Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  pgpfac1 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem pgpfac1 18671
 Description: Factorization of a finite abelian p-group. There is a direct product decomposition of any abelian group of prime-power order where one of the factors is cyclic and generated by an element of maximal order. (Contributed by Mario Carneiro, 27-Apr-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
pgpfac1.k 𝐾 = (mrCls‘(SubGrp‘𝐺))
pgpfac1.s 𝑆 = (𝐾‘{𝐴})
pgpfac1.b 𝐵 = (Base‘𝐺)
pgpfac1.o 𝑂 = (od‘𝐺)
pgpfac1.e 𝐸 = (gEx‘𝐺)
pgpfac1.z 0 = (0g𝐺)
pgpfac1.l = (LSSum‘𝐺)
pgpfac1.p (𝜑𝑃 pGrp 𝐺)
pgpfac1.g (𝜑𝐺 ∈ Abel)
pgpfac1.n (𝜑𝐵 ∈ Fin)
pgpfac1.oe (𝜑 → (𝑂𝐴) = 𝐸)
pgpfac1.ab (𝜑𝐴𝐵)
Assertion
Ref Expression
pgpfac1 (𝜑 → ∃𝑡 ∈ (SubGrp‘𝐺)((𝑆𝑡) = { 0 } ∧ (𝑆 𝑡) = 𝐵))
Distinct variable groups:   𝑡, 0   𝑡,𝐴   𝑡,   𝑡,𝑃   𝑡,𝐵   𝑡,𝐺   𝑡,𝑆   𝜑,𝑡   𝑡,𝐾
Allowed substitution hints:   𝐸(𝑡)   𝑂(𝑡)

Proof of Theorem pgpfac1
Dummy variables 𝑠 𝑢 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 pgpfac1.g . . 3 (𝜑𝐺 ∈ Abel)
2 ablgrp 18390 . . 3 (𝐺 ∈ Abel → 𝐺 ∈ Grp)
3 pgpfac1.b . . . 4 𝐵 = (Base‘𝐺)
43subgid 17789 . . 3 (𝐺 ∈ Grp → 𝐵 ∈ (SubGrp‘𝐺))
51, 2, 43syl 18 . 2 (𝜑𝐵 ∈ (SubGrp‘𝐺))
6 pgpfac1.ab . 2 (𝜑𝐴𝐵)
7 pgpfac1.n . . 3 (𝜑𝐵 ∈ Fin)
8 eleq1 2819 . . . . . . 7 (𝑠 = 𝑢 → (𝑠 ∈ (SubGrp‘𝐺) ↔ 𝑢 ∈ (SubGrp‘𝐺)))
9 eleq2 2820 . . . . . . 7 (𝑠 = 𝑢 → (𝐴𝑠𝐴𝑢))
108, 9anbi12d 749 . . . . . 6 (𝑠 = 𝑢 → ((𝑠 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝐴𝑠) ↔ (𝑢 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝐴𝑢)))
11 eqeq2 2763 . . . . . . . 8 (𝑠 = 𝑢 → ((𝑆 𝑡) = 𝑠 ↔ (𝑆 𝑡) = 𝑢))
1211anbi2d 742 . . . . . . 7 (𝑠 = 𝑢 → (((𝑆𝑡) = { 0 } ∧ (𝑆 𝑡) = 𝑠) ↔ ((𝑆𝑡) = { 0 } ∧ (𝑆 𝑡) = 𝑢)))
1312rexbidv 3182 . . . . . 6 (𝑠 = 𝑢 → (∃𝑡 ∈ (SubGrp‘𝐺)((𝑆𝑡) = { 0 } ∧ (𝑆 𝑡) = 𝑠) ↔ ∃𝑡 ∈ (SubGrp‘𝐺)((𝑆𝑡) = { 0 } ∧ (𝑆 𝑡) = 𝑢)))
1410, 13imbi12d 333 . . . . 5 (𝑠 = 𝑢 → (((𝑠 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝐴𝑠) → ∃𝑡 ∈ (SubGrp‘𝐺)((𝑆𝑡) = { 0 } ∧ (𝑆 𝑡) = 𝑠)) ↔ ((𝑢 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝐴𝑢) → ∃𝑡 ∈ (SubGrp‘𝐺)((𝑆𝑡) = { 0 } ∧ (𝑆 𝑡) = 𝑢))))
