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Theorem peano5uzi 11678
Description: Peano's inductive postulate for upper integers. (Contributed by NM, 6-Jul-2005.) (Revised by Mario Carneiro, 3-May-2014.)
Hypothesis
Ref Expression
peano5uzi.1 𝑁 ∈ ℤ
Assertion
Ref Expression
peano5uzi ((𝑁𝐴 ∧ ∀𝑥𝐴 (𝑥 + 1) ∈ 𝐴) → {𝑘 ∈ ℤ ∣ 𝑁𝑘} ⊆ 𝐴)
Distinct variable groups:   𝑥,𝑘,𝐴   𝑘,𝑁,𝑥

Proof of Theorem peano5uzi
Dummy variable 𝑛 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 breq2 4808 . . . 4 (𝑘 = 𝑛 → (𝑁𝑘𝑁𝑛))
21elrab 3504 . . 3 (𝑛 ∈ {𝑘 ∈ ℤ ∣ 𝑁𝑘} ↔ (𝑛 ∈ ℤ ∧ 𝑁𝑛))
3 zcn 11594 . . . . . . 7 (𝑛 ∈ ℤ → 𝑛 ∈ ℂ)
43ad2antrl 766 . . . . . 6 (((𝑁𝐴 ∧ ∀𝑥𝐴 (𝑥 + 1) ∈ 𝐴) ∧ (𝑛 ∈ ℤ ∧ 𝑁𝑛)) → 𝑛 ∈ ℂ)
5 peano5uzi.1 . . . . . . . 8 𝑁 ∈ ℤ
6 zcn 11594 . . . . . . . 8 (𝑁 ∈ ℤ → 𝑁 ∈ ℂ)
75, 6ax-mp 5 . . . . . . 7 𝑁 ∈ ℂ
8 ax-1cn 10206 . . . . . . 7 1 ∈ ℂ
97, 8subcli 10569 . . . . . 6 (𝑁 − 1) ∈ ℂ
10 npcan 10502 . . . . . 6 ((𝑛 ∈ ℂ ∧ (𝑁 − 1) ∈ ℂ) → ((𝑛 − (𝑁 − 1)) + (𝑁 − 1)) = 𝑛)
114, 9, 10sylancl 697 . . . . 5 (((𝑁𝐴 ∧ ∀𝑥𝐴 (𝑥 + 1) ∈ 𝐴) ∧ (𝑛 ∈ ℤ ∧ 𝑁𝑛)) → ((𝑛 − (𝑁 − 1)) + (𝑁 − 1)) = 𝑛)
12 subsub 10523 . . . . . . . . 9 ((𝑛 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ) → (𝑛 − (𝑁 − 1)) = ((𝑛𝑁) + 1))
137, 8, 12mp3an23 1565 . . . . . . . 8 (𝑛 ∈ ℂ → (𝑛 − (𝑁 − 1)) = ((𝑛𝑁) + 1))
144, 13syl 17 . . . . . . 7 (((𝑁𝐴 ∧ ∀𝑥𝐴 (𝑥 + 1) ∈ 𝐴) ∧ (𝑛 ∈ ℤ ∧ 𝑁𝑛)) → (𝑛 − (𝑁 − 1)) = ((𝑛𝑁) + 1))
15 znn0sub 11636 . . . . . . . . . . 11 ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑛 ∈ ℤ) → (𝑁𝑛 ↔ (𝑛𝑁) ∈ ℕ0))
165, 15mpan 708 . . . . . . . . . 10 (𝑛 ∈ ℤ → (𝑁𝑛 ↔ (𝑛𝑁) ∈ ℕ0))
1716biimpa 502 . . . . . . . . 9 ((𝑛 ∈ ℤ ∧ 𝑁𝑛) → (𝑛𝑁) ∈ ℕ0)
1817adantl 473 . . . . . . . 8 (((𝑁𝐴 ∧ ∀𝑥𝐴 (𝑥 + 1) ∈ 𝐴) ∧ (𝑛 ∈ ℤ ∧ 𝑁𝑛)) → (𝑛𝑁) ∈ ℕ0)
19 nn0p1nn 11544 . . . . . . . 8 ((𝑛𝑁) ∈ ℕ0 → ((𝑛𝑁) + 1) ∈ ℕ)
2018, 19syl 17 . . . . . . 7 (((𝑁𝐴 ∧ ∀𝑥𝐴 (𝑥 + 1) ∈ 𝐴) ∧ (𝑛 ∈ ℤ ∧ 𝑁𝑛)) → ((𝑛𝑁) + 1) ∈ ℕ)
2114, 20eqeltrd 2839 . . . . . 6 (((𝑁𝐴 ∧ ∀𝑥𝐴 (𝑥 + 1) ∈ 𝐴) ∧ (𝑛 ∈ ℤ ∧ 𝑁𝑛)) → (𝑛 − (𝑁 − 1)) ∈ ℕ)
