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Theorem pgpfac1lem3 18408
Description: Lemma for pgpfac1 18411. (Contributed by Mario Carneiro, 27-Apr-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
pgpfac1.k 𝐾 = (mrCls‘(SubGrp‘𝐺))
pgpfac1.s 𝑆 = (𝐾‘{𝐴})
pgpfac1.b 𝐵 = (Base‘𝐺)
pgpfac1.o 𝑂 = (od‘𝐺)
pgpfac1.e 𝐸 = (gEx‘𝐺)
pgpfac1.z 0 = (0g𝐺)
pgpfac1.l = (LSSum‘𝐺)
pgpfac1.p (𝜑𝑃 pGrp 𝐺)
pgpfac1.g (𝜑𝐺 ∈ Abel)
pgpfac1.n (𝜑𝐵 ∈ Fin)
pgpfac1.oe (𝜑 → (𝑂𝐴) = 𝐸)
pgpfac1.u (𝜑𝑈 ∈ (SubGrp‘𝐺))
pgpfac1.au (𝜑𝐴𝑈)
pgpfac1.w (𝜑𝑊 ∈ (SubGrp‘𝐺))
pgpfac1.i (𝜑 → (𝑆𝑊) = { 0 })
pgpfac1.ss (𝜑 → (𝑆 𝑊) ⊆ 𝑈)
pgpfac1.2 (𝜑 → ∀𝑤 ∈ (SubGrp‘𝐺)((𝑤𝑈𝐴𝑤) → ¬ (𝑆 𝑊) ⊊ 𝑤))
pgpfac1.c (𝜑𝐶 ∈ (𝑈 ∖ (𝑆 𝑊)))
pgpfac1.mg · = (.g𝐺)
pgpfac1.m (𝜑𝑀 ∈ ℤ)
pgpfac1.mw (𝜑 → ((𝑃 · 𝐶)(+g𝐺)(𝑀 · 𝐴)) ∈ 𝑊)
pgpfac1.d 𝐷 = (𝐶(+g𝐺)((𝑀 / 𝑃) · 𝐴))
Assertion
Ref Expression
pgpfac1lem3 (𝜑 → ∃𝑡 ∈ (SubGrp‘𝐺)((𝑆𝑡) = { 0 } ∧ (𝑆 𝑡) = 𝑈))
Distinct variable groups:   𝑡, 0   𝑤,𝑡,𝐴   𝑡,𝐷,𝑤   𝑡, ,𝑤   𝑡,𝑃,𝑤   𝑡,𝐵   𝑡,𝐺,𝑤   𝑡,𝑈,𝑤   𝑡,𝐶,𝑤   𝑡,𝑆,𝑤   𝑡,𝑊,𝑤   𝜑,𝑡,𝑤   𝑡, · ,𝑤   𝑡,𝐾,𝑤
Allowed substitution hints:   𝐵(𝑤)   𝐸(𝑤,𝑡)   𝑀(𝑤,𝑡)   𝑂(𝑤,𝑡)   0 (𝑤)

Proof of Theorem pgpfac1lem3
Dummy variables 𝑏 𝑥 𝑦 𝑎 𝑛 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 pgpfac1.g . . 3 (𝜑𝐺 ∈ Abel)
2 pgpfac1.w . . 3 (𝜑𝑊 ∈ (SubGrp‘𝐺))
3 ablgrp 18130 . . . . . 6 (𝐺 ∈ Abel → 𝐺 ∈ Grp)
41, 3syl 17 . . . . 5 (𝜑𝐺 ∈ Grp)
5 pgpfac1.b . . . . . 6 𝐵 = (Base‘𝐺)
65subgacs 17561 . . . . 5 (𝐺 ∈ Grp → (SubGrp‘𝐺) ∈ (ACS‘𝐵))
7 acsmre 16245 . . . . 5 ((SubGrp‘𝐺) ∈ (ACS‘𝐵) → (SubGrp‘𝐺) ∈ (Moore‘𝐵))
84, 6, 73syl 18 . . . 4 (𝜑 → (SubGrp‘𝐺) ∈ (Moore‘𝐵))
9 pgpfac1.u . . . . . 6 (𝜑𝑈 ∈ (SubGrp‘𝐺))
105subgss 17527 . . . . . 6 (𝑈 ∈ (SubGrp‘𝐺) → 𝑈𝐵)
119, 10syl 17 . . . . 5 (𝜑𝑈𝐵)
12 pgpfac1.d . . . . . 6 𝐷 = (𝐶(+g𝐺)((𝑀 / 𝑃) · 𝐴))
13 pgpfac1.c . . . . . . . 8 (𝜑𝐶 ∈ (𝑈 ∖ (𝑆 𝑊)))
1413eldifad 3571 . . . . . . 7 (𝜑𝐶𝑈)
15 pgpfac1.s . . . . . . . . . . 11 𝑆 = (𝐾‘{𝐴})
16 pgpfac1.au . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑𝐴𝑈)
1711, 16sseldd 3588 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑𝐴𝐵)
18 pgpfac1.k . . . . . . . . . . . . 13 𝐾 = (mrCls‘(SubGrp‘𝐺))
1918mrcsncl 16204 . . . . . . . . . . . 12 (((SubGrp‘𝐺) ∈ (Moore‘𝐵) ∧ 𝐴𝐵) → (𝐾‘{𝐴}) ∈ (SubGrp‘𝐺))
208, 17, 19syl2anc 692 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (𝐾‘{𝐴}) ∈ (SubGrp‘𝐺))
2115, 20syl5eqel 2702 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺))
22 pgpfac1.l . . . . . . . . . . 11 = (LSSum‘𝐺)
2322lsmub1 18003 . . . . . . . . . 10 ((𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑊 ∈ (SubGrp‘𝐺)) → 𝑆 ⊆ (𝑆 𝑊))
2421, 2, 23syl2anc 692 . . . . . . . . 9 (𝜑𝑆 ⊆ (𝑆 𝑊))
25 pgpfac1.ss . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝑆 𝑊) ⊆ 𝑈)
2624, 25sstrd 3597 . . . . . . . 8 (𝜑𝑆𝑈)
27 pgpfac1.o . . . . . . . . . . . 12 𝑂 = (od‘𝐺)
28 pgpfac1.e . . . . . . . . . . . 12 𝐸 = (gEx‘𝐺)
29 pgpfac1.z . . . . . . . . . . . 12 0 = (0g𝐺)
30 pgpfac1.p . . . . . . . . . . . 12 (𝜑𝑃 pGrp 𝐺)
31 pgpfac1.n . . . . . . . . . . . 12 (𝜑𝐵 ∈ Fin)
32 pgpfac1.oe . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (𝑂𝐴) = 𝐸)
33 pgpfac1.i . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (𝑆𝑊) = { 0 })
34 pgpfac1.2 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → ∀𝑤 ∈ (SubGrp‘𝐺)((𝑤𝑈𝐴𝑤) → ¬ (𝑆 𝑊) ⊊ 𝑤))
35 pgpfac1.mg . . . . . . . . . . . 12 · = (.g𝐺)
36 pgpfac1.m . . . . . . . . . . . 12 (𝜑𝑀 ∈ ℤ)
37 pgpfac1.mw . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → ((𝑃 · 𝐶)(+g𝐺)(𝑀 · 𝐴)) ∈ 𝑊)
3818, 15, 5, 27, 28, 29, 22, 30, 1, 31, 32, 9, 16, 2, 33, 25, 34, 13, 35, 36, 37pgpfac1lem3a 18407 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (𝑃𝐸𝑃𝑀))
3938simprd 479 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝑃𝑀)
40 pgpprm 17940 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑃 pGrp 𝐺𝑃 ∈ ℙ)
4130, 40syl 17 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑𝑃 ∈ ℙ)
42 prmz 15324 . . . . . . . . . . . 12 (𝑃 ∈ ℙ → 𝑃 ∈ ℤ)
4341, 42syl 17 . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝑃 ∈ ℤ)
44 prmnn 15323 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑃 ∈ ℙ → 𝑃 ∈ ℕ)
4541, 44syl 17 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑𝑃 ∈ ℕ)
4645nnne0d 11017 . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝑃 ≠ 0)
47 dvdsval2 14921 . . . . . . . . . . 11 ((𝑃 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ≠ 0 ∧ 𝑀 ∈ ℤ) → (𝑃𝑀 ↔ (𝑀 / 𝑃) ∈ ℤ))
