Users' Mathboxes Mathbox for Alexander van der Vekens < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  perfectALTVlem1 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem perfectALTVlem1 41955
Description: Lemma for perfectALTV 41957. (Contributed by Mario Carneiro, 7-Jun-2016.) (Revised by AV, 1-Jul-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
perfectALTVlem.1 (𝜑𝐴 ∈ ℕ)
perfectALTVlem.2 (𝜑𝐵 ∈ ℕ)
perfectALTVlem.3 (𝜑𝐵 ∈ Odd )
perfectALTVlem.4 (𝜑 → (1 σ ((2↑𝐴) · 𝐵)) = (2 · ((2↑𝐴) · 𝐵)))
Assertion
Ref Expression
perfectALTVlem1 (𝜑 → ((2↑(𝐴 + 1)) ∈ ℕ ∧ ((2↑(𝐴 + 1)) − 1) ∈ ℕ ∧ (𝐵 / ((2↑(𝐴 + 1)) − 1)) ∈ ℕ))

Proof of Theorem perfectALTVlem1
StepHypRef Expression
1 2nn 11223 . . 3 2 ∈ ℕ
2 perfectALTVlem.1 . . . . 5 (𝜑𝐴 ∈ ℕ)
32nnnn0d 11389 . . . 4 (𝜑𝐴 ∈ ℕ0)
4 peano2nn0 11371 . . . 4 (𝐴 ∈ ℕ0 → (𝐴 + 1) ∈ ℕ0)
53, 4syl 17 . . 3 (𝜑 → (𝐴 + 1) ∈ ℕ0)
6 nnexpcl 12913 . . 3 ((2 ∈ ℕ ∧ (𝐴 + 1) ∈ ℕ0) → (2↑(𝐴 + 1)) ∈ ℕ)
71, 5, 6sylancr 696 . 2 (𝜑 → (2↑(𝐴 + 1)) ∈ ℕ)
8 2re 11128 . . . . 5 2 ∈ ℝ
98a1i 11 . . . 4 (𝜑 → 2 ∈ ℝ)
102peano2nnd 11075 . . . 4 (𝜑 → (𝐴 + 1) ∈ ℕ)
11 1lt2 11232 . . . . 5 1 < 2
1211a1i 11 . . . 4 (𝜑 → 1 < 2)
13 expgt1 12938 . . . 4 ((2 ∈ ℝ ∧ (𝐴 + 1) ∈ ℕ ∧ 1 < 2) → 1 < (2↑(𝐴 + 1)))
149, 10, 12, 13syl3anc 1366 . . 3 (𝜑 → 1 < (2↑(𝐴 + 1)))
15 1nn 11069 . . . 4 1 ∈ ℕ
16 nnsub 11097 . . . 4 ((1 ∈ ℕ ∧ (2↑(𝐴 + 1)) ∈ ℕ) → (1 < (2↑(𝐴 + 1)) ↔ ((2↑(𝐴 + 1)) − 1) ∈ ℕ))
1715, 7, 16sylancr 696 . . 3 (𝜑 → (1 < (2↑(𝐴 + 1)) ↔ ((2↑(𝐴 + 1)) − 1) ∈ ℕ))
1814, 17mpbid 222 . 2 (𝜑 → ((2↑(𝐴 + 1)) − 1) ∈ ℕ)
197nnzd 11519 . . . . . . 7 (𝜑 → (2↑(𝐴 + 1)) ∈ ℤ)
20 peano2zm 11458 . . . . . . 7 ((2↑(𝐴 + 1)) ∈ ℤ → ((2↑(𝐴 + 1)) − 1) ∈ ℤ)
2119, 20syl 17 . . . . . 6 (𝜑 → ((2↑(𝐴 + 1)) − 1) ∈ ℤ)
22 1nn0 11346 . . . . . . . 8 1 ∈ ℕ0
23 perfectALTVlem.2 . . . . . . . 8 (𝜑𝐵 ∈ ℕ)
24 sgmnncl 24918 . . . . . . . 8 ((1 ∈ ℕ0𝐵 ∈ ℕ) → (1 σ 𝐵) ∈ ℕ)
2522, 23, 24sylancr 696 . . . . . . 7 (𝜑 → (1 σ 𝐵) ∈ ℕ)
2625nnzd 11519 . . . . . 6 (𝜑 → (1 σ 𝐵) ∈ ℤ)
27 dvdsmul1 15050 . . . . . 6 ((((2↑(𝐴 + 1)) − 1) ∈ ℤ ∧ (1 σ 𝐵) ∈ ℤ) → ((2↑(𝐴 + 1)) − 1) ∥ (((2↑(𝐴 + 1)) − 1) · (1 σ 𝐵)))
2821, 26, 27syl2anc 694 . . . . 5 (𝜑 → ((2↑(𝐴 + 1)) − 1) ∥ (((2↑(𝐴 + 1)) − 1) · (1 σ 𝐵)))
29 2cn 11129 . . . . . . . . 9 2 ∈ ℂ
30 expp1 12907 . . . . . . . . 9 ((2 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ∈ ℕ0) → (2↑(𝐴 + 1)) = ((2↑𝐴) · 2))
3129, 3, 30sylancr 696 . . . . . . . 8 (𝜑 → (2↑(𝐴 + 1)) = ((2↑𝐴) · 2))