22 simpl 474 . . . . . 6 (((𝑁𝐴 ∧ ∀𝑥𝐴 (𝑥 + 1) ∈ 𝐴) ∧ (𝑛 ∈ ℤ ∧ 𝑁𝑛)) → (𝑁𝐴 ∧ ∀𝑥𝐴 (𝑥 + 1) ∈ 𝐴))
23 oveq1 6821 . . . . . . . . 9 (𝑘 = 1 → (𝑘 + (𝑁 − 1)) = (1 + (𝑁 − 1)))
2423eleq1d 2824 . . . . . . . 8 (𝑘 = 1 → ((𝑘 + (𝑁 − 1)) ∈ 𝐴 ↔ (1 + (𝑁 − 1)) ∈ 𝐴))
2524imbi2d 329 . . . . . . 7 (𝑘 = 1 → (((𝑁𝐴 ∧ ∀𝑥𝐴 (𝑥 + 1) ∈ 𝐴) → (𝑘 + (𝑁 − 1)) ∈ 𝐴) ↔ ((𝑁𝐴 ∧ ∀𝑥𝐴 (𝑥 + 1) ∈ 𝐴) → (1 + (𝑁 − 1)) ∈ 𝐴)))
26 oveq1 6821 . . . . . . . . 9 (𝑘 = 𝑛 → (𝑘 + (𝑁 − 1)) = (𝑛 + (𝑁 − 1)))
2726eleq1d 2824 . . . . . . . 8 (𝑘 = 𝑛 → ((𝑘 + (𝑁 − 1)) ∈ 𝐴 ↔ (𝑛 + (𝑁 − 1)) ∈ 𝐴))
2827imbi2d 329 . . . . . . 7 (𝑘 = 𝑛 → (((𝑁𝐴 ∧ ∀𝑥𝐴 (𝑥 + 1) ∈ 𝐴) → (𝑘 + (𝑁 − 1)) ∈ 𝐴) ↔ ((𝑁𝐴 ∧ ∀𝑥𝐴 (𝑥 + 1) ∈ 𝐴) → (𝑛 + (𝑁 − 1)) ∈ 𝐴)))
29 oveq1 6821 . . . . . . . . 9 (𝑘 = (𝑛 + 1) → (𝑘 + (𝑁 − 1)) = ((𝑛 + 1) + (𝑁 − 1)))
3029eleq1d 2824 . . . . . . . 8 (𝑘 = (𝑛 + 1) → ((𝑘 + (𝑁 − 1)) ∈ 𝐴 ↔ ((𝑛 + 1) + (𝑁 − 1)) ∈ 𝐴))
3130imbi2d 329 . . . . . . 7 (𝑘 = (𝑛 + 1) → (((𝑁𝐴 ∧ ∀𝑥𝐴 (𝑥 + 1) ∈ 𝐴) → (𝑘 + (𝑁 − 1)) ∈ 𝐴) ↔ ((𝑁𝐴 ∧ ∀𝑥𝐴 (𝑥 + 1) ∈ 𝐴) → ((𝑛 + 1) + (𝑁 − 1)) ∈ 𝐴)))
32 oveq1 6821 . . . . . . . . 9 (𝑘 = (𝑛 − (𝑁 − 1)) → (𝑘 + (𝑁 − 1)) = ((𝑛 − (𝑁 − 1)) + (𝑁 − 1)))
3332eleq1d 2824 . . . . . . . 8 (𝑘 = (𝑛 − (𝑁 − 1)) → ((𝑘 + (𝑁 − 1)) ∈ 𝐴 ↔ ((𝑛 − (𝑁 − 1)) + (𝑁 − 1)) ∈ 𝐴))
3433imbi2d 329 . . . . . . 7 (𝑘 = (𝑛 − (𝑁 − 1)) → (((𝑁𝐴 ∧ ∀𝑥𝐴 (𝑥 + 1) ∈ 𝐴) → (𝑘 + (𝑁 − 1)) ∈ 𝐴) ↔ ((𝑁𝐴 ∧ ∀𝑥𝐴 (𝑥 + 1) ∈ 𝐴) → ((𝑛 − (𝑁 − 1)) + (𝑁 − 1)) ∈ 𝐴)))
358, 7pncan3i 10570 . . . . . . . 8 (1 + (𝑁 − 1)) = 𝑁
36 simpl 474 . . . . . . . 8 ((𝑁𝐴 ∧ ∀𝑥𝐴 (𝑥 + 1) ∈ 𝐴) → 𝑁𝐴)
3735, 36syl5eqel 2843 . . . . . . 7 ((𝑁𝐴 ∧ ∀𝑥𝐴 (𝑥 + 1) ∈ 𝐴) → (1 + (𝑁 − 1)) ∈ 𝐴)
38 oveq1 6821 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑥 = (𝑛 + (𝑁 − 1)) → (𝑥 + 1) = ((𝑛 + (𝑁 − 1)) + 1))
3938eleq1d 2824 . . . . . . . . . . . 12 (𝑥 = (𝑛 + (𝑁 − 1)) → ((𝑥 + 1) ∈ 𝐴 ↔ ((𝑛 + (𝑁 − 1)) + 1) ∈ 𝐴))
4039rspccv 3446 . . . . . . . . . . 11 (∀𝑥𝐴 (𝑥 + 1) ∈ 𝐴 → ((𝑛 + (𝑁 − 1)) ∈ 𝐴 → ((𝑛 + (𝑁 − 1)) + 1) ∈ 𝐴))
