Users' Mathboxes Mathbox for Alexander van der Vekens < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  pfxco Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem pfxco 40758
Description: Mapping of words commutes with the prefix operation. (Contributed by AV, 15-May-2020.)
Assertion
Ref Expression
pfxco ((𝑊 ∈ Word 𝐴𝑁 ∈ (0...(#‘𝑊)) ∧ 𝐹:𝐴𝐵) → (𝐹 ∘ (𝑊 prefix 𝑁)) = ((𝐹𝑊) prefix 𝑁))

Proof of Theorem pfxco
StepHypRef Expression
1 elfznn0 12381 . . . . . 6 (𝑁 ∈ (0...(#‘𝑊)) → 𝑁 ∈ ℕ0)
213ad2ant2 1081 . . . . 5 ((𝑊 ∈ Word 𝐴𝑁 ∈ (0...(#‘𝑊)) ∧ 𝐹:𝐴𝐵) → 𝑁 ∈ ℕ0)
3 0elfz 12384 . . . . 5 (𝑁 ∈ ℕ0 → 0 ∈ (0...𝑁))
42, 3syl 17 . . . 4 ((𝑊 ∈ Word 𝐴𝑁 ∈ (0...(#‘𝑊)) ∧ 𝐹:𝐴𝐵) → 0 ∈ (0...𝑁))
5 simp2 1060 . . . 4 ((𝑊 ∈ Word 𝐴𝑁 ∈ (0...(#‘𝑊)) ∧ 𝐹:𝐴𝐵) → 𝑁 ∈ (0...(#‘𝑊)))
64, 5jca 554 . . 3 ((𝑊 ∈ Word 𝐴𝑁 ∈ (0...(#‘𝑊)) ∧ 𝐹:𝐴𝐵) → (0 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑁 ∈ (0...(#‘𝑊))))
7 swrdco 13527 . . 3 ((𝑊 ∈ Word 𝐴 ∧ (0 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑁 ∈ (0...(#‘𝑊))) ∧ 𝐹:𝐴𝐵) → (𝐹 ∘ (𝑊 substr ⟨0, 𝑁⟩)) = ((𝐹𝑊) substr ⟨0, 𝑁⟩))
86, 7syld3an2 1370 . 2 ((𝑊 ∈ Word 𝐴𝑁 ∈ (0...(#‘𝑊)) ∧ 𝐹:𝐴𝐵) → (𝐹 ∘ (𝑊 substr ⟨0, 𝑁⟩)) = ((𝐹𝑊) substr ⟨0, 𝑁⟩))
9 pfxval 40703 . . . . 5 ((𝑊 ∈ Word 𝐴𝑁 ∈ ℕ0) → (𝑊 prefix 𝑁) = (𝑊 substr ⟨0, 𝑁⟩))
101, 9sylan2 491 . . . 4 ((𝑊 ∈ Word 𝐴𝑁 ∈ (0...(#‘𝑊))) → (𝑊 prefix 𝑁) = (𝑊 substr ⟨0, 𝑁⟩))
1110coeq2d 5249 . . 3 ((𝑊 ∈ Word 𝐴𝑁 ∈ (0...(#‘𝑊))) → (𝐹 ∘ (𝑊 prefix 𝑁)) = (𝐹 ∘ (𝑊 substr ⟨0, 𝑁⟩)))
12113adant3 1079 . 2 ((𝑊 ∈ Word 𝐴𝑁 ∈ (0...(#‘𝑊)) ∧ 𝐹:𝐴𝐵) → (𝐹 ∘ (𝑊 prefix 𝑁)) = (𝐹 ∘ (𝑊 substr ⟨0, 𝑁⟩)))
13 ffun 6010 . . . . . . . 8 (𝐹:𝐴𝐵 → Fun 𝐹)
1413anim2i 592 . . . . . . 7 ((𝑊 ∈ Word 𝐴𝐹:𝐴𝐵) → (𝑊 ∈ Word 𝐴 ∧ Fun 𝐹))
1514ancomd 467 . . . . . 6 ((𝑊 ∈ Word 𝐴𝐹:𝐴𝐵) → (Fun 𝐹𝑊 ∈ Word 𝐴))
16153adant2 1078 . . . . 5 ((𝑊 ∈ Word 𝐴𝑁 ∈ (0...(#‘𝑊)) ∧ 𝐹:𝐴𝐵) → (Fun 𝐹𝑊 ∈ Word 𝐴))
17 cofunexg 7084 . . . . 5 ((Fun 𝐹𝑊 ∈ Word 𝐴) → (𝐹𝑊) ∈ V)
1816, 17syl 17 . . . 4 ((𝑊 ∈ Word 𝐴𝑁 ∈ (0...(#‘𝑊)) ∧ 𝐹:𝐴𝐵) → (𝐹𝑊) ∈ V)
1918, 2jca 554 . . 3 ((𝑊 ∈ Word 𝐴𝑁 ∈ (0...(#‘𝑊)) ∧ 𝐹:𝐴𝐵) → ((𝐹𝑊) ∈ V ∧ 𝑁 ∈ ℕ0))
20 pfxval 40703 . . 3 (((𝐹𝑊) ∈ V ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → ((𝐹𝑊) prefix 𝑁) = ((𝐹𝑊) substr ⟨0, 𝑁⟩))
2119, 20syl 17 . 2 ((𝑊 ∈ Word 𝐴𝑁 ∈ (0...(#‘𝑊)) ∧ 𝐹:𝐴𝐵) → ((𝐹𝑊) prefix 𝑁) = ((𝐹𝑊) substr ⟨0, 𝑁⟩))
