MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  perpneq Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem perpneq 25327
Description: Two perpendicular lines are different. Theorem 8.14 of [Schwabhauser] p. 59. (Contributed by Thierry Arnoux, 18-Oct-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
isperp.p 𝑃 = (Base‘𝐺)
isperp.d = (dist‘𝐺)
isperp.i 𝐼 = (Itv‘𝐺)
isperp.l 𝐿 = (LineG‘𝐺)
isperp.g (𝜑𝐺 ∈ TarskiG)
isperp.a (𝜑𝐴 ∈ ran 𝐿)
isperp.b (𝜑𝐵 ∈ ran 𝐿)
perpcom.1 (𝜑𝐴(⟂G‘𝐺)𝐵)
Assertion
Ref Expression
perpneq (𝜑𝐴𝐵)

Proof of Theorem perpneq
Dummy variables 𝑢 𝑣 𝑥 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 isperp.p . . . . . . 7 𝑃 = (Base‘𝐺)
2 isperp.i . . . . . . 7 𝐼 = (Itv‘𝐺)
3 isperp.l . . . . . . 7 𝐿 = (LineG‘𝐺)
4 isperp.g . . . . . . . . 9 (𝜑𝐺 ∈ TarskiG)
54adantr 479 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐴𝐵)) → 𝐺 ∈ TarskiG)
65ad5antr 765 . . . . . . 7 (((((((𝜑𝑥 ∈ (𝐴𝐵)) ∧ ∀𝑦𝐴𝑧𝐵 ⟨“𝑦𝑥𝑧”⟩ ∈ (∟G‘𝐺)) ∧ 𝑢𝐴) ∧ 𝑥𝑢) ∧ 𝑣𝐵) ∧ 𝑥𝑣) → 𝐺 ∈ TarskiG)
74ad5antr 765 . . . . . . . . 9 ((((((𝜑𝑥 ∈ (𝐴𝐵)) ∧ 𝑢𝐴) ∧ 𝑥𝑢) ∧ 𝑣𝐵) ∧ 𝑥𝑣) → 𝐺 ∈ TarskiG)
8 isperp.a . . . . . . . . . 10 (𝜑𝐴 ∈ ran 𝐿)
98ad5antr 765 . . . . . . . . 9 ((((((𝜑𝑥 ∈ (𝐴𝐵)) ∧ 𝑢𝐴) ∧ 𝑥𝑢) ∧ 𝑣𝐵) ∧ 𝑥𝑣) → 𝐴 ∈ ran 𝐿)
10 inss1 3794 . . . . . . . . . . 11 (𝐴𝐵) ⊆ 𝐴
11 simpr 475 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐴𝐵)) → 𝑥 ∈ (𝐴𝐵))
1210, 11sseldi 3565 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐴𝐵)) → 𝑥𝐴)
1312ad4antr 763 . . . . . . . . 9 ((((((𝜑𝑥 ∈ (𝐴𝐵)) ∧ 𝑢𝐴) ∧ 𝑥𝑢) ∧ 𝑣𝐵) ∧ 𝑥𝑣) → 𝑥𝐴)
141, 3, 2, 7, 9, 13tglnpt 25162 . . . . . . . 8 ((((((𝜑𝑥 ∈ (𝐴𝐵)) ∧ 𝑢𝐴) ∧ 𝑥𝑢) ∧ 𝑣𝐵) ∧ 𝑥𝑣) → 𝑥𝑃)