1514imbi2d 329 . . . 4 (𝑠 = 𝑢 → ((𝜑 → ((𝑠 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝐴𝑠) → ∃𝑡 ∈ (SubGrp‘𝐺)((𝑆𝑡) = { 0 } ∧ (𝑆 𝑡) = 𝑠))) ↔ (𝜑 → ((𝑢 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝐴𝑢) → ∃𝑡 ∈ (SubGrp‘𝐺)((𝑆𝑡) = { 0 } ∧ (𝑆 𝑡) = 𝑢)))))
16 eleq1 2819 . . . . . . 7 (𝑠 = 𝐵 → (𝑠 ∈ (SubGrp‘𝐺) ↔ 𝐵 ∈ (SubGrp‘𝐺)))
17 eleq2 2820 . . . . . . 7 (𝑠 = 𝐵 → (𝐴𝑠𝐴𝐵))
1816, 17anbi12d 749 . . . . . 6 (𝑠 = 𝐵 → ((𝑠 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝐴𝑠) ↔ (𝐵 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝐴𝐵)))
19 eqeq2 2763 . . . . . . . 8 (𝑠 = 𝐵 → ((𝑆 𝑡) = 𝑠 ↔ (𝑆 𝑡) = 𝐵))
2019anbi2d 742 . . . . . . 7 (𝑠 = 𝐵 → (((𝑆𝑡) = { 0 } ∧ (𝑆 𝑡) = 𝑠) ↔ ((𝑆𝑡) = { 0 } ∧ (𝑆 𝑡) = 𝐵)))
2120rexbidv 3182 . . . . . 6 (𝑠 = 𝐵 → (∃𝑡 ∈ (SubGrp‘𝐺)((𝑆𝑡) = { 0 } ∧ (𝑆 𝑡) = 𝑠) ↔ ∃𝑡 ∈ (SubGrp‘𝐺)((𝑆𝑡) = { 0 } ∧ (𝑆 𝑡) = 𝐵)))
2218, 21imbi12d 333 . . . . 5 (𝑠 = 𝐵 → (((𝑠 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝐴𝑠) → ∃𝑡 ∈ (SubGrp‘𝐺)((𝑆𝑡) = { 0 } ∧ (𝑆 𝑡) = 𝑠)) ↔ ((𝐵 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝐴𝐵) → ∃𝑡 ∈ (SubGrp‘𝐺)((𝑆𝑡) = { 0 } ∧ (𝑆 𝑡) = 𝐵))))
2322imbi2d 329 . . . 4 (𝑠 = 𝐵 → ((𝜑 → ((𝑠 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝐴𝑠) → ∃𝑡 ∈ (SubGrp‘𝐺)((𝑆𝑡) = { 0 } ∧ (𝑆 𝑡) = 𝑠))) ↔ (𝜑 → ((𝐵 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝐴𝐵) → ∃𝑡 ∈ (SubGrp‘𝐺)((𝑆𝑡) = { 0 } ∧ (𝑆 𝑡) = 𝐵)))))
24 bi2.04 375 . . . . . . . . . . 11 ((𝑠𝑢 → (𝑠 ∈ (SubGrp‘𝐺) → (𝐴𝑠 → ∃𝑡 ∈ (SubGrp‘𝐺)((𝑆𝑡) = { 0 } ∧ (𝑆 𝑡) = 𝑠)))) ↔ (𝑠 ∈ (SubGrp‘𝐺) → (𝑠𝑢 → (𝐴𝑠 → ∃𝑡 ∈ (SubGrp‘𝐺)((𝑆𝑡) = { 0 } ∧ (𝑆 𝑡) = 𝑠)))))
25 impexp 461 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑠 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝐴𝑠) → ∃𝑡 ∈ (SubGrp‘𝐺)((𝑆𝑡) = { 0 } ∧ (𝑆 𝑡) = 𝑠)) ↔ (𝑠 ∈ (SubGrp‘𝐺) → (𝐴𝑠 → ∃𝑡 ∈ (SubGrp‘𝐺)((𝑆𝑡) = { 0 } ∧ (𝑆 𝑡) = 𝑠))))
