Users' Mathboxes Mathbox for Stefan O'Rear < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  pellfundge Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem pellfundge 36947
Description: Lower bound on the fundamental solution of a Pell equation. (Contributed by Stefan O'Rear, 19-Sep-2014.)
Assertion
Ref Expression
pellfundge (𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) → ((√‘(𝐷 + 1)) + (√‘𝐷)) ≤ (PellFund‘𝐷))

Proof of Theorem pellfundge
Dummy variables 𝑎 𝑏 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ssrab2 3668 . . . 4 {𝑎 ∈ (Pell14QR‘𝐷) ∣ 1 < 𝑎} ⊆ (Pell14QR‘𝐷)
2 pell14qrre 36922 . . . . . 6 ((𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) ∧ 𝑎 ∈ (Pell14QR‘𝐷)) → 𝑎 ∈ ℝ)
32ex 450 . . . . 5 (𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) → (𝑎 ∈ (Pell14QR‘𝐷) → 𝑎 ∈ ℝ))
43ssrdv 3590 . . . 4 (𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) → (Pell14QR‘𝐷) ⊆ ℝ)
51, 4syl5ss 3595 . . 3 (𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) → {𝑎 ∈ (Pell14QR‘𝐷) ∣ 1 < 𝑎} ⊆ ℝ)
6 pell1qrss14 36933 . . . . 5 (𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) → (Pell1QR‘𝐷) ⊆ (Pell14QR‘𝐷))
7 pellqrex 36944 . . . . 5 (𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) → ∃𝑎 ∈ (Pell1QR‘𝐷)1 < 𝑎)
8 ssrexv 3648 . . . . 5 ((Pell1QR‘𝐷) ⊆ (Pell14QR‘𝐷) → (∃𝑎 ∈ (Pell1QR‘𝐷)1 < 𝑎 → ∃𝑎 ∈ (Pell14QR‘𝐷)1 < 𝑎))
96, 7, 8sylc 65 . . . 4 (𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) → ∃𝑎 ∈ (Pell14QR‘𝐷)1 < 𝑎)
10 rabn0 3934 . . . 4 ({𝑎 ∈ (Pell14QR‘𝐷) ∣ 1 < 𝑎} ≠ ∅ ↔ ∃𝑎 ∈ (Pell14QR‘𝐷)1 < 𝑎)
119, 10sylibr 224 . . 3 (𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) → {𝑎 ∈ (Pell14QR‘𝐷) ∣ 1 < 𝑎} ≠ ∅)
12 eldifi 3712 . . . . . . . 8 (𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) → 𝐷 ∈ ℕ)
1312peano2nnd 10984 . . . . . . 7 (𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) → (𝐷 + 1) ∈ ℕ)
1413nnrpd 11817 . . . . . 6 (𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) → (𝐷 + 1) ∈ ℝ+)
1514rpsqrtcld 14087 . . . . 5 (𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) → (√‘(𝐷 + 1)) ∈ ℝ+)
1615rpred 11819 . . . 4 (𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) → (√‘(𝐷 + 1)) ∈ ℝ)
1712nnrpd 11817 . . . . . 6 (𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) → 𝐷 ∈ ℝ+)
1817rpsqrtcld 14087 . . . . 5 (𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) → (√‘𝐷) ∈ ℝ+)
1918rpred 11819 . . . 4 (𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) → (√‘𝐷) ∈ ℝ)
2016, 19readdcld 10016 . . 3 (𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) → ((√‘(𝐷 + 1)) + (√‘𝐷)) ∈ ℝ)
21 breq2 4619 . . . . . 6 (𝑎 = 𝑏 → (1 < 𝑎 ↔ 1 < 𝑏))
2221elrab 3347 . . . . 5 (𝑏 ∈ {𝑎 ∈ (Pell14QR‘𝐷) ∣ 1 < 𝑎} ↔ (𝑏 ∈ (Pell14QR‘𝐷) ∧ 1 < 𝑏))
23 pell14qrgap 36940 . . . . . 6 ((𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) ∧ 𝑏 ∈ (Pell14QR‘𝐷) ∧ 1 < 𝑏) → ((√‘(𝐷 + 1)) + (√‘𝐷)) ≤ 𝑏)
24233expib 1265 . . . . 5 (𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) → ((𝑏 ∈ (Pell14QR‘𝐷) ∧ 1 < 𝑏) → ((√‘(𝐷 + 1)) + (√‘𝐷)) ≤ 𝑏))
2522, 24syl5bi 232 . . . 4 (𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) → (𝑏 ∈ {𝑎 ∈ (Pell14QR‘𝐷) ∣ 1 < 𝑎} → ((√‘(𝐷 + 1)) + (√‘𝐷)) ≤ 𝑏))
2625ralrimiv 2959 . . 3 (𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) → ∀𝑏 ∈ {𝑎 ∈ (Pell14QR‘𝐷) ∣ 1 < 𝑎} ((√‘(𝐷 + 1)) + (√‘𝐷)) ≤ 𝑏)
27 infmrgelbi 36943 . . 3 ((({𝑎 ∈ (Pell14QR‘𝐷) ∣ 1 < 𝑎} ⊆ ℝ ∧ {𝑎 ∈ (Pell14QR‘𝐷) ∣ 1 < 𝑎} ≠ ∅ ∧ ((√‘(𝐷 + 1)) + (√‘𝐷)) ∈ ℝ) ∧ ∀𝑏 ∈ {𝑎 ∈ (Pell14QR‘𝐷) ∣ 1 < 𝑎} ((√‘(𝐷 + 1)) + (√‘𝐷)) ≤ 𝑏) → ((√‘(𝐷 + 1)) + (√‘𝐷)) ≤ inf({𝑎 ∈ (Pell14QR‘𝐷) ∣ 1 < 𝑎}, ℝ, < ))