4843, 46, 36, 47syl3anc 1323 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝑃𝑀 ↔ (𝑀 / 𝑃) ∈ ℤ))
4939, 48mpbid 222 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝑀 / 𝑃) ∈ ℤ)
5017snssd 4314 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → {𝐴} ⊆ 𝐵)
518, 18, 50mrcssidd 16217 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → {𝐴} ⊆ (𝐾‘{𝐴}))
5251, 15syl6sseqr 3636 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → {𝐴} ⊆ 𝑆)
53 snssg 4301 . . . . . . . . . . 11 (𝐴𝑈 → (𝐴𝑆 ↔ {𝐴} ⊆ 𝑆))
5416, 53syl 17 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝐴𝑆 ↔ {𝐴} ⊆ 𝑆))
5552, 54mpbird 247 . . . . . . . . 9 (𝜑𝐴𝑆)
5635subgmulgcl 17539 . . . . . . . . 9 ((𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ (𝑀 / 𝑃) ∈ ℤ ∧ 𝐴𝑆) → ((𝑀 / 𝑃) · 𝐴) ∈ 𝑆)
5721, 49, 55, 56syl3anc 1323 . . . . . . . 8 (𝜑 → ((𝑀 / 𝑃) · 𝐴) ∈ 𝑆)
5826, 57sseldd 3588 . . . . . . 7 (𝜑 → ((𝑀 / 𝑃) · 𝐴) ∈ 𝑈)
59 eqid 2621 . . . . . . . 8 (+g𝐺) = (+g𝐺)
6059subgcl 17536 . . . . . . 7 ((𝑈 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝐶𝑈 ∧ ((𝑀 / 𝑃) · 𝐴) ∈ 𝑈) → (𝐶(+g𝐺)((𝑀 / 𝑃) · 𝐴)) ∈ 𝑈)
619, 14, 58, 60syl3anc 1323 . . . . . 6 (𝜑 → (𝐶(+g𝐺)((𝑀 / 𝑃) · 𝐴)) ∈ 𝑈)
6212, 61syl5eqel 2702 . . . . 5 (𝜑𝐷𝑈)
6311, 62sseldd 3588 . . . 4 (𝜑𝐷𝐵)
6418mrcsncl 16204 . . . 4 (((SubGrp‘𝐺) ∈ (Moore‘𝐵) ∧ 𝐷𝐵) → (𝐾‘{𝐷}) ∈ (SubGrp‘𝐺))
658, 63, 64syl2anc 692 . . 3 (𝜑 → (𝐾‘{𝐷}) ∈ (SubGrp‘𝐺))
6622lsmsubg2 18194 . . 3 ((𝐺 ∈ Abel ∧ 𝑊 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ (𝐾‘{𝐷}) ∈ (SubGrp‘𝐺)) → (𝑊 (𝐾‘{𝐷})) ∈ (SubGrp‘𝐺))
671, 2, 65, 66syl3anc 1323 . 2 (𝜑 → (𝑊 (𝐾‘{𝐷})) ∈ (SubGrp‘𝐺))
68 eqid 2621 . . . . . . . . . . 11 (-g𝐺) = (-g𝐺)
6968, 22, 2, 65lsmelvalm 17998 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝑥 ∈ (𝑊 (𝐾‘{𝐷})) ↔ ∃𝑤𝑊𝑦 ∈ (𝐾‘{𝐷})𝑥 = (𝑤(-g𝐺)𝑦)))
70 eqid 2621 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑛 ∈ ℤ ↦ (𝑛 · 𝐷)) = (𝑛 ∈ ℤ ↦ (𝑛 · 𝐷))
715, 35, 70, 18cycsubg2 17563 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐷𝐵) → (𝐾‘{𝐷}) = ran (𝑛 ∈ ℤ ↦ (𝑛 · 𝐷)))
724, 63, 71syl2anc 692 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → (𝐾‘{𝐷}) = ran (𝑛 ∈ ℤ ↦ (𝑛 · 𝐷)))
7372rexeqdv 3137 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (∃𝑦 ∈ (𝐾‘{𝐷})𝑥 = (𝑤(-g𝐺)𝑦) ↔ ∃𝑦 ∈ ran (𝑛 ∈ ℤ ↦ (𝑛 · 𝐷))𝑥 = (𝑤(-g𝐺)𝑦)))
74 ovex 6638 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑛 · 𝐷) ∈ V
7574rgenw 2919 . . . . . . . . . . . . 13 𝑛 ∈ ℤ (𝑛 · 𝐷) ∈ V
76 oveq2 6618 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑦 = (𝑛 · 𝐷) → (𝑤(-g𝐺)𝑦) = (𝑤(-g𝐺)(𝑛 · 𝐷)))
7776eqeq2d 2631 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑦 = (𝑛 · 𝐷) → (𝑥 = (𝑤(-g𝐺)𝑦) ↔ 𝑥 = (𝑤(-g𝐺)(𝑛 · 𝐷))))
7870, 77rexrnmpt 6330 . . . . . . . . . . . . 13 (∀𝑛 ∈ ℤ (𝑛 · 𝐷) ∈ V → (∃𝑦 ∈ ran (𝑛 ∈ ℤ ↦ (𝑛 · 𝐷))𝑥 = (𝑤(-g𝐺)𝑦) ↔ ∃𝑛 ∈ ℤ 𝑥 = (𝑤(-g𝐺)(𝑛 · 𝐷))))
7975, 78ax-mp 5 . . . . . . . . . . . 12 (∃𝑦 ∈ ran (𝑛 ∈ ℤ ↦ (𝑛 · 𝐷))𝑥 = (𝑤(-g𝐺)𝑦) ↔ ∃𝑛 ∈ ℤ 𝑥 = (𝑤(-g𝐺)(𝑛 · 𝐷)))
8073, 79syl6bb 276 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (∃𝑦 ∈ (𝐾‘{𝐷})𝑥 = (𝑤(-g𝐺)𝑦) ↔ ∃𝑛 ∈ ℤ 𝑥 = (𝑤(-g𝐺)(𝑛 · 𝐷))))
8180rexbidv 3046 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (∃𝑤𝑊𝑦 ∈ (𝐾‘{𝐷})𝑥 = (𝑤(-g𝐺)𝑦) ↔ ∃𝑤𝑊𝑛 ∈ ℤ 𝑥 = (𝑤(-g𝐺)(𝑛 · 𝐷))))
8269, 81bitrd 268 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝑥 ∈ (𝑊 (𝐾‘{𝐷})) ↔ ∃𝑤𝑊𝑛 ∈ ℤ 𝑥 = (𝑤(-g𝐺)(𝑛 · 𝐷))))
8382adantr 481 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑥𝑆) → (𝑥 ∈ (𝑊 (𝐾‘{𝐷})) ↔ ∃𝑤𝑊𝑛 ∈ ℤ 𝑥 = (𝑤(-g𝐺)(𝑛 · 𝐷))))
84 simpr 477 . . . . . . . . . . 11 ((((𝜑𝑥𝑆) ∧ (𝑤𝑊𝑛 ∈ ℤ)) ∧ 𝑥 = (𝑤(-g𝐺)(𝑛 · 𝐷))) → 𝑥 = (𝑤(-g𝐺)(𝑛 · 𝐷)))
852ad3antrrr 765 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝜑𝑥𝑆) ∧ (𝑤𝑊𝑛 ∈ ℤ)) ∧ 𝑥 = (𝑤(-g𝐺)(𝑛 · 𝐷))) → 𝑊 ∈ (SubGrp‘𝐺))
86 simplrl 799 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝜑𝑥𝑆) ∧ (𝑤𝑊𝑛 ∈ ℤ)) ∧ 𝑥 = (𝑤(-g𝐺)(𝑛 · 𝐷))) → 𝑤𝑊)
87 simplrr 800 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((𝜑𝑥𝑆) ∧ (𝑤𝑊𝑛 ∈ ℤ)) ∧ 𝑥 = (𝑤(-g𝐺)(𝑛 · 𝐷))) → 𝑛 ∈ ℤ)
8887zcnd 11435 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝜑𝑥𝑆) ∧ (𝑤𝑊𝑛 ∈ ℤ)) ∧ 𝑥 = (𝑤(-g𝐺)(𝑛 · 𝐷))) → 𝑛 ∈ ℂ)
8945nncnd 10988 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝜑𝑃 ∈ ℂ)
9089ad3antrrr 765 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝜑𝑥𝑆) ∧ (𝑤𝑊𝑛 ∈ ℤ)) ∧ 𝑥 = (𝑤(-g𝐺)(𝑛 · 𝐷))) → 𝑃 ∈ ℂ)
9146ad3antrrr 765 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝜑𝑥𝑆) ∧ (𝑤𝑊𝑛 ∈ ℤ)) ∧ 𝑥 = (𝑤(-g𝐺)(𝑛 · 𝐷))) → 𝑃 ≠ 0)
