Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  pexmidlem8N Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem pexmidlem8N 35784
Description: Lemma for pexmidN 35776. The contradiction of pexmidlem6N 35782 and pexmidlem7N 35783 shows that there can be no atom 𝑝 that is not in 𝑋 + ( 𝑋), which is therefore the whole atom space. (Contributed by NM, 3-Feb-2012.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
pexmidALT.a 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
pexmidALT.p + = (+𝑃𝐾)
pexmidALT.o = (⊥𝑃𝐾)
Assertion
Ref Expression
pexmidlem8N (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐴) ∧ (( ‘( 𝑋)) = 𝑋𝑋 ≠ ∅)) → (𝑋 + ( 𝑋)) = 𝐴)

Proof of Theorem pexmidlem8N
Dummy variable 𝑝 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 nonconne 2944 . 2 ¬ (𝑋 = 𝑋𝑋𝑋)
2 simpll 807 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐴) ∧ (( ‘( 𝑋)) = 𝑋𝑋 ≠ ∅)) → 𝐾 ∈ HL)
3 simplr 809 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐴) ∧ (( ‘( 𝑋)) = 𝑋𝑋 ≠ ∅)) → 𝑋𝐴)
4 pexmidALT.a . . . . . . 7 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
5 pexmidALT.o . . . . . . 7 = (⊥𝑃𝐾)
64, 5polssatN 35715 . . . . . 6 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐴) → ( 𝑋) ⊆ 𝐴)
76adantr 472 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐴) ∧ (( ‘( 𝑋)) = 𝑋𝑋 ≠ ∅)) → ( 𝑋) ⊆ 𝐴)
8 pexmidALT.p . . . . . 6 + = (+𝑃𝐾)
94, 8paddssat 35621 . . . . 5 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐴 ∧ ( 𝑋) ⊆ 𝐴) → (𝑋 + ( 𝑋)) ⊆ 𝐴)
102, 3, 7, 9syl3anc 1477 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐴) ∧ (( ‘( 𝑋)) = 𝑋𝑋 ≠ ∅)) → (𝑋 + ( 𝑋)) ⊆ 𝐴)
11 df-pss 3731 . . . . . . 7 ((𝑋 + ( 𝑋)) ⊊ 𝐴 ↔ ((𝑋 + ( 𝑋)) ⊆ 𝐴 ∧ (𝑋 + ( 𝑋)) ≠ 𝐴))
12 pssnel 4183 . . . . . . 7 ((𝑋 + ( 𝑋)) ⊊ 𝐴 → ∃𝑝(𝑝𝐴 ∧ ¬ 𝑝 ∈ (𝑋 + ( 𝑋))))
1311, 12sylbir 225 . . . . . 6 (((𝑋 + ( 𝑋)) ⊆ 𝐴 ∧ (𝑋 + ( 𝑋)) ≠ 𝐴) → ∃𝑝(𝑝𝐴 ∧ ¬ 𝑝 ∈ (𝑋 + ( 𝑋))))
14 df-rex 3056 . . . . . 6 (∃𝑝𝐴 ¬ 𝑝 ∈ (𝑋 + ( 𝑋)) ↔ ∃𝑝(𝑝𝐴 ∧ ¬ 𝑝 ∈ (𝑋 + ( 𝑋))))
1513, 14sylibr 224 . . . . 5 (((𝑋 + ( 𝑋)) ⊆ 𝐴 ∧ (𝑋 + ( 𝑋)) ≠ 𝐴) → ∃𝑝𝐴 ¬ 𝑝 ∈ (𝑋 + ( 𝑋)))
16 simplll 815 . . . . . . . 8 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐴) ∧ (( ‘( 𝑋)) = 𝑋𝑋 ≠ ∅)) ∧ (𝑝𝐴 ∧ ¬ 𝑝 ∈ (𝑋 + ( 𝑋)))) → 𝐾 ∈ HL)
