  41073  clwlkclwwlklem2fv1  41199  clwlkclwwlklem2a4  41201  clwlkclwwlklem2a  41202  clwlkclwwlklem2  41204  clwlkclwwlk  41206  clwwlksf  41217  wwlksubclwwlks  41227  clwwisshclwwslem  41229  clwlksfclwwlk  41264  av-extwwlkfablem2  41505  av-numclwwlk5  41537  av-numclwwlk7  41540  av-frgrareggt1  41542  altgsumbcALT  41919  pw2m1lepw2m1  42099  m1modmmod  42105  difmodm1lt  42106  zofldiv2  42114  logbpw2m1  42154  nnolog2flm1  42177  dignn0flhalflem1  42202
  Copyright terms: Public domain W3C validator