Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  pexmidlem8N Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem pexmidlem8N 34077
Description: Lemma for pexmidN 34069. The contradiction of pexmidlem6N 34075 and pexmidlem7N 34076 shows that there can be no atom 𝑝 that is not in 𝑋 + ( 𝑋), which is therefore the whole atom space. (Contributed by NM, 3-Feb-2012.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
pexmidALT.a 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
pexmidALT.p + = (+𝑃𝐾)
pexmidALT.o = (⊥𝑃𝐾)
Assertion
Ref Expression
pexmidlem8N (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐴) ∧ (( ‘( 𝑋)) = 𝑋𝑋 ≠ ∅)) → (𝑋 + ( 𝑋)) = 𝐴)

Proof of Theorem pexmidlem8N
Dummy variable 𝑝 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 nonconne 2793 . 2 ¬ (𝑋 = 𝑋𝑋𝑋)
2 simpll 785 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐴) ∧ (( ‘( 𝑋)) = 𝑋𝑋 ≠ ∅)) → 𝐾 ∈ HL)
3 simplr 787 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐴) ∧ (( ‘( 𝑋)) = 𝑋𝑋 ≠ ∅)) → 𝑋𝐴)
4 pexmidALT.a . . . . . . 7 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
5 pexmidALT.o . . . . . . 7 = (⊥𝑃𝐾)
64, 5polssatN 34008 . . . . . 6 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐴) → ( 𝑋) ⊆ 𝐴)
76adantr 479 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐴) ∧ (( ‘( 𝑋)) = 𝑋𝑋 ≠ ∅)) → ( 𝑋) ⊆ 𝐴)
8 pexmidALT.p . . . . . 6 + = (+𝑃𝐾)
94, 8paddssat 33914 . . . . 5 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐴 ∧ ( 𝑋) ⊆ 𝐴) → (𝑋 + ( 𝑋)) ⊆ 𝐴)
102, 3, 7, 9syl3anc 1317 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐴) ∧ (( ‘( 𝑋)) = 𝑋𝑋 ≠ ∅)) → (𝑋 + ( 𝑋)) ⊆ 𝐴)
11 df-pss 3555 . . . . . . 7 ((𝑋 + ( 𝑋)) ⊊ 𝐴 ↔ ((𝑋 + ( 𝑋)) ⊆ 𝐴 ∧ (𝑋 + ( 𝑋)) ≠ 𝐴))
12 pssnel 3990 . . . . . . 7 ((𝑋 + ( 𝑋)) ⊊ 𝐴 → ∃𝑝(𝑝𝐴 ∧ ¬ 𝑝 ∈ (𝑋 + ( 𝑋))))
1311, 12sylbir 223 . . . . . 6 (((𝑋 + ( 𝑋)) ⊆ 𝐴 ∧ (𝑋 + ( 𝑋)) ≠ 𝐴) → ∃𝑝(𝑝𝐴 ∧ ¬ 𝑝 ∈ (𝑋 + ( 𝑋))))
14 df-rex 2901 . . . . . 6 (∃𝑝𝐴 ¬ 𝑝 ∈ (𝑋 + ( 𝑋)) ↔ ∃𝑝(𝑝𝐴 ∧ ¬ 𝑝 ∈ (𝑋 + ( 𝑋))))
1513, 14sylibr 222 . . . . 5 (((𝑋 + ( 𝑋)) ⊆ 𝐴 ∧ (𝑋 + ( 𝑋)) ≠ 𝐴) → ∃𝑝𝐴 ¬ 𝑝 ∈ (𝑋 + ( 𝑋)))
16 simplll 793 . . . . . . . 8 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐴) ∧ (( ‘( 𝑋)) = 𝑋𝑋 ≠ ∅)) ∧ (𝑝𝐴 ∧ ¬ 𝑝 ∈ (𝑋 + ( 𝑋)))) → 𝐾 ∈ HL)
