MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  pgpfac1lem1 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem pgpfac1lem1 18394
Description: Lemma for pgpfac1 18400. (Contributed by Mario Carneiro, 27-Apr-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
pgpfac1.k 𝐾 = (mrCls‘(SubGrp‘𝐺))
pgpfac1.s 𝑆 = (𝐾‘{𝐴})
pgpfac1.b 𝐵 = (Base‘𝐺)
pgpfac1.o 𝑂 = (od‘𝐺)
pgpfac1.e 𝐸 = (gEx‘𝐺)
pgpfac1.z 0 = (0g𝐺)
pgpfac1.l = (LSSum‘𝐺)
pgpfac1.p (𝜑𝑃 pGrp 𝐺)
pgpfac1.g (𝜑𝐺 ∈ Abel)
pgpfac1.n (𝜑𝐵 ∈ Fin)
pgpfac1.oe (𝜑 → (𝑂𝐴) = 𝐸)
pgpfac1.u (𝜑𝑈 ∈ (SubGrp‘𝐺))
pgpfac1.au (𝜑𝐴𝑈)
pgpfac1.w (𝜑𝑊 ∈ (SubGrp‘𝐺))
pgpfac1.i (𝜑 → (𝑆𝑊) = { 0 })
pgpfac1.ss (𝜑 → (𝑆 𝑊) ⊆ 𝑈)
pgpfac1.2 (𝜑 → ∀𝑤 ∈ (SubGrp‘𝐺)((𝑤𝑈𝐴𝑤) → ¬ (𝑆 𝑊) ⊊ 𝑤))
Assertion
Ref Expression
pgpfac1lem1 ((𝜑𝐶 ∈ (𝑈 ∖ (𝑆 𝑊))) → ((𝑆 𝑊) (𝐾‘{𝐶})) = 𝑈)
Distinct variable groups:   𝑤,𝐴   𝑤,   𝑤,𝑃   𝑤,𝐺   𝑤,𝑈   𝑤,𝐶   𝑤,𝑆   𝑤,𝑊   𝜑,𝑤   𝑤,𝐾
Allowed substitution hints:   𝐵(𝑤)   𝐸(𝑤)   𝑂(𝑤)   0 (𝑤)

Proof of Theorem pgpfac1lem1
StepHypRef Expression
1 pgpfac1.ss . . . 4 (𝜑 → (𝑆 𝑊) ⊆ 𝑈)
21adantr 481 . . 3 ((𝜑𝐶 ∈ (𝑈 ∖ (𝑆 𝑊))) → (𝑆 𝑊) ⊆ 𝑈)
3 pgpfac1.g . . . . . 6 (𝜑𝐺 ∈ Abel)
4 ablgrp 18119 . . . . . 6 (𝐺 ∈ Abel → 𝐺 ∈ Grp)
5 pgpfac1.b . . . . . . 7 𝐵 = (Base‘𝐺)
65subgacs 17550 . . . . . 6 (𝐺 ∈ Grp → (SubGrp‘𝐺) ∈ (ACS‘𝐵))
7 acsmre 16234 . . . . . 6 ((SubGrp‘𝐺) ∈ (ACS‘𝐵) → (SubGrp‘𝐺) ∈ (Moore‘𝐵))
83, 4, 6, 74syl 19 . . . . 5 (𝜑 → (SubGrp‘𝐺) ∈ (Moore‘𝐵))
98adantr 481 . . . 4 ((𝜑𝐶 ∈ (𝑈 ∖ (𝑆 𝑊))) → (SubGrp‘𝐺) ∈ (Moore‘𝐵))
10 eldifi 3710 . . . . . 6 (𝐶 ∈ (𝑈 ∖ (𝑆 𝑊)) → 𝐶𝑈)
1110adantl 482 . . . . 5 ((𝜑𝐶 ∈ (𝑈 ∖ (𝑆 𝑊))) → 𝐶𝑈)
1211snssd 4309 . . . 4 ((𝜑𝐶 ∈ (𝑈 ∖ (𝑆 𝑊))) → {𝐶} ⊆ 𝑈)
