Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  pgp0 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem pgp0 17943
 Description: The identity subgroup is a 𝑃-group for every prime 𝑃. (Contributed by Mario Carneiro, 19-Jan-2015.)
Hypothesis
Ref Expression
pgp0.1 0 = (0g𝐺)
Assertion
Ref Expression
pgp0 ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑃 ∈ ℙ) → 𝑃 pGrp (𝐺s { 0 }))

Proof of Theorem pgp0
StepHypRef Expression
1 prmnn 15323 . . . . . 6 (𝑃 ∈ ℙ → 𝑃 ∈ ℕ)
21adantl 482 . . . . 5 ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑃 ∈ ℙ) → 𝑃 ∈ ℕ)
32nncnd 10988 . . . 4 ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑃 ∈ ℙ) → 𝑃 ∈ ℂ)
43exp0d 12950 . . 3 ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑃 ∈ ℙ) → (𝑃↑0) = 1)
5 pgp0.1 . . . . . 6 0 = (0g𝐺)
6 fvex 6163 . . . . . 6 (0g𝐺) ∈ V
75, 6eqeltri 2694 . . . . 5 0 ∈ V
8 hashsng 13107 . . . . 5 ( 0 ∈ V → (#‘{ 0 }) = 1)
97, 8ax-mp 5 . . . 4 (#‘{ 0 }) = 1
1050subg 17551 . . . . . . 7 (𝐺 ∈ Grp → { 0 } ∈ (SubGrp‘𝐺))
1110adantr 481 . . . . . 6 ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑃 ∈ ℙ) → { 0 } ∈ (SubGrp‘𝐺))
12 eqid 2621 . . . . . . 7 (𝐺s { 0 }) = (𝐺s { 0 })
1312subgbas 17530 . . . . . 6 ({ 0 } ∈ (SubGrp‘𝐺) → { 0 } = (Base‘(𝐺s { 0 })))
1411, 13syl 17 . . . . 5 ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑃 ∈ ℙ) → { 0 } = (Base‘(𝐺s { 0 })))
1514fveq2d 6157 . . . 4 ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑃 ∈ ℙ) → (#‘{ 0 }) = (#‘(Base‘(𝐺s { 0 }))))
169, 15syl5eqr 2669 . . 3 ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑃 ∈ ℙ) → 1 = (#‘(Base‘(𝐺s { 0 }))))
174, 16eqtr2d 2656 . 2 ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑃 ∈ ℙ) → (#‘(Base‘(𝐺s { 0 }))) = (𝑃↑0))
1812subggrp 17529 . . . 4 ({ 0 } ∈ (SubGrp‘𝐺) → (𝐺s { 0 }) ∈ Grp)
1911, 18syl 17 . . 3 ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑃 ∈ ℙ) → (𝐺s { 0 }) ∈ Grp)
20 simpr 477 . . 3 ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑃 ∈ ℙ) → 𝑃 ∈ ℙ)
21 0nn0 11259 . . . 4 0 ∈ ℕ0
2221a1i 11 . . 3 ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑃 ∈ ℙ) → 0 ∈ ℕ0)
23 eqid 2621 . . . 4 (Base‘(𝐺s { 0 })) = (Base‘(𝐺s { 0 }))
2423pgpfi1 17942 . . 3 (((𝐺s { 0 }) ∈ Grp ∧ 𝑃 ∈ ℙ ∧ 0 ∈ ℕ0) → ((#‘(Base‘(𝐺s { 0 }))) = (𝑃↑0) → 𝑃 pGrp (𝐺s { 0 })))
2519, 20, 22, 24syl3anc 1323 . 2 ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑃 ∈ ℙ) → ((#‘(Base‘(𝐺s { 0 }))) = (𝑃↑0) → 𝑃 pGrp (𝐺s { 0 })))