9288, 90, 91divcan1d 10754 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝜑𝑥𝑆) ∧ (𝑤𝑊𝑛 ∈ ℤ)) ∧ 𝑥 = (𝑤(-g𝐺)(𝑛 · 𝐷))) → ((𝑛 / 𝑃) · 𝑃) = 𝑛)
9392oveq1d 6625 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝜑𝑥𝑆) ∧ (𝑤𝑊𝑛 ∈ ℤ)) ∧ 𝑥 = (𝑤(-g𝐺)(𝑛 · 𝐷))) → (((𝑛 / 𝑃) · 𝑃) · 𝐷) = (𝑛 · 𝐷))
944ad3antrrr 765 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝜑𝑥𝑆) ∧ (𝑤𝑊𝑛 ∈ ℤ)) ∧ 𝑥 = (𝑤(-g𝐺)(𝑛 · 𝐷))) → 𝐺 ∈ Grp)
9513eldifbd 3572 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝜑 → ¬ 𝐶 ∈ (𝑆 𝑊))
9622lsmsubg2 18194 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((𝐺 ∈ Abel ∧ 𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑊 ∈ (SubGrp‘𝐺)) → (𝑆 𝑊) ∈ (SubGrp‘𝐺))
971, 21, 2, 96syl3anc 1323 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝜑 → (𝑆 𝑊) ∈ (SubGrp‘𝐺))
9824, 57sseldd 3588 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝜑 → ((𝑀 / 𝑃) · 𝐴) ∈ (𝑆 𝑊))
9968subgsubcl 17537 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (((𝑆 𝑊) ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝐷 ∈ (𝑆 𝑊) ∧ ((𝑀 / 𝑃) · 𝐴) ∈ (𝑆 𝑊)) → (𝐷(-g𝐺)((𝑀 / 𝑃) · 𝐴)) ∈ (𝑆 𝑊))
100993expia 1264 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((𝑆 𝑊) ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝐷 ∈ (𝑆 𝑊)) → (((𝑀 / 𝑃) · 𝐴) ∈ (𝑆 𝑊) → (𝐷(-g𝐺)((𝑀 / 𝑃) · 𝐴)) ∈ (𝑆 𝑊)))
101100impancom 456 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((𝑆 𝑊) ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ ((𝑀 / 𝑃) · 𝐴) ∈ (𝑆 𝑊)) → (𝐷 ∈ (𝑆 𝑊) → (𝐷(-g𝐺)((𝑀 / 𝑃) · 𝐴)) ∈ (𝑆 𝑊)))
10297, 98, 101syl2anc 692 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝜑 → (𝐷 ∈ (𝑆 𝑊) → (𝐷(-g𝐺)((𝑀 / 𝑃) · 𝐴)) ∈ (𝑆 𝑊)))
10312oveq1i 6620 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝐷(-g𝐺)((𝑀 / 𝑃) · 𝐴)) = ((𝐶(+g𝐺)((𝑀 / 𝑃) · 𝐴))(-g𝐺)((𝑀 / 𝑃) · 𝐴))
10411, 14sseldd 3588 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝜑𝐶𝐵)
1055subgss 17527 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺) → 𝑆𝐵)
10621, 105syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (𝜑𝑆𝐵)
107106, 57sseldd 3588 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝜑 → ((𝑀 / 𝑃) · 𝐴) ∈ 𝐵)
1085, 59, 68grppncan 17438 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐶𝐵 ∧ ((𝑀 / 𝑃) · 𝐴) ∈ 𝐵) → ((𝐶(+g𝐺)((𝑀 / 𝑃) · 𝐴))(-g𝐺)((𝑀 / 𝑃) · 𝐴)) = 𝐶)
1094, 104, 107, 108syl3anc 1323 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝜑 → ((𝐶(+g𝐺)((𝑀 / 𝑃) · 𝐴))(-g𝐺)((𝑀 / 𝑃) · 𝐴)) = 𝐶)
110103, 109syl5eq 2667 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝜑 → (𝐷(-g𝐺)((𝑀 / 𝑃) · 𝐴)) = 𝐶)
111110eleq1d 2683 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝜑 → ((𝐷(-g𝐺)((𝑀 / 𝑃) · 𝐴)) ∈ (𝑆 𝑊) ↔ 𝐶 ∈ (𝑆 𝑊)))
112102, 111sylibd 229 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝜑 → (𝐷 ∈ (𝑆 𝑊) → 𝐶 ∈ (𝑆 𝑊)))
11395, 112mtod 189 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝜑 → ¬ 𝐷 ∈ (𝑆 𝑊))
114113ad3antrrr 765 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((𝜑𝑥𝑆) ∧ (𝑤𝑊𝑛 ∈ ℤ)) ∧ 𝑥 = (𝑤(-g𝐺)(𝑛 · 𝐷))) → ¬ 𝐷 ∈ (𝑆 𝑊))
11541ad3antrrr 765 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((𝜑𝑥𝑆) ∧ (𝑤𝑊𝑛 ∈ ℤ)) ∧ 𝑥 = (𝑤(-g𝐺)(𝑛 · 𝐷))) → 𝑃 ∈ ℙ)
116 coprm 15358 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑛 ∈ ℤ) → (¬ 𝑃𝑛 ↔ (𝑃 gcd 𝑛) = 1))
117115, 87, 116syl2anc 692 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((𝜑𝑥𝑆) ∧ (𝑤𝑊𝑛 ∈ ℤ)) ∧ 𝑥 = (𝑤(-g𝐺)(𝑛 · 𝐷))) → (¬ 𝑃𝑛 ↔ (𝑃 gcd 𝑛) = 1))
11843ad3antrrr 765 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((((𝜑𝑥𝑆) ∧ (𝑤𝑊𝑛 ∈ ℤ)) ∧ 𝑥 = (𝑤(-g𝐺)(𝑛 · 𝐷))) → 𝑃 ∈ ℤ)
119 bezout 15195 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((𝑃 ∈ ℤ ∧ 𝑛 ∈ ℤ) → ∃𝑎 ∈ ℤ ∃𝑏 ∈ ℤ (𝑃 gcd 𝑛) = ((𝑃 · 𝑎) + (𝑛 · 𝑏)))
120118, 87, 119syl2anc 692 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((((𝜑𝑥𝑆) ∧ (𝑤𝑊𝑛 ∈ ℤ)) ∧ 𝑥 = (𝑤(-g𝐺)(𝑛 · 𝐷))) → ∃𝑎 ∈ ℤ ∃𝑏 ∈ ℤ (𝑃 gcd 𝑛) = ((𝑃 · 𝑎) + (𝑛 · 𝑏)))
121 eqeq1 2625 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((𝑃 gcd 𝑛) = 1 → ((𝑃 gcd 𝑛) = ((𝑃 · 𝑎) + (𝑛 · 𝑏)) ↔ 1 = ((𝑃 · 𝑎) + (𝑛 · 𝑏))))
1221212rexbidv 3051 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝑃 gcd 𝑛) = 1 → (∃𝑎 ∈ ℤ ∃𝑏 ∈ ℤ (𝑃 gcd 𝑛) = ((𝑃 · 𝑎) + (𝑛 · 𝑏)) ↔ ∃𝑎 ∈ ℤ ∃𝑏 ∈ ℤ 1 = ((𝑃 · 𝑎) + (𝑛 · 𝑏))))
123120, 122syl5ibcom 235 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((((𝜑𝑥𝑆) ∧ (𝑤𝑊𝑛 ∈ ℤ)) ∧ 𝑥 = (𝑤(-g𝐺)(𝑛 · 𝐷))) → ((𝑃 gcd 𝑛) = 1 → ∃𝑎 ∈ ℤ ∃𝑏 ∈ ℤ 1 = ((𝑃 · 𝑎) + (𝑛 · 𝑏))))
