Mathbox for Alexander van der Vekens < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  pfxmpt Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem pfxmpt 40707
 Description: Value of the prefix extractor as mapping. (Contributed by AV, 2-May-2020.)
Assertion
Ref Expression
pfxmpt ((𝑆 ∈ Word 𝐴𝐿 ∈ (0...(#‘𝑆))) → (𝑆 prefix 𝐿) = (𝑥 ∈ (0..^𝐿) ↦ (𝑆𝑥)))
Distinct variable groups:   𝑥,𝐿   𝑥,𝑆   𝑥,𝐴

Proof of Theorem pfxmpt
StepHypRef Expression
1 elfznn0 12381 . . 3 (𝐿 ∈ (0...(#‘𝑆)) → 𝐿 ∈ ℕ0)
2 pfxval 40703 . . 3 ((𝑆 ∈ Word 𝐴𝐿 ∈ ℕ0) → (𝑆 prefix 𝐿) = (𝑆 substr ⟨0, 𝐿⟩))
31, 2sylan2 491 . 2 ((𝑆 ∈ Word 𝐴𝐿 ∈ (0...(#‘𝑆))) → (𝑆 prefix 𝐿) = (𝑆 substr ⟨0, 𝐿⟩))
4 simpl 473 . . 3 ((𝑆 ∈ Word 𝐴𝐿 ∈ (0...(#‘𝑆))) → 𝑆 ∈ Word 𝐴)
51adantl 482 . . . 4 ((𝑆 ∈ Word 𝐴𝐿 ∈ (0...(#‘𝑆))) → 𝐿 ∈ ℕ0)
6 0elfz 12384 . . . 4 (𝐿 ∈ ℕ0 → 0 ∈ (0...𝐿))
75, 6syl 17 . . 3 ((𝑆 ∈ Word 𝐴𝐿 ∈ (0...(#‘𝑆))) → 0 ∈ (0...𝐿))
8 simpr 477 . . 3 ((𝑆 ∈ Word 𝐴𝐿 ∈ (0...(#‘𝑆))) → 𝐿 ∈ (0...(#‘𝑆)))
9 swrdval2 13365 . . 3 ((𝑆 ∈ Word 𝐴 ∧ 0 ∈ (0...𝐿) ∧ 𝐿 ∈ (0...(#‘𝑆))) → (𝑆 substr ⟨0, 𝐿⟩) = (𝑥 ∈ (0..^(𝐿 − 0)) ↦ (𝑆‘(𝑥 + 0))))
104, 7, 8, 9syl3anc 1323 . 2 ((𝑆 ∈ Word 𝐴𝐿 ∈ (0...(#‘𝑆))) → (𝑆 substr ⟨0, 𝐿⟩) = (𝑥 ∈ (0..^(𝐿 − 0)) ↦ (𝑆‘(𝑥 + 0))))
11 nn0cn 11253 . . . . . . 7 (𝐿 ∈ ℕ0𝐿 ∈ ℂ)
1211subid1d 10332 . . . . . 6 (𝐿 ∈ ℕ0 → (𝐿 − 0) = 𝐿)
131, 12syl 17 . . . . 5 (𝐿 ∈ (0...(#‘𝑆)) → (𝐿 − 0) = 𝐿)
1413oveq2d 6626 . . . 4 (𝐿 ∈ (0...(#‘𝑆)) → (0..^(𝐿 − 0)) = (0..^𝐿))
1514adantl 482 . . 3 ((𝑆 ∈ Word 𝐴𝐿 ∈ (0...(#‘𝑆))) → (0..^(𝐿 − 0)) = (0..^𝐿))
16 elfzonn0 12460 . . . . . 6 (𝑥 ∈ (0..^(𝐿 − 0)) → 𝑥 ∈ ℕ0)
17 nn0cn 11253 . . . . . . 7 (𝑥 ∈ ℕ0𝑥 ∈ ℂ)
1817addid1d 10187 . . . . . 6 (𝑥 ∈ ℕ0 → (𝑥 + 0) = 𝑥)
1916, 18syl 17 . . . . 5 (𝑥 ∈ (0..^(𝐿 − 0)) → (𝑥 + 0) = 𝑥)
2019fveq2d 6157 . . . 4 (𝑥 ∈ (0..^(𝐿 − 0)) → (𝑆‘(𝑥 + 0)) = (𝑆𝑥))
2120adantl 482 . . 3 (((𝑆 ∈ Word 𝐴𝐿 ∈ (0...(#‘𝑆))) ∧ 𝑥 ∈ (0..^(𝐿 − 0))) → (𝑆‘(𝑥 + 0)) = (𝑆𝑥))
2215, 21mpteq12dva 4697 . 2 ((𝑆 ∈ Word 𝐴𝐿 ∈ (0...(#‘𝑆))) → (𝑥 ∈ (0..^(𝐿 − 0)) ↦ (𝑆‘(𝑥 + 0))) = (𝑥 ∈ (0..^𝐿) ↦ (𝑆𝑥)))