17 simpllr 794 . . . . . . . 8 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐴) ∧ (( ‘( 𝑋)) = 𝑋𝑋 ≠ ∅)) ∧ (𝑝𝐴 ∧ ¬ 𝑝 ∈ (𝑋 + ( 𝑋)))) → 𝑋𝐴)
18 simprl 789 . . . . . . . 8 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐴) ∧ (( ‘( 𝑋)) = 𝑋𝑋 ≠ ∅)) ∧ (𝑝𝐴 ∧ ¬ 𝑝 ∈ (𝑋 + ( 𝑋)))) → 𝑝𝐴)
19 simplrl 795 . . . . . . . 8 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐴) ∧ (( ‘( 𝑋)) = 𝑋𝑋 ≠ ∅)) ∧ (𝑝𝐴 ∧ ¬ 𝑝 ∈ (𝑋 + ( 𝑋)))) → ( ‘( 𝑋)) = 𝑋)
20 simplrr 796 . . . . . . . 8 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐴) ∧ (( ‘( 𝑋)) = 𝑋𝑋 ≠ ∅)) ∧ (𝑝𝐴 ∧ ¬ 𝑝 ∈ (𝑋 + ( 𝑋)))) → 𝑋 ≠ ∅)
21 simprr 791 . . . . . . . 8 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐴) ∧ (( ‘( 𝑋)) = 𝑋𝑋 ≠ ∅)) ∧ (𝑝𝐴 ∧ ¬ 𝑝 ∈ (𝑋 + ( 𝑋)))) → ¬ 𝑝 ∈ (𝑋 + ( 𝑋)))
22 eqid 2609 . . . . . . . . . 10 (le‘𝐾) = (le‘𝐾)
23 eqid 2609 . . . . . . . . . 10 (join‘𝐾) = (join‘𝐾)
24 eqid 2609 . . . . . . . . . 10 (𝑋 + {𝑝}) = (𝑋 + {𝑝})
2522, 23, 4, 8, 5, 24pexmidlem6N 34075 . . . . . . . . 9 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐴𝑝𝐴) ∧ (( ‘( 𝑋)) = 𝑋𝑋 ≠ ∅ ∧ ¬ 𝑝 ∈ (𝑋 + ( 𝑋)))) → (𝑋 + {𝑝}) = 𝑋)
2622, 23, 4, 8, 5, 24pexmidlem7N 34076 . . . . . . . . 9 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐴𝑝𝐴) ∧ (( ‘( 𝑋)) = 𝑋𝑋 ≠ ∅ ∧ ¬ 𝑝 ∈ (𝑋 + ( 𝑋)))) → (𝑋 + {𝑝}) ≠ 𝑋)
2725, 26jca 552 . . . . . . . 8 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐴𝑝𝐴) ∧ (( ‘( 𝑋)) = 𝑋𝑋 ≠ ∅ ∧ ¬ 𝑝 ∈ (𝑋 + ( 𝑋)))) → ((𝑋 + {𝑝}) = 𝑋 ∧ (𝑋 + {𝑝}) ≠ 𝑋))
2816, 17, 18, 19, 20, 21, 27syl33anc 1332 . . . . . . 7 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐴) ∧ (( ‘( 𝑋)) = 𝑋𝑋 ≠ ∅)) ∧ (𝑝𝐴 ∧ ¬ 𝑝 ∈ (𝑋 + ( 𝑋)))) → ((𝑋 + {𝑝}) = 𝑋 ∧ (𝑋 + {𝑝}) ≠ 𝑋))
29 nonconne 2793 . . . . . . . 8 ¬ ((𝑋 + {𝑝}) = 𝑋 ∧ (𝑋 + {𝑝}) ≠ 𝑋)
3029, 12false 363 . . . . . . 7 (((𝑋 + {𝑝}) = 𝑋 ∧ (𝑋 + {𝑝}) ≠ 𝑋) ↔ (𝑋 = 𝑋𝑋𝑋))
3128, 30sylib 206 . . . . . 6 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐴) ∧ (( ‘( 𝑋)) = 𝑋𝑋 ≠ ∅)) ∧ (𝑝𝐴 ∧ ¬ 𝑝 ∈ (𝑋 + ( 𝑋)))) → (𝑋 = 𝑋𝑋𝑋))
3231rexlimdvaa 3013 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐴) ∧ (( ‘( 𝑋)) = 𝑋𝑋 ≠ ∅)) → (∃𝑝𝐴 ¬ 𝑝 ∈ (𝑋 + ( 𝑋)) → (𝑋 = 𝑋𝑋𝑋)))
3315, 32syl5 33 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐴) ∧ (( ‘( 𝑋)) = 𝑋𝑋 ≠ ∅)) → (((𝑋 + ( 𝑋)) ⊆ 𝐴 ∧ (𝑋 + ( 𝑋)) ≠ 𝐴) → (𝑋 = 𝑋𝑋𝑋)))
3410, 33mpand 706 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐴) ∧ (( ‘( 𝑋)) = 𝑋𝑋 ≠ ∅)) → ((𝑋 + ( 𝑋)) ≠ 𝐴 → (𝑋 = 𝑋𝑋𝑋)))
