Users' Mathboxes Mathbox for Stefan O'Rear < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  pellfundge Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem pellfundge 39357
Description: Lower bound on the fundamental solution of a Pell equation. (Contributed by Stefan O'Rear, 19-Sep-2014.)
Assertion
Ref Expression
pellfundge (𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) → ((√‘(𝐷 + 1)) + (√‘𝐷)) ≤ (PellFund‘𝐷))

Proof of Theorem pellfundge
Dummy variables 𝑎 𝑏 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ssrab2 4053 . . . 4 {𝑎 ∈ (Pell14QR‘𝐷) ∣ 1 < 𝑎} ⊆ (Pell14QR‘𝐷)
2 pell14qrre 39332 . . . . . 6 ((𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) ∧ 𝑎 ∈ (Pell14QR‘𝐷)) → 𝑎 ∈ ℝ)
32ex 413 . . . . 5 (𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) → (𝑎 ∈ (Pell14QR‘𝐷) → 𝑎 ∈ ℝ))
43ssrdv 3970 . . . 4 (𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) → (Pell14QR‘𝐷) ⊆ ℝ)
51, 4sstrid 3975 . . 3 (𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) → {𝑎 ∈ (Pell14QR‘𝐷) ∣ 1 < 𝑎} ⊆ ℝ)
6 pell1qrss14 39343 . . . . 5 (𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) → (Pell1QR‘𝐷) ⊆ (Pell14QR‘𝐷))
7 pellqrex 39354 . . . . 5 (𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) → ∃𝑎 ∈ (Pell1QR‘𝐷)1 < 𝑎)
8 ssrexv 4031 . . . . 5 ((Pell1QR‘𝐷) ⊆ (Pell14QR‘𝐷) → (∃𝑎 ∈ (Pell1QR‘𝐷)1 < 𝑎 → ∃𝑎 ∈ (Pell14QR‘𝐷)1 < 𝑎))
96, 7, 8sylc 65 . . . 4 (𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) → ∃𝑎 ∈ (Pell14QR‘𝐷)1 < 𝑎)
10 rabn0 4336 . . . 4 ({𝑎 ∈ (Pell14QR‘𝐷) ∣ 1 < 𝑎} ≠ ∅ ↔ ∃𝑎 ∈ (Pell14QR‘𝐷)1 < 𝑎)
119, 10sylibr 235 . . 3 (𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) → {𝑎 ∈ (Pell14QR‘𝐷) ∣ 1 < 𝑎} ≠ ∅)
12 eldifi 4100 . . . . . . . 8 (𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) → 𝐷 ∈ ℕ)
1312peano2nnd 11643 . . . . . . 7 (𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) → (𝐷 + 1) ∈ ℕ)
1413nnrpd 12417 . . . . . 6 (𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) → (𝐷 + 1) ∈ ℝ+)
1514rpsqrtcld 14759 . . . . 5 (𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) → (√‘(𝐷 + 1)) ∈ ℝ+)
1615rpred 12419 . . . 4 (𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) → (√‘(𝐷 + 1)) ∈ ℝ)
1712nnrpd 12417 . . . . . 6 (𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) → 𝐷 ∈ ℝ+)
1817rpsqrtcld 14759 . . . . 5 (𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) → (√‘𝐷) ∈ ℝ+)
1918rpred 12419 . . . 4 (𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) → (√‘𝐷) ∈ ℝ)
2016, 19readdcld 10658 . . 3 (𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) → ((√‘(𝐷 + 1)) + (√‘𝐷)) ∈ ℝ)
21 breq2 5061 . . . . . 6 (𝑎 = 𝑏 → (1 < 𝑎 ↔ 1 < 𝑏))
2221elrab 3677 . . . . 5 (𝑏 ∈ {𝑎 ∈ (Pell14QR‘𝐷) ∣ 1 < 𝑎} ↔ (𝑏 ∈ (Pell14QR‘𝐷) ∧ 1 < 𝑏))
23 pell14qrgap 39350 . . . . . 6 ((𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) ∧ 𝑏 ∈ (Pell14QR‘𝐷) ∧ 1 < 𝑏) → ((√‘(𝐷 + 1)) + (√‘𝐷)) ≤ 𝑏)
24233expib 1114 . . . . 5 (𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) → ((𝑏 ∈ (Pell14QR‘𝐷) ∧ 1 < 𝑏) → ((√‘(𝐷 + 1)) + (√‘𝐷)) ≤ 𝑏))
2522, 24syl5bi 243 . . . 4 (𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) → (𝑏 ∈ {𝑎 ∈ (Pell14QR‘𝐷) ∣ 1 < 𝑎} → ((√‘(𝐷 + 1)) + (√‘𝐷)) ≤ 𝑏))
2625ralrimiv 3178 . . 3 (𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) → ∀𝑏 ∈ {𝑎 ∈ (Pell14QR‘𝐷) ∣ 1 < 𝑎} ((√‘(𝐷 + 1)) + (√‘𝐷)) ≤ 𝑏)
27 infmrgelbi 39353 . . 3 ((({𝑎 ∈ (Pell14QR‘𝐷) ∣ 1 < 𝑎} ⊆ ℝ ∧ {𝑎 ∈ (Pell14QR‘𝐷) ∣ 1 < 𝑎} ≠ ∅ ∧ ((√‘(𝐷 + 1)) + (√‘𝐷)) ∈ ℝ) ∧ ∀𝑏 ∈ {𝑎 ∈ (Pell14QR‘𝐷) ∣ 1 < 𝑎} ((√‘(𝐷 + 1)) + (√‘𝐷)) ≤ 𝑏) → ((√‘(𝐷 + 1)) + (√‘𝐷)) ≤ inf({𝑎 ∈ (Pell14QR‘𝐷) ∣ 1 < 𝑎}, ℝ, < ))
