MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  pgpfac1 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem pgpfac1 18400
Description: Factorization of a finite abelian p-group. There is a direct product decomposition of any abelian group of prime-power order where one of the factors is cyclic and generated by an element of maximal order. (Contributed by Mario Carneiro, 27-Apr-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
pgpfac1.k 𝐾 = (mrCls‘(SubGrp‘𝐺))
pgpfac1.s 𝑆 = (𝐾‘{𝐴})
pgpfac1.b 𝐵 = (Base‘𝐺)
pgpfac1.o 𝑂 = (od‘𝐺)
pgpfac1.e 𝐸 = (gEx‘𝐺)
pgpfac1.z 0 = (0g𝐺)
pgpfac1.l = (LSSum‘𝐺)
pgpfac1.p (𝜑𝑃 pGrp 𝐺)
pgpfac1.g (𝜑𝐺 ∈ Abel)
pgpfac1.n (𝜑𝐵 ∈ Fin)
pgpfac1.oe (𝜑 → (𝑂𝐴) = 𝐸)
pgpfac1.ab (𝜑𝐴𝐵)
Assertion
Ref Expression
pgpfac1 (𝜑 → ∃𝑡 ∈ (SubGrp‘𝐺)((𝑆𝑡) = { 0 } ∧ (𝑆 𝑡) = 𝐵))
Distinct variable groups:   𝑡, 0   𝑡,𝐴   𝑡,   𝑡,𝑃   𝑡,𝐵   𝑡,𝐺   𝑡,𝑆   𝜑,𝑡   𝑡,𝐾
Allowed substitution hints:   𝐸(𝑡)   𝑂(𝑡)

Proof of Theorem pgpfac1
Dummy variables 𝑠 𝑢 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 pgpfac1.g . . 3 (𝜑𝐺 ∈ Abel)
2 ablgrp 18119 . . 3 (𝐺 ∈ Abel → 𝐺 ∈ Grp)
3 pgpfac1.b . . . 4 𝐵 = (Base‘𝐺)
43subgid 17517 . . 3 (𝐺 ∈ Grp → 𝐵 ∈ (SubGrp‘𝐺))
51, 2, 43syl 18 . 2 (𝜑𝐵 ∈ (SubGrp‘𝐺))
6 pgpfac1.ab . 2 (𝜑𝐴𝐵)
7 pgpfac1.n . . 3 (𝜑𝐵 ∈ Fin)
8 eleq1 2686 . . . . . . 7 (𝑠 = 𝑢 → (𝑠 ∈ (SubGrp‘𝐺) ↔ 𝑢 ∈ (SubGrp‘𝐺)))
9 eleq2 2687 . . . . . . 7 (𝑠 = 𝑢 → (𝐴𝑠𝐴𝑢))
108, 9anbi12d 746 . . . . . 6 (𝑠 = 𝑢 → ((𝑠 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝐴𝑠) ↔ (𝑢 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝐴𝑢)))
11 eqeq2 2632 . . . . . . . 8 (𝑠 = 𝑢 → ((𝑆 𝑡) = 𝑠 ↔ (𝑆 𝑡) = 𝑢))
1211anbi2d 739 . . . . . . 7 (𝑠 = 𝑢 → (((𝑆𝑡) = { 0 } ∧ (𝑆 𝑡) = 𝑠) ↔ ((𝑆𝑡) = { 0 } ∧ (𝑆 𝑡) = 𝑢)))
1312rexbidv 3045 . . . . . 6 (𝑠 = 𝑢 → (∃𝑡 ∈ (SubGrp‘𝐺)((𝑆𝑡) = { 0 } ∧ (𝑆 𝑡) = 𝑠) ↔ ∃𝑡 ∈ (SubGrp‘𝐺)((𝑆𝑡) = { 0 } ∧ (𝑆 𝑡) = 𝑢)))