12494adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (((((𝜑𝑥𝑆) ∧ (𝑤𝑊𝑛 ∈ ℤ)) ∧ 𝑥 = (𝑤(-g𝐺)(𝑛 · 𝐷))) ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ)) → 𝐺 ∈ Grp)
125118adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (((((𝜑𝑥𝑆) ∧ (𝑤𝑊𝑛 ∈ ℤ)) ∧ 𝑥 = (𝑤(-g𝐺)(𝑛 · 𝐷))) ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ)) → 𝑃 ∈ ℤ)
126 simprl 793 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (((((𝜑𝑥𝑆) ∧ (𝑤𝑊𝑛 ∈ ℤ)) ∧ 𝑥 = (𝑤(-g𝐺)(𝑛 · 𝐷))) ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ)) → 𝑎 ∈ ℤ)
127125, 126zmulcld 11440 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (((((𝜑𝑥𝑆) ∧ (𝑤𝑊𝑛 ∈ ℤ)) ∧ 𝑥 = (𝑤(-g𝐺)(𝑛 · 𝐷))) ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ)) → (𝑃 · 𝑎) ∈ ℤ)
12887adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (((((𝜑𝑥𝑆) ∧ (𝑤𝑊𝑛 ∈ ℤ)) ∧ 𝑥 = (𝑤(-g𝐺)(𝑛 · 𝐷))) ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ)) → 𝑛 ∈ ℤ)
129 simprr 795 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (((((𝜑𝑥𝑆) ∧ (𝑤𝑊𝑛 ∈ ℤ)) ∧ 𝑥 = (𝑤(-g𝐺)(𝑛 · 𝐷))) ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ)) → 𝑏 ∈ ℤ)
130128, 129zmulcld 11440 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (((((𝜑𝑥𝑆) ∧ (𝑤𝑊𝑛 ∈ ℤ)) ∧ 𝑥 = (𝑤(-g𝐺)(𝑛 · 𝐷))) ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ)) → (𝑛 · 𝑏) ∈ ℤ)
13163ad3antrrr 765 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((((𝜑𝑥𝑆) ∧ (𝑤𝑊𝑛 ∈ ℤ)) ∧ 𝑥 = (𝑤(-g𝐺)(𝑛 · 𝐷))) → 𝐷𝐵)
132131adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (((((𝜑𝑥𝑆) ∧ (𝑤𝑊𝑛 ∈ ℤ)) ∧ 𝑥 = (𝑤(-g𝐺)(𝑛 · 𝐷))) ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ)) → 𝐷𝐵)
1335, 35, 59mulgdir 17505 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((𝐺 ∈ Grp ∧ ((𝑃 · 𝑎) ∈ ℤ ∧ (𝑛 · 𝑏) ∈ ℤ ∧ 𝐷𝐵)) → (((𝑃 · 𝑎) + (𝑛 · 𝑏)) · 𝐷) = (((𝑃 · 𝑎) · 𝐷)(+g𝐺)((𝑛 · 𝑏) · 𝐷)))
134124, 127, 130, 132, 133syl13anc 1325 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (((((𝜑𝑥𝑆) ∧ (𝑤𝑊𝑛 ∈ ℤ)) ∧ 𝑥 = (𝑤(-g𝐺)(𝑛 · 𝐷))) ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ)) → (((𝑃 · 𝑎) + (𝑛 · 𝑏)) · 𝐷) = (((𝑃 · 𝑎) · 𝐷)(+g𝐺)((𝑛 · 𝑏) · 𝐷)))
13597ad3antrrr 765 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((((𝜑𝑥𝑆) ∧ (𝑤𝑊𝑛 ∈ ℤ)) ∧ 𝑥 = (𝑤(-g𝐺)(𝑛 · 𝐷))) → (𝑆 𝑊) ∈ (SubGrp‘𝐺))
136135adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (((((𝜑𝑥𝑆) ∧ (𝑤𝑊𝑛 ∈ ℤ)) ∧ 𝑥 = (𝑤(-g𝐺)(𝑛 · 𝐷))) ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ)) → (𝑆 𝑊) ∈ (SubGrp‘𝐺))
13790adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 (((((𝜑𝑥𝑆) ∧ (𝑤𝑊𝑛 ∈ ℤ)) ∧ 𝑥 = (𝑤(-g𝐺)(𝑛 · 𝐷))) ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ)) → 𝑃 ∈ ℂ)
138 zcn 11334 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 (𝑎 ∈ ℤ → 𝑎 ∈ ℂ)
139138ad2antrl 763 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 (((((𝜑𝑥𝑆) ∧ (𝑤𝑊𝑛 ∈ ℤ)) ∧ 𝑥 = (𝑤(-g𝐺)(𝑛 · 𝐷))) ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ)) → 𝑎 ∈ ℂ)
140137, 139mulcomd 10013 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (((((𝜑𝑥𝑆) ∧ (𝑤𝑊𝑛 ∈ ℤ)) ∧ 𝑥 = (𝑤(-g𝐺)(𝑛 · 𝐷))) ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ)) → (𝑃 · 𝑎) = (𝑎 · 𝑃))
141140oveq1d 6625 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (((((𝜑𝑥𝑆) ∧ (𝑤𝑊𝑛 ∈ ℤ)) ∧ 𝑥 = (𝑤(-g𝐺)(𝑛 · 𝐷))) ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ)) → ((𝑃 · 𝑎) · 𝐷) = ((𝑎 · 𝑃) · 𝐷))
1425, 35mulgass 17511 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∈ ℤ ∧ 𝐷𝐵)) → ((𝑎 · 𝑃) · 𝐷) = (𝑎 · (𝑃 · 𝐷)))
143124, 126, 125, 132, 142syl13anc 1325 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (((((𝜑𝑥𝑆) ∧ (𝑤𝑊𝑛 ∈ ℤ)) ∧ 𝑥 = (𝑤(-g𝐺)(𝑛 · 𝐷))) ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ)) → ((𝑎 · 𝑃) · 𝐷) = (𝑎 · (𝑃 · 𝐷)))
144141, 143eqtrd 2655 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (((((𝜑𝑥𝑆) ∧ (𝑤𝑊𝑛 ∈ ℤ)) ∧ 𝑥 = (𝑤(-g𝐺)(𝑛 · 𝐷))) ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ)) → ((𝑃 · 𝑎) · 𝐷) = (𝑎 · (𝑃 · 𝐷)))
14522lsmub2 18004 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ((𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑊 ∈ (SubGrp‘𝐺)) → 𝑊 ⊆ (𝑆 𝑊))
14621, 2, 145syl2anc 692 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 (𝜑𝑊 ⊆ (𝑆 𝑊))
14712oveq2i 6621 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 (𝑃 · 𝐷) = (𝑃 · (𝐶(+g𝐺)((𝑀 / 𝑃) · 𝐴)))
1485, 35, 59mulgdi 18164 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 ((𝐺 ∈ Abel ∧ (𝑃 ∈ ℤ ∧ 𝐶𝐵 ∧ ((𝑀 / 𝑃) · 𝐴) ∈ 𝐵)) → (𝑃 · (𝐶(+g𝐺)((𝑀 / 𝑃) · 𝐴))) = ((𝑃 · 𝐶)(+g𝐺)(𝑃 · ((𝑀 / 𝑃) · 𝐴))))
