MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  pgpfac1lem4 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem pgpfac1lem4 18398
Description: Lemma for pgpfac1 18400. (Contributed by Mario Carneiro, 27-Apr-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
pgpfac1.k 𝐾 = (mrCls‘(SubGrp‘𝐺))
pgpfac1.s 𝑆 = (𝐾‘{𝐴})
pgpfac1.b 𝐵 = (Base‘𝐺)
pgpfac1.o 𝑂 = (od‘𝐺)
pgpfac1.e 𝐸 = (gEx‘𝐺)
pgpfac1.z 0 = (0g𝐺)
pgpfac1.l = (LSSum‘𝐺)
pgpfac1.p (𝜑𝑃 pGrp 𝐺)
pgpfac1.g (𝜑𝐺 ∈ Abel)
pgpfac1.n (𝜑𝐵 ∈ Fin)
pgpfac1.oe (𝜑 → (𝑂𝐴) = 𝐸)
pgpfac1.u (𝜑𝑈 ∈ (SubGrp‘𝐺))
pgpfac1.au (𝜑𝐴𝑈)
pgpfac1.w (𝜑𝑊 ∈ (SubGrp‘𝐺))
pgpfac1.i (𝜑 → (𝑆𝑊) = { 0 })
pgpfac1.ss (𝜑 → (𝑆 𝑊) ⊆ 𝑈)
pgpfac1.2 (𝜑 → ∀𝑤 ∈ (SubGrp‘𝐺)((𝑤𝑈𝐴𝑤) → ¬ (𝑆 𝑊) ⊊ 𝑤))
pgpfac1.c (𝜑𝐶 ∈ (𝑈 ∖ (𝑆 𝑊)))
pgpfac1.mg · = (.g𝐺)
Assertion
Ref Expression
pgpfac1lem4 (𝜑 → ∃𝑡 ∈ (SubGrp‘𝐺)((𝑆𝑡) = { 0 } ∧ (𝑆 𝑡) = 𝑈))
Distinct variable groups:   𝑡, 0   𝑤,𝑡,𝐴   𝑡, ,𝑤   𝑡,𝑃,𝑤   𝑡,𝐵   𝑡,𝐺,𝑤   𝑡,𝑈,𝑤   𝑡,𝐶,𝑤   𝑡,𝑆,𝑤   𝑡,𝑊,𝑤   𝜑,𝑡,𝑤   𝑡, · ,𝑤   𝑡,𝐾,𝑤
Allowed substitution hints:   𝐵(𝑤)   𝐸(𝑤,𝑡)   𝑂(𝑤,𝑡)   0 (𝑤)

Proof of Theorem pgpfac1lem4
Dummy variables 𝑘 𝑠 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 pgpfac1.k . . . . . . . 8 𝐾 = (mrCls‘(SubGrp‘𝐺))
2 pgpfac1.s . . . . . . . 8 𝑆 = (𝐾‘{𝐴})
3 pgpfac1.b . . . . . . . 8 𝐵 = (Base‘𝐺)
4 pgpfac1.o . . . . . . . 8 𝑂 = (od‘𝐺)
5 pgpfac1.e . . . . . . . 8 𝐸 = (gEx‘𝐺)
6 pgpfac1.z . . . . . . . 8 0 = (0g𝐺)
7 pgpfac1.l . . . . . . . 8 = (LSSum‘𝐺)
8 pgpfac1.p . . . . . . . 8 (𝜑𝑃 pGrp 𝐺)
9 pgpfac1.g . . . . . . . 8 (𝜑𝐺 ∈ Abel)
10 pgpfac1.n . . . . . . . 8 (𝜑𝐵 ∈ Fin)
11 pgpfac1.oe . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝑂𝐴) = 𝐸)
12 pgpfac1.u . . . . . . . 8 (𝜑𝑈 ∈ (SubGrp‘𝐺))
13 pgpfac1.au . . . . . . . 8 (𝜑𝐴𝑈)
14 pgpfac1.w . . . . . . . 8 (𝜑𝑊 ∈ (SubGrp‘𝐺))
15 pgpfac1.i . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝑆𝑊) = { 0 })