3534necon1bd 2799 . 2 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐴) ∧ (( ‘( 𝑋)) = 𝑋𝑋 ≠ ∅)) → (¬ (𝑋 = 𝑋𝑋𝑋) → (𝑋 + ( 𝑋)) = 𝐴))
361, 35mpi 20 1 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐴) ∧ (( ‘( 𝑋)) = 𝑋𝑋 ≠ ∅)) → (𝑋 + ( 𝑋)) = 𝐴)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wa 382  w3a 1030   = wceq 1474  wex 1694  wcel 1976  wne 2779  wrex 2896  wss 3539  wpss 3540  c0 3873  {csn 4124  cfv 5790  (class class class)co 6527  lecple 15721  joincjn 16713  Atomscatm 33364  HLchlt 33451  +𝑃cpadd 33895  𝑃cpolN 34002
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1712  ax-4 1727  ax-5 1826  ax-6 1874  ax-7 1921  ax-8 1978  ax-9 1985  ax-10 2005  ax-11 2020  ax-12 2033  ax-13 2233  ax-ext 2589  ax-rep 4693  ax-sep 4703  ax-nul 4712  ax-pow 4764  ax-pr 4828  ax-un 6824  ax-riotaBAD 33053
This theorem depends on definitions:  df-bi 195  df-or 383  df-an 384  df-3an 1032  df-tru 1477  df-fal 1480  df-ex 1695  df-nf 1700  df-sb 1867  df-eu 2461  df-mo 2462  df-clab 2596  df-cleq 2602  df-clel 2605  df-nfc 2739  df-ne 2781  df-nel 2782  df-ral 2900  df-rex 2901  df-reu 2902  df-rmo 2903  df-rab 2904  df-v 3174  df-sbc 3402  df-csb 3499  df-dif 3542  df-un 3544  df-in 3546  df-ss 3553  df-pss 3555  df-nul 3874  df-if 4036  df-pw 4109  df-sn 4125  df-pr 4127  df-op 4131  df-uni 4367  df-iun 4451  df-iin 4452  df-br 4578  df-opab 4638  df-mpt 4639  df-id 4943  df-xp 5034  df-rel 5035  df-cnv 5036  df-co 5037  df-dm 5038  df-rn 5039  df-res 5040  df-ima 5041  df-iota 5754  df-fun 5792  df-fn 5793  df-f 5794  df-f1 5795  df-fo 5796  df-f1o 5797  df-fv 5798  df-riota 6489  df-ov 6530  df-oprab 6531  df-mpt2 6532  df-1st 7036  df-2nd 7037  df-undef 7263  df-preset 16697  df-poset 16715  df-plt 16727  df-lub 16743  df-glb 16744  df-join 16745  df-meet 16746  df-p0 16808  df-p1 16809  df-lat 16815  df-clat 16877  df-oposet 33277  df-ol 33279  df-oml 33280  df-covers 33367  df-ats 33368  df-atl 33399  df-cvlat 33423  df-hlat 33452  df-psubsp 33603  df-pmap 33604  df-padd 33896  df-polarityN 34003  df-psubclN 34035
This theorem is referenced by:  pexmidALTN  34078
  Copyright terms: Public domain W3C validator