1514adantl4r 782 . . . . . . 7 (((((((𝜑𝑥 ∈ (𝐴𝐵)) ∧ ∀𝑦𝐴𝑧𝐵 ⟨“𝑦𝑥𝑧”⟩ ∈ (∟G‘𝐺)) ∧ 𝑢𝐴) ∧ 𝑥𝑢) ∧ 𝑣𝐵) ∧ 𝑥𝑣) → 𝑥𝑃)
16 isperp.b . . . . . . . . . 10 (𝜑𝐵 ∈ ran 𝐿)
1716ad5antr 765 . . . . . . . . 9 ((((((𝜑𝑥 ∈ (𝐴𝐵)) ∧ 𝑢𝐴) ∧ 𝑥𝑢) ∧ 𝑣𝐵) ∧ 𝑥𝑣) → 𝐵 ∈ ran 𝐿)
18 simplr 787 . . . . . . . . 9 ((((((𝜑𝑥 ∈ (𝐴𝐵)) ∧ 𝑢𝐴) ∧ 𝑥𝑢) ∧ 𝑣𝐵) ∧ 𝑥𝑣) → 𝑣𝐵)
191, 3, 2, 7, 17, 18tglnpt 25162 . . . . . . . 8 ((((((𝜑𝑥 ∈ (𝐴𝐵)) ∧ 𝑢𝐴) ∧ 𝑥𝑢) ∧ 𝑣𝐵) ∧ 𝑥𝑣) → 𝑣𝑃)
2019adantl4r 782 . . . . . . 7 (((((((𝜑𝑥 ∈ (𝐴𝐵)) ∧ ∀𝑦𝐴𝑧𝐵 ⟨“𝑦𝑥𝑧”⟩ ∈ (∟G‘𝐺)) ∧ 𝑢𝐴) ∧ 𝑥𝑢) ∧ 𝑣𝐵) ∧ 𝑥𝑣) → 𝑣𝑃)
21 simp-4r 802 . . . . . . . . 9 ((((((𝜑𝑥 ∈ (𝐴𝐵)) ∧ 𝑢𝐴) ∧ 𝑥𝑢) ∧ 𝑣𝐵) ∧ 𝑥𝑣) → 𝑢𝐴)
221, 3, 2, 7, 9, 21tglnpt 25162 . . . . . . . 8 ((((((𝜑𝑥 ∈ (𝐴𝐵)) ∧ 𝑢𝐴) ∧ 𝑥𝑢) ∧ 𝑣𝐵) ∧ 𝑥𝑣) → 𝑢𝑃)
2322adantl4r 782 . . . . . . 7 (((((((𝜑𝑥 ∈ (𝐴𝐵)) ∧ ∀𝑦𝐴𝑧𝐵 ⟨“𝑦𝑥𝑧”⟩ ∈ (∟G‘𝐺)) ∧ 𝑢𝐴) ∧ 𝑥𝑢) ∧ 𝑣𝐵) ∧ 𝑥𝑣) → 𝑢𝑃)
24 isperp.d . . . . . . . . 9 = (dist‘𝐺)
25 eqid 2609 . . . . . . . . 9 (pInvG‘𝐺) = (pInvG‘𝐺)
26 simp-4r 802 . . . . . . . . . 10 (((((((𝜑𝑥 ∈ (𝐴𝐵)) ∧ ∀𝑦𝐴𝑧𝐵 ⟨“𝑦𝑥𝑧”⟩ ∈ (∟G‘𝐺)) ∧ 𝑢𝐴) ∧ 𝑥𝑢) ∧ 𝑣𝐵) ∧ 𝑥𝑣) → 𝑢𝐴)
27 simplr 787 . . . . . . . . . 10 (((((((𝜑𝑥 ∈ (𝐴𝐵)) ∧ ∀𝑦𝐴𝑧𝐵 ⟨“𝑦𝑥𝑧”⟩ ∈ (∟G‘𝐺)) ∧ 𝑢𝐴) ∧ 𝑥𝑢) ∧ 𝑣𝐵) ∧ 𝑥𝑣) → 𝑣𝐵)
28 simp-5r 804 . . . . . . . . . 10 (((((((𝜑𝑥 ∈ (𝐴𝐵)) ∧ ∀𝑦𝐴𝑧𝐵 ⟨“𝑦𝑥𝑧”⟩ ∈ (∟G‘𝐺)) ∧ 𝑢𝐴) ∧ 𝑥𝑢) ∧ 𝑣𝐵) ∧ 𝑥𝑣) → ∀𝑦𝐴𝑧𝐵 ⟨“𝑦𝑥𝑧”⟩ ∈ (∟G‘𝐺))
29 id 22 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑦 = 𝑢𝑦 = 𝑢)
30 eqidd 2610 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑦 = 𝑢𝑥 = 𝑥)
31 eqidd 2610 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑦 = 𝑢𝑧 = 𝑧)
3229, 30, 31s3eqd 13406 . . . . . . . . . . . 12 (𝑦 = 𝑢 → ⟨“𝑦𝑥𝑧”⟩ = ⟨“𝑢𝑥𝑧”⟩)
