MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  peano5uzi Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem peano5uzi 11301
Description: Peano's inductive postulate for upper integers. (Contributed by NM, 6-Jul-2005.) (Revised by Mario Carneiro, 3-May-2014.)
Hypothesis
Ref Expression
peano5uzi.1 𝑁 ∈ ℤ
Assertion
Ref Expression
peano5uzi ((𝑁𝐴 ∧ ∀𝑥𝐴 (𝑥 + 1) ∈ 𝐴) → {𝑘 ∈ ℤ ∣ 𝑁𝑘} ⊆ 𝐴)
Distinct variable groups:   𝑥,𝑘,𝐴   𝑘,𝑁,𝑥

Proof of Theorem peano5uzi
Dummy variable 𝑛 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 breq2 4582 . . . 4 (𝑘 = 𝑛 → (𝑁𝑘𝑁𝑛))
21elrab 3331 . . 3 (𝑛 ∈ {𝑘 ∈ ℤ ∣ 𝑁𝑘} ↔ (𝑛 ∈ ℤ ∧ 𝑁𝑛))
3 zcn 11218 . . . . . . 7 (𝑛 ∈ ℤ → 𝑛 ∈ ℂ)
43ad2antrl 760 . . . . . 6 (((𝑁𝐴 ∧ ∀𝑥𝐴 (𝑥 + 1) ∈ 𝐴) ∧ (𝑛 ∈ ℤ ∧ 𝑁𝑛)) → 𝑛 ∈ ℂ)
5 peano5uzi.1 . . . . . . . 8 𝑁 ∈ ℤ
6 zcn 11218 . . . . . . . 8 (𝑁 ∈ ℤ → 𝑁 ∈ ℂ)
75, 6ax-mp 5 . . . . . . 7 𝑁 ∈ ℂ
8 ax-1cn 9851 . . . . . . 7 1 ∈ ℂ
97, 8subcli 10209 . . . . . 6 (𝑁 − 1) ∈ ℂ
10 npcan 10142 . . . . . 6 ((𝑛 ∈ ℂ ∧ (𝑁 − 1) ∈ ℂ) → ((𝑛 − (𝑁 − 1)) + (𝑁 − 1)) = 𝑛)
114, 9, 10sylancl 693 . . . . 5 (((𝑁𝐴 ∧ ∀𝑥𝐴 (𝑥 + 1) ∈ 𝐴) ∧ (𝑛 ∈ ℤ ∧ 𝑁𝑛)) → ((𝑛 − (𝑁 − 1)) + (𝑁 − 1)) = 𝑛)
12 subsub 10163 . . . . . . . . 9 ((𝑛 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ) → (𝑛 − (𝑁 − 1)) = ((𝑛𝑁) + 1))
137, 8, 12mp3an23 1408 . . . . . . . 8 (𝑛 ∈ ℂ → (𝑛 − (𝑁 − 1)) = ((𝑛𝑁) + 1))
144, 13syl 17 . . . . . . 7 (((𝑁𝐴 ∧ ∀𝑥𝐴 (𝑥 + 1) ∈ 𝐴) ∧ (𝑛 ∈ ℤ ∧ 𝑁𝑛)) → (𝑛 − (𝑁 − 1)) = ((𝑛𝑁) + 1))
15 znn0sub 11260 . . . . . . . . . . 11 ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑛 ∈ ℤ) → (𝑁𝑛 ↔ (𝑛𝑁) ∈ ℕ0))
165, 15mpan 702 . . . . . . . . . 10 (𝑛 ∈ ℤ → (𝑁𝑛 ↔ (𝑛𝑁) ∈ ℕ0))
1716biimpa 500 . . . . . . . . 9 ((𝑛 ∈ ℤ ∧ 𝑁𝑛) → (𝑛𝑁) ∈ ℕ0)
1817adantl 481 . . . . . . . 8 (((𝑁𝐴 ∧ ∀𝑥𝐴 (𝑥 + 1) ∈ 𝐴) ∧ (𝑛 ∈ ℤ ∧ 𝑁𝑛)) → (𝑛𝑁) ∈ ℕ0)
19 nn0p1nn 11182 . . . . . . . 8 ((𝑛𝑁) ∈ ℕ0 → ((𝑛𝑁) + 1) ∈ ℕ)
2018, 19syl 17 . . . . . . 7 (((𝑁𝐴 ∧ ∀𝑥𝐴 (𝑥 + 1) ∈ 𝐴) ∧ (𝑛 ∈ ℤ ∧ 𝑁𝑛)) → ((𝑛𝑁) + 1) ∈ ℕ)