2625imbi2i 325 . . . . . . . . . . 11 ((𝑠𝑢 → ((𝑠 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝐴𝑠) → ∃𝑡 ∈ (SubGrp‘𝐺)((𝑆𝑡) = { 0 } ∧ (𝑆 𝑡) = 𝑠))) ↔ (𝑠𝑢 → (𝑠 ∈ (SubGrp‘𝐺) → (𝐴𝑠 → ∃𝑡 ∈ (SubGrp‘𝐺)((𝑆𝑡) = { 0 } ∧ (𝑆 𝑡) = 𝑠)))))
27 impexp 461 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑠𝑢𝐴𝑠) → ∃𝑡 ∈ (SubGrp‘𝐺)((𝑆𝑡) = { 0 } ∧ (𝑆 𝑡) = 𝑠)) ↔ (𝑠𝑢 → (𝐴𝑠 → ∃𝑡 ∈ (SubGrp‘𝐺)((𝑆𝑡) = { 0 } ∧ (𝑆 𝑡) = 𝑠))))
2827imbi2i 325 . . . . . . . . . . 11 ((𝑠 ∈ (SubGrp‘𝐺) → ((𝑠𝑢𝐴𝑠) → ∃𝑡 ∈ (SubGrp‘𝐺)((𝑆𝑡) = { 0 } ∧ (𝑆 𝑡) = 𝑠))) ↔ (𝑠 ∈ (SubGrp‘𝐺) → (𝑠𝑢 → (𝐴𝑠 → ∃𝑡 ∈ (SubGrp‘𝐺)((𝑆𝑡) = { 0 } ∧ (𝑆 𝑡) = 𝑠)))))
2924, 26, 283bitr4i 292 . . . . . . . . . 10 ((𝑠𝑢 → ((𝑠 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝐴𝑠) → ∃𝑡 ∈ (SubGrp‘𝐺)((𝑆𝑡) = { 0 } ∧ (𝑆 𝑡) = 𝑠))) ↔ (𝑠 ∈ (SubGrp‘𝐺) → ((𝑠𝑢𝐴𝑠) → ∃𝑡 ∈ (SubGrp‘𝐺)((𝑆𝑡) = { 0 } ∧ (𝑆 𝑡) = 𝑠))))
3029imbi2i 325 . . . . . . . . 9 ((𝜑 → (𝑠𝑢 → ((𝑠 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝐴𝑠) → ∃𝑡 ∈ (SubGrp‘𝐺)((𝑆𝑡) = { 0 } ∧ (𝑆 𝑡) = 𝑠)))) ↔ (𝜑 → (𝑠 ∈ (SubGrp‘𝐺) → ((𝑠𝑢𝐴𝑠) → ∃𝑡 ∈ (SubGrp‘𝐺)((𝑆𝑡) = { 0 } ∧ (𝑆 𝑡) = 𝑠)))))
31 bi2.04 375 . . . . . . . . 9 ((𝑠𝑢 → (𝜑 → ((𝑠 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝐴𝑠) → ∃𝑡 ∈ (SubGrp‘𝐺)((𝑆𝑡) = { 0 } ∧ (𝑆 𝑡) = 𝑠)))) ↔ (𝜑 → (𝑠𝑢 → ((𝑠 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝐴𝑠) → ∃𝑡 ∈ (SubGrp‘𝐺)((𝑆𝑡) = { 0 } ∧ (𝑆 𝑡) = 𝑠)))))
32 bi2.04 375 . . . . . . . . 9 ((𝑠 ∈ (SubGrp‘𝐺) → (𝜑 → ((𝑠𝑢𝐴𝑠) → ∃𝑡 ∈ (SubGrp‘𝐺)((𝑆𝑡) = { 0 } ∧ (𝑆 𝑡) = 𝑠)))) ↔ (𝜑 → (𝑠 ∈ (SubGrp‘𝐺) → ((𝑠𝑢𝐴𝑠) → ∃𝑡 ∈ (SubGrp‘𝐺)((𝑆𝑡) = { 0 } ∧ (𝑆 𝑡) = 𝑠)))))
3330, 31, 323bitr4i 292 . . . . . . . 8 ((𝑠𝑢 → (𝜑 → ((𝑠 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝐴𝑠) → ∃𝑡 ∈ (SubGrp‘𝐺)((𝑆𝑡) = { 0 } ∧ (𝑆 𝑡) = 𝑠)))) ↔ (𝑠 ∈ (SubGrp‘𝐺) → (𝜑 → ((𝑠𝑢𝐴𝑠) → ∃𝑡 ∈ (SubGrp‘𝐺)((𝑆𝑡) = { 0 } ∧ (𝑆 𝑡) = 𝑠)))))
3433albii 1888 . . . . . . 7 (∀𝑠(𝑠𝑢 → (𝜑 → ((𝑠 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝐴𝑠) → ∃𝑡 ∈ (SubGrp‘𝐺)((𝑆𝑡) = { 0 } ∧ (𝑆 𝑡) = 𝑠)))) ↔ ∀𝑠(𝑠 ∈ (SubGrp‘𝐺) → (𝜑 → ((𝑠𝑢𝐴𝑠) → ∃𝑡 ∈ (SubGrp‘𝐺)((𝑆𝑡) = { 0 } ∧ (𝑆 𝑡) = 𝑠)))))
