Users' Mathboxes Mathbox for Alexander van der Vekens < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  pfxccatid Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem pfxccatid 40726
Description: A prefix of a concatenation of length of the first concatenated word is the first word itself. Could replace swrdccatid 13434. (Contributed by AV, 10-May-2020.)
Assertion
Ref Expression
pfxccatid ((𝐴 ∈ Word 𝑉𝐵 ∈ Word 𝑉𝑁 = (#‘𝐴)) → ((𝐴 ++ 𝐵) prefix 𝑁) = 𝐴)

Proof of Theorem pfxccatid
StepHypRef Expression
1 lencl 13263 . . . . . 6 (𝐴 ∈ Word 𝑉 → (#‘𝐴) ∈ ℕ0)
2 nn0fz0 12378 . . . . . 6 ((#‘𝐴) ∈ ℕ0 ↔ (#‘𝐴) ∈ (0...(#‘𝐴)))
31, 2sylib 208 . . . . 5 (𝐴 ∈ Word 𝑉 → (#‘𝐴) ∈ (0...(#‘𝐴)))
433ad2ant1 1080 . . . 4 ((𝐴 ∈ Word 𝑉𝐵 ∈ Word 𝑉𝑁 = (#‘𝐴)) → (#‘𝐴) ∈ (0...(#‘𝐴)))
5 eleq1 2686 . . . . 5 (𝑁 = (#‘𝐴) → (𝑁 ∈ (0...(#‘𝐴)) ↔ (#‘𝐴) ∈ (0...(#‘𝐴))))
653ad2ant3 1082 . . . 4 ((𝐴 ∈ Word 𝑉𝐵 ∈ Word 𝑉𝑁 = (#‘𝐴)) → (𝑁 ∈ (0...(#‘𝐴)) ↔ (#‘𝐴) ∈ (0...(#‘𝐴))))
74, 6mpbird 247 . . 3 ((𝐴 ∈ Word 𝑉𝐵 ∈ Word 𝑉𝑁 = (#‘𝐴)) → 𝑁 ∈ (0...(#‘𝐴)))
8 eqid 2621 . . . 4 (#‘𝐴) = (#‘𝐴)
98pfxccatpfx1 40723 . . 3 ((𝐴 ∈ Word 𝑉𝐵 ∈ Word 𝑉𝑁 ∈ (0...(#‘𝐴))) → ((𝐴 ++ 𝐵) prefix 𝑁) = (𝐴 prefix 𝑁))
107, 9syld3an3 1368 . 2 ((𝐴 ∈ Word 𝑉𝐵 ∈ Word 𝑉𝑁 = (#‘𝐴)) → ((𝐴 ++ 𝐵) prefix 𝑁) = (𝐴 prefix 𝑁))
11 oveq2 6612 . . 3 (𝑁 = (#‘𝐴) → (𝐴 prefix 𝑁) = (𝐴 prefix (#‘𝐴)))
12113ad2ant3 1082 . 2 ((𝐴 ∈ Word 𝑉𝐵 ∈ Word 𝑉𝑁 = (#‘𝐴)) → (𝐴 prefix 𝑁) = (𝐴 prefix (#‘𝐴)))
13 pfxid 40688 . . 3 (𝐴 ∈ Word 𝑉 → (𝐴 prefix (#‘𝐴)) = 𝐴)
14133ad2ant1 1080 . 2 ((𝐴 ∈ Word 𝑉𝐵 ∈ Word 𝑉𝑁 = (#‘𝐴)) → (𝐴 prefix (#‘𝐴)) = 𝐴)
1510, 12, 143eqtrd 2659 1 ((𝐴 ∈ Word 𝑉𝐵 ∈ Word 𝑉𝑁 = (#‘𝐴)) → ((𝐴 ++ 𝐵) prefix 𝑁) = 𝐴)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 196  w3a 1036   = wceq 1480  wcel 1987  cfv 5847  (class class class)co 6604  0cc0 9880  0cn0 11236  ...cfz 12268  #chash 13057  Word cword 13230   ++ cconcat 13232   prefix cpfx 40677
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1719  ax-4 1734  ax-5 1836  ax-6 1885  ax-7 1932  ax-8 1989  ax-9 1996  ax-10 2016  ax-11 2031  ax-12 2044  ax-13 2245  ax-ext 2601  ax-rep 4731  ax-sep 4741  ax-nul 4749  ax-pow 4803  ax-pr 4867  ax-un 6902  ax-cnex 9936  ax-resscn 9937  ax-1cn 9938  ax-icn 9939  ax-addcl 9940  ax-addrcl 9941  ax-mulcl 9942  ax-mulrcl 9943  ax-mulcom 9944  ax-addass 9945  ax-mulass 9946  ax-distr 9947  ax-i2m1 9948  ax-1ne0 9949  ax-1rid 9950  ax-rnegex 9951  ax-rrecex 9952  ax-cnre 9953  ax-pre-lttri 9954  ax-pre-lttrn 9955  ax-pre-ltadd 9956  ax-pre-mulgt0 9957
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1037  df-3an 1038  df-tru 1483  df-ex 1702  df-nf 1707  df-sb 1878  df-eu 2473  df-mo 2474  df-clab 2608  df-cleq 2614  df-clel 2617  df-nfc 2750  df-ne 2791  df-nel 2894  df-ral 2912  df-rex 2913  df-reu 2914  df-rab 2916  df-v 3188  df-sbc 3418  df-csb 3515  df-dif 3558  df-un 3560  df-in 3562  df-ss 3569  df-pss 3571  df-nul 3892  df-if 4059  df-pw 4132  df-sn 4149  df-pr 4151  df-tp 4153  df-op 4155  df-uni 4403  df-int 4441  df-iun 4487  df-br 4614  df-opab 4674  df-mpt 4675  df-tr 4713  df-eprel 4985  df-id 4989  df-po 4995  df-so 4996  df-fr 5033  df-we 5035  df-xp 5080  df-rel 5081  df-cnv 5082  df-co 5083  df-dm 5084  df-rn 5085  df-res 5086  df-ima 5087  df-pred 5639  df-ord 5685  df-on 5686  df-lim 5687  df-suc 5688  df-iota 5810  df-fun 5849  df-fn 5850  df-f 5851  df-f1 5852  df-fo 5853  df-f1o 5854  df-fv 5855  df-riota 6565  df-ov 6607  df-oprab 6608  df-mpt2 6609  df-om 7013  df-1st 7113  df-2nd 7114  df-wrecs 7352  df-recs 7413  df-rdg 7451  df-1o 7505  df-oadd 7509  df-er 7687  df-en 7900  df-dom 7901  df-sdom 7902  df-fin 7903  df-card 8709  df-pnf 10020  df-mnf 10021  df-xr 10022  df-ltxr 10023  df-le 10024  df-sub 10212  df-neg 10213  df-nn 10965  df-n0 11237  df-z 11322  df-uz 11632  df-fz 12269  df-fzo 12407  df-hash 13058  df-word 13238  df-concat 13240  df-substr 13242  df-pfx 40678
This theorem is referenced by:  ccats1pfxeqbi  40727
  Copyright terms: Public domain W3C validator