Users' Mathboxes Mathbox for Alexander van der Vekens < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  pfxccatpfx2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem pfxccatpfx2 40724
Description: A prefix of a concatenation of two words being the first word concatenated with a prefix of the second word. (Contributed by AV, 10-May-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
pfxccatin12.l 𝐿 = (#‘𝐴)
pfxccatpfx2.m 𝑀 = (#‘𝐵)
Assertion
Ref Expression
pfxccatpfx2 ((𝐴 ∈ Word 𝑉𝐵 ∈ Word 𝑉𝑁 ∈ ((𝐿 + 1)...(𝐿 + 𝑀))) → ((𝐴 ++ 𝐵) prefix 𝑁) = (𝐴 ++ (𝐵 prefix (𝑁𝐿))))

Proof of Theorem pfxccatpfx2
StepHypRef Expression
1 ccatcl 13298 . . . 4 ((𝐴 ∈ Word 𝑉𝐵 ∈ Word 𝑉) → (𝐴 ++ 𝐵) ∈ Word 𝑉)
213adant3 1079 . . 3 ((𝐴 ∈ Word 𝑉𝐵 ∈ Word 𝑉𝑁 ∈ ((𝐿 + 1)...(𝐿 + 𝑀))) → (𝐴 ++ 𝐵) ∈ Word 𝑉)
3 pfxccatin12.l . . . . . . 7 𝐿 = (#‘𝐴)
4 lencl 13263 . . . . . . 7 (𝐴 ∈ Word 𝑉 → (#‘𝐴) ∈ ℕ0)
53, 4syl5eqel 2702 . . . . . 6 (𝐴 ∈ Word 𝑉𝐿 ∈ ℕ0)
6 elfzuz 12280 . . . . . 6 (𝑁 ∈ ((𝐿 + 1)...(𝐿 + 𝑀)) → 𝑁 ∈ (ℤ‘(𝐿 + 1)))
7 peano2nn0 11277 . . . . . . 7 (𝐿 ∈ ℕ0 → (𝐿 + 1) ∈ ℕ0)
87anim1i 591 . . . . . 6 ((𝐿 ∈ ℕ0𝑁 ∈ (ℤ‘(𝐿 + 1))) → ((𝐿 + 1) ∈ ℕ0𝑁 ∈ (ℤ‘(𝐿 + 1))))
95, 6, 8syl2an 494 . . . . 5 ((𝐴 ∈ Word 𝑉𝑁 ∈ ((𝐿 + 1)...(𝐿 + 𝑀))) → ((𝐿 + 1) ∈ ℕ0𝑁 ∈ (ℤ‘(𝐿 + 1))))
1093adant2 1078 . . . 4 ((𝐴 ∈ Word 𝑉𝐵 ∈ Word 𝑉𝑁 ∈ ((𝐿 + 1)...(𝐿 + 𝑀))) → ((𝐿 + 1) ∈ ℕ0𝑁 ∈ (ℤ‘(𝐿 + 1))))
11 eluznn0 11701 . . . 4 (((𝐿 + 1) ∈ ℕ0𝑁 ∈ (ℤ‘(𝐿 + 1))) → 𝑁 ∈ ℕ0)
1210, 11syl 17 . . 3 ((𝐴 ∈ Word 𝑉𝐵 ∈ Word 𝑉𝑁 ∈ ((𝐿 + 1)...(𝐿 + 𝑀))) → 𝑁 ∈ ℕ0)
13 pfxval 40679 . . 3 (((𝐴 ++ 𝐵) ∈ Word 𝑉𝑁 ∈ ℕ0) → ((𝐴 ++ 𝐵) prefix 𝑁) = ((𝐴 ++ 𝐵) substr ⟨0, 𝑁⟩))
142, 12, 13syl2anc 692 . 2 ((𝐴 ∈ Word 𝑉𝐵 ∈ Word 𝑉𝑁 ∈ ((𝐿 + 1)...(𝐿 + 𝑀))) → ((𝐴 ++ 𝐵) prefix 𝑁) = ((𝐴 ++ 𝐵) substr ⟨0, 𝑁⟩))
15 3simpa 1056 . . 3 ((𝐴 ∈ Word 𝑉𝐵 ∈ Word 𝑉𝑁 ∈ ((𝐿 + 1)...(𝐿 + 𝑀))) → (𝐴 ∈ Word 𝑉𝐵 ∈ Word 𝑉))
1653ad2ant1 1080 . . . . 5 ((𝐴 ∈ Word 𝑉𝐵 ∈ Word 𝑉𝑁 ∈ ((𝐿 + 1)...(𝐿 + 𝑀))) → 𝐿 ∈ ℕ0)
17 0elfz 12377 . . . . 5 (𝐿 ∈ ℕ0 → 0 ∈ (0...𝐿))
1816, 17syl 17 . . . 4 ((𝐴 ∈ Word 𝑉𝐵 ∈ Word 𝑉𝑁 ∈ ((𝐿 + 1)...(𝐿 + 𝑀))) → 0 ∈ (0...𝐿))
194nn0zd 11424 . . . . . . . . . . 11 (𝐴 ∈ Word 𝑉 → (#‘𝐴) ∈ ℤ)
203, 19syl5eqel 2702 . . . . . . . . . 10 (𝐴 ∈ Word 𝑉𝐿 ∈ ℤ)
2120adantr 481 . . . . . . . . 9 ((𝐴 ∈ Word 𝑉𝐵 ∈ Word 𝑉) → 𝐿 ∈ ℤ)