16 pgpfac1.ss . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝑆 𝑊) ⊆ 𝑈)
17 pgpfac1.2 . . . . . . . 8 (𝜑 → ∀𝑤 ∈ (SubGrp‘𝐺)((𝑤𝑈𝐴𝑤) → ¬ (𝑆 𝑊) ⊊ 𝑤))
18 pgpfac1.c . . . . . . . 8 (𝜑𝐶 ∈ (𝑈 ∖ (𝑆 𝑊)))
19 pgpfac1.mg . . . . . . . 8 · = (.g𝐺)
201, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19pgpfac1lem2 18395 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝑃 · 𝐶) ∈ (𝑆 𝑊))
21 ablgrp 18119 . . . . . . . . . . . 12 (𝐺 ∈ Abel → 𝐺 ∈ Grp)
229, 21syl 17 . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝐺 ∈ Grp)
233subgacs 17550 . . . . . . . . . . 11 (𝐺 ∈ Grp → (SubGrp‘𝐺) ∈ (ACS‘𝐵))
24 acsmre 16234 . . . . . . . . . . 11 ((SubGrp‘𝐺) ∈ (ACS‘𝐵) → (SubGrp‘𝐺) ∈ (Moore‘𝐵))
2522, 23, 243syl 18 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (SubGrp‘𝐺) ∈ (Moore‘𝐵))
263subgss 17516 . . . . . . . . . . . 12 (𝑈 ∈ (SubGrp‘𝐺) → 𝑈𝐵)
2712, 26syl 17 . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝑈𝐵)
2827, 13sseldd 3584 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝐴𝐵)
291mrcsncl 16193 . . . . . . . . . 10 (((SubGrp‘𝐺) ∈ (Moore‘𝐵) ∧ 𝐴𝐵) → (𝐾‘{𝐴}) ∈ (SubGrp‘𝐺))
3025, 28, 29syl2anc 692 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝐾‘{𝐴}) ∈ (SubGrp‘𝐺))
312, 30syl5eqel 2702 . . . . . . . 8 (𝜑𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺))
327lsmcom 18182 . . . . . . . 8 ((𝐺 ∈ Abel ∧ 𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑊 ∈ (SubGrp‘𝐺)) → (𝑆 𝑊) = (𝑊 𝑆))
339, 31, 14, 32syl3anc 1323 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝑆 𝑊) = (𝑊 𝑆))
3420, 33eleqtrd 2700 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑃 · 𝐶) ∈ (𝑊 𝑆))
35 eqid 2621 . . . . . . 7 (-g𝐺) = (-g𝐺)
3635, 7, 14, 31lsmelvalm 17987 . . . . . 6 (𝜑 → ((𝑃 · 𝐶) ∈ (𝑊 𝑆) ↔ ∃𝑤𝑊𝑠𝑆 (𝑃 · 𝐶) = (𝑤(-g𝐺)𝑠)))
