MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  pgpfac1 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem pgpfac1 19131
Description: Factorization of a finite abelian p-group. There is a direct product decomposition of any abelian group of prime-power order where one of the factors is cyclic and generated by an element of maximal order. (Contributed by Mario Carneiro, 27-Apr-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
pgpfac1.k 𝐾 = (mrCls‘(SubGrp‘𝐺))
pgpfac1.s 𝑆 = (𝐾‘{𝐴})
pgpfac1.b 𝐵 = (Base‘𝐺)
pgpfac1.o 𝑂 = (od‘𝐺)
pgpfac1.e 𝐸 = (gEx‘𝐺)
pgpfac1.z 0 = (0g𝐺)
pgpfac1.l = (LSSum‘𝐺)
pgpfac1.p (𝜑𝑃 pGrp 𝐺)
pgpfac1.g (𝜑𝐺 ∈ Abel)
pgpfac1.n (𝜑𝐵 ∈ Fin)
pgpfac1.oe (𝜑 → (𝑂𝐴) = 𝐸)
pgpfac1.ab (𝜑𝐴𝐵)
Assertion
Ref Expression
pgpfac1 (𝜑 → ∃𝑡 ∈ (SubGrp‘𝐺)((𝑆𝑡) = { 0 } ∧ (𝑆 𝑡) = 𝐵))
Distinct variable groups:   𝑡, 0   𝑡,𝐴   𝑡,   𝑡,𝑃   𝑡,𝐵   𝑡,𝐺   𝑡,𝑆   𝜑,𝑡   𝑡,𝐾
Allowed substitution hints:   𝐸(𝑡)   𝑂(𝑡)

Proof of Theorem pgpfac1
Dummy variables 𝑠 𝑢 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 pgpfac1.g . . 3 (𝜑𝐺 ∈ Abel)
2 ablgrp 18840 . . 3 (𝐺 ∈ Abel → 𝐺 ∈ Grp)
3 pgpfac1.b . . . 4 𝐵 = (Base‘𝐺)
43subgid 18219 . . 3 (𝐺 ∈ Grp → 𝐵 ∈ (SubGrp‘𝐺))
51, 2, 43syl 18 . 2 (𝜑𝐵 ∈ (SubGrp‘𝐺))
6 pgpfac1.ab . 2 (𝜑𝐴𝐵)
7 pgpfac1.n . . 3 (𝜑𝐵 ∈ Fin)
8 eleq1 2897 . . . . . . 7 (𝑠 = 𝑢 → (𝑠 ∈ (SubGrp‘𝐺) ↔ 𝑢 ∈ (SubGrp‘𝐺)))
9 eleq2 2898 . . . . . . 7 (𝑠 = 𝑢 → (𝐴𝑠𝐴𝑢))
108, 9anbi12d 630 . . . . . 6 (𝑠 = 𝑢 → ((𝑠 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝐴𝑠) ↔ (𝑢 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝐴𝑢)))
11 eqeq2 2830 . . . . . . . 8 (𝑠 = 𝑢 → ((𝑆 𝑡) = 𝑠 ↔ (𝑆 𝑡) = 𝑢))
1211anbi2d 628 . . . . . . 7 (𝑠 = 𝑢 → (((𝑆𝑡) = { 0 } ∧ (𝑆 𝑡) = 𝑠) ↔ ((𝑆𝑡) = { 0 } ∧ (𝑆 𝑡) = 𝑢)))
1312rexbidv 3294 . . . . . 6 (𝑠 = 𝑢 → (∃𝑡 ∈ (SubGrp‘𝐺)((𝑆𝑡) = { 0 } ∧ (𝑆 𝑡) = 𝑠) ↔ ∃𝑡 ∈ (SubGrp‘𝐺)((𝑆𝑡) = { 0 } ∧ (𝑆 𝑡) = 𝑢)))
1410, 13imbi12d 346 . . . . 5 (𝑠 = 𝑢 → (((𝑠 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝐴𝑠) → ∃𝑡 ∈ (SubGrp‘𝐺)((𝑆𝑡) = { 0 } ∧ (𝑆 𝑡) = 𝑠)) ↔ ((𝑢 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝐴𝑢) → ∃𝑡 ∈ (SubGrp‘𝐺)((𝑆𝑡) = { 0 } ∧ (𝑆 𝑡) = 𝑢))))