3332eleq1d 2671 . . . . . . . . . . 11 (𝑦 = 𝑢 → (⟨“𝑦𝑥𝑧”⟩ ∈ (∟G‘𝐺) ↔ ⟨“𝑢𝑥𝑧”⟩ ∈ (∟G‘𝐺)))
34 eqidd 2610 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑧 = 𝑣𝑢 = 𝑢)
35 eqidd 2610 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑧 = 𝑣𝑥 = 𝑥)
36 id 22 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑧 = 𝑣𝑧 = 𝑣)
3734, 35, 36s3eqd 13406 . . . . . . . . . . . 12 (𝑧 = 𝑣 → ⟨“𝑢𝑥𝑧”⟩ = ⟨“𝑢𝑥𝑣”⟩)
3837eleq1d 2671 . . . . . . . . . . 11 (𝑧 = 𝑣 → (⟨“𝑢𝑥𝑧”⟩ ∈ (∟G‘𝐺) ↔ ⟨“𝑢𝑥𝑣”⟩ ∈ (∟G‘𝐺)))
3933, 38rspc2va 3293 . . . . . . . . . 10 (((𝑢𝐴𝑣𝐵) ∧ ∀𝑦𝐴𝑧𝐵 ⟨“𝑦𝑥𝑧”⟩ ∈ (∟G‘𝐺)) → ⟨“𝑢𝑥𝑣”⟩ ∈ (∟G‘𝐺))
4026, 27, 28, 39syl21anc 1316 . . . . . . . . 9 (((((((𝜑𝑥 ∈ (𝐴𝐵)) ∧ ∀𝑦𝐴𝑧𝐵 ⟨“𝑦𝑥𝑧”⟩ ∈ (∟G‘𝐺)) ∧ 𝑢𝐴) ∧ 𝑥𝑢) ∧ 𝑣𝐵) ∧ 𝑥𝑣) → ⟨“𝑢𝑥𝑣”⟩ ∈ (∟G‘𝐺))
41 simpllr 794 . . . . . . . . . . 11 ((((((𝜑𝑥 ∈ (𝐴𝐵)) ∧ 𝑢𝐴) ∧ 𝑥𝑢) ∧ 𝑣𝐵) ∧ 𝑥𝑣) → 𝑥𝑢)
4241necomd 2836 . . . . . . . . . 10 ((((((𝜑𝑥 ∈ (𝐴𝐵)) ∧ 𝑢𝐴) ∧ 𝑥𝑢) ∧ 𝑣𝐵) ∧ 𝑥𝑣) → 𝑢𝑥)
4342adantl4r 782 . . . . . . . . 9 (((((((𝜑𝑥 ∈ (𝐴𝐵)) ∧ ∀𝑦𝐴𝑧𝐵 ⟨“𝑦𝑥𝑧”⟩ ∈ (∟G‘𝐺)) ∧ 𝑢𝐴) ∧ 𝑥𝑢) ∧ 𝑣𝐵) ∧ 𝑥𝑣) → 𝑢𝑥)
44 simpr 475 . . . . . . . . . . 11 ((((((𝜑𝑥 ∈ (𝐴𝐵)) ∧ 𝑢𝐴) ∧ 𝑥𝑢) ∧ 𝑣𝐵) ∧ 𝑥𝑣) → 𝑥𝑣)
4544necomd 2836 . . . . . . . . . 10 ((((((𝜑𝑥 ∈ (𝐴𝐵)) ∧ 𝑢𝐴) ∧ 𝑥𝑢) ∧ 𝑣𝐵) ∧ 𝑥𝑣) → 𝑣𝑥)
4645adantl4r 782 . . . . . . . . 9 (((((((𝜑𝑥 ∈ (𝐴𝐵)) ∧ ∀𝑦𝐴𝑧𝐵 ⟨“𝑦𝑥𝑧”⟩ ∈ (∟G‘𝐺)) ∧ 𝑢𝐴) ∧ 𝑥𝑢) ∧ 𝑣𝐵) ∧ 𝑥𝑣) → 𝑣𝑥)
471, 24, 2, 3, 25, 6, 23, 15, 20, 40, 43, 46ragncol 25322 . . . . . . . 8 (((((((𝜑𝑥 ∈ (𝐴𝐵)) ∧ ∀𝑦𝐴𝑧𝐵 ⟨“𝑦𝑥𝑧”⟩ ∈ (∟G‘𝐺)) ∧ 𝑢𝐴) ∧ 𝑥𝑢) ∧ 𝑣𝐵) ∧ 𝑥𝑣) → ¬ (𝑣 ∈ (𝑢𝐿𝑥) ∨ 𝑢 = 𝑥))
481, 3, 2, 6, 23, 15, 20, 47ncolrot2 25176 . . . . . . 7 (((((((𝜑𝑥 ∈ (𝐴𝐵)) ∧ ∀𝑦𝐴𝑧𝐵 ⟨“𝑦𝑥𝑧”⟩ ∈ (∟G‘𝐺)) ∧ 𝑢𝐴) ∧ 𝑥𝑢) ∧ 𝑣𝐵) ∧ 𝑥𝑣) → ¬ (𝑥 ∈ (𝑣𝐿𝑢) ∨ 𝑣 = 𝑢))