22 uzid 11646 . . . . . . . . 9 (𝐿 ∈ ℤ → 𝐿 ∈ (ℤ𝐿))
2321, 22syl 17 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ Word 𝑉𝐵 ∈ Word 𝑉) → 𝐿 ∈ (ℤ𝐿))
24 peano2uz 11685 . . . . . . . 8 (𝐿 ∈ (ℤ𝐿) → (𝐿 + 1) ∈ (ℤ𝐿))
25 fzss1 12322 . . . . . . . 8 ((𝐿 + 1) ∈ (ℤ𝐿) → ((𝐿 + 1)...(𝐿 + 𝑀)) ⊆ (𝐿...(𝐿 + 𝑀)))
2623, 24, 253syl 18 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ Word 𝑉𝐵 ∈ Word 𝑉) → ((𝐿 + 1)...(𝐿 + 𝑀)) ⊆ (𝐿...(𝐿 + 𝑀)))
27 pfxccatpfx2.m . . . . . . . . . 10 𝑀 = (#‘𝐵)
2827eqcomi 2630 . . . . . . . . 9 (#‘𝐵) = 𝑀
2928oveq2i 6615 . . . . . . . 8 (𝐿 + (#‘𝐵)) = (𝐿 + 𝑀)
3029oveq2i 6615 . . . . . . 7 (𝐿...(𝐿 + (#‘𝐵))) = (𝐿...(𝐿 + 𝑀))
3126, 30syl6sseqr 3631 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ Word 𝑉𝐵 ∈ Word 𝑉) → ((𝐿 + 1)...(𝐿 + 𝑀)) ⊆ (𝐿...(𝐿 + (#‘𝐵))))
3231sseld 3582 . . . . 5 ((𝐴 ∈ Word 𝑉𝐵 ∈ Word 𝑉) → (𝑁 ∈ ((𝐿 + 1)...(𝐿 + 𝑀)) → 𝑁 ∈ (𝐿...(𝐿 + (#‘𝐵)))))
33323impia 1258 . . . 4 ((𝐴 ∈ Word 𝑉𝐵 ∈ Word 𝑉𝑁 ∈ ((𝐿 + 1)...(𝐿 + 𝑀))) → 𝑁 ∈ (𝐿...(𝐿 + (#‘𝐵))))
3418, 33jca 554 . . 3 ((𝐴 ∈ Word 𝑉𝐵 ∈ Word 𝑉𝑁 ∈ ((𝐿 + 1)...(𝐿 + 𝑀))) → (0 ∈ (0...𝐿) ∧ 𝑁 ∈ (𝐿...(𝐿 + (#‘𝐵)))))
353pfxccatin12 40721 . . 3 ((𝐴 ∈ Word 𝑉𝐵 ∈ Word 𝑉) → ((0 ∈ (0...𝐿) ∧ 𝑁 ∈ (𝐿...(𝐿 + (#‘𝐵)))) → ((𝐴 ++ 𝐵) substr ⟨0, 𝑁⟩) = ((𝐴 substr ⟨0, 𝐿⟩) ++ (𝐵 prefix (𝑁𝐿)))))
3615, 34, 35sylc 65 . 2 ((𝐴 ∈ Word 𝑉𝐵 ∈ Word 𝑉𝑁 ∈ ((𝐿 + 1)...(𝐿 + 𝑀))) → ((𝐴 ++ 𝐵) substr ⟨0, 𝑁⟩) = ((𝐴 substr ⟨0, 𝐿⟩) ++ (𝐵 prefix (𝑁𝐿))))
373opeq2i 4374 . . . . . 6 ⟨0, 𝐿⟩ = ⟨0, (#‘𝐴)⟩
3837oveq2i 6615 . . . . 5 (𝐴 substr ⟨0, 𝐿⟩) = (𝐴 substr ⟨0, (#‘𝐴)⟩)
39 swrdid 13366 . . . . 5 (𝐴 ∈ Word 𝑉 → (𝐴 substr ⟨0, (#‘𝐴)⟩) = 𝐴)
4038, 39syl5eq 2667 . . . 4 (𝐴 ∈ Word 𝑉 → (𝐴 substr ⟨0, 𝐿⟩) = 𝐴)
41403ad2ant1 1080 . . 3 ((𝐴 ∈ Word 𝑉𝐵 ∈ Word 𝑉𝑁 ∈ ((𝐿 + 1)...(𝐿 + 𝑀))) → (𝐴 substr ⟨0, 𝐿⟩) = 𝐴)
4241oveq1d 6619 . 2 ((𝐴 ∈ Word 𝑉𝐵 ∈ Word 𝑉𝑁 ∈ ((𝐿 + 1)...(𝐿 + 𝑀))) → ((𝐴 substr ⟨0, 𝐿⟩) ++ (𝐵 prefix (𝑁𝐿))) = (𝐴 ++ (𝐵 prefix (𝑁𝐿))))
4314, 36, 423eqtrd 2659 1 ((𝐴 ∈ Word 𝑉𝐵 ∈ Word 𝑉𝑁 ∈ ((𝐿 + 1)...(𝐿 + 𝑀))) → ((𝐴 ++ 𝐵) prefix 𝑁) = (𝐴 ++ (𝐵 prefix (𝑁𝐿))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 384  w3a 1036   = wceq 1480  wcel 1987  wss 3555  cop 4154  cfv 5847  (class class class)co 6604  0cc0 9880  1c1 9881   + caddc 9883  cmin 10210  0cn0 11236  cz 11321  cuz 11631  ...cfz 12268  #chash 13057  Word cword 13230   ++ cconcat 13232   substr csubstr 13234   prefix cpfx 40677