35 df-ral 3047 . . . . . . 7 (∀𝑠 ∈ (SubGrp‘𝐺)(𝜑 → ((𝑠𝑢𝐴𝑠) → ∃𝑡 ∈ (SubGrp‘𝐺)((𝑆𝑡) = { 0 } ∧ (𝑆 𝑡) = 𝑠))) ↔ ∀𝑠(𝑠 ∈ (SubGrp‘𝐺) → (𝜑 → ((𝑠𝑢𝐴𝑠) → ∃𝑡 ∈ (SubGrp‘𝐺)((𝑆𝑡) = { 0 } ∧ (𝑆 𝑡) = 𝑠)))))
36 r19.21v 3090 . . . . . . 7 (∀𝑠 ∈ (SubGrp‘𝐺)(𝜑 → ((𝑠𝑢𝐴𝑠) → ∃𝑡 ∈ (SubGrp‘𝐺)((𝑆𝑡) = { 0 } ∧ (𝑆 𝑡) = 𝑠))) ↔ (𝜑 → ∀𝑠 ∈ (SubGrp‘𝐺)((𝑠𝑢𝐴𝑠) → ∃𝑡 ∈ (SubGrp‘𝐺)((𝑆𝑡) = { 0 } ∧ (𝑆 𝑡) = 𝑠))))
3734, 35, 363bitr2i 288 . . . . . 6 (∀𝑠(𝑠𝑢 → (𝜑 → ((𝑠 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝐴𝑠) → ∃𝑡 ∈ (SubGrp‘𝐺)((𝑆𝑡) = { 0 } ∧ (𝑆 𝑡) = 𝑠)))) ↔ (𝜑 → ∀𝑠 ∈ (SubGrp‘𝐺)((𝑠𝑢𝐴𝑠) → ∃𝑡 ∈ (SubGrp‘𝐺)((𝑆𝑡) = { 0 } ∧ (𝑆 𝑡) = 𝑠))))
38 psseq1 3828 . . . . . . . . . . 11 (𝑥 = 𝑠 → (𝑥𝑢𝑠𝑢))
39 eleq2 2820 . . . . . . . . . . 11 (𝑥 = 𝑠 → (𝐴𝑥𝐴𝑠))
4038, 39anbi12d 749 . . . . . . . . . 10 (𝑥 = 𝑠 → ((𝑥𝑢𝐴𝑥) ↔ (𝑠𝑢𝐴𝑠)))
41 ineq2 3943 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑦 = 𝑡 → (𝑆𝑦) = (𝑆𝑡))
4241eqeq1d 2754 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑦 = 𝑡 → ((𝑆𝑦) = { 0 } ↔ (𝑆𝑡) = { 0 }))
43 oveq2 6813 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑦 = 𝑡 → (𝑆 𝑦) = (𝑆 𝑡))
4443eqeq1d 2754 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑦 = 𝑡 → ((𝑆 𝑦) = 𝑥 ↔ (𝑆 𝑡) = 𝑥))
4542, 44anbi12d 749 . . . . . . . . . . . 12 (𝑦 = 𝑡 → (((𝑆𝑦) = { 0 } ∧ (𝑆 𝑦) = 𝑥) ↔ ((𝑆𝑡) = { 0 } ∧ (𝑆 𝑡) = 𝑥)))
4645cbvrexv 3303 . . . . . . . . . . 11 (∃𝑦 ∈ (SubGrp‘𝐺)((𝑆𝑦) = { 0 } ∧ (𝑆 𝑦) = 𝑥) ↔ ∃𝑡 ∈ (SubGrp‘𝐺)((𝑆𝑡) = { 0 } ∧ (𝑆 𝑡) = 𝑥))
47 eqeq2 2763 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑥 = 𝑠 → ((𝑆 𝑡) = 𝑥 ↔ (𝑆 𝑡) = 𝑠))
4847anbi2d 742 . . . . . . . . . . . 12 (𝑥 = 𝑠 → (((𝑆𝑡) = { 0 } ∧ (𝑆 𝑡) = 𝑥) ↔ ((𝑆𝑡) = { 0 } ∧ (𝑆 𝑡) = 𝑠)))
4948rexbidv 3182 . . . . . . . . . . 11 (𝑥 = 𝑠 → (∃𝑡 ∈ (SubGrp‘𝐺)((𝑆𝑡) = { 0 } ∧ (𝑆 𝑡) = 𝑥) ↔ ∃𝑡 ∈ (SubGrp‘𝐺)((𝑆𝑡) = { 0 } ∧ (𝑆 𝑡) = 𝑠)))
5046, 49syl5bb 272 . . . . . . . . . 10 (𝑥 = 𝑠 → (∃𝑦 ∈ (SubGrp‘𝐺)((𝑆𝑦) = { 0 } ∧ (𝑆 𝑦) = 𝑥) ↔ ∃𝑡 ∈ (SubGrp‘𝐺)((𝑆𝑡) = { 0 } ∧ (𝑆 𝑡) = 𝑠)))