491, 2, 3, 6, 15, 20, 23, 15, 48tglineneq 25257 . . . . . 6 (((((((𝜑𝑥 ∈ (𝐴𝐵)) ∧ ∀𝑦𝐴𝑧𝐵 ⟨“𝑦𝑥𝑧”⟩ ∈ (∟G‘𝐺)) ∧ 𝑢𝐴) ∧ 𝑥𝑢) ∧ 𝑣𝐵) ∧ 𝑥𝑣) → (𝑥𝐿𝑣) ≠ (𝑢𝐿𝑥))
5049necomd 2836 . . . . 5 (((((((𝜑𝑥 ∈ (𝐴𝐵)) ∧ ∀𝑦𝐴𝑧𝐵 ⟨“𝑦𝑥𝑧”⟩ ∈ (∟G‘𝐺)) ∧ 𝑢𝐴) ∧ 𝑥𝑢) ∧ 𝑣𝐵) ∧ 𝑥𝑣) → (𝑢𝐿𝑥) ≠ (𝑥𝐿𝑣))
511, 2, 3, 7, 22, 14, 42, 42, 9, 21, 13tglinethru 25249 . . . . . 6 ((((((𝜑𝑥 ∈ (𝐴𝐵)) ∧ 𝑢𝐴) ∧ 𝑥𝑢) ∧ 𝑣𝐵) ∧ 𝑥𝑣) → 𝐴 = (𝑢𝐿𝑥))
5251adantl4r 782 . . . . 5 (((((((𝜑𝑥 ∈ (𝐴𝐵)) ∧ ∀𝑦𝐴𝑧𝐵 ⟨“𝑦𝑥𝑧”⟩ ∈ (∟G‘𝐺)) ∧ 𝑢𝐴) ∧ 𝑥𝑢) ∧ 𝑣𝐵) ∧ 𝑥𝑣) → 𝐴 = (𝑢𝐿𝑥))
53 inss2 3795 . . . . . . . . 9 (𝐴𝐵) ⊆ 𝐵
5453, 11sseldi 3565 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐴𝐵)) → 𝑥𝐵)
5554ad4antr 763 . . . . . . 7 ((((((𝜑𝑥 ∈ (𝐴𝐵)) ∧ 𝑢𝐴) ∧ 𝑥𝑢) ∧ 𝑣𝐵) ∧ 𝑥𝑣) → 𝑥𝐵)
561, 2, 3, 7, 14, 19, 44, 44, 17, 55, 18tglinethru 25249 . . . . . 6 ((((((𝜑𝑥 ∈ (𝐴𝐵)) ∧ 𝑢𝐴) ∧ 𝑥𝑢) ∧ 𝑣𝐵) ∧ 𝑥𝑣) → 𝐵 = (𝑥𝐿𝑣))
5756adantl4r 782 . . . . 5 (((((((𝜑𝑥 ∈ (𝐴𝐵)) ∧ ∀𝑦𝐴𝑧𝐵 ⟨“𝑦𝑥𝑧”⟩ ∈ (∟G‘𝐺)) ∧ 𝑢𝐴) ∧ 𝑥𝑢) ∧ 𝑣𝐵) ∧ 𝑥𝑣) → 𝐵 = (𝑥𝐿𝑣))
5850, 52, 573netr4d 2858 . . . 4 (((((((𝜑𝑥 ∈ (𝐴𝐵)) ∧ ∀𝑦𝐴𝑧𝐵 ⟨“𝑦𝑥𝑧”⟩ ∈ (∟G‘𝐺)) ∧ 𝑢𝐴) ∧ 𝑥𝑢) ∧ 𝑣𝐵) ∧ 𝑥𝑣) → 𝐴𝐵)
5916adantr 479 . . . . . 6 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐴𝐵)) → 𝐵 ∈ ran 𝐿)
601, 2, 3, 5, 59, 54tglnpt2 25254 . . . . 5 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐴𝐵)) → ∃𝑣𝐵 𝑥𝑣)
6160ad3antrrr 761 . . . 4 (((((𝜑𝑥 ∈ (𝐴𝐵)) ∧ ∀𝑦𝐴𝑧𝐵 ⟨“𝑦𝑥𝑧”⟩ ∈ (∟G‘𝐺)) ∧ 𝑢𝐴) ∧ 𝑥𝑢) → ∃𝑣𝐵 𝑥𝑣)
6258, 61r19.29a 3059 . . 3 (((((𝜑𝑥 ∈ (𝐴𝐵)) ∧ ∀𝑦𝐴𝑧𝐵 ⟨“𝑦𝑥𝑧”⟩ ∈ (∟G‘𝐺)) ∧ 𝑢𝐴) ∧ 𝑥𝑢) → 𝐴𝐵)
638adantr 479 . . . . 5 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐴𝐵)) → 𝐴 ∈ ran 𝐿)