1514imbi2d 342 . . . 4 (𝑠 = 𝑢 → ((𝜑 → ((𝑠 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝐴𝑠) → ∃𝑡 ∈ (SubGrp‘𝐺)((𝑆𝑡) = { 0 } ∧ (𝑆 𝑡) = 𝑠))) ↔ (𝜑 → ((𝑢 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝐴𝑢) → ∃𝑡 ∈ (SubGrp‘𝐺)((𝑆𝑡) = { 0 } ∧ (𝑆 𝑡) = 𝑢)))))
16 eleq1 2897 . . . . . . 7 (𝑠 = 𝐵 → (𝑠 ∈ (SubGrp‘𝐺) ↔ 𝐵 ∈ (SubGrp‘𝐺)))
17 eleq2 2898 . . . . . . 7 (𝑠 = 𝐵 → (𝐴𝑠𝐴𝐵))
1816, 17anbi12d 630 . . . . . 6 (𝑠 = 𝐵 → ((𝑠 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝐴𝑠) ↔ (𝐵 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝐴𝐵)))
19 eqeq2 2830 . . . . . . . 8 (𝑠 = 𝐵 → ((𝑆 𝑡) = 𝑠 ↔ (𝑆 𝑡) = 𝐵))
2019anbi2d 628 . . . . . . 7 (𝑠 = 𝐵 → (((𝑆𝑡) = { 0 } ∧ (𝑆 𝑡) = 𝑠) ↔ ((𝑆𝑡) = { 0 } ∧ (𝑆 𝑡) = 𝐵)))
2120rexbidv 3294 . . . . . 6 (𝑠 = 𝐵 → (∃𝑡 ∈ (SubGrp‘𝐺)((𝑆𝑡) = { 0 } ∧ (𝑆 𝑡) = 𝑠) ↔ ∃𝑡 ∈ (SubGrp‘𝐺)((𝑆𝑡) = { 0 } ∧ (𝑆 𝑡) = 𝐵)))
2218, 21imbi12d 346 . . . . 5 (𝑠 = 𝐵 → (((𝑠 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝐴𝑠) → ∃𝑡 ∈ (SubGrp‘𝐺)((𝑆𝑡) = { 0 } ∧ (𝑆 𝑡) = 𝑠)) ↔ ((𝐵 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝐴𝐵) → ∃𝑡 ∈ (SubGrp‘𝐺)((𝑆𝑡) = { 0 } ∧ (𝑆 𝑡) = 𝐵))))
2322imbi2d 342 . . . 4 (𝑠 = 𝐵 → ((𝜑 → ((𝑠 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝐴𝑠) → ∃𝑡 ∈ (SubGrp‘𝐺)((𝑆𝑡) = { 0 } ∧ (𝑆 𝑡) = 𝑠))) ↔ (𝜑 → ((𝐵 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝐴𝐵) → ∃𝑡 ∈ (SubGrp‘𝐺)((𝑆𝑡) = { 0 } ∧ (𝑆 𝑡) = 𝐵)))))
24 bi2.04 389 . . . . . . . . . . 11 ((𝑠𝑢 → (𝑠 ∈ (SubGrp‘𝐺) → (𝐴𝑠 → ∃𝑡 ∈ (SubGrp‘𝐺)((𝑆𝑡) = { 0 } ∧ (𝑆 𝑡) = 𝑠)))) ↔ (𝑠 ∈ (SubGrp‘𝐺) → (𝑠𝑢 → (𝐴𝑠 → ∃𝑡 ∈ (SubGrp‘𝐺)((𝑆𝑡) = { 0 } ∧ (𝑆 𝑡) = 𝑠)))))
25 impexp 451 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑠 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝐴𝑠) → ∃𝑡 ∈ (SubGrp‘𝐺)((𝑆𝑡) = { 0 } ∧ (𝑆 𝑡) = 𝑠)) ↔ (𝑠 ∈ (SubGrp‘𝐺) → (𝐴𝑠 → ∃𝑡 ∈ (SubGrp‘𝐺)((𝑆𝑡) = { 0 } ∧ (𝑆 𝑡) = 𝑠))))