1491, 43, 104, 107, 148syl13anc 1325 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 (𝜑 → (𝑃 · (𝐶(+g𝐺)((𝑀 / 𝑃) · 𝐴))) = ((𝑃 · 𝐶)(+g𝐺)(𝑃 · ((𝑀 / 𝑃) · 𝐴))))
150147, 149syl5eq 2667 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 (𝜑 → (𝑃 · 𝐷) = ((𝑃 · 𝐶)(+g𝐺)(𝑃 · ((𝑀 / 𝑃) · 𝐴))))
1515, 35mulgass 17511 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 ((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑃 ∈ ℤ ∧ (𝑀 / 𝑃) ∈ ℤ ∧ 𝐴𝐵)) → ((𝑃 · (𝑀 / 𝑃)) · 𝐴) = (𝑃 · ((𝑀 / 𝑃) · 𝐴)))
1524, 43, 49, 17, 151syl13anc 1325 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 (𝜑 → ((𝑃 · (𝑀 / 𝑃)) · 𝐴) = (𝑃 · ((𝑀 / 𝑃) · 𝐴)))
15336zcnd 11435 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 (𝜑𝑀 ∈ ℂ)
154153, 89, 46divcan2d 10755 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 (𝜑 → (𝑃 · (𝑀 / 𝑃)) = 𝑀)
155154oveq1d 6625 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 (𝜑 → ((𝑃 · (𝑀 / 𝑃)) · 𝐴) = (𝑀 · 𝐴))
156152, 155eqtr3d 2657 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 (𝜑 → (𝑃 · ((𝑀 / 𝑃) · 𝐴)) = (𝑀 · 𝐴))
157156oveq2d 6626 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 (𝜑 → ((𝑃 · 𝐶)(+g𝐺)(𝑃 · ((𝑀 / 𝑃) · 𝐴))) = ((𝑃 · 𝐶)(+g𝐺)(𝑀 · 𝐴)))
158150, 157eqtrd 2655 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 (𝜑 → (𝑃 · 𝐷) = ((𝑃 · 𝐶)(+g𝐺)(𝑀 · 𝐴)))
159158, 37eqeltrd 2698 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 (𝜑 → (𝑃 · 𝐷) ∈ 𝑊)
160146, 159sseldd 3588 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 (𝜑 → (𝑃 · 𝐷) ∈ (𝑆 𝑊))
161160ad3antrrr 765 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ((((𝜑𝑥𝑆) ∧ (𝑤𝑊𝑛 ∈ ℤ)) ∧ 𝑥 = (𝑤(-g𝐺)(𝑛 · 𝐷))) → (𝑃 · 𝐷) ∈ (𝑆 𝑊))
162161adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (((((𝜑𝑥𝑆) ∧ (𝑤𝑊𝑛 ∈ ℤ)) ∧ 𝑥 = (𝑤(-g𝐺)(𝑛 · 𝐷))) ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ)) → (𝑃 · 𝐷) ∈ (𝑆 𝑊))
16335subgmulgcl 17539 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (((𝑆 𝑊) ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑎 ∈ ℤ ∧ (𝑃 · 𝐷) ∈ (𝑆 𝑊)) → (𝑎 · (𝑃 · 𝐷)) ∈ (𝑆 𝑊))
164136, 126, 162, 163syl3anc 1323 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (((((𝜑𝑥𝑆) ∧ (𝑤𝑊𝑛 ∈ ℤ)) ∧ 𝑥 = (𝑤(-g𝐺)(𝑛 · 𝐷))) ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ)) → (𝑎 · (𝑃 · 𝐷)) ∈ (𝑆 𝑊))
165144, 164eqeltrd 2698 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (((((𝜑𝑥𝑆) ∧ (𝑤𝑊𝑛 ∈ ℤ)) ∧ 𝑥 = (𝑤(-g𝐺)(𝑛 · 𝐷))) ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ)) → ((𝑃 · 𝑎) · 𝐷) ∈ (𝑆 𝑊))
16688adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 (((((𝜑𝑥𝑆) ∧ (𝑤𝑊𝑛 ∈ ℤ)) ∧ 𝑥 = (𝑤(-g𝐺)(𝑛 · 𝐷))) ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ)) → 𝑛 ∈ ℂ)
167 zcn 11334 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 (𝑏 ∈ ℤ → 𝑏 ∈ ℂ)
168167ad2antll 764 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 (((((𝜑𝑥𝑆) ∧ (𝑤𝑊𝑛 ∈ ℤ)) ∧ 𝑥 = (𝑤(-g𝐺)(𝑛 · 𝐷))) ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ)) → 𝑏 ∈ ℂ)
169166, 168mulcomd 10013 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (((((𝜑𝑥𝑆) ∧ (𝑤𝑊𝑛 ∈ ℤ)) ∧ 𝑥 = (𝑤(-g𝐺)(𝑛 · 𝐷))) ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ)) → (𝑛 · 𝑏) = (𝑏 · 𝑛))
170169oveq1d 6625 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (((((𝜑𝑥𝑆) ∧ (𝑤𝑊𝑛 ∈ ℤ)) ∧ 𝑥 = (𝑤(-g𝐺)(𝑛 · 𝐷))) ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ)) → ((𝑛 · 𝑏) · 𝐷) = ((𝑏 · 𝑛) · 𝐷))
1715, 35mulgass 17511 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑏 ∈ ℤ ∧ 𝑛 ∈ ℤ ∧ 𝐷𝐵)) → ((𝑏 · 𝑛) · 𝐷) = (𝑏 · (𝑛 · 𝐷)))
172124, 129, 128, 132, 171syl13anc 1325 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (((((𝜑𝑥𝑆) ∧ (𝑤𝑊𝑛 ∈ ℤ)) ∧ 𝑥 = (𝑤(-g𝐺)(𝑛 · 𝐷))) ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ)) → ((𝑏 · 𝑛) · 𝐷) = (𝑏 · (𝑛 · 𝐷)))
173170, 172eqtrd 2655 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (((((𝜑𝑥𝑆) ∧ (𝑤𝑊𝑛 ∈ ℤ)) ∧ 𝑥 = (𝑤(-g𝐺)(𝑛 · 𝐷))) ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ)) → ((𝑛 · 𝑏) · 𝐷) = (𝑏 · (𝑛 · 𝐷)))
17484oveq2d 6626 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ((((𝜑𝑥𝑆) ∧ (𝑤𝑊𝑛 ∈ ℤ)) ∧ 𝑥 = (𝑤(-g𝐺)(𝑛 · 𝐷))) → (𝑤(-g𝐺)𝑥) = (𝑤(-g𝐺)(𝑤(-g𝐺)(𝑛 · 𝐷))))
1751ad3antrrr 765 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ((((𝜑𝑥𝑆) ∧ (𝑤𝑊𝑛 ∈ ℤ)) ∧ 𝑥 = (𝑤(-g𝐺)(𝑛 · 𝐷))) → 𝐺 ∈ Abel)
1765subgss 17527 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 (𝑊 ∈ (SubGrp‘𝐺) → 𝑊𝐵)