1410, 13imbi12d 334 . . . . 5 (𝑠 = 𝑢 → (((𝑠 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝐴𝑠) → ∃𝑡 ∈ (SubGrp‘𝐺)((𝑆𝑡) = { 0 } ∧ (𝑆 𝑡) = 𝑠)) ↔ ((𝑢 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝐴𝑢) → ∃𝑡 ∈ (SubGrp‘𝐺)((𝑆𝑡) = { 0 } ∧ (𝑆 𝑡) = 𝑢))))
1514imbi2d 330 . . . 4 (𝑠 = 𝑢 → ((𝜑 → ((𝑠 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝐴𝑠) → ∃𝑡 ∈ (SubGrp‘𝐺)((𝑆𝑡) = { 0 } ∧ (𝑆 𝑡) = 𝑠))) ↔ (𝜑 → ((𝑢 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝐴𝑢) → ∃𝑡 ∈ (SubGrp‘𝐺)((𝑆𝑡) = { 0 } ∧ (𝑆 𝑡) = 𝑢)))))
16 eleq1 2686 . . . . . . 7 (𝑠 = 𝐵 → (𝑠 ∈ (SubGrp‘𝐺) ↔ 𝐵 ∈ (SubGrp‘𝐺)))
17 eleq2 2687 . . . . . . 7 (𝑠 = 𝐵 → (𝐴𝑠𝐴𝐵))
1816, 17anbi12d 746 . . . . . 6 (𝑠 = 𝐵 → ((𝑠 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝐴𝑠) ↔ (𝐵 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝐴𝐵)))
19 eqeq2 2632 . . . . . . . 8 (𝑠 = 𝐵 → ((𝑆 𝑡) = 𝑠 ↔ (𝑆 𝑡) = 𝐵))
2019anbi2d 739 . . . . . . 7 (𝑠 = 𝐵 → (((𝑆𝑡) = { 0 } ∧ (𝑆 𝑡) = 𝑠) ↔ ((𝑆𝑡) = { 0 } ∧ (𝑆 𝑡) = 𝐵)))
2120rexbidv 3045 . . . . . 6 (𝑠 = 𝐵 → (∃𝑡 ∈ (SubGrp‘𝐺)((𝑆𝑡) = { 0 } ∧ (𝑆 𝑡) = 𝑠) ↔ ∃𝑡 ∈ (SubGrp‘𝐺)((𝑆𝑡) = { 0 } ∧ (𝑆 𝑡) = 𝐵)))
2218, 21imbi12d 334 . . . . 5 (𝑠 = 𝐵 → (((𝑠 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝐴𝑠) → ∃𝑡 ∈ (SubGrp‘𝐺)((𝑆𝑡) = { 0 } ∧ (𝑆 𝑡) = 𝑠)) ↔ ((𝐵 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝐴𝐵) → ∃𝑡 ∈ (SubGrp‘𝐺)((𝑆𝑡) = { 0 } ∧ (𝑆 𝑡) = 𝐵))))
2322imbi2d 330 . . . 4 (𝑠 = 𝐵 → ((𝜑 → ((𝑠 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝐴𝑠) → ∃𝑡 ∈ (SubGrp‘𝐺)((𝑆𝑡) = { 0 } ∧ (𝑆 𝑡) = 𝑠))) ↔ (𝜑 → ((𝐵 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝐴𝐵) → ∃𝑡 ∈ (SubGrp‘𝐺)((𝑆𝑡) = { 0 } ∧ (𝑆 𝑡) = 𝐵)))))
24 bi2.04 376 . . . . . . . . . . 11 ((𝑠𝑢 → (𝑠 ∈ (SubGrp‘𝐺) → (𝐴𝑠 → ∃𝑡 ∈ (SubGrp‘𝐺)((𝑆𝑡) = { 0 } ∧ (𝑆 𝑡) = 𝑠)))) ↔ (𝑠 ∈ (SubGrp‘𝐺) → (𝑠𝑢 → (𝐴𝑠 → ∃𝑡 ∈ (SubGrp‘𝐺)((𝑆𝑡) = { 0 } ∧ (𝑆 𝑡) = 𝑠)))))
25 impexp 462 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑠 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝐴𝑠) → ∃𝑡 ∈ (SubGrp‘𝐺)((𝑆𝑡) = { 0 } ∧ (𝑆 𝑡) = 𝑠)) ↔ (𝑠 ∈ (SubGrp‘𝐺) → (𝐴𝑠 → ∃𝑡 ∈ (SubGrp‘𝐺)((𝑆𝑡) = { 0 } ∧ (𝑆 𝑡) = 𝑠))))