2625imbi2i 337 . . . . . . . . . . 11 ((𝑠𝑢 → ((𝑠 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝐴𝑠) → ∃𝑡 ∈ (SubGrp‘𝐺)((𝑆𝑡) = { 0 } ∧ (𝑆 𝑡) = 𝑠))) ↔ (𝑠𝑢 → (𝑠 ∈ (SubGrp‘𝐺) → (𝐴𝑠 → ∃𝑡 ∈ (SubGrp‘𝐺)((𝑆𝑡) = { 0 } ∧ (𝑆 𝑡) = 𝑠)))))
27 impexp 451 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑠𝑢𝐴𝑠) → ∃𝑡 ∈ (SubGrp‘𝐺)((𝑆𝑡) = { 0 } ∧ (𝑆 𝑡) = 𝑠)) ↔ (𝑠𝑢 → (𝐴𝑠 → ∃𝑡 ∈ (SubGrp‘𝐺)((𝑆𝑡) = { 0 } ∧ (𝑆 𝑡) = 𝑠))))
2827imbi2i 337 . . . . . . . . . . 11 ((𝑠 ∈ (SubGrp‘𝐺) → ((𝑠𝑢𝐴𝑠) → ∃𝑡 ∈ (SubGrp‘𝐺)((𝑆𝑡) = { 0 } ∧ (𝑆 𝑡) = 𝑠))) ↔ (𝑠 ∈ (SubGrp‘𝐺) → (𝑠𝑢 → (𝐴𝑠 → ∃𝑡 ∈ (SubGrp‘𝐺)((𝑆𝑡) = { 0 } ∧ (𝑆 𝑡) = 𝑠)))))
2924, 26, 283bitr4i 304 . . . . . . . . . 10 ((𝑠𝑢 → ((𝑠 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝐴𝑠) → ∃𝑡 ∈ (SubGrp‘𝐺)((𝑆𝑡) = { 0 } ∧ (𝑆 𝑡) = 𝑠))) ↔ (𝑠 ∈ (SubGrp‘𝐺) → ((𝑠𝑢𝐴𝑠) → ∃𝑡 ∈ (SubGrp‘𝐺)((𝑆𝑡) = { 0 } ∧ (𝑆 𝑡) = 𝑠))))
3029imbi2i 337 . . . . . . . . 9 ((𝜑 → (𝑠𝑢 → ((𝑠 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝐴𝑠) → ∃𝑡 ∈ (SubGrp‘𝐺)((𝑆𝑡) = { 0 } ∧ (𝑆 𝑡) = 𝑠)))) ↔ (𝜑 → (𝑠 ∈ (SubGrp‘𝐺) → ((𝑠𝑢𝐴𝑠) → ∃𝑡 ∈ (SubGrp‘𝐺)((𝑆𝑡) = { 0 } ∧ (𝑆 𝑡) = 𝑠)))))
31 bi2.04 389 . . . . . . . . 9 ((𝑠𝑢 → (𝜑 → ((𝑠 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝐴𝑠) → ∃𝑡 ∈ (SubGrp‘𝐺)((𝑆𝑡) = { 0 } ∧ (𝑆 𝑡) = 𝑠)))) ↔ (𝜑 → (𝑠𝑢 → ((𝑠 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝐴𝑠) → ∃𝑡 ∈ (SubGrp‘𝐺)((𝑆𝑡) = { 0 } ∧ (𝑆 𝑡) = 𝑠)))))
32 bi2.04 389 . . . . . . . . 9 ((𝑠 ∈ (SubGrp‘𝐺) → (𝜑 → ((𝑠𝑢𝐴𝑠) → ∃𝑡 ∈ (SubGrp‘𝐺)((𝑆𝑡) = { 0 } ∧ (𝑆 𝑡) = 𝑠)))) ↔ (𝜑 → (𝑠 ∈ (SubGrp‘𝐺) → ((𝑠𝑢𝐴𝑠) → ∃𝑡 ∈ (SubGrp‘𝐺)((𝑆𝑡) = { 0 } ∧ (𝑆 𝑡) = 𝑠)))))
3330, 31, 323bitr4i 304 . . . . . . . 8 ((𝑠𝑢 → (𝜑 → ((𝑠 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝐴𝑠) → ∃𝑡 ∈ (SubGrp‘𝐺)((𝑆𝑡) = { 0 } ∧ (𝑆 𝑡) = 𝑠)))) ↔ (𝑠 ∈ (SubGrp‘𝐺) → (𝜑 → ((𝑠𝑢𝐴𝑠) → ∃𝑡 ∈ (SubGrp‘𝐺)((𝑆𝑡) = { 0 } ∧ (𝑆 𝑡) = 𝑠)))))
3433albii 1811 . . . . . . 7 (∀𝑠(𝑠𝑢 → (𝜑 → ((𝑠 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝐴𝑠) → ∃𝑡 ∈ (SubGrp‘𝐺)((𝑆𝑡) = { 0 } ∧ (𝑆 𝑡) = 𝑠)))) ↔ ∀𝑠(𝑠 ∈ (SubGrp‘𝐺) → (𝜑 → ((𝑠𝑢𝐴𝑠) → ∃𝑡 ∈ (SubGrp‘𝐺)((𝑆𝑡) = { 0 } ∧ (𝑆 𝑡) = 𝑠)))))