3734, 36mpbid 222 . . . . 5 (𝜑 → ∃𝑤𝑊𝑠𝑆 (𝑃 · 𝐶) = (𝑤(-g𝐺)𝑠))
38 eqid 2621 . . . . . . . . . . 11 (𝑘 ∈ ℤ ↦ (𝑘 · 𝐴)) = (𝑘 ∈ ℤ ↦ (𝑘 · 𝐴))
393, 19, 38, 1cycsubg2 17552 . . . . . . . . . 10 ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴𝐵) → (𝐾‘{𝐴}) = ran (𝑘 ∈ ℤ ↦ (𝑘 · 𝐴)))
4022, 28, 39syl2anc 692 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝐾‘{𝐴}) = ran (𝑘 ∈ ℤ ↦ (𝑘 · 𝐴)))
412, 40syl5eq 2667 . . . . . . . 8 (𝜑𝑆 = ran (𝑘 ∈ ℤ ↦ (𝑘 · 𝐴)))
4241rexeqdv 3134 . . . . . . 7 (𝜑 → (∃𝑠𝑆 (𝑃 · 𝐶) = (𝑤(-g𝐺)𝑠) ↔ ∃𝑠 ∈ ran (𝑘 ∈ ℤ ↦ (𝑘 · 𝐴))(𝑃 · 𝐶) = (𝑤(-g𝐺)𝑠)))
43 ovex 6632 . . . . . . . . 9 (𝑘 · 𝐴) ∈ V
4443rgenw 2919 . . . . . . . 8 𝑘 ∈ ℤ (𝑘 · 𝐴) ∈ V
45 oveq2 6612 . . . . . . . . . 10 (𝑠 = (𝑘 · 𝐴) → (𝑤(-g𝐺)𝑠) = (𝑤(-g𝐺)(𝑘 · 𝐴)))
4645eqeq2d 2631 . . . . . . . . 9 (𝑠 = (𝑘 · 𝐴) → ((𝑃 · 𝐶) = (𝑤(-g𝐺)𝑠) ↔ (𝑃 · 𝐶) = (𝑤(-g𝐺)(𝑘 · 𝐴))))
4738, 46rexrnmpt 6325 . . . . . . . 8 (∀𝑘 ∈ ℤ (𝑘 · 𝐴) ∈ V → (∃𝑠 ∈ ran (𝑘 ∈ ℤ ↦ (𝑘 · 𝐴))(𝑃 · 𝐶) = (𝑤(-g𝐺)𝑠) ↔ ∃𝑘 ∈ ℤ (𝑃 · 𝐶) = (𝑤(-g𝐺)(𝑘 · 𝐴))))
4844, 47ax-mp 5 . . . . . . 7 (∃𝑠 ∈ ran (𝑘 ∈ ℤ ↦ (𝑘 · 𝐴))(𝑃 · 𝐶) = (𝑤(-g𝐺)𝑠) ↔ ∃𝑘 ∈ ℤ (𝑃 · 𝐶) = (𝑤(-g𝐺)(𝑘 · 𝐴)))
4942, 48syl6bb 276 . . . . . 6 (𝜑 → (∃𝑠𝑆 (𝑃 · 𝐶) = (𝑤(-g𝐺)𝑠) ↔ ∃𝑘 ∈ ℤ (𝑃 · 𝐶) = (𝑤(-g𝐺)(𝑘 · 𝐴))))
5049rexbidv 3045 . . . . 5 (𝜑 → (∃𝑤𝑊𝑠𝑆 (𝑃 · 𝐶) = (𝑤(-g𝐺)𝑠) ↔ ∃𝑤𝑊𝑘 ∈ ℤ (𝑃 · 𝐶) = (𝑤(-g𝐺)(𝑘 · 𝐴))))
5137, 50mpbid 222 . . . 4 (𝜑 → ∃𝑤𝑊𝑘 ∈ ℤ (𝑃 · 𝐶) = (𝑤(-g𝐺)(𝑘 · 𝐴)))
52 rexcom 3091 . . . 4 (∃𝑤𝑊𝑘 ∈ ℤ (𝑃 · 𝐶) = (𝑤(-g𝐺)(𝑘 · 𝐴)) ↔ ∃𝑘 ∈ ℤ ∃𝑤𝑊 (𝑃 · 𝐶) = (𝑤(-g𝐺)(𝑘 · 𝐴)))
5351, 52sylib 208 . . 3 (𝜑 → ∃𝑘 ∈ ℤ ∃𝑤𝑊 (𝑃 · 𝐶) = (𝑤(-g𝐺)(𝑘 · 𝐴)))
5422ad2antrr 761 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑘 ∈ ℤ) ∧ 𝑤𝑊) → 𝐺 ∈ Grp)
553subgss 17516 . . . . . . . . . . 11 (𝑊 ∈ (SubGrp‘𝐺) → 𝑊𝐵)
5614, 55syl 17 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝑊𝐵)
5756adantr 481 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑘 ∈ ℤ) → 𝑊𝐵)