2625imbi2i 326 . . . . . . . . . . 11 ((𝑠𝑢 → ((𝑠 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝐴𝑠) → ∃𝑡 ∈ (SubGrp‘𝐺)((𝑆𝑡) = { 0 } ∧ (𝑆 𝑡) = 𝑠))) ↔ (𝑠𝑢 → (𝑠 ∈ (SubGrp‘𝐺) → (𝐴𝑠 → ∃𝑡 ∈ (SubGrp‘𝐺)((𝑆𝑡) = { 0 } ∧ (𝑆 𝑡) = 𝑠)))))
27 impexp 462 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑠𝑢𝐴𝑠) → ∃𝑡 ∈ (SubGrp‘𝐺)((𝑆𝑡) = { 0 } ∧ (𝑆 𝑡) = 𝑠)) ↔ (𝑠𝑢 → (𝐴𝑠 → ∃𝑡 ∈ (SubGrp‘𝐺)((𝑆𝑡) = { 0 } ∧ (𝑆 𝑡) = 𝑠))))
2827imbi2i 326 . . . . . . . . . . 11 ((𝑠 ∈ (SubGrp‘𝐺) → ((𝑠𝑢𝐴𝑠) → ∃𝑡 ∈ (SubGrp‘𝐺)((𝑆𝑡) = { 0 } ∧ (𝑆 𝑡) = 𝑠))) ↔ (𝑠 ∈ (SubGrp‘𝐺) → (𝑠𝑢 → (𝐴𝑠 → ∃𝑡 ∈ (SubGrp‘𝐺)((𝑆𝑡) = { 0 } ∧ (𝑆 𝑡) = 𝑠)))))
2924, 26, 283bitr4i 292 . . . . . . . . . 10 ((𝑠𝑢 → ((𝑠 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝐴𝑠) → ∃𝑡 ∈ (SubGrp‘𝐺)((𝑆𝑡) = { 0 } ∧ (𝑆 𝑡) = 𝑠))) ↔ (𝑠 ∈ (SubGrp‘𝐺) → ((𝑠𝑢𝐴𝑠) → ∃𝑡 ∈ (SubGrp‘𝐺)((𝑆𝑡) = { 0 } ∧ (𝑆 𝑡) = 𝑠))))
3029imbi2i 326 . . . . . . . . 9 ((𝜑 → (𝑠𝑢 → ((𝑠 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝐴𝑠) → ∃𝑡 ∈ (SubGrp‘𝐺)((𝑆𝑡) = { 0 } ∧ (𝑆 𝑡) = 𝑠)))) ↔ (𝜑 → (𝑠 ∈ (SubGrp‘𝐺) → ((𝑠𝑢𝐴𝑠) → ∃𝑡 ∈ (SubGrp‘𝐺)((𝑆𝑡) = { 0 } ∧ (𝑆 𝑡) = 𝑠)))))
31 bi2.04 376 . . . . . . . . 9 ((𝑠𝑢 → (𝜑 → ((𝑠 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝐴𝑠) → ∃𝑡 ∈ (SubGrp‘𝐺)((𝑆𝑡) = { 0 } ∧ (𝑆 𝑡) = 𝑠)))) ↔ (𝜑 → (𝑠𝑢 → ((𝑠 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝐴𝑠) → ∃𝑡 ∈ (SubGrp‘𝐺)((𝑆𝑡) = { 0 } ∧ (𝑆 𝑡) = 𝑠)))))
32 bi2.04 376 . . . . . . . . 9 ((𝑠 ∈ (SubGrp‘𝐺) → (𝜑 → ((𝑠𝑢𝐴𝑠) → ∃𝑡 ∈ (SubGrp‘𝐺)((𝑆𝑡) = { 0 } ∧ (𝑆 𝑡) = 𝑠)))) ↔ (𝜑 → (𝑠 ∈ (SubGrp‘𝐺) → ((𝑠𝑢𝐴𝑠) → ∃𝑡 ∈ (SubGrp‘𝐺)((𝑆𝑡) = { 0 } ∧ (𝑆 𝑡) = 𝑠)))))
3330, 31, 323bitr4i 292 . . . . . . . 8 ((𝑠𝑢 → (𝜑 → ((𝑠 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝐴𝑠) → ∃𝑡 ∈ (SubGrp‘𝐺)((𝑆𝑡) = { 0 } ∧ (𝑆 𝑡) = 𝑠)))) ↔ (𝑠 ∈ (SubGrp‘𝐺) → (𝜑 → ((𝑠𝑢𝐴𝑠) → ∃𝑡 ∈ (SubGrp‘𝐺)((𝑆𝑡) = { 0 } ∧ (𝑆 𝑡) = 𝑠)))))
3433albii 1744 . . . . . . 7 (∀𝑠(𝑠𝑢 → (𝜑 → ((𝑠 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝐴𝑠) → ∃𝑡 ∈ (SubGrp‘𝐺)((𝑆𝑡) = { 0 } ∧ (𝑆 𝑡) = 𝑠)))) ↔ ∀𝑠(𝑠 ∈ (SubGrp‘𝐺) → (𝜑 → ((𝑠𝑢𝐴𝑠) → ∃𝑡 ∈ (SubGrp‘𝐺)((𝑆𝑡) = { 0 } ∧ (𝑆 𝑡) = 𝑠)))))