5140, 50imbi12d 333 . . . . . . . . 9 (𝑥 = 𝑠 → (((𝑥𝑢𝐴𝑥) → ∃𝑦 ∈ (SubGrp‘𝐺)((𝑆𝑦) = { 0 } ∧ (𝑆 𝑦) = 𝑥)) ↔ ((𝑠𝑢𝐴𝑠) → ∃𝑡 ∈ (SubGrp‘𝐺)((𝑆𝑡) = { 0 } ∧ (𝑆 𝑡) = 𝑠))))
5251cbvralv 3302 . . . . . . . 8 (∀𝑥 ∈ (SubGrp‘𝐺)((𝑥𝑢𝐴𝑥) → ∃𝑦 ∈ (SubGrp‘𝐺)((𝑆𝑦) = { 0 } ∧ (𝑆 𝑦) = 𝑥)) ↔ ∀𝑠 ∈ (SubGrp‘𝐺)((𝑠𝑢𝐴𝑠) → ∃𝑡 ∈ (SubGrp‘𝐺)((𝑆𝑡) = { 0 } ∧ (𝑆 𝑡) = 𝑠)))
53 pgpfac1.k . . . . . . . . . 10 𝐾 = (mrCls‘(SubGrp‘𝐺))
54 pgpfac1.s . . . . . . . . . 10 𝑆 = (𝐾‘{𝐴})
55 pgpfac1.o . . . . . . . . . 10 𝑂 = (od‘𝐺)
56 pgpfac1.e . . . . . . . . . 10 𝐸 = (gEx‘𝐺)
57 pgpfac1.z . . . . . . . . . 10 0 = (0g𝐺)
58 pgpfac1.l . . . . . . . . . 10 = (LSSum‘𝐺)
59 pgpfac1.p . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝑃 pGrp 𝐺)
6059adantr 472 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ (∀𝑥 ∈ (SubGrp‘𝐺)((𝑥𝑢𝐴𝑥) → ∃𝑦 ∈ (SubGrp‘𝐺)((𝑆𝑦) = { 0 } ∧ (𝑆 𝑦) = 𝑥)) ∧ (𝑢 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝐴𝑢))) → 𝑃 pGrp 𝐺)
611adantr 472 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ (∀𝑥 ∈ (SubGrp‘𝐺)((𝑥𝑢𝐴𝑥) → ∃𝑦 ∈ (SubGrp‘𝐺)((𝑆𝑦) = { 0 } ∧ (𝑆 𝑦) = 𝑥)) ∧ (𝑢 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝐴𝑢))) → 𝐺 ∈ Abel)
627adantr 472 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ (∀𝑥 ∈ (SubGrp‘𝐺)((𝑥𝑢𝐴𝑥) → ∃𝑦 ∈ (SubGrp‘𝐺)((𝑆𝑦) = { 0 } ∧ (𝑆 𝑦) = 𝑥)) ∧ (𝑢 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝐴𝑢))) → 𝐵 ∈ Fin)
63 pgpfac1.oe . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (𝑂𝐴) = 𝐸)
6463adantr 472 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ (∀𝑥 ∈ (SubGrp‘𝐺)((𝑥𝑢𝐴𝑥) → ∃𝑦 ∈ (SubGrp‘𝐺)((𝑆𝑦) = { 0 } ∧ (𝑆 𝑦) = 𝑥)) ∧ (𝑢 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝐴𝑢))) → (𝑂𝐴) = 𝐸)
65 simprrl 823 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ (∀𝑥 ∈ (SubGrp‘𝐺)((𝑥𝑢𝐴𝑥) → ∃𝑦 ∈ (SubGrp‘𝐺)((𝑆𝑦) = { 0 } ∧ (𝑆 𝑦) = 𝑥)) ∧ (𝑢 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝐴𝑢))) → 𝑢 ∈ (SubGrp‘𝐺))
66 simprrr 824 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ (∀𝑥 ∈ (SubGrp‘𝐺)((𝑥𝑢𝐴𝑥) → ∃𝑦 ∈ (SubGrp‘𝐺)((𝑆𝑦) = { 0 } ∧ (𝑆 𝑦) = 𝑥)) ∧ (𝑢 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝐴𝑢))) → 𝐴𝑢)