35 df-ral 3140 . . . . . . 7 (∀𝑠 ∈ (SubGrp‘𝐺)(𝜑 → ((𝑠𝑢𝐴𝑠) → ∃𝑡 ∈ (SubGrp‘𝐺)((𝑆𝑡) = { 0 } ∧ (𝑆 𝑡) = 𝑠))) ↔ ∀𝑠(𝑠 ∈ (SubGrp‘𝐺) → (𝜑 → ((𝑠𝑢𝐴𝑠) → ∃𝑡 ∈ (SubGrp‘𝐺)((𝑆𝑡) = { 0 } ∧ (𝑆 𝑡) = 𝑠)))))
36 r19.21v 3172 . . . . . . 7 (∀𝑠 ∈ (SubGrp‘𝐺)(𝜑 → ((𝑠𝑢𝐴𝑠) → ∃𝑡 ∈ (SubGrp‘𝐺)((𝑆𝑡) = { 0 } ∧ (𝑆 𝑡) = 𝑠))) ↔ (𝜑 → ∀𝑠 ∈ (SubGrp‘𝐺)((𝑠𝑢𝐴𝑠) → ∃𝑡 ∈ (SubGrp‘𝐺)((𝑆𝑡) = { 0 } ∧ (𝑆 𝑡) = 𝑠))))
3734, 35, 363bitr2i 300 . . . . . 6 (∀𝑠(𝑠𝑢 → (𝜑 → ((𝑠 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝐴𝑠) → ∃𝑡 ∈ (SubGrp‘𝐺)((𝑆𝑡) = { 0 } ∧ (𝑆 𝑡) = 𝑠)))) ↔ (𝜑 → ∀𝑠 ∈ (SubGrp‘𝐺)((𝑠𝑢𝐴𝑠) → ∃𝑡 ∈ (SubGrp‘𝐺)((𝑆𝑡) = { 0 } ∧ (𝑆 𝑡) = 𝑠))))
38 psseq1 4061 . . . . . . . . . . 11 (𝑥 = 𝑠 → (𝑥𝑢𝑠𝑢))
39 eleq2 2898 . . . . . . . . . . 11 (𝑥 = 𝑠 → (𝐴𝑥𝐴𝑠))
4038, 39anbi12d 630 . . . . . . . . . 10 (𝑥 = 𝑠 → ((𝑥𝑢𝐴𝑥) ↔ (𝑠𝑢𝐴𝑠)))
41 ineq2 4180 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑦 = 𝑡 → (𝑆𝑦) = (𝑆𝑡))
4241eqeq1d 2820 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑦 = 𝑡 → ((𝑆𝑦) = { 0 } ↔ (𝑆𝑡) = { 0 }))
43 oveq2 7153 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑦 = 𝑡 → (𝑆 𝑦) = (𝑆 𝑡))
4443eqeq1d 2820 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑦 = 𝑡 → ((𝑆 𝑦) = 𝑥 ↔ (𝑆 𝑡) = 𝑥))
4542, 44anbi12d 630 . . . . . . . . . . . 12 (𝑦 = 𝑡 → (((𝑆𝑦) = { 0 } ∧ (𝑆 𝑦) = 𝑥) ↔ ((𝑆𝑡) = { 0 } ∧ (𝑆 𝑡) = 𝑥)))
4645cbvrexvw 3448 . . . . . . . . . . 11 (∃𝑦 ∈ (SubGrp‘𝐺)((𝑆𝑦) = { 0 } ∧ (𝑆 𝑦) = 𝑥) ↔ ∃𝑡 ∈ (SubGrp‘𝐺)((𝑆𝑡) = { 0 } ∧ (𝑆 𝑡) = 𝑥))
47 eqeq2 2830 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑥 = 𝑠 → ((𝑆 𝑡) = 𝑥 ↔ (𝑆 𝑡) = 𝑠))
4847anbi2d 628 . . . . . . . . . . . 12 (𝑥 = 𝑠 → (((𝑆𝑡) = { 0 } ∧ (𝑆 𝑡) = 𝑥) ↔ ((𝑆𝑡) = { 0 } ∧ (𝑆 𝑡) = 𝑠)))
4948rexbidv 3294 . . . . . . . . . . 11 (𝑥 = 𝑠 → (∃𝑡 ∈ (SubGrp‘𝐺)((𝑆𝑡) = { 0 } ∧ (𝑆 𝑡) = 𝑥) ↔ ∃𝑡 ∈ (SubGrp‘𝐺)((𝑆𝑡) = { 0 } ∧ (𝑆 𝑡) = 𝑠)))
5046, 49syl5bb 284 . . . . . . . . . 10 (𝑥 = 𝑠 → (∃𝑦 ∈ (SubGrp‘𝐺)((𝑆𝑦) = { 0 } ∧ (𝑆 𝑦) = 𝑥) ↔ ∃𝑡 ∈ (SubGrp‘𝐺)((𝑆𝑡) = { 0 } ∧ (𝑆 𝑡) = 𝑠)))