5857sselda 3583 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑘 ∈ ℤ) ∧ 𝑤𝑊) → 𝑤𝐵)
59 simplr 791 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑘 ∈ ℤ) ∧ 𝑤𝑊) → 𝑘 ∈ ℤ)
6028ad2antrr 761 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑘 ∈ ℤ) ∧ 𝑤𝑊) → 𝐴𝐵)
613, 19mulgcl 17480 . . . . . . . . 9 ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑘 ∈ ℤ ∧ 𝐴𝐵) → (𝑘 · 𝐴) ∈ 𝐵)
6254, 59, 60, 61syl3anc 1323 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑘 ∈ ℤ) ∧ 𝑤𝑊) → (𝑘 · 𝐴) ∈ 𝐵)
63 pgpprm 17929 . . . . . . . . . . 11 (𝑃 pGrp 𝐺𝑃 ∈ ℙ)
64 prmz 15313 . . . . . . . . . . 11 (𝑃 ∈ ℙ → 𝑃 ∈ ℤ)
658, 63, 643syl 18 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝑃 ∈ ℤ)
6618eldifad 3567 . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝐶𝑈)
6727, 66sseldd 3584 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝐶𝐵)
683, 19mulgcl 17480 . . . . . . . . . 10 ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑃 ∈ ℤ ∧ 𝐶𝐵) → (𝑃 · 𝐶) ∈ 𝐵)
6922, 65, 67, 68syl3anc 1323 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝑃 · 𝐶) ∈ 𝐵)
7069ad2antrr 761 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑘 ∈ ℤ) ∧ 𝑤𝑊) → (𝑃 · 𝐶) ∈ 𝐵)
71 eqid 2621 . . . . . . . . 9 (+g𝐺) = (+g𝐺)
723, 71, 35grpsubadd 17424 . . . . . . . 8 ((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑤𝐵 ∧ (𝑘 · 𝐴) ∈ 𝐵 ∧ (𝑃 · 𝐶) ∈ 𝐵)) → ((𝑤(-g𝐺)(𝑘 · 𝐴)) = (𝑃 · 𝐶) ↔ ((𝑃 · 𝐶)(+g𝐺)(𝑘 · 𝐴)) = 𝑤))
7354, 58, 62, 70, 72syl13anc 1325 . . . . . . 7 (((𝜑𝑘 ∈ ℤ) ∧ 𝑤𝑊) → ((𝑤(-g𝐺)(𝑘 · 𝐴)) = (𝑃 · 𝐶) ↔ ((𝑃 · 𝐶)(+g𝐺)(𝑘 · 𝐴)) = 𝑤))
74 eqcom 2628 . . . . . . 7 ((𝑃 · 𝐶) = (𝑤(-g𝐺)(𝑘 · 𝐴)) ↔ (𝑤(-g𝐺)(𝑘 · 𝐴)) = (𝑃 · 𝐶))
75 eqcom 2628 . . . . . . 7 (𝑤 = ((𝑃 · 𝐶)(+g𝐺)(𝑘 · 𝐴)) ↔ ((𝑃 · 𝐶)(+g𝐺)(𝑘 · 𝐴)) = 𝑤)
7673, 74, 753bitr4g 303 . . . . . 6 (((𝜑𝑘 ∈ ℤ) ∧ 𝑤𝑊) → ((𝑃 · 𝐶) = (𝑤(-g𝐺)(𝑘 · 𝐴)) ↔ 𝑤 = ((𝑃 · 𝐶)(+g𝐺)(𝑘 · 𝐴))))