35 df-ral 2912 . . . . . . 7 (∀𝑠 ∈ (SubGrp‘𝐺)(𝜑 → ((𝑠𝑢𝐴𝑠) → ∃𝑡 ∈ (SubGrp‘𝐺)((𝑆𝑡) = { 0 } ∧ (𝑆 𝑡) = 𝑠))) ↔ ∀𝑠(𝑠 ∈ (SubGrp‘𝐺) → (𝜑 → ((𝑠𝑢𝐴𝑠) → ∃𝑡 ∈ (SubGrp‘𝐺)((𝑆𝑡) = { 0 } ∧ (𝑆 𝑡) = 𝑠)))))
36 r19.21v 2954 . . . . . . 7 (∀𝑠 ∈ (SubGrp‘𝐺)(𝜑 → ((𝑠𝑢𝐴𝑠) → ∃𝑡 ∈ (SubGrp‘𝐺)((𝑆𝑡) = { 0 } ∧ (𝑆 𝑡) = 𝑠))) ↔ (𝜑 → ∀𝑠 ∈ (SubGrp‘𝐺)((𝑠𝑢𝐴𝑠) → ∃𝑡 ∈ (SubGrp‘𝐺)((𝑆𝑡) = { 0 } ∧ (𝑆 𝑡) = 𝑠))))
3734, 35, 363bitr2i 288 . . . . . 6 (∀𝑠(𝑠𝑢 → (𝜑 → ((𝑠 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝐴𝑠) → ∃𝑡 ∈ (SubGrp‘𝐺)((𝑆𝑡) = { 0 } ∧ (𝑆 𝑡) = 𝑠)))) ↔ (𝜑 → ∀𝑠 ∈ (SubGrp‘𝐺)((𝑠𝑢𝐴𝑠) → ∃𝑡 ∈ (SubGrp‘𝐺)((𝑆𝑡) = { 0 } ∧ (𝑆 𝑡) = 𝑠))))
38 psseq1 3672 . . . . . . . . . . 11 (𝑥 = 𝑠 → (𝑥𝑢𝑠𝑢))
39 eleq2 2687 . . . . . . . . . . 11 (𝑥 = 𝑠 → (𝐴𝑥𝐴𝑠))
4038, 39anbi12d 746 . . . . . . . . . 10 (𝑥 = 𝑠 → ((𝑥𝑢𝐴𝑥) ↔ (𝑠𝑢𝐴𝑠)))
41 ineq2 3786 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑦 = 𝑡 → (𝑆𝑦) = (𝑆𝑡))
4241eqeq1d 2623 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑦 = 𝑡 → ((𝑆𝑦) = { 0 } ↔ (𝑆𝑡) = { 0 }))
43 oveq2 6612 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑦 = 𝑡 → (𝑆 𝑦) = (𝑆 𝑡))
4443eqeq1d 2623 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑦 = 𝑡 → ((𝑆 𝑦) = 𝑥 ↔ (𝑆 𝑡) = 𝑥))
4542, 44anbi12d 746 . . . . . . . . . . . 12 (𝑦 = 𝑡 → (((𝑆𝑦) = { 0 } ∧ (𝑆 𝑦) = 𝑥) ↔ ((𝑆𝑡) = { 0 } ∧ (𝑆 𝑡) = 𝑥)))
4645cbvrexv 3160 . . . . . . . . . . 11 (∃𝑦 ∈ (SubGrp‘𝐺)((𝑆𝑦) = { 0 } ∧ (𝑆 𝑦) = 𝑥) ↔ ∃𝑡 ∈ (SubGrp‘𝐺)((𝑆𝑡) = { 0 } ∧ (𝑆 𝑡) = 𝑥))
47 eqeq2 2632 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑥 = 𝑠 → ((𝑆 𝑡) = 𝑥 ↔ (𝑆 𝑡) = 𝑠))
4847anbi2d 739 . . . . . . . . . . . 12 (𝑥 = 𝑠 → (((𝑆𝑡) = { 0 } ∧ (𝑆 𝑡) = 𝑥) ↔ ((𝑆𝑡) = { 0 } ∧ (𝑆 𝑡) = 𝑠)))
4948rexbidv 3045 . . . . . . . . . . 11 (𝑥 = 𝑠 → (∃𝑡 ∈ (SubGrp‘𝐺)((𝑆𝑡) = { 0 } ∧ (𝑆 𝑡) = 𝑥) ↔ ∃𝑡 ∈ (SubGrp‘𝐺)((𝑆𝑡) = { 0 } ∧ (𝑆 𝑡) = 𝑠)))
5046, 49syl5bb 272 . . . . . . . . . 10 (𝑥 = 𝑠 → (∃𝑦 ∈ (SubGrp‘𝐺)((𝑆𝑦) = { 0 } ∧ (𝑆 𝑦) = 𝑥) ↔ ∃𝑡 ∈ (SubGrp‘𝐺)((𝑆𝑡) = { 0 } ∧ (𝑆 𝑡) = 𝑠)))
5140, 50imbi12d 334 . . . . . . . . 9 (𝑥 = 𝑠 → (((𝑥𝑢𝐴𝑥) → ∃𝑦 ∈ (SubGrp‘𝐺)((𝑆𝑦) = { 0 } ∧ (𝑆 𝑦) = 𝑥)) ↔ ((𝑠𝑢𝐴𝑠) → ∃𝑡 ∈ (SubGrp‘𝐺)((𝑆𝑡) = { 0 } ∧ (𝑆 𝑡) = 𝑠))))
5251cbvralv 3159 . . . . . . . 8 (∀𝑥 ∈ (SubGrp‘𝐺)((𝑥𝑢𝐴𝑥) → ∃𝑦 ∈ (SubGrp‘𝐺)((𝑆𝑦) = { 0 } ∧ (𝑆 𝑦) = 𝑥)) ↔ ∀𝑠 ∈ (SubGrp‘𝐺)((𝑠𝑢𝐴𝑠) → ∃𝑡 ∈ (SubGrp‘𝐺)((𝑆𝑡) = { 0 } ∧ (𝑆 𝑡) = 𝑠)))
53 pgpfac1.k . . . . . . . . . 10 𝐾 = (mrCls‘(SubGrp‘𝐺))
54 pgpfac1.s . . . . . . . . . 10 𝑆 = (𝐾‘{𝐴})
55 pgpfac1.o . . . . . . . . . 10 𝑂 = (od‘𝐺)
56 pgpfac1.e . . . . . . . . . 10 𝐸 = (gEx‘𝐺)
57 pgpfac1.z . . . . . . . . . 10 0 = (0g𝐺)
58 pgpfac1.l . . . . . . . . . 10 = (LSSum‘𝐺)
59 pgpfac1.p . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝑃 pGrp 𝐺)
6059adantr 481 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ (∀𝑥 ∈ (SubGrp‘𝐺)((𝑥𝑢𝐴𝑥) → ∃𝑦 ∈ (SubGrp‘𝐺)((𝑆𝑦) = { 0 } ∧ (𝑆 𝑦) = 𝑥)) ∧ (𝑢 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝐴𝑢))) → 𝑃 pGrp 𝐺)
611adantr 481 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ (∀𝑥 ∈ (SubGrp‘𝐺)((𝑥𝑢𝐴𝑥) → ∃𝑦 ∈ (SubGrp‘𝐺)((𝑆𝑦) = { 0 } ∧ (𝑆 𝑦) = 𝑥)) ∧ (𝑢 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝐴𝑢))) → 𝐺 ∈ Abel)
627adantr 481 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ (∀𝑥 ∈ (SubGrp‘𝐺)((𝑥𝑢𝐴𝑥) → ∃𝑦 ∈ (SubGrp‘𝐺)((𝑆𝑦) = { 0 } ∧ (𝑆 𝑦) = 𝑥)) ∧ (𝑢 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝐴𝑢))) → 𝐵 ∈ Fin)
63 pgpfac1.oe . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (𝑂𝐴) = 𝐸)
6463adantr 481 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ (∀𝑥 ∈ (SubGrp‘𝐺)((𝑥𝑢𝐴𝑥) → ∃𝑦 ∈ (SubGrp‘𝐺)((𝑆𝑦) = { 0 } ∧ (𝑆 𝑦) = 𝑥)) ∧ (𝑢 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝐴𝑢))) → (𝑂𝐴) = 𝐸)
65 simprrl 803 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ (∀𝑥 ∈ (SubGrp‘𝐺)((𝑥𝑢𝐴𝑥) → ∃𝑦 ∈ (SubGrp‘𝐺)((𝑆𝑦) = { 0 } ∧ (𝑆 𝑦) = 𝑥)) ∧ (𝑢 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝐴𝑢))) → 𝑢 ∈ (SubGrp‘𝐺))
66 simprrr 804 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ (∀𝑥 ∈ (SubGrp‘𝐺)((𝑥𝑢𝐴𝑥) → ∃𝑦 ∈ (SubGrp‘𝐺)((𝑆𝑦) = { 0 } ∧ (𝑆 𝑦) = 𝑥)) ∧ (𝑢 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝐴𝑢))) → 𝐴𝑢)