2114, 20eqeltrd 2688 . . . . . 6 (((𝑁𝐴 ∧ ∀𝑥𝐴 (𝑥 + 1) ∈ 𝐴) ∧ (𝑛 ∈ ℤ ∧ 𝑁𝑛)) → (𝑛 − (𝑁 − 1)) ∈ ℕ)
22 simpl 472 . . . . . 6 (((𝑁𝐴 ∧ ∀𝑥𝐴 (𝑥 + 1) ∈ 𝐴) ∧ (𝑛 ∈ ℤ ∧ 𝑁𝑛)) → (𝑁𝐴 ∧ ∀𝑥𝐴 (𝑥 + 1) ∈ 𝐴))
23 oveq1 6534 . . . . . . . . 9 (𝑘 = 1 → (𝑘 + (𝑁 − 1)) = (1 + (𝑁 − 1)))
2423eleq1d 2672 . . . . . . . 8 (𝑘 = 1 → ((𝑘 + (𝑁 − 1)) ∈ 𝐴 ↔ (1 + (𝑁 − 1)) ∈ 𝐴))
2524imbi2d 329 . . . . . . 7 (𝑘 = 1 → (((𝑁𝐴 ∧ ∀𝑥𝐴 (𝑥 + 1) ∈ 𝐴) → (𝑘 + (𝑁 − 1)) ∈ 𝐴) ↔ ((𝑁𝐴 ∧ ∀𝑥𝐴 (𝑥 + 1) ∈ 𝐴) → (1 + (𝑁 − 1)) ∈ 𝐴)))
26 oveq1 6534 . . . . . . . . 9 (𝑘 = 𝑛 → (𝑘 + (𝑁 − 1)) = (𝑛 + (𝑁 − 1)))
2726eleq1d 2672 . . . . . . . 8 (𝑘 = 𝑛 → ((𝑘 + (𝑁 − 1)) ∈ 𝐴 ↔ (𝑛 + (𝑁 − 1)) ∈ 𝐴))
2827imbi2d 329 . . . . . . 7 (𝑘 = 𝑛 → (((𝑁𝐴 ∧ ∀𝑥𝐴 (𝑥 + 1) ∈ 𝐴) → (𝑘 + (𝑁 − 1)) ∈ 𝐴) ↔ ((𝑁𝐴 ∧ ∀𝑥𝐴 (𝑥 + 1) ∈ 𝐴) → (𝑛 + (𝑁 − 1)) ∈ 𝐴)))
29 oveq1 6534 . . . . . . . . 9 (𝑘 = (𝑛 + 1) → (𝑘 + (𝑁 − 1)) = ((𝑛 + 1) + (𝑁 − 1)))
3029eleq1d 2672 . . . . . . . 8 (𝑘 = (𝑛 + 1) → ((𝑘 + (𝑁 − 1)) ∈ 𝐴 ↔ ((𝑛 + 1) + (𝑁 − 1)) ∈ 𝐴))
3130imbi2d 329 . . . . . . 7 (𝑘 = (𝑛 + 1) → (((𝑁𝐴 ∧ ∀𝑥𝐴 (𝑥 + 1) ∈ 𝐴) → (𝑘 + (𝑁 − 1)) ∈ 𝐴) ↔ ((𝑁𝐴 ∧ ∀𝑥𝐴 (𝑥 + 1) ∈ 𝐴) → ((𝑛 + 1) + (𝑁 − 1)) ∈ 𝐴)))
32 oveq1 6534 . . . . . . . . 9 (𝑘 = (𝑛 − (𝑁 − 1)) → (𝑘 + (𝑁 − 1)) = ((𝑛 − (𝑁 − 1)) + (𝑁 − 1)))
3332eleq1d 2672 . . . . . . . 8 (𝑘 = (𝑛 − (𝑁 − 1)) → ((𝑘 + (𝑁 − 1)) ∈ 𝐴 ↔ ((𝑛 − (𝑁 − 1)) + (𝑁 − 1)) ∈ 𝐴))
3433imbi2d 329 . . . . . . 7 (𝑘 = (𝑛 − (𝑁 − 1)) → (((𝑁𝐴 ∧ ∀𝑥𝐴 (𝑥 + 1) ∈ 𝐴) → (𝑘 + (𝑁 − 1)) ∈ 𝐴) ↔ ((𝑁𝐴 ∧ ∀𝑥𝐴 (𝑥 + 1) ∈ 𝐴) → ((𝑛 − (𝑁 − 1)) + (𝑁 − 1)) ∈ 𝐴)))
358, 7pncan3i 10210 . . . . . . . 8 (1 + (𝑁 − 1)) = 𝑁
36 simpl 472 . . . . . . . 8 ((𝑁𝐴 ∧ ∀𝑥𝐴 (𝑥 + 1) ∈ 𝐴) → 𝑁𝐴)
3735, 36syl5eqel 2692 . . . . . . 7 ((𝑁𝐴 ∧ ∀𝑥𝐴 (𝑥 + 1) ∈ 𝐴) → (1 + (𝑁 − 1)) ∈ 𝐴)
38 oveq1 6534 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑥 = (𝑛 + (𝑁 − 1)) → (𝑥 + 1) = ((𝑛 + (𝑁 − 1)) + 1))
3938eleq1d 2672 . . . . . . . . . . . 12 (𝑥 = (𝑛 + (𝑁 − 1)) → ((𝑥 + 1) ∈ 𝐴 ↔ ((𝑛 + (𝑁 − 1)) + 1) ∈ 𝐴))
4039rspccv 3279 . . . . . . . . . . 11 (∀𝑥𝐴 (𝑥 + 1) ∈ 𝐴 → ((𝑛 + (𝑁 − 1)) ∈ 𝐴 → ((𝑛 + (𝑁 − 1)) + 1) ∈ 𝐴))