13 pgpfac1.u . . . . 5 (𝜑𝑈 ∈ (SubGrp‘𝐺))
1413adantr 481 . . . 4 ((𝜑𝐶 ∈ (𝑈 ∖ (𝑆 𝑊))) → 𝑈 ∈ (SubGrp‘𝐺))
15 pgpfac1.k . . . . 5 𝐾 = (mrCls‘(SubGrp‘𝐺))
1615mrcsscl 16201 . . . 4 (((SubGrp‘𝐺) ∈ (Moore‘𝐵) ∧ {𝐶} ⊆ 𝑈𝑈 ∈ (SubGrp‘𝐺)) → (𝐾‘{𝐶}) ⊆ 𝑈)
179, 12, 14, 16syl3anc 1323 . . 3 ((𝜑𝐶 ∈ (𝑈 ∖ (𝑆 𝑊))) → (𝐾‘{𝐶}) ⊆ 𝑈)
18 pgpfac1.s . . . . . . 7 𝑆 = (𝐾‘{𝐴})
195subgss 17516 . . . . . . . . . 10 (𝑈 ∈ (SubGrp‘𝐺) → 𝑈𝐵)
2013, 19syl 17 . . . . . . . . 9 (𝜑𝑈𝐵)
21 pgpfac1.au . . . . . . . . 9 (𝜑𝐴𝑈)
2220, 21sseldd 3584 . . . . . . . 8 (𝜑𝐴𝐵)
2315mrcsncl 16193 . . . . . . . 8 (((SubGrp‘𝐺) ∈ (Moore‘𝐵) ∧ 𝐴𝐵) → (𝐾‘{𝐴}) ∈ (SubGrp‘𝐺))
248, 22, 23syl2anc 692 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝐾‘{𝐴}) ∈ (SubGrp‘𝐺))
2518, 24syl5eqel 2702 . . . . . 6 (𝜑𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺))
26 pgpfac1.w . . . . . 6 (𝜑𝑊 ∈ (SubGrp‘𝐺))
27 pgpfac1.l . . . . . . 7 = (LSSum‘𝐺)
2827lsmsubg2 18183 . . . . . 6 ((𝐺 ∈ Abel ∧ 𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑊 ∈ (SubGrp‘𝐺)) → (𝑆 𝑊) ∈ (SubGrp‘𝐺))
293, 25, 26, 28syl3anc 1323 . . . . 5 (𝜑 → (𝑆 𝑊) ∈ (SubGrp‘𝐺))
3029adantr 481 . . . 4 ((𝜑𝐶 ∈ (𝑈 ∖ (𝑆 𝑊))) → (𝑆 𝑊) ∈ (SubGrp‘𝐺))
3120sselda 3583 . . . . . 6 ((𝜑𝐶𝑈) → 𝐶𝐵)
3210, 31sylan2 491 . . . . 5 ((𝜑𝐶 ∈ (𝑈 ∖ (𝑆 𝑊))) → 𝐶𝐵)
3315mrcsncl 16193 . . . . 5 (((SubGrp‘𝐺) ∈ (Moore‘𝐵) ∧ 𝐶𝐵) → (𝐾‘{𝐶}) ∈ (SubGrp‘𝐺))
349, 32, 33syl2anc 692 . . . 4 ((𝜑𝐶 ∈ (𝑈 ∖ (𝑆 𝑊))) → (𝐾‘{𝐶}) ∈ (SubGrp‘𝐺))
3527lsmlub 17999 . . . 4 (((𝑆 𝑊) ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ (𝐾‘{𝐶}) ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑈 ∈ (SubGrp‘𝐺)) → (((𝑆 𝑊) ⊆ 𝑈 ∧ (𝐾‘{𝐶}) ⊆ 𝑈) ↔ ((𝑆 𝑊) (𝐾‘{𝐶})) ⊆ 𝑈))