67 simprl 811 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑 ∧ (∀𝑥 ∈ (SubGrp‘𝐺)((𝑥𝑢𝐴𝑥) → ∃𝑦 ∈ (SubGrp‘𝐺)((𝑆𝑦) = { 0 } ∧ (𝑆 𝑦) = 𝑥)) ∧ (𝑢 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝐴𝑢))) → ∀𝑥 ∈ (SubGrp‘𝐺)((𝑥𝑢𝐴𝑥) → ∃𝑦 ∈ (SubGrp‘𝐺)((𝑆𝑦) = { 0 } ∧ (𝑆 𝑦) = 𝑥)))
6867, 52sylib 208 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ (∀𝑥 ∈ (SubGrp‘𝐺)((𝑥𝑢𝐴𝑥) → ∃𝑦 ∈ (SubGrp‘𝐺)((𝑆𝑦) = { 0 } ∧ (𝑆 𝑦) = 𝑥)) ∧ (𝑢 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝐴𝑢))) → ∀𝑠 ∈ (SubGrp‘𝐺)((𝑠𝑢𝐴𝑠) → ∃𝑡 ∈ (SubGrp‘𝐺)((𝑆𝑡) = { 0 } ∧ (𝑆 𝑡) = 𝑠)))
6953, 54, 3, 55, 56, 57, 58, 60, 61, 62, 64, 65, 66, 68pgpfac1lem5 18670 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ (∀𝑥 ∈ (SubGrp‘𝐺)((𝑥𝑢𝐴𝑥) → ∃𝑦 ∈ (SubGrp‘𝐺)((𝑆𝑦) = { 0 } ∧ (𝑆 𝑦) = 𝑥)) ∧ (𝑢 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝐴𝑢))) → ∃𝑡 ∈ (SubGrp‘𝐺)((𝑆𝑡) = { 0 } ∧ (𝑆 𝑡) = 𝑢))
7069exp32 632 . . . . . . . 8 (𝜑 → (∀𝑥 ∈ (SubGrp‘𝐺)((𝑥𝑢𝐴𝑥) → ∃𝑦 ∈ (SubGrp‘𝐺)((𝑆𝑦) = { 0 } ∧ (𝑆 𝑦) = 𝑥)) → ((𝑢 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝐴𝑢) → ∃𝑡 ∈ (SubGrp‘𝐺)((𝑆𝑡) = { 0 } ∧ (𝑆 𝑡) = 𝑢))))
7152, 70syl5bir 233 . . . . . . 7 (𝜑 → (∀𝑠 ∈ (SubGrp‘𝐺)((𝑠𝑢𝐴𝑠) → ∃𝑡 ∈ (SubGrp‘𝐺)((𝑆𝑡) = { 0 } ∧ (𝑆 𝑡) = 𝑠)) → ((𝑢 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝐴𝑢) → ∃𝑡 ∈ (SubGrp‘𝐺)((𝑆𝑡) = { 0 } ∧ (𝑆 𝑡) = 𝑢))))
7271a2i 14 . . . . . 6 ((𝜑 → ∀𝑠 ∈ (SubGrp‘𝐺)((𝑠𝑢𝐴𝑠) → ∃𝑡 ∈ (SubGrp‘𝐺)((𝑆𝑡) = { 0 } ∧ (𝑆 𝑡) = 𝑠))) → (𝜑 → ((𝑢 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝐴𝑢) → ∃𝑡 ∈ (SubGrp‘𝐺)((𝑆𝑡) = { 0 } ∧ (𝑆 𝑡) = 𝑢))))
7337, 72sylbi 207 . . . . 5 (∀𝑠(𝑠𝑢 → (𝜑 → ((𝑠 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝐴𝑠) → ∃𝑡 ∈ (SubGrp‘𝐺)((𝑆𝑡) = { 0 } ∧ (𝑆 𝑡) = 𝑠)))) → (𝜑 → ((𝑢 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝐴𝑢) → ∃𝑡 ∈ (SubGrp‘𝐺)((𝑆𝑡) = { 0 } ∧ (𝑆 𝑡) = 𝑢))))