641, 2, 3, 5, 63, 12tglnpt2 25254 . . . 4 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐴𝐵)) → ∃𝑢𝐴 𝑥𝑢)
6564adantr 479 . . 3 (((𝜑𝑥 ∈ (𝐴𝐵)) ∧ ∀𝑦𝐴𝑧𝐵 ⟨“𝑦𝑥𝑧”⟩ ∈ (∟G‘𝐺)) → ∃𝑢𝐴 𝑥𝑢)
6662, 65r19.29a 3059 . 2 (((𝜑𝑥 ∈ (𝐴𝐵)) ∧ ∀𝑦𝐴𝑧𝐵 ⟨“𝑦𝑥𝑧”⟩ ∈ (∟G‘𝐺)) → 𝐴𝐵)
67 perpcom.1 . . 3 (𝜑𝐴(⟂G‘𝐺)𝐵)
681, 24, 2, 3, 4, 8, 16isperp 25325 . . 3 (𝜑 → (𝐴(⟂G‘𝐺)𝐵 ↔ ∃𝑥 ∈ (𝐴𝐵)∀𝑦𝐴𝑧𝐵 ⟨“𝑦𝑥𝑧”⟩ ∈ (∟G‘𝐺)))
6967, 68mpbid 220 . 2 (𝜑 → ∃𝑥 ∈ (𝐴𝐵)∀𝑦𝐴𝑧𝐵 ⟨“𝑦𝑥𝑧”⟩ ∈ (∟G‘𝐺))
7066, 69r19.29a 3059 1 (𝜑𝐴𝐵)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 382   = wceq 1474  wcel 1976  wne 2779  wral 2895  wrex 2896  cin 3538   class class class wbr 4577  ran crn 5029  cfv 5790  (class class class)co 6527  ⟨“cs3 13384  Basecbs 15641  distcds 15723  TarskiGcstrkg 25046  Itvcitv 25052  LineGclng 25053  pInvGcmir 25265  ∟Gcrag 25306  ⟂Gcperpg 25308
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1712  ax-4 1727  ax-5 1826  ax-6 1874  ax-7 1921  ax-8 1978  ax-9 1985  ax-10 2005  ax-11 2020  ax-12 2033  ax-13 2233  ax-ext 2589  ax-rep 4693  ax-sep 4703  ax-nul 4712  ax-pow 4764  ax-pr 4828  ax-un 6824  ax-cnex 9848  ax-resscn 9849  ax-1cn 9850  ax-icn 9851  ax-addcl 9852  ax-addrcl 9853  ax-mulcl 9854  ax-mulrcl 9855  ax-mulcom 9856  ax-addass 9857  ax-mulass 9858  ax-distr 9859  ax-i2m1 9860  ax-1ne0 9861  ax-1rid 9862  ax-rnegex 9863  ax-rrecex 9864  ax-cnre 9865  ax-pre-lttri 9866  ax-pre-lttrn 9867  ax-pre-ltadd 9868  ax-pre-mulgt0 9869
