MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  pgpfaclem1 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem pgpfaclem1 18396
Description: Lemma for pgpfac 18399. (Contributed by Mario Carneiro, 27-Apr-2016.) (Revised by Mario Carneiro, 3-May-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
pgpfac.b 𝐵 = (Base‘𝐺)
pgpfac.c 𝐶 = {𝑟 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∣ (𝐺s 𝑟) ∈ (CycGrp ∩ ran pGrp )}
pgpfac.g (𝜑𝐺 ∈ Abel)
pgpfac.p (𝜑𝑃 pGrp 𝐺)
pgpfac.f (𝜑𝐵 ∈ Fin)
pgpfac.u (𝜑𝑈 ∈ (SubGrp‘𝐺))
pgpfac.a (𝜑 → ∀𝑡 ∈ (SubGrp‘𝐺)(𝑡𝑈 → ∃𝑠 ∈ Word 𝐶(𝐺dom DProd 𝑠 ∧ (𝐺 DProd 𝑠) = 𝑡)))
pgpfac.h 𝐻 = (𝐺s 𝑈)
pgpfac.k 𝐾 = (mrCls‘(SubGrp‘𝐻))
pgpfac.o 𝑂 = (od‘𝐻)
pgpfac.e 𝐸 = (gEx‘𝐻)
pgpfac.0 0 = (0g𝐻)
pgpfac.l = (LSSum‘𝐻)
pgpfac.1 (𝜑𝐸 ≠ 1)
pgpfac.x (𝜑𝑋𝑈)
pgpfac.oe (𝜑 → (𝑂𝑋) = 𝐸)
pgpfac.w (𝜑𝑊 ∈ (SubGrp‘𝐻))
pgpfac.i (𝜑 → ((𝐾‘{𝑋}) ∩ 𝑊) = { 0 })
pgpfac.s (𝜑 → ((𝐾‘{𝑋}) 𝑊) = 𝑈)
pgpfac.2 (𝜑𝑆 ∈ Word 𝐶)
pgpfac.4 (𝜑𝐺dom DProd 𝑆)
pgpfac.5 (𝜑 → (𝐺 DProd 𝑆) = 𝑊)
pgpfac.t 𝑇 = (𝑆 ++ ⟨“(𝐾‘{𝑋})”⟩)
Assertion
Ref Expression
pgpfaclem1 (𝜑 → ∃𝑠 ∈ Word 𝐶(𝐺dom DProd 𝑠 ∧ (𝐺 DProd 𝑠) = 𝑈))
Distinct variable groups:   𝑡,𝑠,𝐶   𝑠,𝑟,𝑡,𝐺   𝐾,𝑟,𝑠   𝜑,𝑡   𝐵,𝑠,𝑡   𝑈,𝑟,𝑠,𝑡   𝑊,𝑠,𝑡   𝑋,𝑟,𝑠   𝑇,𝑠
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑠,𝑟)   𝐵(𝑟)   𝐶(𝑟)   𝑃(𝑡,𝑠,𝑟)   (𝑡,𝑠,𝑟)   𝑆(𝑡,𝑠,𝑟)   𝑇(𝑡,𝑟)   𝐸(𝑡,𝑠,𝑟)   𝐻(𝑡,𝑠,𝑟)   𝐾(𝑡)   𝑂(𝑡,𝑠,𝑟)   𝑊(𝑟)   𝑋(𝑡)   0 (𝑡,𝑠,𝑟)

Proof of Theorem pgpfaclem1
StepHypRef Expression
1 pgpfac.t . . 3 𝑇 = (𝑆 ++ ⟨“(𝐾‘{𝑋})”⟩)
2 pgpfac.2 . . 3 (𝜑𝑆 ∈ Word 𝐶)
3 pgpfac.u . . . . . . . . 9 (𝜑𝑈 ∈ (SubGrp‘𝐺))
4 pgpfac.h . . . . . . . . . 10 𝐻 = (𝐺s 𝑈)
54subggrp 17513 . . . . . . . . 9 (𝑈 ∈ (SubGrp‘𝐺) → 𝐻 ∈ Grp)
63, 5syl 17 . . . . . . . 8 (𝜑𝐻 ∈ Grp)
7 eqid 2626 . . . . . . . . 9 (Base‘𝐻) = (Base‘𝐻)
87subgacs 17545 . . . . . . . 8 (𝐻 ∈ Grp → (SubGrp‘𝐻) ∈ (ACS‘(Base‘𝐻)))