3630, 34, 14, 35syl3anc 1323 . . 3 ((𝜑𝐶 ∈ (𝑈 ∖ (𝑆 𝑊))) → (((𝑆 𝑊) ⊆ 𝑈 ∧ (𝐾‘{𝐶}) ⊆ 𝑈) ↔ ((𝑆 𝑊) (𝐾‘{𝐶})) ⊆ 𝑈))
372, 17, 36mpbi2and 955 . 2 ((𝜑𝐶 ∈ (𝑈 ∖ (𝑆 𝑊))) → ((𝑆 𝑊) (𝐾‘{𝐶})) ⊆ 𝑈)
3827lsmub1 17992 . . . . . 6 (((𝑆 𝑊) ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ (𝐾‘{𝐶}) ∈ (SubGrp‘𝐺)) → (𝑆 𝑊) ⊆ ((𝑆 𝑊) (𝐾‘{𝐶})))
3930, 34, 38syl2anc 692 . . . . 5 ((𝜑𝐶 ∈ (𝑈 ∖ (𝑆 𝑊))) → (𝑆 𝑊) ⊆ ((𝑆 𝑊) (𝐾‘{𝐶})))
4027lsmub2 17993 . . . . . . 7 (((𝑆 𝑊) ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ (𝐾‘{𝐶}) ∈ (SubGrp‘𝐺)) → (𝐾‘{𝐶}) ⊆ ((𝑆 𝑊) (𝐾‘{𝐶})))
4130, 34, 40syl2anc 692 . . . . . 6 ((𝜑𝐶 ∈ (𝑈 ∖ (𝑆 𝑊))) → (𝐾‘{𝐶}) ⊆ ((𝑆 𝑊) (𝐾‘{𝐶})))
4232snssd 4309 . . . . . . . 8 ((𝜑𝐶 ∈ (𝑈 ∖ (𝑆 𝑊))) → {𝐶} ⊆ 𝐵)
439, 15, 42mrcssidd 16206 . . . . . . 7 ((𝜑𝐶 ∈ (𝑈 ∖ (𝑆 𝑊))) → {𝐶} ⊆ (𝐾‘{𝐶}))
44 snssg 4296 . . . . . . . 8 (𝐶𝐵 → (𝐶 ∈ (𝐾‘{𝐶}) ↔ {𝐶} ⊆ (𝐾‘{𝐶})))
4532, 44syl 17 . . . . . . 7 ((𝜑𝐶 ∈ (𝑈 ∖ (𝑆 𝑊))) → (𝐶 ∈ (𝐾‘{𝐶}) ↔ {𝐶} ⊆ (𝐾‘{𝐶})))
4643, 45mpbird 247 . . . . . 6 ((𝜑𝐶 ∈ (𝑈 ∖ (𝑆 𝑊))) → 𝐶 ∈ (𝐾‘{𝐶}))
4741, 46sseldd 3584 . . . . 5 ((𝜑𝐶 ∈ (𝑈 ∖ (𝑆 𝑊))) → 𝐶 ∈ ((𝑆 𝑊) (𝐾‘{𝐶})))
48 eldifn 3711 . . . . . 6 (𝐶 ∈ (𝑈 ∖ (𝑆 𝑊)) → ¬ 𝐶 ∈ (𝑆 𝑊))
4948adantl 482 . . . . 5 ((𝜑𝐶 ∈ (𝑈 ∖ (𝑆 𝑊))) → ¬ 𝐶 ∈ (𝑆 𝑊))
5039, 47, 49ssnelpssd 3697 . . . 4 ((𝜑𝐶 ∈ (𝑈 ∖ (𝑆 𝑊))) → (𝑆 𝑊) ⊊ ((𝑆 𝑊) (𝐾‘{𝐶})))
5127lsmub1 17992 . . . . . . . . 9 ((𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑊 ∈ (SubGrp‘𝐺)) → 𝑆 ⊆ (𝑆 𝑊))
5225, 26, 51syl2anc 692 . . . . . . . 8 (𝜑𝑆 ⊆ (𝑆 𝑊))
5322snssd 4309 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → {𝐴} ⊆ 𝐵)
548, 15, 53mrcssidd 16206 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → {𝐴} ⊆ (𝐾‘{𝐴}))
5554, 18syl6sseqr 3631 . . . . . . . . 9 (𝜑 → {𝐴} ⊆ 𝑆)