5140, 50imbi12d 346 . . . . . . . . 9 (𝑥 = 𝑠 → (((𝑥𝑢𝐴𝑥) → ∃𝑦 ∈ (SubGrp‘𝐺)((𝑆𝑦) = { 0 } ∧ (𝑆 𝑦) = 𝑥)) ↔ ((𝑠𝑢𝐴𝑠) → ∃𝑡 ∈ (SubGrp‘𝐺)((𝑆𝑡) = { 0 } ∧ (𝑆 𝑡) = 𝑠))))
5251cbvralvw 3447 . . . . . . . 8 (∀𝑥 ∈ (SubGrp‘𝐺)((𝑥𝑢𝐴𝑥) → ∃𝑦 ∈ (SubGrp‘𝐺)((𝑆𝑦) = { 0 } ∧ (𝑆 𝑦) = 𝑥)) ↔ ∀𝑠 ∈ (SubGrp‘𝐺)((𝑠𝑢𝐴𝑠) → ∃𝑡 ∈ (SubGrp‘𝐺)((𝑆𝑡) = { 0 } ∧ (𝑆 𝑡) = 𝑠)))
53 pgpfac1.k . . . . . . . . . 10 𝐾 = (mrCls‘(SubGrp‘𝐺))
54 pgpfac1.s . . . . . . . . . 10 𝑆 = (𝐾‘{𝐴})
55 pgpfac1.o . . . . . . . . . 10 𝑂 = (od‘𝐺)
56 pgpfac1.e . . . . . . . . . 10 𝐸 = (gEx‘𝐺)
57 pgpfac1.z . . . . . . . . . 10 0 = (0g𝐺)
58 pgpfac1.l . . . . . . . . . 10 = (LSSum‘𝐺)
59 pgpfac1.p . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝑃 pGrp 𝐺)
6059adantr 481 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ (∀𝑥 ∈ (SubGrp‘𝐺)((𝑥𝑢𝐴𝑥) → ∃𝑦 ∈ (SubGrp‘𝐺)((𝑆𝑦) = { 0 } ∧ (𝑆 𝑦) = 𝑥)) ∧ (𝑢 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝐴𝑢))) → 𝑃 pGrp 𝐺)
611adantr 481 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ (∀𝑥 ∈ (SubGrp‘𝐺)((𝑥𝑢𝐴𝑥) → ∃𝑦 ∈ (SubGrp‘𝐺)((𝑆𝑦) = { 0 } ∧ (𝑆 𝑦) = 𝑥)) ∧ (𝑢 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝐴𝑢))) → 𝐺 ∈ Abel)
627adantr 481 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ (∀𝑥 ∈ (SubGrp‘𝐺)((𝑥𝑢𝐴𝑥) → ∃𝑦 ∈ (SubGrp‘𝐺)((𝑆𝑦) = { 0 } ∧ (𝑆 𝑦) = 𝑥)) ∧ (𝑢 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝐴𝑢))) → 𝐵 ∈ Fin)
63 pgpfac1.oe . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (𝑂𝐴) = 𝐸)
6463adantr 481 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ (∀𝑥 ∈ (SubGrp‘𝐺)((𝑥𝑢𝐴𝑥) → ∃𝑦 ∈ (SubGrp‘𝐺)((𝑆𝑦) = { 0 } ∧ (𝑆 𝑦) = 𝑥)) ∧ (𝑢 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝐴𝑢))) → (𝑂𝐴) = 𝐸)
65 simprrl 777 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ (∀𝑥 ∈ (SubGrp‘𝐺)((𝑥𝑢𝐴𝑥) → ∃𝑦 ∈ (SubGrp‘𝐺)((𝑆𝑦) = { 0 } ∧ (𝑆 𝑦) = 𝑥)) ∧ (𝑢 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝐴𝑢))) → 𝑢 ∈ (SubGrp‘𝐺))
66 simprrr 778 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ (∀𝑥 ∈ (SubGrp‘𝐺)((𝑥𝑢𝐴𝑥) → ∃𝑦 ∈ (SubGrp‘𝐺)((𝑆𝑦) = { 0 } ∧ (𝑆 𝑦) = 𝑥)) ∧ (𝑢 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝐴𝑢))) → 𝐴𝑢)