285, 11, 20, 26, 27syl31anc 1365 . 2 (𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) → ((√‘(𝐷 + 1)) + (√‘𝐷)) ≤ inf({𝑎 ∈ (Pell14QR‘𝐷) ∣ 1 < 𝑎}, ℝ, < ))
29 pellfundval 39355 . 2 (𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) → (PellFund‘𝐷) = inf({𝑎 ∈ (Pell14QR‘𝐷) ∣ 1 < 𝑎}, ℝ, < ))
3028, 29breqtrrd 5085 1 (𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) → ((√‘(𝐷 + 1)) + (√‘𝐷)) ≤ (PellFund‘𝐷))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 396  wcel 2105  wne 3013  wral 3135  wrex 3136  {crab 3139  cdif 3930  wss 3933  c0 4288   class class class wbr 5057  cfv 6348  (class class class)co 7145  infcinf 8893  cr 10524  1c1 10526   + caddc 10528   < clt 10663  cle 10664  cn 11626  csqrt 14580  NNcsquarenn 39311  Pell1QRcpell1qr 39312  Pell14QRcpell14qr 39314  PellFundcpellfund 39315
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1787  ax-4 1801  ax-5 1902  ax-6 1961  ax-7 2006  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2151  ax-12 2167  ax-ext 2790  ax-rep 5181  ax-sep 5194  ax-nul 5201  ax-pow 5257  ax-pr 5320  ax-un 7450  ax-inf2 9092  ax-cnex 10581  ax-resscn 10582  ax-1cn 10583  ax-icn 10584  ax-addcl 10585  ax-addrcl 10586  ax-mulcl 10587  ax-mulrcl 10588  ax-mulcom 10589  ax-addass 10590  ax-mulass 10591  ax-distr 10592  ax-i2m1 10593  ax-1ne0 10594  ax-1rid 10595  ax-rnegex 10596  ax-rrecex 10597  ax-cnre 10598  ax-pre-lttri 10599  ax-pre-lttrn 10600  ax-pre-ltadd 10601  ax-pre-mulgt0 10602  ax-pre-sup 10603
This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 842  df-3or 1080  df-3an 1081  df-tru 1531  df-ex 1772  df-nf 1776  df-sb 2061  df-mo 2615  df-eu 2647  df-clab 2797  df-cleq 2811  df-clel 2890  df-nfc 2960  df-ne 3014  df-nel 3121  df-ral 3140  df-rex 3141  df-reu 3142  df-rmo 3143  df-rab 3144  df-v 3494  df-sbc 3770  df-csb 3881  df-dif 3936  df-un 3938  df-in 3940  df-ss 3949  df-pss 3951  df-nul 4289  df-if 4464  df-pw 4537  df-sn 4558  df-pr 4560  df-tp 4562  df-op 4564  df-uni 4831  df-int 4868  df-iun 4912  df-br 5058  df-opab 5120  df-mpt 5138  df-tr 5164  df-id 5453  df-eprel 5458  df-po 5467  df-so 5468  df-fr 5507  df-se 5508  df-we 5509  df-xp 5554  df-rel 5555  df-cnv 5556  df-co 5557  df-dm 5558  df-rn 5559  df-res 5560  df-ima 5561  df-pred 6141  df-ord 6187  df-on 6188  df-lim 6189  df-suc 6190  df-iota 6307  df-fun 6350  df-fn 6351  df-f 6352  df-f1 6353  df-fo 6354  df-f1o 6355  df-fv 6356  df-isom 6357  df-riota 7103  df-ov 7148  df-oprab 7149  df-mpo 7150  df-om 7570  df-1st 7678  df-2nd 7679  df-wrecs 7936  df-recs 7997  df-rdg 8035  df-1o 8091  df-oadd 8095  df-omul 8096  df-er 8278  df-map 8397  df-en 8498  df-dom 8499  df-sdom 8500  df-fin 8501  df-sup 8894  df-inf 8895  df-oi 8962  df-card 9356  df-acn 9359  df-pnf 10665  df-mnf 10666  df-xr 10667  df-ltxr 10668  df-le 10669  df-sub 10860  df-neg 10861  df-div 11286  df-nn 11627  df-2 11688  df-3 11689  df-n0 11886  df-xnn0 11956  df-z 11970  df-uz 12232  df-q 12337  df-rp 12378  df-ico 12732  df-fz 12881  df-fl 13150  df-mod 13226  df-seq 13358  df-exp 13418  df-hash 13679  df-cj 14446  df-re 14447  df-im 14448  df-sqrt 14582  df-abs 14583  df-dvds 15596  df-gcd 15832  df-numer 16063  df-denom 16064  df-squarenn 39316  df-pell1qr 39317  df-pell14qr 39318  df-pell1234qr 39319  df-pellfund 39320
This theorem is referenced by:  pellfundgt1  39358  rmspecfund  39384
  Copyright terms: Public domain W3C validator