This theorem depends on definitions:  df-bi 195  df-or 383  df-an 384  df-3or 1031  df-3an 1032  df-tru 1477  df-ex 1695  df-nf 1700  df-sb 1867  df-eu 2461  df-mo 2462  df-clab 2596  df-cleq 2602  df-clel 2605  df-nfc 2739  df-ne 2781  df-nel 2782  df-ral 2900  df-rex 2901  df-reu 2902  df-rmo 2903  df-rab 2904  df-v 3174  df-sbc 3402  df-csb 3499  df-dif 3542  df-un 3544  df-in 3546  df-ss 3553  df-pss 3555  df-nul 3874  df-if 4036  df-pw 4109  df-sn 4125  df-pr 4127  df-tp 4129  df-op 4131  df-uni 4367  df-int 4405  df-iun 4451  df-br 4578  df-opab 4638  df-mpt 4639  df-tr 4675  df-eprel 4939  df-id 4943  df-po 4949  df-so 4950  df-fr 4987  df-we 4989  df-xp 5034  df-rel 5035  df-cnv 5036  df-co 5037  df-dm 5038  df-rn 5039  df-res 5040  df-ima 5041  df-pred 5583  df-ord 5629  df-on 5630  df-lim 5631  df-suc 5632  df-iota 5754  df-fun 5792  df-fn 5793  df-f 5794  df-f1 5795  df-fo 5796  df-f1o 5797  df-fv 5798  df-riota 6489  df-ov 6530  df-oprab 6531  df-mpt2 6532  df-om 6935  df-1st 7036  df-2nd 7037  df-wrecs 7271  df-recs 7332  df-rdg 7370  df-1o 7424  df-oadd 7428  df-er 7606  df-map 7723  df-pm 7724  df-en 7819  df-dom 7820  df-sdom 7821  df-fin 7822  df-card 8625  df-cda 8850  df-pnf 9932  df-mnf 9933  df-xr 9934  df-ltxr 9935  df-le 9936  df-sub 10119  df-neg 10120  df-nn 10868  df-2 10926  df-3 10927  df-n0 11140  df-z 11211  df-uz 11520  df-fz 12153  df-fzo 12290  df-hash 12935  df-word 13100  df-concat 13102  df-s1 13103  df-s2 13390  df-s3 13391  df-trkgc 25064  df-trkgb 25065  df-trkgcb 25066  df-trkg 25069  df-cgrg 25124  df-mir 25266  df-rag 25307  df-perpg 25309
This theorem is referenced by:  isperp2  25328  footne  25333  lmieu  25394
  Copyright terms: Public domain W3C validator