67 simprl 767 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑 ∧ (∀𝑥 ∈ (SubGrp‘𝐺)((𝑥𝑢𝐴𝑥) → ∃𝑦 ∈ (SubGrp‘𝐺)((𝑆𝑦) = { 0 } ∧ (𝑆 𝑦) = 𝑥)) ∧ (𝑢 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝐴𝑢))) → ∀𝑥 ∈ (SubGrp‘𝐺)((𝑥𝑢𝐴𝑥) → ∃𝑦 ∈ (SubGrp‘𝐺)((𝑆𝑦) = { 0 } ∧ (𝑆 𝑦) = 𝑥)))
6867, 52sylib 219 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ (∀𝑥 ∈ (SubGrp‘𝐺)((𝑥𝑢𝐴𝑥) → ∃𝑦 ∈ (SubGrp‘𝐺)((𝑆𝑦) = { 0 } ∧ (𝑆 𝑦) = 𝑥)) ∧ (𝑢 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝐴𝑢))) → ∀𝑠 ∈ (SubGrp‘𝐺)((𝑠𝑢𝐴𝑠) → ∃𝑡 ∈ (SubGrp‘𝐺)((𝑆𝑡) = { 0 } ∧ (𝑆 𝑡) = 𝑠)))
6953, 54, 3, 55, 56, 57, 58, 60, 61, 62, 64, 65, 66, 68pgpfac1lem5 19130 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ (∀𝑥 ∈ (SubGrp‘𝐺)((𝑥𝑢𝐴𝑥) → ∃𝑦 ∈ (SubGrp‘𝐺)((𝑆𝑦) = { 0 } ∧ (𝑆 𝑦) = 𝑥)) ∧ (𝑢 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝐴𝑢))) → ∃𝑡 ∈ (SubGrp‘𝐺)((𝑆𝑡) = { 0 } ∧ (𝑆 𝑡) = 𝑢))
7069exp32 421 . . . . . . . 8 (𝜑 → (∀𝑥 ∈ (SubGrp‘𝐺)((𝑥𝑢𝐴𝑥) → ∃𝑦 ∈ (SubGrp‘𝐺)((𝑆𝑦) = { 0 } ∧ (𝑆 𝑦) = 𝑥)) → ((𝑢 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝐴𝑢) → ∃𝑡 ∈ (SubGrp‘𝐺)((𝑆𝑡) = { 0 } ∧ (𝑆 𝑡) = 𝑢))))
7152, 70syl5bir 244 . . . . . . 7 (𝜑 → (∀𝑠 ∈ (SubGrp‘𝐺)((𝑠𝑢𝐴𝑠) → ∃𝑡 ∈ (SubGrp‘𝐺)((𝑆𝑡) = { 0 } ∧ (𝑆 𝑡) = 𝑠)) → ((𝑢 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝐴𝑢) → ∃𝑡 ∈ (SubGrp‘𝐺)((𝑆𝑡) = { 0 } ∧ (𝑆 𝑡) = 𝑢))))
7271a2i 14 . . . . . 6 ((𝜑 → ∀𝑠 ∈ (SubGrp‘𝐺)((𝑠𝑢𝐴𝑠) → ∃𝑡 ∈ (SubGrp‘𝐺)((𝑆𝑡) = { 0 } ∧ (𝑆 𝑡) = 𝑠))) → (𝜑 → ((𝑢 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝐴𝑢) → ∃𝑡 ∈ (SubGrp‘𝐺)((𝑆𝑡) = { 0 } ∧ (𝑆 𝑡) = 𝑢))))
7337, 72sylbi 218 . . . . 5 (∀𝑠(𝑠𝑢 → (𝜑 → ((𝑠 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝐴𝑠) → ∃𝑡 ∈ (SubGrp‘𝐺)((𝑆𝑡) = { 0 } ∧ (𝑆 𝑡) = 𝑠)))) → (𝜑 → ((𝑢 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝐴𝑢) → ∃𝑡 ∈ (SubGrp‘𝐺)((𝑆𝑡) = { 0 } ∧ (𝑆 𝑡) = 𝑢))))