7776rexbidva 3042 . . . . 5 ((𝜑𝑘 ∈ ℤ) → (∃𝑤𝑊 (𝑃 · 𝐶) = (𝑤(-g𝐺)(𝑘 · 𝐴)) ↔ ∃𝑤𝑊 𝑤 = ((𝑃 · 𝐶)(+g𝐺)(𝑘 · 𝐴))))
78 risset 3055 . . . . 5 (((𝑃 · 𝐶)(+g𝐺)(𝑘 · 𝐴)) ∈ 𝑊 ↔ ∃𝑤𝑊 𝑤 = ((𝑃 · 𝐶)(+g𝐺)(𝑘 · 𝐴)))
7977, 78syl6bbr 278 . . . 4 ((𝜑𝑘 ∈ ℤ) → (∃𝑤𝑊 (𝑃 · 𝐶) = (𝑤(-g𝐺)(𝑘 · 𝐴)) ↔ ((𝑃 · 𝐶)(+g𝐺)(𝑘 · 𝐴)) ∈ 𝑊))
8079rexbidva 3042 . . 3 (𝜑 → (∃𝑘 ∈ ℤ ∃𝑤𝑊 (𝑃 · 𝐶) = (𝑤(-g𝐺)(𝑘 · 𝐴)) ↔ ∃𝑘 ∈ ℤ ((𝑃 · 𝐶)(+g𝐺)(𝑘 · 𝐴)) ∈ 𝑊))
8153, 80mpbid 222 . 2 (𝜑 → ∃𝑘 ∈ ℤ ((𝑃 · 𝐶)(+g𝐺)(𝑘 · 𝐴)) ∈ 𝑊)
828adantr 481 . . 3 ((𝜑 ∧ (𝑘 ∈ ℤ ∧ ((𝑃 · 𝐶)(+g𝐺)(𝑘 · 𝐴)) ∈ 𝑊)) → 𝑃 pGrp 𝐺)
839adantr 481 . . 3 ((𝜑 ∧ (𝑘 ∈ ℤ ∧ ((𝑃 · 𝐶)(+g𝐺)(𝑘 · 𝐴)) ∈ 𝑊)) → 𝐺 ∈ Abel)
8410adantr 481 . . 3 ((𝜑 ∧ (𝑘 ∈ ℤ ∧ ((𝑃 · 𝐶)(+g𝐺)(𝑘 · 𝐴)) ∈ 𝑊)) → 𝐵 ∈ Fin)
8511adantr 481 . . 3 ((𝜑 ∧ (𝑘 ∈ ℤ ∧ ((𝑃 · 𝐶)(+g𝐺)(𝑘 · 𝐴)) ∈ 𝑊)) → (𝑂𝐴) = 𝐸)
8612adantr 481 . . 3 ((𝜑 ∧ (𝑘 ∈ ℤ ∧ ((𝑃 · 𝐶)(+g𝐺)(𝑘 · 𝐴)) ∈ 𝑊)) → 𝑈 ∈ (SubGrp‘𝐺))
8713adantr 481 . . 3 ((𝜑 ∧ (𝑘 ∈ ℤ ∧ ((𝑃 · 𝐶)(+g𝐺)(𝑘 · 𝐴)) ∈ 𝑊)) → 𝐴𝑈)
8814adantr 481 . . 3 ((𝜑 ∧ (𝑘 ∈ ℤ ∧ ((𝑃 · 𝐶)(+g𝐺)(𝑘 · 𝐴)) ∈ 𝑊)) → 𝑊 ∈ (SubGrp‘𝐺))
8915adantr 481 . . 3 ((𝜑 ∧ (𝑘 ∈ ℤ ∧ ((𝑃 · 𝐶)(+g𝐺)(𝑘 · 𝐴)) ∈ 𝑊)) → (𝑆𝑊) = { 0 })
9016adantr 481 . . 3 ((𝜑 ∧ (𝑘 ∈ ℤ ∧ ((𝑃 · 𝐶)(+g𝐺)(𝑘 · 𝐴)) ∈ 𝑊)) → (𝑆 𝑊) ⊆ 𝑈)
9117adantr 481 . . 3 ((𝜑 ∧ (𝑘 ∈ ℤ ∧ ((𝑃 · 𝐶)(+g𝐺)(𝑘 · 𝐴)) ∈ 𝑊)) → ∀𝑤 ∈ (SubGrp‘𝐺)((𝑤𝑈𝐴𝑤) → ¬ (𝑆 𝑊) ⊊ 𝑤))
9218adantr 481 . . 3 ((𝜑 ∧ (𝑘 ∈ ℤ ∧ ((𝑃 · 𝐶)(+g𝐺)(𝑘 · 𝐴)) ∈ 𝑊)) → 𝐶 ∈ (𝑈 ∖ (𝑆 𝑊)))
93 simprl 793 . . 3 ((𝜑 ∧ (𝑘 ∈ ℤ ∧ ((𝑃 · 𝐶)(+g𝐺)(𝑘 · 𝐴)) ∈ 𝑊)) → 𝑘 ∈ ℤ)
94 simprr 795 . . 3 ((𝜑 ∧ (𝑘 ∈ ℤ ∧ ((𝑃 · 𝐶)(+g𝐺)(𝑘 · 𝐴)) ∈ 𝑊)) → ((𝑃 · 𝐶)(+g𝐺)(𝑘 · 𝐴)) ∈ 𝑊)
95 eqid 2621 . . 3 (𝐶(+g𝐺)((𝑘 / 𝑃) · 𝐴)) = (𝐶(+g𝐺)((𝑘 / 𝑃) · 𝐴))
961, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 82, 83, 84, 85, 86, 87, 88, 89, 90, 91, 92, 19, 93, 94, 95pgpfac1lem3 18397 . 2 ((𝜑 ∧ (𝑘 ∈ ℤ ∧ ((𝑃 · 𝐶)(+g𝐺)(𝑘 · 𝐴)) ∈ 𝑊)) → ∃𝑡 ∈ (SubGrp‘𝐺)((𝑆𝑡) = { 0 } ∧ (𝑆 𝑡) = 𝑈))
9781, 96rexlimddv 3028 1 (𝜑 → ∃𝑡 ∈ (SubGrp‘𝐺)((𝑆𝑡) = { 0 } ∧ (𝑆 𝑡) = 𝑈))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 196  wa 384   = wceq 1480  wcel 1987  wral 2907  wrex 2908  Vcvv 3186  cdif 3552  cin 3554  wss 3555  wpss 3556  {csn 4148   class class class wbr 4613  cmpt 4673  ran crn 5075  cfv 5847  (class class class)co 6604  Fincfn 7899   / cdiv 10628  cz 11321  cprime 15309  Basecbs 15781  +gcplusg 15862  0gc0g 16021  Moorecmre 16163  mrClscmrc 16164  ACScacs 16166  Grpcgrp 17343  -gcsg 17345  .gcmg 17461  SubGrpcsubg 17509  odcod 17865  gExcgex 17866   pGrp cpgp 17867  LSSumclsm 17970  Abelcabl 18115
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1719  ax-4 1734  ax-5 1836  ax-6 1885  ax-7 1932  ax-8 1989  ax-9 1996  ax-10 2016  ax-11 2031  ax-12 2044  ax-13 2245  ax-ext 2601  ax-rep 4731  ax-sep 4741  ax-nul 4749  ax-pow 4803  ax-pr 4867  ax-un 6902  ax-inf2 8482  ax-cnex 9936  ax-resscn 9937  ax-1cn 9938  ax-icn 9939  ax-addcl 9940  ax-addrcl 9941  ax-mulcl 9942  ax-mulrcl 9943  ax-mulcom 9944  ax-addass 9945  ax-mulass 9946  ax-distr 9947  ax-i2m1 9948  ax-1ne0 9949  ax-1rid 9950  ax-rnegex 9951  ax-rrecex 9952  ax-cnre 9953  ax-pre-lttri 9954  ax-pre-lttrn 9955  ax-pre-ltadd 9956  ax-pre-mulgt0 9957  ax-pre-sup 9958
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1037  df-3an 1038  df-tru 1483  df-fal 1486  df-ex 1702  df-nf 1707  df-sb 1878  df-eu 2473  df-mo 2474  df-clab 2608  df-cleq 2614  df-clel 2617  df-nfc 2750  df-ne 2791  df-nel 2894  df-ral 2912  df-rex 2913  df-reu 2914  df-rmo 2915  df-rab 2916  df-v 3188  df-sbc 3418  df-csb 3515  df-dif 3558  df-un 3560  df-in 3562  df-ss 3569  df-pss 3571  df-nul 3892  df-if 4059  df-pw 4132  df-sn 4149  df-pr 4151  df-tp 4153  df-op 4155  df-uni 4403  df-int 4441  df-iun 4487  df-iin 4488  