67 simprl 793 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑 ∧ (∀𝑥 ∈ (SubGrp‘𝐺)((𝑥𝑢𝐴𝑥) → ∃𝑦 ∈ (SubGrp‘𝐺)((𝑆𝑦) = { 0 } ∧ (𝑆 𝑦) = 𝑥)) ∧ (𝑢 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝐴𝑢))) → ∀𝑥 ∈ (SubGrp‘𝐺)((𝑥𝑢𝐴𝑥) → ∃𝑦 ∈ (SubGrp‘𝐺)((𝑆𝑦) = { 0 } ∧ (𝑆 𝑦) = 𝑥)))
6867, 52sylib 208 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ (∀𝑥 ∈ (SubGrp‘𝐺)((𝑥𝑢𝐴𝑥) → ∃𝑦 ∈ (SubGrp‘𝐺)((𝑆𝑦) = { 0 } ∧ (𝑆 𝑦) = 𝑥)) ∧ (𝑢 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝐴𝑢))) → ∀𝑠 ∈ (SubGrp‘𝐺)((𝑠𝑢𝐴𝑠) → ∃𝑡 ∈ (SubGrp‘𝐺)((𝑆𝑡) = { 0 } ∧ (𝑆 𝑡) = 𝑠)))
6953, 54, 3, 55, 56, 57, 58, 60, 61, 62, 64, 65, 66, 68pgpfac1lem5 18399 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ (∀𝑥 ∈ (SubGrp‘𝐺)((𝑥𝑢𝐴𝑥) → ∃𝑦 ∈ (SubGrp‘𝐺)((𝑆𝑦) = { 0 } ∧ (𝑆 𝑦) = 𝑥)) ∧ (𝑢 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝐴𝑢))) → ∃𝑡 ∈ (SubGrp‘𝐺)((𝑆𝑡) = { 0 } ∧ (𝑆 𝑡) = 𝑢))
7069exp32 630 . . . . . . . 8 (𝜑 → (∀𝑥 ∈ (SubGrp‘𝐺)((𝑥𝑢𝐴𝑥) → ∃𝑦 ∈ (SubGrp‘𝐺)((𝑆𝑦) = { 0 } ∧ (𝑆 𝑦) = 𝑥)) → ((𝑢 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝐴𝑢) → ∃𝑡 ∈ (SubGrp‘𝐺)((𝑆𝑡) = { 0 } ∧ (𝑆 𝑡) = 𝑢))))
7152, 70syl5bir 233 . . . . . . 7 (𝜑 → (∀𝑠 ∈ (SubGrp‘𝐺)((𝑠𝑢𝐴𝑠) → ∃𝑡 ∈ (SubGrp‘𝐺)((𝑆𝑡) = { 0 } ∧ (𝑆 𝑡) = 𝑠)) → ((𝑢 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝐴𝑢) → ∃𝑡 ∈ (SubGrp‘𝐺)((𝑆𝑡) = { 0 } ∧ (𝑆 𝑡) = 𝑢))))
7271a2i 14 . . . . . 6 ((𝜑 → ∀𝑠 ∈ (SubGrp‘𝐺)((𝑠𝑢𝐴𝑠) → ∃𝑡 ∈ (SubGrp‘𝐺)((𝑆𝑡) = { 0 } ∧ (𝑆 𝑡) = 𝑠))) → (𝜑 → ((𝑢 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝐴𝑢) → ∃𝑡 ∈ (SubGrp‘𝐺)((𝑆𝑡) = { 0 } ∧ (𝑆 𝑡) = 𝑢))))
7337, 72sylbi 207 . . . . 5 (∀𝑠(𝑠𝑢 → (𝜑 → ((𝑠 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝐴𝑠) → ∃𝑡 ∈ (SubGrp‘𝐺)((𝑆𝑡) = { 0 } ∧ (𝑆 𝑡) = 𝑠)))) → (𝜑 → ((𝑢 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝐴𝑢) → ∃𝑡 ∈ (SubGrp‘𝐺)((𝑆𝑡) = { 0 } ∧ (𝑆 𝑡) = 𝑢))))
7473a1i 11 . . . 4 (𝑢 ∈ Fin → (∀𝑠(𝑠𝑢 → (𝜑 → ((𝑠 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝐴𝑠) → ∃𝑡 ∈ (SubGrp‘𝐺)((𝑆𝑡) = { 0 } ∧ (𝑆 𝑡) = 𝑠)))) → (𝜑 → ((𝑢 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝐴𝑢) → ∃𝑡 ∈ (SubGrp‘𝐺)((𝑆𝑡) = { 0 } ∧ (𝑆 𝑡) = 𝑢)))))
7515, 23, 74findcard3 8147 . . 3 (𝐵 ∈ Fin → (𝜑 → ((𝐵 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝐴𝐵) → ∃𝑡 ∈ (SubGrp‘𝐺)((𝑆𝑡) = { 0 } ∧ (𝑆 𝑡) = 𝐵))))
767, 75mpcom 38 . 2 (𝜑 → ((𝐵 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝐴𝐵) → ∃𝑡 ∈ (SubGrp‘𝐺)((𝑆𝑡) = { 0 } ∧ (𝑆 𝑡) = 𝐵)))
775, 6, 76mp2and 714 1 (𝜑 → ∃𝑡 ∈ (SubGrp‘𝐺)((𝑆𝑡) = { 0 } ∧ (𝑆 𝑡) = 𝐵))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 384  wal 1478   = wceq 1480  wcel 1987  wral 2907  wrex 2908  cin 3554  wpss 3556  {csn 4148   class class class wbr 4613  cfv 5847  (class class class)co 6604  Fincfn 7899  Basecbs 15781  0gc0g 16021  mrClscmrc 16164  Grpcgrp 17343  SubGrpcsubg 17509  odcod 17865  gExcgex 17866   pGrp cpgp 17867  LSSumclsm 17970  Abelcabl 18115
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1719  ax-4 1734  ax-5 1836  ax-6 1885  ax-7 1932  ax-8 1989  ax-9 1996  ax-10 2016  ax-11 2031  ax-12 2044  ax-13 2245  ax-ext 2601  ax-rep 4731  ax-sep 4741  ax-nul 4749  ax-pow 4803  ax-pr 4867  ax-un 6902  ax-inf2 8482  ax-cnex 9936  ax-resscn 9937  ax-1cn 9938  ax-icn 9939  ax-addcl 9940  ax-addrcl 9941  ax-mulcl 9942  ax-mulrcl 9943  ax-mulcom 9944  ax-addass 9945  ax-mulass 9946  ax-distr 9947  ax-i2m1 9948  ax-1ne0 9949  ax-1rid 9950  ax-rnegex 9951  ax-rrecex 9952  ax-cnre 9953  ax-pre-lttri 9954  ax-pre-lttrn 9955  ax-pre-ltadd 9956  ax-pre-mulgt0 9957  ax-pre-sup 9958
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1037  df-3an 1038  df-tru 1483  df-fal 1486  df-ex 1702  df-nf 1707  df-sb 1878  df-eu 2473  df-mo 2474  df-clab 2608  df-cleq 2614  df-clel 2617  df-nfc 2750  df-ne 2791  df-nel 2894  df-ral 2912  df-rex 2913  df-reu 2914  df-rmo 2915  df-rab 2916  df-v 3188  df-sbc 3418  df-csb 3515  df-dif 3558  df-un 3560  df-in 3562  df-ss 3569  df-pss 