56 snssg 4296 . . . . . . . . . 10 (𝐴𝑈 → (𝐴𝑆 ↔ {𝐴} ⊆ 𝑆))
5721, 56syl 17 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝐴𝑆 ↔ {𝐴} ⊆ 𝑆))
5855, 57mpbird 247 . . . . . . . 8 (𝜑𝐴𝑆)
5952, 58sseldd 3584 . . . . . . 7 (𝜑𝐴 ∈ (𝑆 𝑊))
6059adantr 481 . . . . . 6 ((𝜑𝐶 ∈ (𝑈 ∖ (𝑆 𝑊))) → 𝐴 ∈ (𝑆 𝑊))
6139, 60sseldd 3584 . . . . 5 ((𝜑𝐶 ∈ (𝑈 ∖ (𝑆 𝑊))) → 𝐴 ∈ ((𝑆 𝑊) (𝐾‘{𝐶})))
623adantr 481 . . . . . . 7 ((𝜑𝐶 ∈ (𝑈 ∖ (𝑆 𝑊))) → 𝐺 ∈ Abel)
6327lsmsubg2 18183 . . . . . . 7 ((𝐺 ∈ Abel ∧ (𝑆 𝑊) ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ (𝐾‘{𝐶}) ∈ (SubGrp‘𝐺)) → ((𝑆 𝑊) (𝐾‘{𝐶})) ∈ (SubGrp‘𝐺))
6462, 30, 34, 63syl3anc 1323 . . . . . 6 ((𝜑𝐶 ∈ (𝑈 ∖ (𝑆 𝑊))) → ((𝑆 𝑊) (𝐾‘{𝐶})) ∈ (SubGrp‘𝐺))
65 pgpfac1.2 . . . . . . 7 (𝜑 → ∀𝑤 ∈ (SubGrp‘𝐺)((𝑤𝑈𝐴𝑤) → ¬ (𝑆 𝑊) ⊊ 𝑤))
6665adantr 481 . . . . . 6 ((𝜑𝐶 ∈ (𝑈 ∖ (𝑆 𝑊))) → ∀𝑤 ∈ (SubGrp‘𝐺)((𝑤𝑈𝐴𝑤) → ¬ (𝑆 𝑊) ⊊ 𝑤))
67 psseq1 3672 . . . . . . . . 9 (𝑤 = ((𝑆 𝑊) (𝐾‘{𝐶})) → (𝑤𝑈 ↔ ((𝑆 𝑊) (𝐾‘{𝐶})) ⊊ 𝑈))
68 eleq2 2687 . . . . . . . . 9 (𝑤 = ((𝑆 𝑊) (𝐾‘{𝐶})) → (𝐴𝑤𝐴 ∈ ((𝑆 𝑊) (𝐾‘{𝐶}))))
6967, 68anbi12d 746 . . . . . . . 8 (𝑤 = ((𝑆 𝑊) (𝐾‘{𝐶})) → ((𝑤𝑈𝐴𝑤) ↔ (((𝑆 𝑊) (𝐾‘{𝐶})) ⊊ 𝑈𝐴 ∈ ((𝑆 𝑊) (𝐾‘{𝐶})))))
70 psseq2 3673 . . . . . . . . 9 (𝑤 = ((𝑆 𝑊) (𝐾‘{𝐶})) → ((𝑆 𝑊) ⊊ 𝑤 ↔ (𝑆 𝑊) ⊊ ((𝑆 𝑊) (𝐾‘{𝐶}))))
7170notbid 308 . . . . . . . 8 (𝑤 = ((𝑆 𝑊) (𝐾‘{𝐶})) → (¬ (𝑆 𝑊) ⊊ 𝑤 ↔ ¬ (𝑆 𝑊) ⊊ ((𝑆 𝑊) (𝐾‘{𝐶}))))
7269, 71imbi12d 334 . . . . . . 7 (𝑤 = ((𝑆 𝑊) (𝐾‘{𝐶})) → (((𝑤𝑈𝐴𝑤) → ¬ (𝑆 𝑊) ⊊ 𝑤) ↔ ((((𝑆 𝑊) (𝐾‘{𝐶})) ⊊ 𝑈𝐴 ∈ ((𝑆 𝑊) (𝐾‘{𝐶}))) → ¬ (𝑆 𝑊) ⊊ ((𝑆 𝑊) (𝐾‘{𝐶})))))
7372rspcv 3291 . . . . . 6 (((𝑆 𝑊) (𝐾‘{𝐶})) ∈ (SubGrp‘𝐺) → (∀𝑤 ∈ (SubGrp‘𝐺)((𝑤𝑈𝐴𝑤) → ¬ (𝑆 𝑊) ⊊ 𝑤) → ((((𝑆 𝑊) (𝐾‘{𝐶})) ⊊ 𝑈𝐴 ∈ ((𝑆 𝑊) (𝐾‘{𝐶}))) → ¬ (𝑆 𝑊) ⊊ ((𝑆 𝑊) (𝐾‘{𝐶})))))