228, 12, 213eqtr4d 2665 1 ((𝑊 ∈ Word 𝐴𝑁 ∈ (0...(#‘𝑊)) ∧ 𝐹:𝐴𝐵) → (𝐹 ∘ (𝑊 prefix 𝑁)) = ((𝐹𝑊) prefix 𝑁))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 384  w3a 1036   = wceq 1480  wcel 1987  Vcvv 3189  cop 4159  ccom 5083  Fun wfun 5846  wf 5848  cfv 5852  (class class class)co 6610  0cc0 9887  0cn0 11243  ...cfz 12275  #chash 13064  Word cword 13237   substr csubstr 13241   prefix cpfx 40701
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1719  ax-4 1734  ax-5 1836  ax-6 1885  ax-7 1932  ax-8 1989  ax-9 1996  ax-10 2016  ax-11 2031  ax-12 2044  ax-13 2245  ax-ext 2601  ax-rep 4736  ax-sep 4746  ax-nul 4754  ax-pow 4808  ax-pr 4872  ax-un 6909  ax-cnex 9943  ax-resscn 9944  ax-1cn 9945  ax-icn 9946  ax-addcl 9947  ax-addrcl 9948  ax-mulcl 9949  ax-mulrcl 9950  ax-mulcom 9951  ax-addass 9952  ax-mulass 9953  ax-distr 9954  ax-i2m1 9955  ax-1ne0 9956  ax-1rid 9957  ax-rnegex 9958  ax-rrecex 9959  ax-cnre 9960  ax-pre-lttri 9961  ax-pre-lttrn 9962  ax-pre-ltadd 9963  ax-pre-mulgt0 9964
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1037  df-3an 1038  df-tru 1483  df-ex 1702  df-nf 1707  df-sb 1878  df-eu 2473  df-mo 2474  df-clab 2608  df-cleq 2614  df-clel 2617  df-nfc 2750  df-ne 2791  df-nel 2894  df-ral 2912  df-rex 2913  df-reu 2914  df-rab 2916  df-v 3191  df-sbc 3422  df-csb 3519  df-dif 3562  df-un 3564  df-in 3566  df-ss 3573  df-pss 3575  df-nul 3897  df-if 4064  df-pw 4137  df-sn 4154  df-pr 4156  df-tp 4158  df-op 4160  df-uni 4408  df-int 4446  df-iun 4492  df-br 4619  df-opab 4679  df-mpt 4680  df-tr 4718  df-eprel 4990  df-id 4994  df-po 5000  df-so 5001  df-fr 5038  df-we 5040  df-xp 5085  df-rel 5086  df-cnv 5087  df-co 5088  df-dm 5089  df-rn 5090  df-res 5091  df-ima 5092  df-pred 5644  df-ord 5690  df-on 5691  df-lim 5692  df-suc 5693  df-iota 5815  df-fun 5854  df-fn 5855  df-f 5856  df-f1 5857  df-fo 5858  df-f1o 5859  df-fv 5860  df-riota 6571  df-ov 6613  df-oprab 6614  df-mpt2 6615  df-om 7020  df-1st 7120  df-2nd 7121  df-wrecs 7359  df-recs 7420  df-rdg 7458  df-1o 7512  df-er 7694  df-en 7907  df-dom 7908  df-sdom 7909  df-fin 7910  df-card 8716  df-pnf 10027  df-mnf 10028  df-xr 10029  df-ltxr 10030  df-le 10031  df-sub 10219  df-neg 10220  df-nn 10972  df-n0 11244  df-z 11329  df-uz 11639  df-fz 12276  df-fzo 12414  df-hash 13065  df-word 13245  df-substr 13249  df-pfx 40702
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator