Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  perfopn Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem perfopn 20899
 Description: An open subset of a perfect space is perfect. (Contributed by Mario Carneiro, 25-Dec-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
restcls.1 𝑋 = 𝐽
restcls.2 𝐾 = (𝐽t 𝑌)
Assertion
Ref Expression
perfopn ((𝐽 ∈ Perf ∧ 𝑌𝐽) → 𝐾 ∈ Perf)

Proof of Theorem perfopn
Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 restcls.2 . . . 4 𝐾 = (𝐽t 𝑌)
2 perftop 20870 . . . . . . 7 (𝐽 ∈ Perf → 𝐽 ∈ Top)
32adantr 481 . . . . . 6 ((𝐽 ∈ Perf ∧ 𝑌𝐽) → 𝐽 ∈ Top)
4 restcls.1 . . . . . . 7 𝑋 = 𝐽
54toptopon 20648 . . . . . 6 (𝐽 ∈ Top ↔ 𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋))
63, 5sylib 208 . . . . 5 ((𝐽 ∈ Perf ∧ 𝑌𝐽) → 𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋))
7 elssuni 4433 . . . . . . 7 (𝑌𝐽𝑌 𝐽)
87adantl 482 . . . . . 6 ((𝐽 ∈ Perf ∧ 𝑌𝐽) → 𝑌 𝐽)
98, 4syl6sseqr 3631 . . . . 5 ((𝐽 ∈ Perf ∧ 𝑌𝐽) → 𝑌𝑋)
10 resttopon 20875 . . . . 5 ((𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋) ∧ 𝑌𝑋) → (𝐽t 𝑌) ∈ (TopOn‘𝑌))
116, 9, 10syl2anc 692 . . . 4 ((𝐽 ∈ Perf ∧ 𝑌𝐽) → (𝐽t 𝑌) ∈ (TopOn‘𝑌))
121, 11syl5eqel 2702 . . 3 ((𝐽 ∈ Perf ∧ 𝑌𝐽) → 𝐾 ∈ (TopOn‘𝑌))
13 topontop 20641 . . 3 (𝐾 ∈ (TopOn‘𝑌) → 𝐾 ∈ Top)
1412, 13syl 17 . 2 ((𝐽 ∈ Perf ∧ 𝑌𝐽) → 𝐾 ∈ Top)
159sselda 3583 . . . . . 6 (((𝐽 ∈ Perf ∧ 𝑌𝐽) ∧ 𝑥𝑌) → 𝑥𝑋)
164perfi 20869 . . . . . . 7 ((𝐽 ∈ Perf ∧ 𝑥𝑋) → ¬ {𝑥} ∈ 𝐽)
1716adantlr 750 . . . . . 6 (((𝐽 ∈ Perf ∧ 𝑌𝐽) ∧ 𝑥𝑋) → ¬ {𝑥} ∈ 𝐽)
1815, 17syldan 487 . . . . 5 (((𝐽 ∈ Perf ∧ 𝑌𝐽) ∧ 𝑥𝑌) → ¬ {𝑥} ∈ 𝐽)
191eleq2i 2690 . . . . . 6 ({𝑥} ∈ 𝐾 ↔ {𝑥} ∈ (𝐽t 𝑌))
20 restopn2 20891 . . . . . . . . 9 ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝑌𝐽) → ({𝑥} ∈ (𝐽t 𝑌) ↔ ({𝑥} ∈ 𝐽 ∧ {𝑥} ⊆ 𝑌)))
212, 20sylan 488 . . . . . . . 8 ((𝐽 ∈ Perf ∧ 𝑌𝐽) → ({𝑥} ∈ (𝐽t 𝑌) ↔ ({𝑥} ∈ 𝐽 ∧ {𝑥} ⊆ 𝑌)))
2221adantr 481 . . . . . . 7 (((𝐽 ∈ Perf ∧ 𝑌𝐽) ∧ 𝑥𝑌) → ({𝑥} ∈ (𝐽t 𝑌) ↔ ({𝑥} ∈ 𝐽 ∧ {𝑥} ⊆ 𝑌)))
23 simpl 473 . . . . . . 7 (({𝑥} ∈ 𝐽 ∧ {𝑥} ⊆ 𝑌) → {𝑥} ∈ 𝐽)
2422, 23syl6bi 243 . . . . . 6 (((𝐽 ∈ Perf ∧ 𝑌𝐽) ∧ 𝑥𝑌) → ({𝑥} ∈ (𝐽t 𝑌) → {𝑥} ∈ 𝐽))
2519, 24syl5bi 232 . . . . 5 (((𝐽 ∈ Perf ∧ 𝑌𝐽) ∧ 𝑥𝑌) → ({𝑥} ∈ 𝐾 → {𝑥} ∈ 𝐽))
2618, 25mtod 189 . . . 4 (((𝐽 ∈ Perf ∧ 𝑌𝐽) ∧ 𝑥𝑌) → ¬ {𝑥} ∈ 𝐾)