7473a1i 11 . . . 4 (𝑢 ∈ Fin → (∀𝑠(𝑠𝑢 → (𝜑 → ((𝑠 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝐴𝑠) → ∃𝑡 ∈ (SubGrp‘𝐺)((𝑆𝑡) = { 0 } ∧ (𝑆 𝑡) = 𝑠)))) → (𝜑 → ((𝑢 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝐴𝑢) → ∃𝑡 ∈ (SubGrp‘𝐺)((𝑆𝑡) = { 0 } ∧ (𝑆 𝑡) = 𝑢)))))
7515, 23, 74findcard3 8360 . . 3 (𝐵 ∈ Fin → (𝜑 → ((𝐵 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝐴𝐵) → ∃𝑡 ∈ (SubGrp‘𝐺)((𝑆𝑡) = { 0 } ∧ (𝑆 𝑡) = 𝐵))))
767, 75mpcom 38 . 2 (𝜑 → ((𝐵 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝐴𝐵) → ∃𝑡 ∈ (SubGrp‘𝐺)((𝑆𝑡) = { 0 } ∧ (𝑆 𝑡) = 𝐵)))
775, 6, 76mp2and 717 1 (𝜑 → ∃𝑡 ∈ (SubGrp‘𝐺)((𝑆𝑡) = { 0 } ∧ (𝑆 𝑡) = 𝐵))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 383  ∀wal 1622   = wceq 1624   ∈ wcel 2131  ∀wral 3042  ∃wrex 3043   ∩ cin 3706   ⊊ wpss 3708  {csn 4313   class class class wbr 4796  ‘cfv 6041  (class class class)co 6805  Fincfn 8113  Basecbs 16051  0gc0g 16294  mrClscmrc 16437  Grpcgrp 17615  SubGrpcsubg 17781  odcod 18136  gExcgex 18137   pGrp cpgp 18138  LSSumclsm 18241  Abelcabl 18386 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1863  ax-4 1878  ax-5 1980  ax-6 2046  ax-7 2082  ax-8 2133  ax-9 2140  ax-10 2160  ax-11 2175  ax-12 2188  ax-13 2383  ax-ext 2732  ax-rep 4915  ax-sep 4925  ax-nul 4933  ax-pow 4984  ax-pr 5047  ax-un 7106  ax-inf2 8703  ax-cnex 10176  ax-resscn 10177  ax-1cn 10178  ax-icn 10179  ax-addcl 10180  ax-addrcl 10181  ax-mulcl 10182  ax-mulrcl 10183  ax-mulcom 10184  ax-addass 10185  ax-mulass 10186  ax-distr 10187  ax-i2m1 10188  ax-1ne0 10189  ax-1rid 10190  ax-rnegex 10191  ax-rrecex 10192  ax-cnre 10193  ax-pre-lttri 10194  ax-pre-lttrn 10195  ax-pre-ltadd 10196  ax-pre-mulgt0 10197  ax-pre-sup 10198 This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1073  df-3an 1074  df-tru 1627  df-fal 1630  df-ex 1846  df-nf 1851  df-sb 2039  df-eu 2603  df-mo 2604  df-clab 2739  df-cleq 2745  df-clel 2748  df-nfc 2883  df-ne 2925  df-nel 3028  df-ral 3047  df-rex 3048  df-reu 3049  df-rmo 3050  df-rab 3051  df-v 3334  df-sbc 3569  df-csb 3667  df-dif 3710  df-un 3712  df-in 3714  df-ss 3721  