7464, 66, 73sylc 65 . . . . 5 ((𝜑𝐶 ∈ (𝑈 ∖ (𝑆 𝑊))) → ((((𝑆 𝑊) (𝐾‘{𝐶})) ⊊ 𝑈𝐴 ∈ ((𝑆 𝑊) (𝐾‘{𝐶}))) → ¬ (𝑆 𝑊) ⊊ ((𝑆 𝑊) (𝐾‘{𝐶}))))
7561, 74mpan2d 709 . . . 4 ((𝜑𝐶 ∈ (𝑈 ∖ (𝑆 𝑊))) → (((𝑆 𝑊) (𝐾‘{𝐶})) ⊊ 𝑈 → ¬ (𝑆 𝑊) ⊊ ((𝑆 𝑊) (𝐾‘{𝐶}))))
7650, 75mt2d 131 . . 3 ((𝜑𝐶 ∈ (𝑈 ∖ (𝑆 𝑊))) → ¬ ((𝑆 𝑊) (𝐾‘{𝐶})) ⊊ 𝑈)
77 npss 3695 . . 3 (¬ ((𝑆 𝑊) (𝐾‘{𝐶})) ⊊ 𝑈 ↔ (((𝑆 𝑊) (𝐾‘{𝐶})) ⊆ 𝑈 → ((𝑆 𝑊) (𝐾‘{𝐶})) = 𝑈))
7876, 77sylib 208 . 2 ((𝜑𝐶 ∈ (𝑈 ∖ (𝑆 𝑊))) → (((𝑆 𝑊) (𝐾‘{𝐶})) ⊆ 𝑈 → ((𝑆 𝑊) (𝐾‘{𝐶})) = 𝑈))
7937, 78mpd 15 1 ((𝜑𝐶 ∈ (𝑈 ∖ (𝑆 𝑊))) → ((𝑆 𝑊) (𝐾‘{𝐶})) = 𝑈)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 196  wa 384   = wceq 1480  wcel 1987  wral 2907  cdif 3552  cin 3554  wss 3555  wpss 3556  {csn 4148   class class class wbr 4613  cfv 5847  (class class class)co 6604  Fincfn 7899  Basecbs 15781  0gc0g 16021  Moorecmre 16163  mrClscmrc 16164  ACScacs 16166  Grpcgrp 17343  SubGrpcsubg 17509  odcod 17865  gExcgex 17866   pGrp cpgp 17867  LSSumclsm 17970  Abelcabl 18115
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1719  ax-4 1734  ax-5 1836  ax-6 1885  ax-7 1932  ax-8 1989  ax-9 1996  ax-10 2016  ax-11 2031  ax-12 2044  ax-13 2245  ax-ext 2601  ax-rep 4731  ax-sep 4741  ax-nul 4749  ax-pow 4803  ax-pr 4867  ax-un 6902  ax-cnex 9936  ax-resscn 9937  ax-1cn 9938  ax-icn 9939  ax-addcl 9940  ax-addrcl 9941  ax-mulcl 9942  ax-mulrcl 9943  ax-mulcom 9944  ax-addass 9945  ax-mulass 9946  ax-distr 9947  ax-i2m1 9948  ax-1ne0 9949  ax-1rid 9950  ax-rnegex 9951  ax-rrecex 9952  ax-cnre 9953  ax-pre-lttri 9954  ax-pre-lttrn 9955  ax-pre-ltadd 9956  ax-pre-mulgt0 9957