2726ralrimiva 2960 . . 3 ((𝐽 ∈ Perf ∧ 𝑌𝐽) → ∀𝑥𝑌 ¬ {𝑥} ∈ 𝐾)
28 toponuni 20642 . . . . 5 (𝐾 ∈ (TopOn‘𝑌) → 𝑌 = 𝐾)
2912, 28syl 17 . . . 4 ((𝐽 ∈ Perf ∧ 𝑌𝐽) → 𝑌 = 𝐾)
3029raleqdv 3133 . . 3 ((𝐽 ∈ Perf ∧ 𝑌𝐽) → (∀𝑥𝑌 ¬ {𝑥} ∈ 𝐾 ↔ ∀𝑥 𝐾 ¬ {𝑥} ∈ 𝐾))
3127, 30mpbid 222 . 2 ((𝐽 ∈ Perf ∧ 𝑌𝐽) → ∀𝑥 𝐾 ¬ {𝑥} ∈ 𝐾)
32 eqid 2621 . . 3 𝐾 = 𝐾
3332isperf3 20867 . 2 (𝐾 ∈ Perf ↔ (𝐾 ∈ Top ∧ ∀𝑥 𝐾 ¬ {𝑥} ∈ 𝐾))
3414, 31, 33sylanbrc 697 1 ((𝐽 ∈ Perf ∧ 𝑌𝐽) → 𝐾 ∈ Perf)
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 196   ∧ wa 384   = wceq 1480   ∈ wcel 1987  ∀wral 2907   ⊆ wss 3555  {csn 4148  ∪ cuni 4402  ‘cfv 5847  (class class class)co 6604   ↾t crest 16002  Topctop 20617  TopOnctopon 20618  Perfcperf 20849 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1719  ax-4 1734  ax-5 1836  ax-6 1885  ax-7 1932  ax-8 1989  ax-9 1996  ax-10 2016  ax-11 2031  ax-12 2044  ax-13 2245  ax-ext 2601  ax-rep 4731  ax-sep 4741  ax-nul 4749  ax-pow 4803  ax-pr 4867  ax-un 6902 This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1037  df-3an 1038  df-tru 1483  df-ex 1702  df-nf 1707  df-sb 1878  df-eu 2473  df-mo 2474  df-clab 2608  df-cleq 2614  df-clel 2617  df-nfc 2750  df-ne 2791  df-ral 2912  df-rex 2913  df-reu 2914  df-rab 2916  df-v 3188  df-sbc 3418  df-csb 3515  df-dif 3558  df-un 3560  df-in 3562  df-ss 3569  df-pss 3571  df-nul 3892  df-if 4059  df-pw 4132  df-sn 4149  df-pr 4151  df-tp 4153  df-op 4155  df-uni 4403  df-int 4441  df-iun 4487  df-iin 4488  df-br 4614  df-opab 4674  df-mpt 4675  df-tr 4713  df-eprel 4985  df-id 4989  df-po 4995  df-so 4996  df-fr 5033  df-we 5035  df-xp 5080  df-rel 5081  df-cnv 5082  df-co 5083  df-dm 5084  df-rn 5085  df-res 5086  df-ima 5087  df-pred 5639  df-ord 5685  df-on 5686  df-lim 5687  df-suc 5688  df-iota 5810  df-fun 5849  df-fn 5850  df-f 5851  df-f1 5852  df-fo 5853  df-f1o 5854  df-fv 5855  df-ov 6607  df-oprab 6608  df-mpt2 6609  df-om 7013  df-1st 7113  df-2nd 7114  df-wrecs 7352  df-recs 7413  df-rdg 7451  df-oadd 7509  df-er 7687  df-en 7900  df-fin 7903  df-fi 8261  df-rest 16004  df-topgen 16025  df-top 20621  df-bases 20622  df-topon 20623  df-cld 20733  df-ntr 20734  df-cls 20735  df-lp 20850  df-perf 20851 This theorem is referenced by:  perfdvf  23573
 Copyright terms: Public domain W3C validator