17785, 176syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 ((((𝜑𝑥𝑆) ∧ (𝑤𝑊𝑛 ∈ ℤ)) ∧ 𝑥 = (𝑤(-g𝐺)(𝑛 · 𝐷))) → 𝑊𝐵)
178177, 86sseldd 3588 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ((((𝜑𝑥𝑆) ∧ (𝑤𝑊𝑛 ∈ ℤ)) ∧ 𝑥 = (𝑤(-g𝐺)(𝑛 · 𝐷))) → 𝑤𝐵)
1795, 35mulgcl 17491 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑛 ∈ ℤ ∧ 𝐷𝐵) → (𝑛 · 𝐷) ∈ 𝐵)
18094, 87, 131, 179syl3anc 1323 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ((((𝜑𝑥𝑆) ∧ (𝑤𝑊𝑛 ∈ ℤ)) ∧ 𝑥 = (𝑤(-g𝐺)(𝑛 · 𝐷))) → (𝑛 · 𝐷) ∈ 𝐵)
1815, 68, 175, 178, 180ablnncan 18158 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ((((𝜑𝑥𝑆) ∧ (𝑤𝑊𝑛 ∈ ℤ)) ∧ 𝑥 = (𝑤(-g𝐺)(𝑛 · 𝐷))) → (𝑤(-g𝐺)(𝑤(-g𝐺)(𝑛 · 𝐷))) = (𝑛 · 𝐷))
182174, 181eqtrd 2655 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ((((𝜑𝑥𝑆) ∧ (𝑤𝑊𝑛 ∈ ℤ)) ∧ 𝑥 = (𝑤(-g𝐺)(𝑛 · 𝐷))) → (𝑤(-g𝐺)𝑥) = (𝑛 · 𝐷))
183146ad3antrrr 765 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ((((𝜑𝑥𝑆) ∧ (𝑤𝑊𝑛 ∈ ℤ)) ∧ 𝑥 = (𝑤(-g𝐺)(𝑛 · 𝐷))) → 𝑊 ⊆ (𝑆 𝑊))
184183, 86sseldd 3588 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ((((𝜑𝑥𝑆) ∧ (𝑤𝑊𝑛 ∈ ℤ)) ∧ 𝑥 = (𝑤(-g𝐺)(𝑛 · 𝐷))) → 𝑤 ∈ (𝑆 𝑊))
18524sselda 3587 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ((𝜑𝑥𝑆) → 𝑥 ∈ (𝑆 𝑊))
186185ad2antrr 761 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ((((𝜑𝑥𝑆) ∧ (𝑤𝑊𝑛 ∈ ℤ)) ∧ 𝑥 = (𝑤(-g𝐺)(𝑛 · 𝐷))) → 𝑥 ∈ (𝑆 𝑊))
18768subgsubcl 17537 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 (((𝑆 𝑊) ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑤 ∈ (𝑆 𝑊) ∧ 𝑥 ∈ (𝑆 𝑊)) → (𝑤(-g𝐺)𝑥) ∈ (𝑆 𝑊))
188135, 184, 186, 187syl3anc 1323 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ((((𝜑𝑥𝑆) ∧ (𝑤𝑊𝑛 ∈ ℤ)) ∧ 𝑥 = (𝑤(-g𝐺)(𝑛 · 𝐷))) → (𝑤(-g𝐺)𝑥) ∈ (𝑆 𝑊))
189182, 188eqeltrrd 2699 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ((((𝜑𝑥𝑆) ∧ (𝑤𝑊𝑛 ∈ ℤ)) ∧ 𝑥 = (𝑤(-g𝐺)(𝑛 · 𝐷))) → (𝑛 · 𝐷) ∈ (𝑆 𝑊))
190189adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (((((𝜑𝑥𝑆) ∧ (𝑤𝑊𝑛 ∈ ℤ)) ∧ 𝑥 = (𝑤(-g𝐺)(𝑛 · 𝐷))) ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ)) → (𝑛 · 𝐷) ∈ (𝑆 𝑊))
19135subgmulgcl 17539 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (((𝑆 𝑊) ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑏 ∈ ℤ ∧ (𝑛 · 𝐷) ∈ (𝑆 𝑊)) → (𝑏 · (𝑛 · 𝐷)) ∈ (𝑆 𝑊))
192136, 129, 190, 191syl3anc 1323 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (((((𝜑𝑥𝑆) ∧ (𝑤𝑊𝑛 ∈ ℤ)) ∧ 𝑥 = (𝑤(-g𝐺)(𝑛 · 𝐷))) ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ)) → (𝑏 · (𝑛 · 𝐷)) ∈ (𝑆 𝑊))
193173, 192eqeltrd 2698 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (((((𝜑𝑥𝑆) ∧ (𝑤𝑊𝑛 ∈ ℤ)) ∧ 𝑥 = (𝑤(-g𝐺)(𝑛 · 𝐷))) ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ)) → ((𝑛 · 𝑏) · 𝐷) ∈ (𝑆 𝑊))
19459subgcl 17536 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (((𝑆 𝑊) ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ ((𝑃 · 𝑎) · 𝐷) ∈ (𝑆 𝑊) ∧ ((𝑛 · 𝑏) · 𝐷) ∈ (𝑆 𝑊)) → (((𝑃 · 𝑎) · 𝐷)(+g𝐺)((𝑛 · 𝑏) · 𝐷)) ∈ (𝑆 𝑊))
195136, 165, 193, 194syl3anc 1323 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (((((𝜑𝑥𝑆) ∧ (𝑤𝑊𝑛 ∈ ℤ)) ∧ 𝑥 = (𝑤(-g𝐺)(𝑛 · 𝐷))) ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ)) → (((𝑃 · 𝑎) · 𝐷)(+g𝐺)((𝑛 · 𝑏) · 𝐷)) ∈ (𝑆 𝑊))
196134, 195eqeltrd 2698 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((((𝜑𝑥𝑆) ∧ (𝑤𝑊𝑛 ∈ ℤ)) ∧ 𝑥 = (𝑤(-g𝐺)(𝑛 · 𝐷))) ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ)) → (((𝑃 · 𝑎) + (𝑛 · 𝑏)) · 𝐷) ∈ (𝑆 𝑊))
197 oveq1 6617 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (1 = ((𝑃 · 𝑎) + (𝑛 · 𝑏)) → (1 · 𝐷) = (((𝑃 · 𝑎) + (𝑛 · 𝑏)) · 𝐷))
198197eleq1d 2683 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (1 = ((𝑃 · 𝑎) + (𝑛 · 𝑏)) → ((1 · 𝐷) ∈ (𝑆 𝑊) ↔ (((𝑃 · 𝑎) + (𝑛 · 𝑏)) · 𝐷) ∈ (𝑆 𝑊)))
199196, 198syl5ibrcom 237 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((((𝜑𝑥𝑆) ∧ (𝑤𝑊𝑛 ∈ ℤ)) ∧ 𝑥 = (𝑤(-g𝐺)(𝑛 · 𝐷))) ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ)) → (1 = ((𝑃 · 𝑎) + (𝑛 · 𝑏)) → (1 · 𝐷) ∈ (𝑆 𝑊)))
200199rexlimdvva 3032 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((((𝜑𝑥𝑆) ∧ (𝑤𝑊𝑛 ∈ ℤ)) ∧ 𝑥 = (𝑤(-g𝐺)(𝑛 · 𝐷))) → (∃𝑎 ∈ ℤ ∃𝑏 ∈ ℤ 1 = ((𝑃 · 𝑎) + (𝑛 · 𝑏)) → (1 · 𝐷) ∈ (𝑆 𝑊)))
201123, 200syld 47 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((𝜑𝑥𝑆) ∧ (𝑤𝑊𝑛 ∈ ℤ)) ∧ 𝑥 = (𝑤(-g𝐺)(𝑛 · 𝐷))) → ((𝑃 gcd 𝑛) = 1 → (1 · 𝐷) ∈ (𝑆 𝑊)))
2025, 35mulg1 17480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝐷𝐵 → (1 · 𝐷) = 𝐷)
203131, 202syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((((𝜑𝑥𝑆) ∧ (𝑤𝑊𝑛 ∈ ℤ)) ∧ 𝑥 = (𝑤(-g𝐺)(𝑛 · 𝐷))) → (1 · 𝐷) = 𝐷)