32 nnexpcl 12913 . . . . . . . . . . 11 ((2 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ℕ0) → (2↑𝐴) ∈ ℕ)
331, 3, 32sylancr 696 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (2↑𝐴) ∈ ℕ)
3433nncnd 11074 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (2↑𝐴) ∈ ℂ)
35 mulcom 10060 . . . . . . . . 9 (((2↑𝐴) ∈ ℂ ∧ 2 ∈ ℂ) → ((2↑𝐴) · 2) = (2 · (2↑𝐴)))
3634, 29, 35sylancl 695 . . . . . . . 8 (𝜑 → ((2↑𝐴) · 2) = (2 · (2↑𝐴)))
3731, 36eqtrd 2685 . . . . . . 7 (𝜑 → (2↑(𝐴 + 1)) = (2 · (2↑𝐴)))
3837oveq1d 6705 . . . . . 6 (𝜑 → ((2↑(𝐴 + 1)) · 𝐵) = ((2 · (2↑𝐴)) · 𝐵))
3929a1i 11 . . . . . . 7 (𝜑 → 2 ∈ ℂ)
4023nncnd 11074 . . . . . . 7 (𝜑𝐵 ∈ ℂ)
4139, 34, 40mulassd 10101 . . . . . 6 (𝜑 → ((2 · (2↑𝐴)) · 𝐵) = (2 · ((2↑𝐴) · 𝐵)))
42 1cnd 10094 . . . . . . . 8 (𝜑 → 1 ∈ ℂ)
43 perfectALTVlem.3 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝐵 ∈ Odd )
44 isodd7 41902 . . . . . . . . . . 11 (𝐵 ∈ Odd ↔ (𝐵 ∈ ℤ ∧ (2 gcd 𝐵) = 1))
4544simprbi 479 . . . . . . . . . 10 (𝐵 ∈ Odd → (2 gcd 𝐵) = 1)
4643, 45syl 17 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (2 gcd 𝐵) = 1)
47 2z 11447 . . . . . . . . . . 11 2 ∈ ℤ
4847a1i 11 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → 2 ∈ ℤ)
4923nnzd 11519 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝐵 ∈ ℤ)
50 rpexp1i 15480 . . . . . . . . . 10 ((2 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ∈ ℕ0) → ((2 gcd 𝐵) = 1 → ((2↑𝐴) gcd 𝐵) = 1))
5148, 49, 3, 50syl3anc 1366 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ((2 gcd 𝐵) = 1 → ((2↑𝐴) gcd 𝐵) = 1))
5246, 51mpd 15 . . . . . . . 8 (𝜑 → ((2↑𝐴) gcd 𝐵) = 1)
53 sgmmul 24971 . . . . . . . 8 ((1 ∈ ℂ ∧ ((2↑𝐴) ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ ∧ ((2↑𝐴) gcd 𝐵) = 1)) → (1 σ ((2↑𝐴) · 𝐵)) = ((1 σ (2↑𝐴)) · (1 σ 𝐵)))
5442, 33, 23, 52, 53syl13anc 1368 . . . . . . 7 (𝜑 → (1 σ ((2↑𝐴) · 𝐵)) = ((1 σ (2↑𝐴)) · (1 σ 𝐵)))
55 perfectALTVlem.4 . . . . . . 7 (𝜑 → (1 σ ((2↑𝐴) · 𝐵)) = (2 · ((2↑𝐴) · 𝐵)))
562nncnd 11074 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑𝐴 ∈ ℂ)
57 pncan1 10492 . . . . . . . . . . . 12 (𝐴 ∈ ℂ → ((𝐴 + 1) − 1) = 𝐴)
5856, 57syl 17 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → ((𝐴 + 1) − 1) = 𝐴)
5958oveq2d 6706 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (2↑((𝐴 + 1) − 1)) = (2↑𝐴))
6059oveq2d 6706 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (1 σ (2↑((𝐴 + 1) − 1))) = (1 σ (2↑𝐴)))