df-disj 4584  df-br 4614  df-opab 4674  df-mpt 4675  df-tr 4713  df-eprel 4985  df-id 4989  df-po 4995  df-so 4996  df-fr 5033  df-se 5034  df-we 5035  df-xp 5080  df-rel 5081  df-cnv 5082  df-co 5083  df-dm 5084  df-rn 5085  df-res 5086  df-ima 5087  df-pred 5639  df-ord 5685  df-on 5686  df-lim 5687  df-suc 5688  df-iota 5810  df-fun 5849  df-fn 5850  df-f 5851  df-f1 5852  df-fo 5853  df-f1o 5854  df-fv 5855  df-isom 5856  df-riota 6565  df-ov 6607  df-oprab 6608  df-mpt2 6609  df-om 7013  df-1st 7113  df-2nd 7114  df-wrecs 7352  df-recs 7413  df-rdg 7451  df-1o 7505  df-2o 7506  df-oadd 7509  df-omul 7510  df-er 7687  df-ec 7689  df-qs 7693  df-map 7804  df-en 7900  df-dom 7901  df-sdom 7902  df-fin 7903  df-sup 8292  df-inf 8293  df-oi 8359  df-card 8709  df-acn 8712  df-cda 8934  df-pnf 10020  df-mnf 10021  df-xr 10022  df-ltxr 10023  df-le 10024  df-sub 10212  df-neg 10213  df-div 10629  df-nn 10965  df-2 11023  df-3 11024  df-n0 11237  df-xnn0 11308  df-z 11322  df-uz 11632  df-q 11733  df-rp 11777  df-fz 12269  df-fzo 12407  df-fl 12533  df-mod 12609  df-seq 12742  df-exp 12801  df-fac 13001  df-bc 13030  df-hash 13058  df-cj 13773  df-re 13774  df-im 13775  df-sqrt 13909  df-abs 13910  df-clim 14153  df-sum 14351  df-dvds 14908  df-gcd 15141  df-prm 15310  df-pc 15466  df-ndx 15784  df-slot 15785  df-base 15786  df-sets 15787  df-ress 15788  df-plusg 15875  df-0g 16023  df-mre 16167  df-mrc 16168  df-acs 16170  df-mgm 17163  df-sgrp 17205  df-mnd 17216  df-submnd 17257  df-grp 17346  df-minusg 17347  df-sbg 17348  df-mulg 17462  df-subg 17512  df-eqg 17514  df-ga 17644  df-cntz 17671  df-od 17869  df-gex 17870  df-pgp 17871  df-lsm 17972  df-cmn 18116  df-abl 18117
This theorem is referenced by:  pgpfac1lem5  18399
  Copyright terms: Public domain W3C validator