9 acsmre 16229 . . . . . . . 8 ((SubGrp‘𝐻) ∈ (ACS‘(Base‘𝐻)) → (SubGrp‘𝐻) ∈ (Moore‘(Base‘𝐻)))
106, 8, 93syl 18 . . . . . . 7 (𝜑 → (SubGrp‘𝐻) ∈ (Moore‘(Base‘𝐻)))
11 pgpfac.x . . . . . . . 8 (𝜑𝑋𝑈)
124subgbas 17514 . . . . . . . . 9 (𝑈 ∈ (SubGrp‘𝐺) → 𝑈 = (Base‘𝐻))
133, 12syl 17 . . . . . . . 8 (𝜑𝑈 = (Base‘𝐻))
1411, 13eleqtrd 2706 . . . . . . 7 (𝜑𝑋 ∈ (Base‘𝐻))
15 pgpfac.k . . . . . . . 8 𝐾 = (mrCls‘(SubGrp‘𝐻))
1615mrcsncl 16188 . . . . . . 7 (((SubGrp‘𝐻) ∈ (Moore‘(Base‘𝐻)) ∧ 𝑋 ∈ (Base‘𝐻)) → (𝐾‘{𝑋}) ∈ (SubGrp‘𝐻))
1710, 14, 16syl2anc 692 . . . . . 6 (𝜑 → (𝐾‘{𝑋}) ∈ (SubGrp‘𝐻))
184subsubg 17533 . . . . . . 7 (𝑈 ∈ (SubGrp‘𝐺) → ((𝐾‘{𝑋}) ∈ (SubGrp‘𝐻) ↔ ((𝐾‘{𝑋}) ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ (𝐾‘{𝑋}) ⊆ 𝑈)))
193, 18syl 17 . . . . . 6 (𝜑 → ((𝐾‘{𝑋}) ∈ (SubGrp‘𝐻) ↔ ((𝐾‘{𝑋}) ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ (𝐾‘{𝑋}) ⊆ 𝑈)))
2017, 19mpbid 222 . . . . 5 (𝜑 → ((𝐾‘{𝑋}) ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ (𝐾‘{𝑋}) ⊆ 𝑈))
2120simpld 475 . . . 4 (𝜑 → (𝐾‘{𝑋}) ∈ (SubGrp‘𝐺))
224oveq1i 6615 . . . . . . 7 (𝐻s (𝐾‘{𝑋})) = ((𝐺s 𝑈) ↾s (𝐾‘{𝑋}))
2320simprd 479 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝐾‘{𝑋}) ⊆ 𝑈)
24 ressabs 15855 . . . . . . . 8 ((𝑈 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ (𝐾‘{𝑋}) ⊆ 𝑈) → ((𝐺s 𝑈) ↾s (𝐾‘{𝑋})) = (𝐺s (𝐾‘{𝑋})))
253, 23, 24syl2anc 692 . . . . . . 7 (𝜑 → ((𝐺s 𝑈) ↾s (𝐾‘{𝑋})) = (𝐺s (𝐾‘{𝑋})))
2622, 25syl5eq 2672 . . . . . 6 (𝜑 → (𝐻s (𝐾‘{𝑋})) = (𝐺s (𝐾‘{𝑋})))
277, 15cycsubgcyg2 18219 . . . . . . 7 ((𝐻 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ (Base‘𝐻)) → (𝐻s (𝐾‘{𝑋})) ∈ CycGrp)
286, 14, 27syl2anc 692 . . . . . 6 (𝜑 → (𝐻s (𝐾‘{𝑋})) ∈ CycGrp)
2926, 28eqeltrrd 2705 . . . . 5 (𝜑 → (𝐺s (𝐾‘{𝑋})) ∈ CycGrp)
30 pgpfac.p . . . . . . 7 (𝜑𝑃 pGrp 𝐺)
31 pgpprm 17924 . . . . . . 7 (𝑃 pGrp 𝐺𝑃 ∈ ℙ)
3230, 31syl 17 . . . . . 6 (𝜑𝑃 ∈ ℙ)
33 subgpgp 17928 . . . . . . 7 ((𝑃 pGrp 𝐺 ∧ (𝐾‘{𝑋}) ∈ (SubGrp‘𝐺)) → 𝑃 pGrp (𝐺s (𝐾‘{𝑋})))