204203eleq1d 2683 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((𝜑𝑥𝑆) ∧ (𝑤𝑊𝑛 ∈ ℤ)) ∧ 𝑥 = (𝑤(-g𝐺)(𝑛 · 𝐷))) → ((1 · 𝐷) ∈ (𝑆 𝑊) ↔ 𝐷 ∈ (𝑆 𝑊)))
205201, 204sylibd 229 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((𝜑𝑥𝑆) ∧ (𝑤𝑊𝑛 ∈ ℤ)) ∧ 𝑥 = (𝑤(-g𝐺)(𝑛 · 𝐷))) → ((𝑃 gcd 𝑛) = 1 → 𝐷 ∈ (𝑆 𝑊)))
206117, 205sylbid 230 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((𝜑𝑥𝑆) ∧ (𝑤𝑊𝑛 ∈ ℤ)) ∧ 𝑥 = (𝑤(-g𝐺)(𝑛 · 𝐷))) → (¬ 𝑃𝑛𝐷 ∈ (𝑆 𝑊)))
207114, 206mt3d 140 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝜑𝑥𝑆) ∧ (𝑤𝑊𝑛 ∈ ℤ)) ∧ 𝑥 = (𝑤(-g𝐺)(𝑛 · 𝐷))) → 𝑃𝑛)
208 dvdsval2 14921 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑃 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ≠ 0 ∧ 𝑛 ∈ ℤ) → (𝑃𝑛 ↔ (𝑛 / 𝑃) ∈ ℤ))
209118, 91, 87, 208syl3anc 1323 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝜑𝑥𝑆) ∧ (𝑤𝑊𝑛 ∈ ℤ)) ∧ 𝑥 = (𝑤(-g𝐺)(𝑛 · 𝐷))) → (𝑃𝑛 ↔ (𝑛 / 𝑃) ∈ ℤ))
210207, 209mpbid 222 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝜑𝑥𝑆) ∧ (𝑤𝑊𝑛 ∈ ℤ)) ∧ 𝑥 = (𝑤(-g𝐺)(𝑛 · 𝐷))) → (𝑛 / 𝑃) ∈ ℤ)
2115, 35mulgass 17511 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝐺 ∈ Grp ∧ ((𝑛 / 𝑃) ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∈ ℤ ∧ 𝐷𝐵)) → (((𝑛 / 𝑃) · 𝑃) · 𝐷) = ((𝑛 / 𝑃) · (𝑃 · 𝐷)))
21294, 210, 118, 131, 211syl13anc 1325 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝜑𝑥𝑆) ∧ (𝑤𝑊𝑛 ∈ ℤ)) ∧ 𝑥 = (𝑤(-g𝐺)(𝑛 · 𝐷))) → (((𝑛 / 𝑃) · 𝑃) · 𝐷) = ((𝑛 / 𝑃) · (𝑃 · 𝐷)))
21393, 212eqtr3d 2657 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝜑𝑥𝑆) ∧ (𝑤𝑊𝑛 ∈ ℤ)) ∧ 𝑥 = (𝑤(-g𝐺)(𝑛 · 𝐷))) → (𝑛 · 𝐷) = ((𝑛 / 𝑃) · (𝑃 · 𝐷)))
214159ad3antrrr 765 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝜑𝑥𝑆) ∧ (𝑤𝑊𝑛 ∈ ℤ)) ∧ 𝑥 = (𝑤(-g𝐺)(𝑛 · 𝐷))) → (𝑃 · 𝐷) ∈ 𝑊)
21535subgmulgcl 17539 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑊 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ (𝑛 / 𝑃) ∈ ℤ ∧ (𝑃 · 𝐷) ∈ 𝑊) → ((𝑛 / 𝑃) · (𝑃 · 𝐷)) ∈ 𝑊)
21685, 210, 214, 215syl3anc 1323 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝜑𝑥𝑆) ∧ (𝑤𝑊𝑛 ∈ ℤ)) ∧ 𝑥 = (𝑤(-g𝐺)(𝑛 · 𝐷))) → ((𝑛 / 𝑃) · (𝑃 · 𝐷)) ∈ 𝑊)
217213, 216eqeltrd 2698 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝜑𝑥𝑆) ∧ (𝑤𝑊𝑛 ∈ ℤ)) ∧ 𝑥 = (𝑤(-g𝐺)(𝑛 · 𝐷))) → (𝑛 · 𝐷) ∈ 𝑊)
21868subgsubcl 17537 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑊 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑤𝑊 ∧ (𝑛 · 𝐷) ∈ 𝑊) → (𝑤(-g𝐺)(𝑛 · 𝐷)) ∈ 𝑊)
21985, 86, 217, 218syl3anc 1323 . . . . . . . . . . 11 ((((𝜑𝑥𝑆) ∧ (𝑤𝑊𝑛 ∈ ℤ)) ∧ 𝑥 = (𝑤(-g𝐺)(𝑛 · 𝐷))) → (𝑤(-g𝐺)(𝑛 · 𝐷)) ∈ 𝑊)
22084, 219eqeltrd 2698 . . . . . . . . . 10 ((((𝜑𝑥𝑆) ∧ (𝑤𝑊𝑛 ∈ ℤ)) ∧ 𝑥 = (𝑤(-g𝐺)(𝑛 · 𝐷))) → 𝑥𝑊)
221220ex 450 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑥𝑆) ∧ (𝑤𝑊𝑛 ∈ ℤ)) → (𝑥 = (𝑤(-g𝐺)(𝑛 · 𝐷)) → 𝑥𝑊))
222221rexlimdvva 3032 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑥𝑆) → (∃𝑤𝑊𝑛 ∈ ℤ 𝑥 = (𝑤(-g𝐺)(𝑛 · 𝐷)) → 𝑥𝑊))
22383, 222sylbid 230 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥𝑆) → (𝑥 ∈ (𝑊 (𝐾‘{𝐷})) → 𝑥𝑊))
224223imdistanda 728 . . . . . 6 (𝜑 → ((𝑥𝑆𝑥 ∈ (𝑊 (𝐾‘{𝐷}))) → (𝑥𝑆𝑥𝑊)))
225 elin 3779 . . . . . 6 (𝑥 ∈ (𝑆 ∩ (𝑊 (𝐾‘{𝐷}))) ↔ (𝑥𝑆𝑥 ∈ (𝑊 (𝐾‘{𝐷}))))
226 elin 3779 . . . . . 6 (𝑥 ∈ (𝑆𝑊) ↔ (𝑥𝑆𝑥𝑊))
227224, 225, 2263imtr4g 285 . . . . 5 (𝜑 → (𝑥 ∈ (𝑆 ∩ (𝑊 (𝐾‘{𝐷}))) → 𝑥 ∈ (𝑆𝑊)))
228227ssrdv 3593 . . . 4 (𝜑 → (𝑆 ∩ (𝑊 (𝐾‘{𝐷}))) ⊆ (𝑆𝑊))
229228, 33sseqtrd 3625 . . 3 (𝜑 → (𝑆 ∩ (𝑊 (𝐾‘{𝐷}))) ⊆ { 0 })
23029subg0cl 17534 . . . . . 6 (𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺) → 0𝑆)
23121, 230syl 17 . . . . 5 (𝜑0𝑆)
23229subg0cl 17534 . . . . . 6 ((𝑊 (𝐾‘{𝐷})) ∈ (SubGrp‘𝐺) → 0 ∈ (𝑊 (𝐾‘{𝐷})))
23367, 232syl 17 . . . . 5 (𝜑0 ∈ (𝑊 (𝐾‘{𝐷})))
234231, 233elind 3781 . . . 4 (𝜑0 ∈ (𝑆 ∩ (𝑊 (𝐾‘{𝐷}))))
235234snssd 4314 . . 3 (𝜑 → { 0 } ⊆ (𝑆 ∩ (𝑊 (𝐾‘{𝐷}))))
236229, 235eqssd 3604 . 2 (𝜑 → (𝑆 ∩ (𝑊 (𝐾‘{𝐷}))) = { 0 })
23722lsmass 18015 . . . 4 ((𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑊 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ (𝐾‘{𝐷}) ∈ (SubGrp‘𝐺)) → ((𝑆 𝑊) (𝐾‘{𝐷})) = (𝑆 (𝑊 (𝐾‘{𝐷}))))
23821, 2, 65, 237syl3anc 1323 . . 3 (𝜑 → ((𝑆 𝑊) (𝐾‘{𝐷})) = (𝑆 (𝑊 (𝐾‘{𝐷}))))
23962, 113eldifd 3570 . . . 4 (𝜑𝐷 ∈ (𝑈 ∖ (𝑆 𝑊)))
24018, 15, 5, 27, 28, 29, 22, 30, 1, 31, 32, 9, 16, 2, 33, 25, 34pgpfac1lem1 18405 . . . 4 ((𝜑𝐷 ∈ (𝑈 ∖ (𝑆 𝑊))) → ((𝑆 𝑊) (𝐾‘{𝐷})) = 𝑈)
241239, 240mpdan 701 . . 3 (𝜑 → ((𝑆 𝑊) (𝐾‘{𝐷})) = 𝑈)
242238, 241eqtr3d 2657 . 2 (𝜑 → (𝑆 (𝑊 (𝐾‘{𝐷}))) = 𝑈)
243 ineq2 3791 . . . . 5 (𝑡 = (𝑊 (𝐾‘{𝐷})) → (𝑆𝑡) = (𝑆 ∩ (𝑊 (𝐾‘{𝐷}))))