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1719  ax-4 1734  ax-5 1836  ax-6 1885  ax-7 1932  ax-8 1989  ax-9 1996  ax-10 2016  ax-11 2031  ax-12 2044  ax-13 2245  ax-ext 2601  ax-rep 4731  ax-sep 4741  ax-nul 4749  ax-pow 4803  ax-pr 4867  ax-un 6902  ax-cnex 9936  ax-resscn 9937  ax-1cn 9938  ax-icn 9939  ax-addcl 9940  ax-addrcl 9941  ax-mulcl 9942  ax-mulrcl 9943  ax-mulcom 9944  ax-addass 9945  ax-mulass 9946  ax-distr 9947  ax-i2m1 9948  ax-1ne0 9949  ax-1rid 9950  ax-rnegex 9951  ax-rrecex 9952  ax-cnre 9953  ax-pre-lttri 9954  ax-pre-lttrn 9955  ax-pre-ltadd 9956  ax-pre-mulgt0 9957
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1037  df-3an 1038  df-tru 1483  df-ex 1702  df-nf 1707  df-sb 1878  df-eu 2473  df-mo 2474  df-clab 2608  df-cleq 2614  df-clel 2617  df-nfc 2750  df-ne 2791  df-nel 2894  df-ral 2912  df-rex 2913  df-reu 2914  df-rab 2916  df-v 3188  df-sbc 3418  df-csb 3515  df-dif 3558  df-un 3560  df-in 3562  df-ss 3569  df-pss 3571  df-nul 3892  df-if 4059  df-pw 4132  df-sn 4149  df-pr 4151  df-tp 4153  df-op 4155  df-uni 4403  df-int 4441  df-iun 4487  df-br 4614  df-opab 4674  df-mpt 4675  df-tr 4713  df-eprel 4985  df-id 4989  df-po 4995  df-so 4996  df-fr 5033  df-we 5035  df-xp 5080  df-rel 5081  df-cnv 5082  df-co 5083  df-dm 5084  df-rn 5085  df-res 5086  df-ima 5087  df-pred 5639  df-ord 5685  df-on 5686  df-lim 5687  df-suc 5688  df-iota 5810  df-fun 5849  df-fn 5850  df-f 5851  df-f1 5852  df-fo 5853  df-f1o 5854  df-fv 5855  df-riota 6565  df-ov 6607  df-oprab 6608  df-mpt2 6609  df-om 7013  df-1st 7113  df-2nd 7114  df-wrecs 7352  df-recs 7413  df-rdg 7451  df-1o 7505  df-oadd 7509  df-er 7687  df-en 7900  df-dom 7901  df-sdom 7902  df-fin 7903  df-card 8709  df-pnf 10020  df-mnf 10021  df-xr 10022  df-ltxr 10023  df-le 10024  df-sub 10212  df-neg 10213  df-nn 10965  df-n0 11237  df-z 11322  df-uz 11632  df-fz 12269  df-fzo 12407  df-hash 13058  df-word 13238  df-concat 13240  df-substr 13242  df-pfx 40678
This theorem is referenced by:  pfxccat3a  40725
  Copyright terms: Public domain W3C validator