61 1sgm2ppw 24970 . . . . . . . . . 10 ((𝐴 + 1) ∈ ℕ → (1 σ (2↑((𝐴 + 1) − 1))) = ((2↑(𝐴 + 1)) − 1))
6210, 61syl 17 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (1 σ (2↑((𝐴 + 1) − 1))) = ((2↑(𝐴 + 1)) − 1))
6360, 62eqtr3d 2687 . . . . . . . 8 (𝜑 → (1 σ (2↑𝐴)) = ((2↑(𝐴 + 1)) − 1))
6463oveq1d 6705 . . . . . . 7 (𝜑 → ((1 σ (2↑𝐴)) · (1 σ 𝐵)) = (((2↑(𝐴 + 1)) − 1) · (1 σ 𝐵)))
6554, 55, 643eqtr3d 2693 . . . . . 6 (𝜑 → (2 · ((2↑𝐴) · 𝐵)) = (((2↑(𝐴 + 1)) − 1) · (1 σ 𝐵)))
6638, 41, 653eqtrd 2689 . . . . 5 (𝜑 → ((2↑(𝐴 + 1)) · 𝐵) = (((2↑(𝐴 + 1)) − 1) · (1 σ 𝐵)))
6728, 66breqtrrd 4713 . . . 4 (𝜑 → ((2↑(𝐴 + 1)) − 1) ∥ ((2↑(𝐴 + 1)) · 𝐵))
68 gcdcom 15282 . . . . . 6 ((((2↑(𝐴 + 1)) − 1) ∈ ℤ ∧ (2↑(𝐴 + 1)) ∈ ℤ) → (((2↑(𝐴 + 1)) − 1) gcd (2↑(𝐴 + 1))) = ((2↑(𝐴 + 1)) gcd ((2↑(𝐴 + 1)) − 1)))
6921, 19, 68syl2anc 694 . . . . 5 (𝜑 → (((2↑(𝐴 + 1)) − 1) gcd (2↑(𝐴 + 1))) = ((2↑(𝐴 + 1)) gcd ((2↑(𝐴 + 1)) − 1)))
70 nnpw2evenALTV 41936 . . . . . . . . 9 ((𝐴 + 1) ∈ ℕ → (2↑(𝐴 + 1)) ∈ Even )
7110, 70syl 17 . . . . . . . 8 (𝜑 → (2↑(𝐴 + 1)) ∈ Even )
72 evenm1odd 41877 . . . . . . . 8 ((2↑(𝐴 + 1)) ∈ Even → ((2↑(𝐴 + 1)) − 1) ∈ Odd )
7371, 72syl 17 . . . . . . 7 (𝜑 → ((2↑(𝐴 + 1)) − 1) ∈ Odd )
74 isodd7 41902 . . . . . . . 8 (((2↑(𝐴 + 1)) − 1) ∈ Odd ↔ (((2↑(𝐴 + 1)) − 1) ∈ ℤ ∧ (2 gcd ((2↑(𝐴 + 1)) − 1)) = 1))
7574simprbi 479 . . . . . . 7 (((2↑(𝐴 + 1)) − 1) ∈ Odd → (2 gcd ((2↑(𝐴 + 1)) − 1)) = 1)
7673, 75syl 17 . . . . . 6 (𝜑 → (2 gcd ((2↑(𝐴 + 1)) − 1)) = 1)
77 rpexp1i 15480 . . . . . . 7 ((2 ∈ ℤ ∧ ((2↑(𝐴 + 1)) − 1) ∈ ℤ ∧ (𝐴 + 1) ∈ ℕ0) → ((2 gcd ((2↑(𝐴 + 1)) − 1)) = 1 → ((2↑(𝐴 + 1)) gcd ((2↑(𝐴 + 1)) − 1)) = 1))
7848, 21, 5, 77syl3anc 1366 . . . . . 6 (𝜑 → ((2 gcd ((2↑(𝐴 + 1)) − 1)) = 1 → ((2↑(𝐴 + 1)) gcd ((2↑(𝐴 + 1)) − 1)) = 1))
7976, 78mpd 15 . . . . 5 (𝜑 → ((2↑(𝐴 + 1)) gcd ((2↑(𝐴 + 1)) − 1)) = 1)
8069, 79eqtrd 2685 . . . 4 (𝜑 → (((2↑(𝐴 + 1)) − 1) gcd (2↑(𝐴 + 1))) = 1)
81 coprmdvds 15413 . . . . 5 ((((2↑(𝐴 + 1)) − 1) ∈ ℤ ∧ (2↑(𝐴 + 1)) ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → ((((2↑(𝐴 + 1)) − 1) ∥ ((2↑(𝐴 + 1)) · 𝐵) ∧ (((2↑(𝐴 + 1)) − 1) gcd (2↑(𝐴 + 1))) = 1) → ((2↑(𝐴 + 1)) − 1) ∥ 𝐵))
8221, 19, 49, 81syl3anc 1366 . . . 4 (𝜑 → ((((2↑(𝐴 + 1)) − 1) ∥ ((2↑(𝐴 + 1)) · 𝐵) ∧ (((2↑(𝐴 + 1)) − 1) gcd (2↑(𝐴 + 1))) = 1) → ((2↑(𝐴 + 1)) − 1) ∥ 𝐵))
8367, 80, 82mp2and 715 . . 3 (𝜑 → ((2↑(𝐴 + 1)) − 1) ∥ 𝐵)