7473a1i 11 . . . 4 (𝑢 ∈ Fin → (∀𝑠(𝑠𝑢 → (𝜑 → ((𝑠 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝐴𝑠) → ∃𝑡 ∈ (SubGrp‘𝐺)((𝑆𝑡) = { 0 } ∧ (𝑆 𝑡) = 𝑠)))) → (𝜑 → ((𝑢 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝐴𝑢) → ∃𝑡 ∈ (SubGrp‘𝐺)((𝑆𝑡) = { 0 } ∧ (𝑆 𝑡) = 𝑢)))))
7515, 23, 74findcard3 8749 . . 3 (𝐵 ∈ Fin → (𝜑 → ((𝐵 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝐴𝐵) → ∃𝑡 ∈ (SubGrp‘𝐺)((𝑆𝑡) = { 0 } ∧ (𝑆 𝑡) = 𝐵))))
767, 75mpcom 38 . 2 (𝜑 → ((𝐵 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝐴𝐵) → ∃𝑡 ∈ (SubGrp‘𝐺)((𝑆𝑡) = { 0 } ∧ (𝑆 𝑡) = 𝐵)))
775, 6, 76mp2and 695 1 (𝜑 → ∃𝑡 ∈ (SubGrp‘𝐺)((𝑆𝑡) = { 0 } ∧ (𝑆 𝑡) = 𝐵))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 396  wal 1526   = wceq 1528  wcel 2105  wral 3135  wrex 3136  cin 3932  wpss 3934  {csn 4557   class class class wbr 5057  cfv 6348  (class class class)co 7145  Fincfn 8497  Basecbs 16471  0gc0g 16701  mrClscmrc 16842  Grpcgrp 18041  SubGrpcsubg 18211  odcod 18581  gExcgex 18582   pGrp cpgp 18583  LSSumclsm 18688  Abelcabl 18836
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1787  ax-4 1801  ax-5 1902  ax-6 1961  ax-7 2006  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2151  ax-12 2167  ax-ext 2790  ax-rep 5181  ax-sep 5194  ax-nul 5201  ax-pow 5257  ax-pr 5320  ax-un 7450  ax-inf2 9092  ax-cnex 10581  ax-resscn 10582  ax-1cn 10583  ax-icn 10584  ax-addcl 10585  ax-addrcl 10586  ax-mulcl 10587  ax-mulrcl 10588  ax-mulcom 10589  ax-addass 10590  ax-mulass 10591  ax-distr 10592  ax-i2m1 10593  ax-1ne0 10594  ax-1rid 10595  ax-rnegex 10596  ax-rrecex 10597  ax-cnre 10598  ax-pre-lttri 10599  ax-pre-lttrn 10600  ax-pre-ltadd 10601  ax-pre-mulgt0 10602  ax-pre-sup 10603
This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 842  df-3or 1080  df-3an 1081  df-tru 1531  df-fal 1541  df-ex 1772  df-nf 1776  df-sb 2061  df-mo 2615  df-eu 2647  df-clab 2797  df-cleq 2811  df-clel 2890  df-nfc 2960  df-ne 3014  df-nel 3121  df-ral 3140  df-rex 3141  df-reu 3142  df-rmo 3143  df-rab 3144  df-v 3494  df-sbc 3770  df-csb 3881  df-dif 3936  df-un 3938  df-in 3940  df-ss 3949  