233, 10, 223eqtrd 2659 1 ((𝑆 ∈ Word 𝐴𝐿 ∈ (0...(#‘𝑆))) → (𝑆 prefix 𝐿) = (𝑥 ∈ (0..^𝐿) ↦ (𝑆𝑥)))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 384   = wceq 1480   ∈ wcel 1987  ⟨cop 4159   ↦ cmpt 4678  ‘cfv 5852  (class class class)co 6610  0cc0 9887   + caddc 9890   − cmin 10217  ℕ0cn0 11243  ...cfz 12275  ..^cfzo 12413  #chash 13064  Word cword 13237   substr csubstr 13241   prefix cpfx 40701 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1719  ax-4 1734  ax-5 1836  ax-6 1885  ax-7 1932  ax-8 1989  ax-9 1996  ax-10 2016  ax-11 2031  ax-12 2044  ax-13 2245  ax-ext 2601  ax-rep 4736  ax-sep 4746  ax-nul 4754  ax-pow 4808  ax-pr 4872  ax-un 6909  ax-cnex 9943  ax-resscn 9944  ax-1cn 9945  ax-icn 9946  ax-addcl 9947  ax-addrcl 9948  ax-mulcl 9949  ax-mulrcl 9950  ax-mulcom 9951  ax-addass 9952  ax-mulass 9953  ax-distr 9954  ax-i2m1 9955  ax-1ne0 9956  ax-1rid 9957  ax-rnegex 9958  ax-rrecex 9959  ax-cnre 9960  ax-pre-lttri 9961  ax-pre-lttrn 9962  ax-pre-ltadd 9963  ax-pre-mulgt0 9964 This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1037  df-3an 1038  df-tru 1483  df-ex 1702  df-nf 1707  df-sb 1878  df-eu 2473  df-mo 2474  df-clab 2608  df-cleq 2614  df-clel 2617  df-nfc 2750  df-ne 2791  df-nel 2894  df-ral 2912  df-rex 2913  df-reu 2914  df-rab 2916  df-v 3191  df-sbc 3422  df-csb 3519  df-dif 3562  df-un 3564  df-in 3566  df-ss 3573  df-pss 3575  df-nul 3897  df-if 4064  df-pw 4137  df-sn 4154  df-pr 4156  df-tp 4158  df-op 4160  df-uni 4408  df-int 4446  df-iun 4492  df-br 4619  df-opab 4679  df-mpt 4680  df-tr 4718  df-eprel 4990  df-id 4994  df-po 5000  df-so 5001  df-fr 5038  df-we 5040  df-xp 5085  df-rel 5086  df-cnv 5087  df-co 5088  df-dm 5089  df-rn 5090  df-res 5091  df-ima 5092  df-pred 5644  df-ord 5690  df-on 5691  df-lim 5692  df-suc 5693  df-iota 5815  df-fun 5854  df-fn 5855  df-f 5856  df-f1 5857  df-fo 5858  df-f1o 5859  df-fv 5860  df-riota 6571  df-ov 6613  df-oprab 6614  df-mpt2 6615  df-om 7020  df-1st 7120  df-2nd 7121  df-wrecs 7359  df-recs 7420  df-rdg 7458  df-1o 7512  df-er 7694  df-en 7907  df-dom 7908  df-sdom 7909  df-fin 7910  df-card 8716  df-pnf 10027  df-mnf 10028  df-xr 10029  df-ltxr 10030  df-le 10031  df-sub 10219  df-neg 10220  df-nn 10972  df-n0 11244  df-z 11329  df-uz 11639  df-fz 12276  df-fzo 12414  df-hash 13065  df-word 13245  df-substr 13249  df-pfx 40702 This theorem is referenced by:  pfxres  40708  pfxf  40709
 Copyright terms: Public domain W3C validator