84 nndivdvds 15036 . . . 4 ((𝐵 ∈ ℕ ∧ ((2↑(𝐴 + 1)) − 1) ∈ ℕ) → (((2↑(𝐴 + 1)) − 1) ∥ 𝐵 ↔ (𝐵 / ((2↑(𝐴 + 1)) − 1)) ∈ ℕ))
8523, 18, 84syl2anc 694 . . 3 (𝜑 → (((2↑(𝐴 + 1)) − 1) ∥ 𝐵 ↔ (𝐵 / ((2↑(𝐴 + 1)) − 1)) ∈ ℕ))
8683, 85mpbid 222 . 2 (𝜑 → (𝐵 / ((2↑(𝐴 + 1)) − 1)) ∈ ℕ)
877, 18, 863jca 1261 1 (𝜑 → ((2↑(𝐴 + 1)) ∈ ℕ ∧ ((2↑(𝐴 + 1)) − 1) ∈ ℕ ∧ (𝐵 / ((2↑(𝐴 + 1)) − 1)) ∈ ℕ))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 196  wa 383  w3a 1054   = wceq 1523  wcel 2030   class class class wbr 4685  (class class class)co 6690  cc 9972  cr 9973  1c1 9975   + caddc 9977   · cmul 9979   < clt 10112  cmin 10304   / cdiv 10722  cn 11058  2c2 11108  0cn0 11330  cz 11415  cexp 12900  cdvds 15027   gcd cgcd 15263   σ csgm 24867   Even ceven 41862   Odd codd 41863
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1762  ax-4 1777  ax-5 1879  ax-6 1945  ax-7 1981  ax-8 2032  ax-9 2039  ax-10 2059  ax-11 2074  ax-12 2087  ax-13 2282  ax-ext 2631  ax-rep 4804  ax-sep 4814  ax-nul 4822  ax-pow 4873  ax-pr 4936  ax-un 6991  ax-inf2 8576  ax-cnex 10030  ax-resscn 10031  ax-1cn 10032  ax-icn 10033  ax-addcl 10034  ax-addrcl 10035  ax-mulcl 10036  ax-mulrcl 10037  ax-mulcom 10038  ax-addass 10039  ax-mulass 10040  ax-distr 10041  ax-i2m1 10042  ax-1ne0 10043  ax-1rid 10044  ax-rnegex 10045  ax-rrecex 10046  ax-cnre 10047  ax-pre-lttri 10048  ax-pre-lttrn 10049  ax-pre-ltadd 10050  ax-pre-mulgt0 10051  ax-pre-sup 10052  ax-addf 10053  ax-mulf 10054
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1055  df-3an 1056  df-tru 1526  df-fal 1529  df-ex 1745  df-nf 1750  df-sb 1938  df-eu 2502  df-mo 2503  df-clab 2638  df-cleq 2644  df-clel 2647  df-nfc 2782  df-ne 2824  df-nel 2927  df-ral 2946  df-rex 2947  df-reu 2948  df-rmo 2949  df-rab 2950  df-v 3233  df-sbc 3469  df-csb 3567  df-dif 3610  df-un 3612  df-in 3614  df-ss 3621  df-pss 3623  df-nul 3949  df-if 4120  df-pw 4193  df-sn 4211  df-pr 4213  df-tp 4215  df-op 4217  df-uni 4469  df-int 4508  df-iun 4554  df-iin 4555  df-br 4686  df-opab 4746  df-mpt 4763  df-tr 4786  df-id 5053  df-eprel 5058  df-po 5064  df-so 5065  df-fr 5102  df-se 5103  df-we 5104  df-xp 5149  df-rel 5150  df-cnv 5151  df-co 5152  df-dm 5153  df-rn 5154  df-res 5155  df-ima 5156  df-pred 5718  df-ord 5764  df-on 5765  df-lim 5766  df-suc 5767  df-iota 5889  df-fun 5928  df-fn 5929  df-f 5930  df-f1 5931  df-fo 5932  df-f1o 5933  df-fv 5934  df-isom 5935  df-riota 6651  