4140ad2antll 761 . . . . . . . . . 10 ((𝑛 ∈ ℕ ∧ (𝑁𝐴 ∧ ∀𝑥𝐴 (𝑥 + 1) ∈ 𝐴)) → ((𝑛 + (𝑁 − 1)) ∈ 𝐴 → ((𝑛 + (𝑁 − 1)) + 1) ∈ 𝐴))
42 nncn 10878 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑛 ∈ ℕ → 𝑛 ∈ ℂ)
4342adantr 480 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑛 ∈ ℕ ∧ (𝑁𝐴 ∧ ∀𝑥𝐴 (𝑥 + 1) ∈ 𝐴)) → 𝑛 ∈ ℂ)
44 add32 10106 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑛 ∈ ℂ ∧ (𝑁 − 1) ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ) → ((𝑛 + (𝑁 − 1)) + 1) = ((𝑛 + 1) + (𝑁 − 1)))
459, 8, 44mp3an23 1408 . . . . . . . . . . . 12 (𝑛 ∈ ℂ → ((𝑛 + (𝑁 − 1)) + 1) = ((𝑛 + 1) + (𝑁 − 1)))
4643, 45syl 17 . . . . . . . . . . 11 ((𝑛 ∈ ℕ ∧ (𝑁𝐴 ∧ ∀𝑥𝐴 (𝑥 + 1) ∈ 𝐴)) → ((𝑛 + (𝑁 − 1)) + 1) = ((𝑛 + 1) + (𝑁 − 1)))
4746eleq1d 2672 . . . . . . . . . 10 ((𝑛 ∈ ℕ ∧ (𝑁𝐴 ∧ ∀𝑥𝐴 (𝑥 + 1) ∈ 𝐴)) → (((𝑛 + (𝑁 − 1)) + 1) ∈ 𝐴 ↔ ((𝑛 + 1) + (𝑁 − 1)) ∈ 𝐴))
4841, 47sylibd 228 . . . . . . . . 9 ((𝑛 ∈ ℕ ∧ (𝑁𝐴 ∧ ∀𝑥𝐴 (𝑥 + 1) ∈ 𝐴)) → ((𝑛 + (𝑁 − 1)) ∈ 𝐴 → ((𝑛 + 1) + (𝑁 − 1)) ∈ 𝐴))
4948ex 449 . . . . . . . 8 (𝑛 ∈ ℕ → ((𝑁𝐴 ∧ ∀𝑥𝐴 (𝑥 + 1) ∈ 𝐴) → ((𝑛 + (𝑁 − 1)) ∈ 𝐴 → ((𝑛 + 1) + (𝑁 − 1)) ∈ 𝐴)))
5049a2d 29 . . . . . . 7 (𝑛 ∈ ℕ → (((𝑁𝐴 ∧ ∀𝑥𝐴 (𝑥 + 1) ∈ 𝐴) → (𝑛 + (𝑁 − 1)) ∈ 𝐴) → ((𝑁𝐴 ∧ ∀𝑥𝐴 (𝑥 + 1) ∈ 𝐴) → ((𝑛 + 1) + (𝑁 − 1)) ∈ 𝐴)))
5125, 28, 31, 34, 37, 50nnind 10888 . . . . . 6 ((𝑛 − (𝑁 − 1)) ∈ ℕ → ((𝑁𝐴 ∧ ∀𝑥𝐴 (𝑥 + 1) ∈ 𝐴) → ((𝑛 − (𝑁 − 1)) + (𝑁 − 1)) ∈ 𝐴))
5221, 22, 51sylc 63 . . . . 5 (((𝑁𝐴 ∧ ∀𝑥𝐴 (𝑥 + 1) ∈ 𝐴) ∧ (𝑛 ∈ ℤ ∧ 𝑁𝑛)) → ((𝑛 − (𝑁 − 1)) + (𝑁 − 1)) ∈ 𝐴)
5311, 52eqeltrrd 2689 . . . 4 (((𝑁𝐴 ∧ ∀𝑥𝐴 (𝑥 + 1) ∈ 𝐴) ∧ (𝑛 ∈ ℤ ∧ 𝑁𝑛)) → 𝑛𝐴)
5453ex 449 . . 3 ((𝑁𝐴 ∧ ∀𝑥𝐴 (𝑥 + 1) ∈ 𝐴) → ((𝑛 ∈ ℤ ∧ 𝑁𝑛) → 𝑛𝐴))
552, 54syl5bi 231 . 2 ((𝑁𝐴 ∧ ∀𝑥𝐴 (𝑥 + 1) ∈ 𝐴) → (𝑛 ∈ {𝑘 ∈ ℤ ∣ 𝑁𝑘} → 𝑛𝐴))
5655ssrdv 3574 1 ((𝑁𝐴 ∧ ∀𝑥𝐴 (𝑥 + 1) ∈ 𝐴) → {𝑘 ∈ ℤ ∣ 𝑁𝑘} ⊆ 𝐴)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 195  wa 383   = wceq 1475  wcel 1977  wral 2896  {crab 2900  wss 3540   class class class wbr 4578  (class class class)co 6527  cc 9791  1c1 9794   + caddc 9796  cle 9932  cmin 10118  cn 10870  0cn0 11142  cz 11213