3571  df-nul 3892  df-if 4059  df-pw 4132  df-sn 4149  df-pr 4151  df-tp 4153  df-op 4155  df-uni 4403  df-int 4441  df-iun 4487  df-iin 4488  df-disj 4584  df-br 4614  df-opab 4674  df-mpt 4675  df-tr 4713  df-eprel 4985  df-id 4989  df-po 4995  df-so 4996  df-fr 5033  df-se 5034  df-we 5035  df-xp 5080  df-rel 5081  df-cnv 5082  df-co 5083  df-dm 5084  df-rn 5085  df-res 5086  df-ima 5087  df-pred 5639  df-ord 5685  df-on 5686  df-lim 5687  df-suc 5688  df-iota 5810  df-fun 5849  df-fn 5850  df-f 5851  df-f1 5852  df-fo 5853  df-f1o 5854  df-fv 5855  df-isom 5856  df-riota 6565  df-ov 6607  df-oprab 6608  df-mpt2 6609  df-rpss 6890  df-om 7013  df-1st 7113  df-2nd 7114  df-wrecs 7352  df-recs 7413  df-rdg 7451  df-1o 7505  df-2o 7506  df-oadd 7509  df-omul 7510  df-er 7687  df-ec 7689  df-qs 7693  df-map 7804  df-en 7900  df-dom 7901  df-sdom 7902  df-fin 7903  df-sup 8292  df-inf 8293  df-oi 8359  df-card 8709  df-acn 8712  df-cda 8934  df-pnf 10020  df-mnf 10021  df-xr 10022  df-ltxr 10023  df-le 10024  df-sub 10212  df-neg 10213  df-div 10629  df-nn 10965  df-2 11023  df-3 11024  df-n0 11237  df-xnn0 11308  df-z 11322  df-uz 11632  df-q 11733  df-rp 11777  df-fz 12269  df-fzo 12407  df-fl 12533  df-mod 12609  df-seq 12742  df-exp 12801  df-fac 13001  df-bc 13030  df-hash 13058  df-cj 13773  df-re 13774  df-im 13775  df-sqrt 13909  df-abs 13910  df-clim 14153  df-sum 14351  df-dvds 14908  df-gcd 15141  df-prm 15310  df-pc 15466  df-ndx 15784  df-slot 15785  df-base 15786  df-sets 15787  df-ress 15788  df-plusg 15875  df-0g 16023  df-mre 16167  df-mrc 16168  df-acs 16170  df-mgm 17163  df-sgrp 17205  df-mnd 17216  df-submnd 17257  df-grp 17346  df-minusg 17347  df-sbg 17348  df-mulg 17462  df-subg 17512  df-eqg 17514  df-ga 17644  df-cntz 17671  df-od 17869  df-gex 17870  df-pgp 17871  df-lsm 17972  df-cmn 18116  df-abl 18117
This theorem is referenced by:  pgpfaclem3  18403
  Copyright terms: Public domain W3C validator