df-pss 3723  df-nul 4051  df-if 4223  df-pw 4296  df-sn 4314  df-pr 4316  df-tp 4318  df-op 4320  df-uni 4581  df-int 4620  df-iun 4666  df-iin 4667  df-disj 4765  df-br 4797  df-opab 4857  df-mpt 4874  df-tr 4897  df-id 5166  df-eprel 5171  df-po 5179  df-so 5180  df-fr 5217  df-se 5218  df-we 5219  df-xp 5264  df-rel 5265  df-cnv 5266  df-co 5267  df-dm 5268  df-rn 5269  df-res 5270  df-ima 5271  df-pred 5833  df-ord 5879  df-on 5880  df-lim 5881  df-suc 5882  df-iota 6004  df-fun 6043  df-fn 6044  df-f 6045  df-f1 6046  df-fo 6047  df-f1o 6048  df-fv 6049  df-isom 6050  df-riota 6766  df-ov 6808  df-oprab 6809  df-mpt2 6810  df-rpss 7094  df-om 7223  df-1st 7325  df-2nd 7326  df-wrecs 7568  df-recs 7629  df-rdg 7667  df-1o 7721  df-2o 7722  df-oadd 7725  df-omul 7726  df-er 7903  df-ec 7905  df-qs 7909  df-map 8017  df-en 8114  df-dom 8115  df-sdom 8116  df-fin 8117  df-sup 8505  df-inf 8506  df-oi 8572  df-card 8947  df-acn 8950  df-cda 9174  df-pnf 10260  df-mnf 10261  df-xr 10262  df-ltxr 10263  df-le 10264  df-sub 10452  df-neg 10453  df-div 10869  df-nn 11205  df-2 11263  df-3 11264  df-n0 11477  df-xnn0 11548  df-z 11562  df-uz 11872  df-q 11974  df-rp 12018  df-fz 12512  df-fzo 12652  df-fl 12779  df-mod 12855  df-seq 12988  df-exp 13047  df-fac 13247  df-bc 13276  df-hash 13304  df-cj 14030  df-re 14031  df-im 14032  df-sqrt 14166  df-abs 14167  df-clim 14410  df-sum 14608  df-dvds 15175  df-gcd 15411  df-prm 15580  df-pc 15736  df-ndx 16054  df-slot 16055  df-base 16057  df-sets 16058  df-ress 16059  df-plusg 16148  df-0g 16296  df-mre 16440  df-mrc 16441  df-acs 16443  df-mgm 17435  df-sgrp 17477  df-mnd 17488  df-submnd 17529  df-grp 17618  df-minusg 17619  df-sbg 17620  df-mulg 17734  df-subg 17784  df-eqg 17786  df-ga 17915  df-cntz 17942  df-od 18140  df-gex 18141  df-pgp 18142  df-lsm 18243  df-cmn 18387  df-abl 18388 This theorem is referenced by:  pgpfaclem3  18674
 Copyright terms: Public domain W3C validator