df-ov 6693  df-oprab 6694  df-mpt2 6695  df-of 6939  df-om 7108  df-1st 7210  df-2nd 7211  df-supp 7341  df-wrecs 7452  df-recs 7513  df-rdg 7551  df-1o 7605  df-2o 7606  df-oadd 7609  df-er 7787  df-map 7901  df-pm 7902  df-ixp 7951  df-en 7998  df-dom 7999  df-sdom 8000  df-fin 8001  df-fsupp 8317  df-fi 8358  df-sup 8389  df-inf 8390  df-oi 8456  df-card 8803  df-cda 9028  df-pnf 10114  df-mnf 10115  df-xr 10116  df-ltxr 10117  df-le 10118  df-sub 10306  df-neg 10307  df-div 10723  df-nn 11059  df-2 11117  df-3 11118  df-4 11119  df-5 11120  df-6 11121  df-7 11122  df-8 11123  df-9 11124  df-n0 11331  df-z 11416  df-dec 11532  df-uz 11726  df-q 11827  df-rp 11871  df-xneg 11984  df-xadd 11985  df-xmul 11986  df-ioo 12217  df-ioc 12218  df-ico 12219  df-icc 12220  df-fz 12365  df-fzo 12505  df-fl 12633  df-mod 12709  df-seq 12842  df-exp 12901  df-fac 13101  df-bc 13130  df-hash 13158  df-shft 13851  df-cj 13883  df-re 13884  df-im 13885  df-sqrt 14019  df-abs 14020  df-limsup 14246  df-clim 14263  df-rlim 14264  df-sum 14461  df-ef 14842  df-sin 14844  df-cos 14845  df-pi 14847  df-dvds 15028  df-gcd 15264  df-prm 15433  df-pc 15589  df-struct 15906  df-ndx 15907  df-slot 15908  df-base 15910  df-sets 15911  df-ress 15912  df-plusg 16001  df-mulr 16002  df-starv 16003  df-sca 16004  df-vsca 16005  df-ip 16006  df-tset 16007  df-ple 16008  df-ds 16011  df-unif 16012  df-hom 16013  df-cco 16014  df-rest 16130  df-topn 16131  df-0g 16149  df-gsum 16150  df-topgen 16151  df-pt 16152  df-prds 16155  df-xrs 16209  df-qtop 16214  df-imas 16215  df-xps 16217  df-mre 16293  df-mrc 16294  df-acs 16296  df-mgm 17289  df-sgrp 17331  df-mnd 17342  df-submnd 17383  df-mulg 17588  df-cntz 17796  df-cmn 18241  df-psmet 19786  df-xmet 19787  df-met 19788  df-bl 19789  df-mopn 19790  df-fbas 19791  df-fg 19792  df-cnfld 19795  df-top 20747  df-topon 20764  df-topsp 20785  df-bases 20798  df-cld 20871  df-ntr 20872  df-cls 20873  df-nei 20950  df-lp 20988  df-perf 20989  df-cn 21079  df-cnp 21080  df-haus 21167  df-tx 21413  df-hmeo 21606  df-fil 21697  df-fm 21789  df-flim 21790  df-flf 21791  df-xms 22172  df-ms 22173  df-tms 22174  df-cncf 22728  df-limc 23675  df-dv 23676  df-log 24348  df-cxp 24349  df-sgm 24873  df-even 41864  df-odd 41865
This theorem is referenced by:  perfectALTVlem2  41956
  Copyright terms: Public domain W3C validator