285, 11, 20, 26, 27syl31anc 1326 . 2 (𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) → ((√‘(𝐷 + 1)) + (√‘𝐷)) ≤ inf({𝑎 ∈ (Pell14QR‘𝐷) ∣ 1 < 𝑎}, ℝ, < ))
29 pellfundval 36945 . 2 (𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) → (PellFund‘𝐷) = inf({𝑎 ∈ (Pell14QR‘𝐷) ∣ 1 < 𝑎}, ℝ, < ))
3028, 29breqtrrd 4643 1 (𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) → ((√‘(𝐷 + 1)) + (√‘𝐷)) ≤ (PellFund‘𝐷))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 384  wcel 1987  wne 2790  wral 2907  wrex 2908  {crab 2911  cdif 3553  wss 3556  c0 3893   class class class wbr 4615  cfv 5849  (class class class)co 6607  infcinf 8294  cr 9882  1c1 9884   + caddc 9886   < clt 10021  cle 10022  cn 10967  csqrt 13910  NNcsquarenn 36901  Pell1QRcpell1qr 36902  Pell14QRcpell14qr 36904  PellFundcpellfund 36905
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1719  ax-4 1734  ax-5 1836  ax-6 1885  ax-7 1932  ax-8 1989  ax-9 1996  ax-10 2016  ax-11 2031  ax-12 2044  ax-13 2245  ax-ext 2601  ax-rep 4733  ax-sep 4743  ax-nul 4751  ax-pow 4805  ax-pr 4869  ax-un 6905  ax-inf2 8485  ax-cnex 9939  ax-resscn 9940  ax-1cn 9941  ax-icn 9942  ax-addcl 9943  ax-addrcl 9944  ax-mulcl 9945  ax-mulrcl 9946  ax-mulcom 9947  ax-addass 9948  ax-mulass 9949  ax-distr 9950  ax-i2m1 9951  ax-1ne0 9952  ax-1rid 9953  ax-rnegex 9954  ax-rrecex 9955  ax-cnre 9956  ax-pre-lttri 9957  ax-pre-lttrn 9958  ax-pre-ltadd 9959  ax-pre-mulgt0 9960  ax-pre-sup 9961
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1037  df-3an 1038  df-tru 1483  df-ex 1702  df-nf 1707  df-sb 1878  df-eu 2473  df-mo 2474  df-clab 2608  df-cleq 2614  df-clel 2617  df-nfc 2750  df-ne 2791  df-nel 2894  df-ral 2912  df-rex 2913  df-reu 2914  df-rmo 2915  df-rab 2916  df-v 3188  df-sbc 3419  df-csb 3516  df-dif 3559  df-un 3561  df-in 3563  df-ss 3570  df-pss 3572  df-nul 3894  df-if 4061  df-pw 4134  df-sn 4151  df-pr 4153  df-tp 4155  df-op 4157  df-uni 4405  df-int 4443  df-iun 4489  df-br 4616  df-opab 4676  df-mpt 4677  df-tr 4715  df-eprel 4987  df-id 4991  df-po 4997  df-so 4998  df-fr 5035  df-se 5036  df-we 5037  df-xp 5082  df-rel 5083  df-cnv 5084  df-co 5085  df-dm 5086  df-rn 5087  df-res 5088  df-ima 5089  df-pred 5641  df-ord 5687  df-on 5688  df-lim 5689  df-suc 5690  df-iota 5812  df-fun 5851  df-fn 5852  df-f 5853  df-f1 5854  df-fo 5855  df-f1o 5856  df-fv 5857  df-isom 5858  df-riota 6568  df-ov 6610  df-oprab 6611  df-mpt2 6612  df-om 7016  df-1st 7116  df-2nd 7117  df-wrecs 7355  df-recs 7416  df-rdg 7454  df-1o 7508  df-oadd 7512  df-omul 7513  df-er 7690  df-map 7807  df-en 7903  df-dom 7904  df-sdom 7905  df-fin 7906  df-sup 8295  df-inf 8296  df-oi 8362  df-card 8712  df-acn 8715  df-pnf 10023  df-mnf 10024  df-xr 10025  df-ltxr 10026  df-le 10027  df-sub 10215  df-neg 10216  df-div 10632  df-nn 10968  df-2 11026  df-3 11027  df-n0 11240  df-xnn0 11311  df-z 11325  df-uz 11635  df-q 11736  df-rp 11780  df-ico 12126  df-fz 12272  df-fl 12536  df-mod 12612  df-seq 12745  df-exp 12804  df-hash 13061  df-cj 13776  df-re 13777  df-im 13778  df-sqrt 13912  df-abs 13913  df-dvds 14911  df-gcd 15144  df-numer 15370  df-denom 15371  df-squarenn 36906  df-pell1qr 36907  df-pell14qr 36908  df-pell1234qr 36909  df-pellfund 36910
This theorem is referenced by:  pellfundgt1  36948  rmspecfund  36975
  Copyright terms: Public domain W3C validator