df-pss 3951  df-nul 4289  df-if 4464  df-pw 4537  df-sn 4558  df-pr 4560  df-tp 4562  df-op 4564  df-uni 4831  df-int 4868  df-iun 4912  df-iin 4913  df-disj 5023  df-br 5058  df-opab 5120  df-mpt 5138  df-tr 5164  df-id 5453  df-eprel 5458  df-po 5467  df-so 5468  df-fr 5507  df-se 5508  df-we 5509  df-xp 5554  df-rel 5555  df-cnv 5556  df-co 5557  df-dm 5558  df-rn 5559  df-res 5560  df-ima 5561  df-pred 6141  df-ord 6187  df-on 6188  df-lim 6189  df-suc 6190  df-iota 6307  df-fun 6350  df-fn 6351  df-f 6352  df-f1 6353  df-fo 6354  df-f1o 6355  df-fv 6356  df-isom 6357  df-riota 7103  df-ov 7148  df-oprab 7149  df-mpo 7150  df-rpss 7438  df-om 7570  df-1st 7678  df-2nd 7679  df-wrecs 7936  df-recs 7997  df-rdg 8035  df-1o 8091  df-2o 8092  df-oadd 8095  df-omul 8096  df-er 8278  df-ec 8280  df-qs 8284  df-map 8397  df-en 8498  df-dom 8499  df-sdom 8500  df-fin 8501  df-sup 8894  df-inf 8895  df-oi 8962  df-dju 9318  df-card 9356  df-acn 9359  df-pnf 10665  df-mnf 10666  df-xr 10667  df-ltxr 10668  df-le 10669  df-sub 10860  df-neg 10861  df-div 11286  df-nn 11627  df-2 11688  df-3 11689  df-n0 11886  df-xnn0 11956  df-z 11970  df-uz 12232  df-q 12337  df-rp 12378  df-fz 12881  df-fzo 13022  df-fl 13150  df-mod 13226  df-seq 13358  df-exp 13418  df-fac 13622  df-bc 13651  df-hash 13679  df-cj 14446  df-re 14447  df-im 14448  df-sqrt 14582  df-abs 14583  df-clim 14833  df-sum 15031  df-dvds 15596  df-gcd 15832  df-prm 16004  df-pc 16162  df-ndx 16474  df-slot 16475  df-base 16477  df-sets 16478  df-ress 16479  df-plusg 16566  df-0g 16703  df-mre 16845  df-mrc 16846  df-acs 16848  df-mgm 17840  df-sgrp 17889  df-mnd 17900  df-submnd 17945  df-grp 18044  df-minusg 18045  df-sbg 18046  df-mulg 18163  df-subg 18214  df-eqg 18216  df-ga 18358  df-cntz 18385  df-od 18585  df-gex 18586  df-pgp 18587  df-lsm 18690  df-cmn 18837  df-abl 18838
This theorem is referenced by:  pgpfaclem3  19134
  Copyright terms: Public domain W3C validator