17 simpllr 817 . . . . . . . 8 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐴) ∧ (( ‘( 𝑋)) = 𝑋𝑋 ≠ ∅)) ∧ (𝑝𝐴 ∧ ¬ 𝑝 ∈ (𝑋 + ( 𝑋)))) → 𝑋𝐴)
18 simprl 811 . . . . . . . 8 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐴) ∧ (( ‘( 𝑋)) = 𝑋𝑋 ≠ ∅)) ∧ (𝑝𝐴 ∧ ¬ 𝑝 ∈ (𝑋 + ( 𝑋)))) → 𝑝𝐴)
19 simplrl 819 . . . . . . . 8 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐴) ∧ (( ‘( 𝑋)) = 𝑋𝑋 ≠ ∅)) ∧ (𝑝𝐴 ∧ ¬ 𝑝 ∈ (𝑋 + ( 𝑋)))) → ( ‘( 𝑋)) = 𝑋)
20 simplrr 820 . . . . . . . 8 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐴) ∧ (( ‘( 𝑋)) = 𝑋𝑋 ≠ ∅)) ∧ (𝑝𝐴 ∧ ¬ 𝑝 ∈ (𝑋 + ( 𝑋)))) → 𝑋 ≠ ∅)
21 simprr 813 . . . . . . . 8 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐴) ∧ (( ‘( 𝑋)) = 𝑋𝑋 ≠ ∅)) ∧ (𝑝𝐴 ∧ ¬ 𝑝 ∈ (𝑋 + ( 𝑋)))) → ¬ 𝑝 ∈ (𝑋 + ( 𝑋)))
22 eqid 2760 . . . . . . . . . 10 (le‘𝐾) = (le‘𝐾)
23 eqid 2760 . . . . . . . . . 10 (join‘𝐾) = (join‘𝐾)
24 eqid 2760 . . . . . . . . . 10 (𝑋 + {𝑝}) = (𝑋 + {𝑝})
2522, 23, 4, 8, 5, 24pexmidlem6N 35782 . . . . . . . . 9 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐴𝑝𝐴) ∧ (( ‘( 𝑋)) = 𝑋𝑋 ≠ ∅ ∧ ¬ 𝑝 ∈ (𝑋 + ( 𝑋)))) → (𝑋 + {𝑝}) = 𝑋)
2622, 23, 4, 8, 5, 24pexmidlem7N 35783 . . . . . . . . 9 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐴𝑝𝐴) ∧ (( ‘( 𝑋)) = 𝑋𝑋 ≠ ∅ ∧ ¬ 𝑝 ∈ (𝑋 + ( 𝑋)))) → (𝑋 + {𝑝}) ≠ 𝑋)
2725, 26jca 555 . . . . . . . 8 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐴𝑝𝐴) ∧ (( ‘( 𝑋)) = 𝑋𝑋 ≠ ∅ ∧ ¬ 𝑝 ∈ (𝑋 + ( 𝑋)))) → ((𝑋 + {𝑝}) = 𝑋 ∧ (𝑋 + {𝑝}) ≠ 𝑋))
2816, 17, 18, 19, 20, 21, 27syl33anc 1492 . . . . . . 7 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐴) ∧ (( ‘( 𝑋)) = 𝑋𝑋 ≠ ∅)) ∧ (𝑝𝐴 ∧ ¬ 𝑝 ∈ (𝑋 + ( 𝑋)))) → ((𝑋 + {𝑝}) = 𝑋 ∧ (𝑋 + {𝑝}) ≠ 𝑋))
29 nonconne 2944 . . . . . . . 8 ¬ ((𝑋 + {𝑝}) = 𝑋 ∧ (𝑋 + {𝑝}) ≠ 𝑋)
3029, 12false 364 . . . . . . 7 (((𝑋 + {𝑝}) = 𝑋 ∧ (𝑋 + {𝑝}) ≠ 𝑋) ↔ (𝑋 = 𝑋𝑋𝑋))
3128, 30sylib 208 . . . . . 6 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐴) ∧ (( ‘( 𝑋)) = 𝑋𝑋 ≠ ∅)) ∧ (𝑝𝐴 ∧ ¬ 𝑝 ∈ (𝑋 + ( 𝑋)))) → (𝑋 = 𝑋𝑋𝑋))
3231rexlimdvaa 3170 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐴) ∧ (( ‘( 𝑋)) = 𝑋𝑋 ≠ ∅)) → (∃𝑝𝐴 ¬ 𝑝 ∈ (𝑋 + ( 𝑋)) → (𝑋 = 𝑋𝑋𝑋)))
3315, 32syl5 34 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐴) ∧ (( ‘( 𝑋)) = 𝑋𝑋 ≠ ∅)) → (((𝑋 + ( 𝑋)) ⊆ 𝐴 ∧ (𝑋 + ( 𝑋)) ≠ 𝐴) → (𝑋 = 𝑋𝑋𝑋)))
