Users' Mathboxes Mathbox for Alexander van der Vekens < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  pfxcl Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem pfxcl 40711
Description: Closure of the prefix extractor. (Contributed by AV, 2-May-2020.)
Assertion
Ref Expression
pfxcl (𝑆 ∈ Word 𝐴 → (𝑆 prefix 𝐿) ∈ Word 𝐴)

Proof of Theorem pfxcl
Dummy variables 𝑥 𝑠 𝑙 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eleq1 2686 . 2 ((𝑆 prefix 𝐿) = ∅ → ((𝑆 prefix 𝐿) ∈ Word 𝐴 ↔ ∅ ∈ Word 𝐴))
2 n0 3912 . . . 4 ((𝑆 prefix 𝐿) ≠ ∅ ↔ ∃𝑥 𝑥 ∈ (𝑆 prefix 𝐿))
3 df-pfx 40707 . . . . . . 7 prefix = (𝑠 ∈ V, 𝑙 ∈ ℕ0 ↦ (𝑠 substr ⟨0, 𝑙⟩))
43elmpt2cl2 6838 . . . . . 6 (𝑥 ∈ (𝑆 prefix 𝐿) → 𝐿 ∈ ℕ0)
54idi 2 . . . . 5 (𝑥 ∈ (𝑆 prefix 𝐿) → 𝐿 ∈ ℕ0)
65exlimiv 1855 . . . 4 (∃𝑥 𝑥 ∈ (𝑆 prefix 𝐿) → 𝐿 ∈ ℕ0)
72, 6sylbi 207 . . 3 ((𝑆 prefix 𝐿) ≠ ∅ → 𝐿 ∈ ℕ0)
8 pfxval 40708 . . . 4 ((𝑆 ∈ Word 𝐴𝐿 ∈ ℕ0) → (𝑆 prefix 𝐿) = (𝑆 substr ⟨0, 𝐿⟩))
9 swrdcl 13365 . . . . 5 (𝑆 ∈ Word 𝐴 → (𝑆 substr ⟨0, 𝐿⟩) ∈ Word 𝐴)
109adantr 481 . . . 4 ((𝑆 ∈ Word 𝐴𝐿 ∈ ℕ0) → (𝑆 substr ⟨0, 𝐿⟩) ∈ Word 𝐴)
118, 10eqeltrd 2698 . . 3 ((𝑆 ∈ Word 𝐴𝐿 ∈ ℕ0) → (𝑆 prefix 𝐿) ∈ Word 𝐴)
127, 11sylan2 491 . 2 ((𝑆 ∈ Word 𝐴 ∧ (𝑆 prefix 𝐿) ≠ ∅) → (𝑆 prefix 𝐿) ∈ Word 𝐴)
13 wrd0 13277 . . 3 ∅ ∈ Word 𝐴
1413a1i 11 . 2 (𝑆 ∈ Word 𝐴 → ∅ ∈ Word 𝐴)
151, 12, 14pm2.61ne 2875 1 (𝑆 ∈ Word 𝐴 → (𝑆 prefix 𝐿) ∈ Word 𝐴)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 384  wex 1701  wcel 1987  wne 2790  Vcvv 3189  c0 3896  cop 4159  (class class class)co 6610  0cc0 9888  0cn0 11244  Word cword 13238   substr csubstr 13242   prefix cpfx 40706
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1719  ax-4 1734  ax-5 1836  ax-6 1885  ax-7 1932  ax-8 1989  ax-9 1996  ax-10 2016  ax-11 2031  ax-12 2044  ax-13 2245  ax-ext 2601  ax-rep 4736  ax-sep 4746  ax-nul 4754  ax-pow 4808  ax-pr 4872  ax-un 6909  ax-cnex 9944  ax-resscn 9945  ax-1cn 9946  ax-icn 9947  ax-addcl 9948  ax-addrcl 9949  ax-mulcl 9950  ax-mulrcl 9951  ax-mulcom 9952  ax-addass 9953  ax-mulass 9954  ax-distr 9955  ax-i2m1 9956  ax-1ne0 9957  ax-1rid 9958  ax-rnegex 9959  ax-rrecex 9960  ax-cnre 9961  ax-pre-lttri 9962  ax-pre-lttrn 9963  ax-pre-ltadd 9964  ax-pre-mulgt0 9965
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1037  df-3an 1038  df-tru 1483  df-ex 1702  df-nf 1707  df-sb 1878  df-eu 2473  df-mo 2474  df-clab 2608  df-cleq 2614  df-clel 2617  df-nfc 2750  df-ne 2791  df-nel 2894  df-ral 2912  df-rex 2913  df-reu 2914  df-rab 2916  df-v 3191  df-sbc 3422  df-csb 3519  df-dif 3562  df-un 3564  df-in 3566  df-ss 3573  df-pss 3575  df-nul 3897  df-if 4064  df-pw 4137  df-sn 4154  df-pr 4156  df-tp 4158  df-op 4160  df-uni 4408  df-int 4446  df-iun 4492  df-br 4619  df-opab 4679  df-mpt 4680  df-tr 4718  df-eprel 4990  df-id 4994  df-po 5000  df-so 5001  df-fr 5038  df-we 5040  df-xp 5085  df-rel 5086  df-cnv 5087  df-co 5088  df-dm 5089  df-rn 5090  df-res 5091  df-ima 5092  df-pred 5644  df-ord 5690  df-on 5691  df-lim 5692  df-suc 5693  df-iota 5815  df-fun 5854  df-fn 5855  df-f 5856  df-f1 5857  df-fo 5858  df-f1o 5859  df-fv 5860  df-riota 6571  df-ov 6613  df-oprab 6614  df-mpt2 6615  df-om 7020  df-1st 7120  df-2nd 7121  df-wrecs 7359  df-recs 7420  df-rdg 7458  df-1o 7512  df-er 7694  df-en 7908  df-dom 7909  df-sdom 7910  df-fin 7911  df-card 8717  df-pnf 10028  df-mnf 10029  df-xr 10030  df-ltxr 10031  df-le 10032  df-sub 10220  df-neg 10221  df-nn 10973  df-n0 11245  df-z 11330  df-uz 11640  df-fz 12277  df-fzo 12415  df-hash 13066  df-word 13246  df-substr 13250  df-pfx 40707
This theorem is referenced by:  pfxfvlsw  40728  pfxeq  40729  ccatpfx  40734  pfx2  40737  lenrevpfxcctswrd  40744  pfxccatin12  40750  repswpfx  40761
  Copyright terms: Public domain W3C validator