244243eqeq1d 2623 . . . 4 (𝑡 = (𝑊 (𝐾‘{𝐷})) → ((𝑆𝑡) = { 0 } ↔ (𝑆 ∩ (𝑊 (𝐾‘{𝐷}))) = { 0 }))
245 oveq2 6618 . . . . 5 (𝑡 = (𝑊 (𝐾‘{𝐷})) → (𝑆 𝑡) = (𝑆 (𝑊 (𝐾‘{𝐷}))))
246245eqeq1d 2623 . . . 4 (𝑡 = (𝑊 (𝐾‘{𝐷})) → ((𝑆 𝑡) = 𝑈 ↔ (𝑆 (𝑊 (𝐾‘{𝐷}))) = 𝑈))
247244, 246anbi12d 746 . . 3 (𝑡 = (𝑊 (𝐾‘{𝐷})) → (((𝑆𝑡) = { 0 } ∧ (𝑆 𝑡) = 𝑈) ↔ ((𝑆 ∩ (𝑊 (𝐾‘{𝐷}))) = { 0 } ∧ (𝑆 (𝑊 (𝐾‘{𝐷}))) = 𝑈)))
248247rspcev 3298 . 2 (((𝑊 (𝐾‘{𝐷})) ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ ((𝑆 ∩ (𝑊 (𝐾‘{𝐷}))) = { 0 } ∧ (𝑆 (𝑊 (𝐾‘{𝐷}))) = 𝑈)) → ∃𝑡 ∈ (SubGrp‘𝐺)((𝑆𝑡) = { 0 } ∧ (𝑆 𝑡) = 𝑈))
24967, 236, 242, 248syl12anc 1321 1 (𝜑 → ∃𝑡 ∈ (SubGrp‘𝐺)((𝑆𝑡) = { 0 } ∧ (𝑆 𝑡) = 𝑈))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 196  wa 384   = wceq 1480  wcel 1987  wne 2790  wral 2907  wrex 2908  Vcvv 3189  cdif 3556  cin 3558  wss 3559  wpss 3560  {csn 4153   class class class wbr 4618  cmpt 4678  ran crn 5080  cfv 5852  (class class class)co 6610  Fincfn 7907  cc 9886  0cc0 9888  1c1 9889   + caddc 9891   · cmul 9893   / cdiv 10636  cn 10972  cz 11329  cdvds 14918   gcd cgcd 15151  cprime 15320  Basecbs 15792  +gcplusg 15873  0gc0g 16032  Moorecmre 16174  mrClscmrc 16175  ACScacs 16177  Grpcgrp 17354  -gcsg 17356  .gcmg 17472  SubGrpcsubg 17520  odcod 17876  gExcgex 17877   pGrp cpgp 17878  LSSumclsm 17981  Abelcabl 18126
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1719  ax-4 1734  ax-5 1836  ax-6 1885  ax-7 1932  ax-8 1989  ax-9 1996  ax-10 2016  ax-11 2031  ax-12 2044  ax-13 2245  ax-ext 2601  ax-rep 4736  ax-sep 4746  ax-nul 4754  ax-pow 4808  ax-pr 4872  ax-un 6909  ax-inf2 8490  ax-cnex 9944  ax-resscn 9945  ax-1cn 9946  ax-icn 9947  ax-addcl 9948  ax-addrcl 9949  ax-mulcl 9950  ax-mulrcl 9951  ax-mulcom 9952  ax-addass 9953  ax-mulass 9954  ax-distr 9955  ax-i2m1 9956  ax-1ne0 9957  ax-1rid 9958  ax-rnegex 9959  ax-rrecex 9960  ax-cnre 9961  ax-pre-lttri 9962  ax-pre-lttrn 9963  ax-pre-ltadd 9964  ax-pre-mulgt0 9965  ax-pre-sup 9966
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1037  df-3an 1038  df-tru 1483  df-fal 1486  df-ex 1702  df-nf 1707  df-sb 1878  df-eu 2473  df-mo 2474  df-clab 2608  df-cleq 2614  df-clel 2617  df-nfc 2750  df-ne 2791  df-nel 2894  df-ral 2912  df-rex 2913  df-reu 2914  df-rmo 2915  df-rab 2916  df-v 3191  df-sbc 3422  df-csb 3519  df-dif 3562  df-un 3564  df-in 3566  df-ss 3573  df-pss 3575  df-nul 3897  df-if 4064  df-pw 4137  df-sn 4154  df-pr 4156  df-tp 4158  df-op 4160  df-uni 4408  df-int 4446  df-iun 4492  df-iin 4493  df-disj 4589  df-br 4619  df-opab 4679  df-mpt 4680  df-tr 4718  df-eprel 4990  df-id 4994  df-po 5000  df-so 5001  df-fr 5038  df-se 5039  df-we 5040  df-xp 5085  df-rel 5086  df-cnv 5087  df-co 5088  df-dm 5089  df-rn 5090  df-res 5091  df-ima 5092  df-pred 5644  df-ord 5690  df-on 5691  df-lim 5692  df-suc 5693  df-iota 5815  df-fun 5854  df-fn 5855  df-f 5856  df-f1 5857  df-fo 5858  df-f1o 5859  df-fv 5860  df-isom 5861  df-riota 6571  df-ov 6613  df-oprab 6614  df-mpt2 6615  df-om 7020  df-1st 7120  df-2nd 7121  df-wrecs 7359  df-recs 7420  df-rdg 7458  df-1o 7512  df-2o 7513  df-oadd 7516  df-omul 7517  df-er 7694  df-ec 7696  df-qs 7700  df-map 7811  df-en 7908  df-dom 7909  df-sdom 7910  df-fin 7911  df-sup 8300  df-inf 8301  df-oi 8367  df-card 8717  df-acn 8720  df-cda 8942  df-pnf 10028  df-mnf 10029  df-xr 10030  df-ltxr 10031  df-le 10032  df-sub 10220  df-neg 10221  df-div 10637  df-nn 10973  df-2 11031  df-3 11032  df-n0 11245  df-xnn0 11316  df-z 11330  df-uz 11640  df-q 11741  df-rp 11785  df-fz 12277  df-fzo 12415  df-fl 12541  df-mod 12617  df-seq 12750  df-exp 12809  df-fac 13009  df-bc 13038  df-hash 13066  df-cj 13781  df-re 13782  df-im 13783  df-sqrt 13917  df-abs 13918  df-clim 14161  df-sum 14359  df-dvds 14919  df-gcd 15152  df-prm 15321  df-pc 15477  df-ndx 15795  df-slot 15796  df-base 15797  df-sets 15798  df-ress 15799  df-plusg 15886  df-0g 16034  df-mre 16178  df-mrc 16179  df-acs 16181  df-mgm 17174  df-sgrp 17216  df-mnd 17227  df-submnd 17268  df-grp 17357  df-minusg 17358  df-sbg 17359  df-mulg 17473  df-subg 17523  df-eqg 17525  df-ga 17655  df-cntz 17682  df-od 17880  df-gex 17881  df-pgp 17882  df-lsm 17983  df-cmn 18127  df-abl 18128
This theorem is referenced by:  pgpfac1lem4  18409
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