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1037  df-3an 1038  df-tru 1483  df-ex 1702  df-nf 1707  df-sb 1878  df-eu 2473  df-mo 2474  df-clab 2608  df-cleq 2614  df-clel 2617  df-nfc 2750  df-ne 2791  df-nel 2894  df-ral 2912  df-rex 2913  df-reu 2914  df-rmo 2915  df-rab 2916  df-v 3188  df-sbc 3418  df-csb 3515  df-dif 3558  df-un 3560  df-in 3562  df-ss 3569  df-pss 3571  df-nul 3892  df-if 4059  df-pw 4132  df-sn 4149  df-pr 4151  df-tp 4153  df-op 4155  df-uni 4403  df-int 4441  df-iun 4487  df-iin 4488  df-br 4614  df-opab 4674  df-mpt 4675  df-tr 4713  df-eprel 4985  df-id 4989  df-po 4995  df-so 4996  df-fr 5033  df-we 5035  df-xp 5080  df-rel 5081  df-cnv 5082  df-co 5083  df-dm 5084  df-rn 5085  df-res 5086  df-ima 5087  df-pred 5639  df-ord 5685  df-on 5686  df-lim 5687  df-suc 5688  df-iota 5810  df-fun 5849  df-fn 5850  df-f 5851  df-f1 5852  df-fo 5853  df-f1o 5854  df-fv 5855  df-riota 6565  df-ov 6607  df-oprab 6608  df-mpt2 6609  df-om 7013  df-1st 7113  df-2nd 7114  df-wrecs 7352  df-recs 7413  df-rdg 7451  df-1o 7505  df-oadd 7509  df-er 7687  df-en 7900  df-dom 7901  df-sdom 7902  df-fin 7903  df-pnf 10020  df-mnf 10021  df-xr 10022  df-ltxr 10023  df-le 10024  df-sub 10212  df-neg 10213  df-nn 10965  df-2 11023  df-ndx 15784  df-slot 15785  df-base 15786  df-sets 15787  df-ress 15788  df-plusg 15875  df-0g 16023  df-mre 16167  df-mrc 16168  df-acs 16170  df-mgm 17163  df-sgrp 17205  df-mnd 17216  df-submnd 17257  df-grp 17346  df-minusg 17347  df-subg 17512  df-cntz 17671  df-lsm 17972  df-cmn 18116  df-abl 18117
This theorem is referenced by:  pgpfac1lem2  18395  pgpfac1lem3  18397
  Copyright terms: Public domain W3C validator