2617, 25mpd 15 1 ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑃 ∈ ℙ) → 𝑃 pGrp (𝐺s { 0 }))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 384   = wceq 1480   ∈ wcel 1987  Vcvv 3189  {csn 4153   class class class wbr 4618  ‘cfv 5852  (class class class)co 6610  0cc0 9888  1c1 9889  ℕcn 10972  ℕ0cn0 11244  ↑cexp 12808  #chash 13065  ℙcprime 15320  Basecbs 15792   ↾s cress 15793  0gc0g 16032  Grpcgrp 17354  SubGrpcsubg 17520   pGrp cpgp 17878 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1719  ax-4 1734  ax-5 1836  ax-6 1885  ax-7 1932  ax-8 1989  ax-9 1996  ax-10 2016  ax-11 2031  ax-12 2044  ax-13 2245  ax-ext 2601  ax-rep 4736  ax-sep 4746  ax-nul 4754  ax-pow 4808  ax-pr 4872  ax-un 6909  ax-inf2 8490  ax-cnex 9944  ax-resscn 9945  ax-1cn 9946  ax-icn 9947  ax-addcl 9948  ax-addrcl 9949  ax-mulcl 9950  ax-mulrcl 9951  ax-mulcom 9952  ax-addass 9953  ax-mulass 9954  ax-distr 9955  ax-i2m1 9956  ax-1ne0 9957  ax-1rid 9958  ax-rnegex 9959  ax-rrecex 9960  ax-cnre 9961  ax-pre-lttri 9962  ax-pre-lttrn 9963  ax-pre-ltadd 9964  ax-pre-mulgt0 9965  ax-pre-sup 9966 This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1037  df-3an 1038  df-tru 1483  df-fal 1486  df-ex 1702  df-nf 1707  df-sb 1878  df-eu 2473  df-mo 2474  df-clab 2608  df-cleq 2614  df-clel 2617  df-nfc 2750  df-ne 2791  df-nel 2894  df-ral 2912  df-rex 2913  df-reu 2914  df-rmo 2915  df-rab 2916  df-v 3191  df-sbc 3422  df-csb 3519  df-dif 3562  df-un 3564  df-in 3566  df-ss 3573  df-pss 3575  df-nul 3897  df-if 4064  df-pw 4137  df-sn 4154  df-pr 4156  df-tp 4158  df-op 4160  df-uni 4408  df-int 4446  df-iun 4492  df-disj 4589  df-br 4619  df-opab 4679  df-mpt 4680  df-tr 4718  df-eprel 4990  df-id 4994  df-po 5000  df-so 5001  df-fr 5038  df-se 5039  df-we 5040  df-xp 5085  df-rel 5086  df-cnv 5087  df-co 5088  df-dm 5089  df-rn 5090  df-res 5091  df-ima 5092  df-pred 5644  df-ord 5690  df-on 5691  df-lim 5692  df-suc 5693  df-iota 5815  df-fun 5854  df-fn 5855  df-f 5856  df-f1 5857  df-fo 5858  df-f1o 5859  df-fv 5860  df-isom 5861  df-riota 6571  df-ov 6613  df-oprab 6614  df-mpt2 6615  df-om 7020  df-1st 7120  df-2nd 7121  df-wrecs 7359  df-recs 7420  df-rdg 7458  df-1o 7512  df-2o 7513  df-oadd 7516  df-omul 7517  df-er 7694  df-ec 7696  df-qs 7700  df-map 7811  df-en 7908  df-dom 7909  df-sdom 7910  df-fin 7911  df-sup 8300  df-inf 8301  df-oi 8367  df-card 8717  df-acn 8720  df-pnf 10028  df-mnf 10029  df-xr 10030  df-ltxr 10031  df-le 10032  df-sub 10220  df-neg 10221  df-div 10637  df-nn 10973  df-2 11031  df-3 11032  df-n0 11245  df-z 11330  df-uz 11640  df-q 11741  df-rp 11785  df-fz 12277  df-fzo 12415  df-fl 12541  df-mod 12617  df-seq 12750  df-exp 12809  df-hash 13066  df-cj 13781  df-re 13782  df-im 13783  df-sqrt 13917  df-abs 13918  df-clim 14161  df-sum 14359  df-dvds 14919  df-gcd 15152  df-prm 15321  df-pc 15477  df-ndx 15795  df-slot 15796  df-base 15797  df-sets 15798  df-ress 15799  df-plusg 15886  df-0g 16034  df-mgm 17174  df-sgrp 17216  df-mnd 17227  df-grp 17357  df-minusg 17358  df-sbg 17359  df-mulg 17473  df-subg 17523  df-eqg 17525  df-od 17880  df-pgp 17882 This theorem is referenced by:  slwn0  17962
 Copyright terms: Public domain W3C validator