4140ad2antll 767 . . . . . . . . . 10 ((𝑛 ∈ ℕ ∧ (𝑁𝐴 ∧ ∀𝑥𝐴 (𝑥 + 1) ∈ 𝐴)) → ((𝑛 + (𝑁 − 1)) ∈ 𝐴 → ((𝑛 + (𝑁 − 1)) + 1) ∈ 𝐴))
42 nncn 11240 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑛 ∈ ℕ → 𝑛 ∈ ℂ)
4342adantr 472 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑛 ∈ ℕ ∧ (𝑁𝐴 ∧ ∀𝑥𝐴 (𝑥 + 1) ∈ 𝐴)) → 𝑛 ∈ ℂ)
44 add32 10466 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑛 ∈ ℂ ∧ (𝑁 − 1) ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ) → ((𝑛 + (𝑁 − 1)) + 1) = ((𝑛 + 1) + (𝑁 − 1)))
459, 8, 44mp3an23 1565 . . . . . . . . . . . 12 (𝑛 ∈ ℂ → ((𝑛 + (𝑁 − 1)) + 1) = ((𝑛 + 1) + (𝑁 − 1)))
4643, 45syl 17 . . . . . . . . . . 11 ((𝑛 ∈ ℕ ∧ (𝑁𝐴 ∧ ∀𝑥𝐴 (𝑥 + 1) ∈ 𝐴)) → ((𝑛 + (𝑁 − 1)) + 1) = ((𝑛 + 1) + (𝑁 − 1)))
4746eleq1d 2824 . . . . . . . . . 10 ((𝑛 ∈ ℕ ∧ (𝑁𝐴 ∧ ∀𝑥𝐴 (𝑥 + 1) ∈ 𝐴)) → (((𝑛 + (𝑁 − 1)) + 1) ∈ 𝐴 ↔ ((𝑛 + 1) + (𝑁 − 1)) ∈ 𝐴))
4841, 47sylibd 229 . . . . . . . . 9 ((𝑛 ∈ ℕ ∧ (𝑁𝐴 ∧ ∀𝑥𝐴 (𝑥 + 1) ∈ 𝐴)) → ((𝑛 + (𝑁 − 1)) ∈ 𝐴 → ((𝑛 + 1) + (𝑁 − 1)) ∈ 𝐴))
4948ex 449 . . . . . . . 8 (𝑛 ∈ ℕ → ((𝑁𝐴 ∧ ∀𝑥𝐴 (𝑥 + 1) ∈ 𝐴) → ((𝑛 + (𝑁 − 1)) ∈ 𝐴 → ((𝑛 + 1) + (𝑁 − 1)) ∈ 𝐴)))
5049a2d 29 . . . . . . 7 (𝑛 ∈ ℕ → (((𝑁𝐴 ∧ ∀𝑥𝐴 (𝑥 + 1) ∈ 𝐴) → (𝑛 + (𝑁 − 1)) ∈ 𝐴) → ((𝑁𝐴 ∧ ∀𝑥𝐴 (𝑥 + 1) ∈ 𝐴) → ((𝑛 + 1) + (𝑁 − 1)) ∈ 𝐴)))
5125, 28, 31, 34, 37, 50nnind 11250 . . . . . 6 ((𝑛 − (𝑁 − 1)) ∈ ℕ → ((𝑁𝐴 ∧ ∀𝑥𝐴 (𝑥 + 1) ∈ 𝐴) → ((𝑛 − (𝑁 − 1)) + (𝑁 − 1)) ∈ 𝐴))
5221, 22, 51sylc 65 . . . . 5 (((𝑁𝐴 ∧ ∀𝑥𝐴 (𝑥 + 1) ∈ 𝐴) ∧ (𝑛 ∈ ℤ ∧ 𝑁𝑛)) → ((𝑛 − (𝑁 − 1)) + (𝑁 − 1)) ∈ 𝐴)
5311, 52eqeltrrd 2840 . . . 4 (((𝑁𝐴 ∧ ∀𝑥𝐴 (𝑥 + 1) ∈ 𝐴) ∧ (𝑛 ∈ ℤ ∧ 𝑁𝑛)) → 𝑛𝐴)
5453ex 449 . . 3 ((𝑁𝐴 ∧ ∀𝑥𝐴 (𝑥 + 1) ∈ 𝐴) → ((𝑛 ∈ ℤ ∧ 𝑁𝑛) → 𝑛𝐴))
552, 54syl5bi 232 . 2 ((𝑁𝐴 ∧ ∀𝑥𝐴 (𝑥 + 1) ∈ 𝐴) → (𝑛 ∈ {𝑘 ∈ ℤ ∣ 𝑁𝑘} → 𝑛𝐴))
5655ssrdv 3750 1 ((𝑁𝐴 ∧ ∀𝑥𝐴 (𝑥 + 1) ∈ 𝐴) → {𝑘 ∈ ℤ ∣ 𝑁𝑘} ⊆ 𝐴)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 196  wa 383   = wceq 1632  wcel 2139  wral 3050  {crab 3054  wss 3715   class class class wbr 4804  (class class class)co 6814  cc 10146  1c1 10149   + caddc 10151  cle 10287  cmin 10478  cn 11232  0cn0 11504  cz 11589