3410, 33mpand 713 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐴) ∧ (( ‘( 𝑋)) = 𝑋𝑋 ≠ ∅)) → ((𝑋 + ( 𝑋)) ≠ 𝐴 → (𝑋 = 𝑋𝑋𝑋)))
3534necon1bd 2950 . 2 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐴) ∧ (( ‘( 𝑋)) = 𝑋𝑋 ≠ ∅)) → (¬ (𝑋 = 𝑋𝑋𝑋) → (𝑋 + ( 𝑋)) = 𝐴))
361, 35mpi 20 1 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐴) ∧ (( ‘( 𝑋)) = 𝑋𝑋 ≠ ∅)) → (𝑋 + ( 𝑋)) = 𝐴)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wa 383  w3a 1072   = wceq 1632  wex 1853  wcel 2139  wne 2932  wrex 3051  wss 3715  wpss 3716  c0 4058  {csn 4321  cfv 6049  (class class class)co 6814  lecple 16170  joincjn 17165  Atomscatm 35071  HLchlt 35158  +𝑃cpadd 35602  𝑃cpolN 35709
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1871  ax-4 1886  ax-5 1988  ax-6 2054  ax-7 2090  ax-8 2141  ax-9 2148  ax-10 2168  ax-11 2183  ax-12 2196  ax-13 2391  ax-ext 2740  ax-rep 4923  ax-sep 4933  ax-nul 4941  ax-pow 4992  ax-pr 5055  ax-un 7115  ax-riotaBAD 34760
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3an 1074  df-tru 1635  df-fal 1638  df-ex 1854  df-nf 1859  df-sb 2047  df-eu 2611  df-mo 2612  df-clab 2747  df-cleq 2753  df-clel 2756  df-nfc 2891  df-ne 2933  df-nel 3036  df-ral 3055  df-rex 3056  df-reu 3057  df-rmo 3058  df-rab 3059  df-v 3342  df-sbc 3577  df-csb 3675  df-dif 3718  df-un 3720  df-in 3722  df-ss 3729  df-pss 3731  df-nul 4059  df-if 4231  df-pw 4304  df-sn 4322  df-pr 4324  df-op 4328  df-uni 4589  df-iun 4674  df-iin 4675  df-br 4805  df-opab 4865  df-mpt 4882  df-id 5174  df-xp 5272  df-rel 5273  df-cnv 5274  df-co 5275  df-dm 5276  df-rn 5277  df-res 5278  df-ima 5279  df-iota 6012  df-fun 6051  df-fn 6052  df-f 6053  df-f1 6054  df-fo 6055  df-f1o 6056  df-fv 6057  df-riota 6775  df-ov 6817  df-oprab 6818  df-mpt2 6819  df-1st 7334  df-2nd 7335  df-undef 7569  df-preset 17149  df-poset 17167  df-plt 17179  df-lub 17195  df-glb 17196  df-join 17197  df-meet 17198  df-p0 17260  df-p1 17261  df-lat 17267  df-clat 17329  df-oposet 34984  df-ol 34986  df-oml 34987  df-covers 35074  df-ats 35075  df-atl 35106  df-cvlat 35130  df-hlat 35159  df-psubsp 35310  df-pmap 35311  df-padd 35603  df-polarityN 35710  df-psubclN 35742
This theorem is referenced by:  pexmidALTN  35785
  Copyright terms: Public domain W3C validator