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-8 1979  ax-9 1986  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-sep 4704  ax-nul 4712  ax-pow 4764  ax-pr 4828  ax-un 6825  ax-resscn 9850  ax-1cn 9851  ax-icn 9852  ax-addcl 9853  ax-addrcl 9854  ax-mulcl 9855  ax-mulrcl 9856  ax-mulcom 9857  ax-addass 9858  ax-mulass 9859  ax-distr 9860  ax-i2m1 9861  ax-1ne0 9862  ax-1rid 9863  ax-rnegex 9864  ax-rrecex 9865  ax-cnre 9866  ax-pre-lttri 9867  ax-pre-lttrn 9868  ax-pre-ltadd 9869  ax-pre-mulgt0 9870
This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-3or 1032  df-3an 1033  df-tru 1478  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-eu 2462  df-mo 2463  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ne 2782  df-nel 2783  df-ral 2901  df-rex 2902  df-reu 2903  df-rab 2905  df-v 3175  df-sbc 3403  df-csb 3500  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-pss 3556  df-nul 3875  df-if 4037  df-pw 4110  df-sn 4126  df-pr 4128  df-tp 4130  df-op 4132  df-uni 4368  df-iun 4452  df-br 4579  df-opab 4639  df-mpt 4640  df-tr 4676  df-eprel 4939  df-id 4943  df-po 4949  df-so 4950  df-fr 4987  df-we 4989  df-xp 5034  df-rel 5035  df-cnv 5036  df-co 5037  df-dm 5038  df-rn 5039  df-res 5040  df-ima 5041  df-pred 5583  df-ord 5629  df-on 5630  df-lim 5631  df-suc 5632  df-iota 5754  df-fun 5792  df-fn 5793  df-f 5794  df-f1 5795  df-fo 5796  df-f1o 5797  df-fv 5798  df-riota 6489  df-ov 6530  df-oprab 6531  df-mpt2 6532  df-om 6936  df-wrecs 7272  df-recs 7333  df-rdg 7371  df-er 7607  df-en 7820  df-dom 7821  df-sdom 7822  df-pnf 9933  df-mnf 9934  df-xr 9935  df-ltxr 9936  df-le 9937  df-sub 10120  df-neg 10121  df-nn 10871  df-n0 11143  df-z 11214
This theorem is referenced by:  peano5uzti  11302  dfuzi  11303
  Copyright terms: Public domain W3C validator