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1871  ax-4 1886  ax-5 1988  ax-6 2054  ax-7 2090  ax-8 2141  ax-9 2148  ax-10 2168  ax-11 2183  ax-12 2196  ax-13 2391  ax-ext 2740  ax-sep 4933  ax-nul 4941  ax-pow 4992  ax-pr 5055  ax-un 7115  ax-resscn 10205  ax-1cn 10206  ax-icn 10207  ax-addcl 10208  ax-addrcl 10209  ax-mulcl 10210  ax-mulrcl 10211  ax-mulcom 10212  ax-addass 10213  ax-mulass 10214  ax-distr 10215  ax-i2m1 10216  ax-1ne0 10217  ax-1rid 10218  ax-rnegex 10219  ax-rrecex 10220  ax-cnre 10221  ax-pre-lttri 10222  ax-pre-lttrn 10223  ax-pre-ltadd 10224  ax-pre-mulgt0 10225
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1073  df-3an 1074  df-tru 1635  df-ex 1854  df-nf 1859  df-sb 2047  df-eu 2611  df-mo 2612  df-clab 2747  df-cleq 2753  df-clel 2756  df-nfc 2891  df-ne 2933  df-nel 3036  df-ral 3055  df-rex 3056  df-reu 3057  df-rab 3059  df-v 3342  df-sbc 3577  df-csb 3675  df-dif 3718  df-un 3720  df-in 3722  df-ss 3729  df-pss 3731  df-nul 4059  df-if 4231  df-pw 4304  df-sn 4322  df-pr 4324  df-tp 4326  df-op 4328  df-uni 4589  df-iun 4674  df-br 4805  df-opab 4865  df-mpt 4882  df-tr 4905  df-id 5174  df-eprel 5179  df-po 5187  df-so 5188  df-fr 5225  df-we 5227  df-xp 5272  df-rel 5273  df-cnv 5274  df-co 5275  df-dm 5276  df-rn 5277  df-res 5278  df-ima 5279  df-pred 5841  df-ord 5887  df-on 5888  df-lim 5889  df-suc 5890  df-iota 6012  df-fun 6051  df-fn 6052  df-f 6053  df-f1 6054  df-fo 6055  df-f1o 6056  df-fv 6057  df-riota 6775  df-ov 6817  df-oprab 6818  df-mpt2 6819  df-om 7232  df-wrecs 7577  df-recs 7638  df-rdg 7676  df-er 7913  df-en 8124  df-dom 8125  df-sdom 8126  df-pnf 10288  df-mnf 10289  df-xr 10290  df-ltxr 10291  df-le 10292  df-sub 10480  df-neg 10481  df-nn 11233  df-n0 11505  df-z 11590
This theorem is referenced by:  peano5uzti  11679  dfuzi  11680
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