3430, 21, 33syl2anc 692 . . . . . 6 (𝜑𝑃 pGrp (𝐺s (𝐾‘{𝑋})))
35 brelrng 5319 . . . . . 6 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ (𝐺s (𝐾‘{𝑋})) ∈ CycGrp ∧ 𝑃 pGrp (𝐺s (𝐾‘{𝑋}))) → (𝐺s (𝐾‘{𝑋})) ∈ ran pGrp )
3632, 29, 34, 35syl3anc 1323 . . . . 5 (𝜑 → (𝐺s (𝐾‘{𝑋})) ∈ ran pGrp )
3729, 36elind 3781 . . . 4 (𝜑 → (𝐺s (𝐾‘{𝑋})) ∈ (CycGrp ∩ ran pGrp ))
38 oveq2 6613 . . . . . 6 (𝑟 = (𝐾‘{𝑋}) → (𝐺s 𝑟) = (𝐺s (𝐾‘{𝑋})))
3938eleq1d 2688 . . . . 5 (𝑟 = (𝐾‘{𝑋}) → ((𝐺s 𝑟) ∈ (CycGrp ∩ ran pGrp ) ↔ (𝐺s (𝐾‘{𝑋})) ∈ (CycGrp ∩ ran pGrp )))
40 pgpfac.c . . . . 5 𝐶 = {𝑟 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∣ (𝐺s 𝑟) ∈ (CycGrp ∩ ran pGrp )}
4139, 40elrab2 3353 . . . 4 ((𝐾‘{𝑋}) ∈ 𝐶 ↔ ((𝐾‘{𝑋}) ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ (𝐺s (𝐾‘{𝑋})) ∈ (CycGrp ∩ ran pGrp )))
4221, 37, 41sylanbrc 697 . . 3 (𝜑 → (𝐾‘{𝑋}) ∈ 𝐶)
431, 2, 42cats1cld 13532 . 2 (𝜑𝑇 ∈ Word 𝐶)
44 wrdf 13244 . . . . 5 (𝑇 ∈ Word 𝐶𝑇:(0..^(#‘𝑇))⟶𝐶)
4543, 44syl 17 . . . 4 (𝜑𝑇:(0..^(#‘𝑇))⟶𝐶)
46 ssrab2 3671 . . . . 5 {𝑟 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∣ (𝐺s 𝑟) ∈ (CycGrp ∩ ran pGrp )} ⊆ (SubGrp‘𝐺)
4740, 46eqsstri 3619 . . . 4 𝐶 ⊆ (SubGrp‘𝐺)
48 fss 6015 . . . 4 ((𝑇:(0..^(#‘𝑇))⟶𝐶𝐶 ⊆ (SubGrp‘𝐺)) → 𝑇:(0..^(#‘𝑇))⟶(SubGrp‘𝐺))
4945, 47, 48sylancl 693 . . 3 (𝜑𝑇:(0..^(#‘𝑇))⟶(SubGrp‘𝐺))
50 fzodisj 12440 . . . 4 ((0..^(#‘𝑆)) ∩ ((#‘𝑆)..^((#‘𝑆) + 1))) = ∅
51 lencl 13258 . . . . . . . 8 (𝑆 ∈ Word 𝐶 → (#‘𝑆) ∈ ℕ0)
522, 51syl 17 . . . . . . 7 (𝜑 → (#‘𝑆) ∈ ℕ0)
5352nn0zd 11424 . . . . . 6 (𝜑 → (#‘𝑆) ∈ ℤ)
54 fzosn 12476 . . . . . 6 ((#‘𝑆) ∈ ℤ → ((#‘𝑆)..^((#‘𝑆) + 1)) = {(#‘𝑆)})
5553, 54syl 17 . . . . 5 (𝜑 → ((#‘𝑆)..^((#‘𝑆) + 1)) = {(#‘𝑆)})
5655ineq2d 3797 . . . 4 (𝜑 → ((0..^(#‘𝑆)) ∩ ((#‘𝑆)..^((#‘𝑆) + 1))) = ((0..^(#‘𝑆)) ∩ {(#‘𝑆)}))
5750, 56syl5reqr 2675 . . 3 (𝜑 → ((0..^(#‘𝑆)) ∩ {(#‘𝑆)}) = ∅)
581fveq2i 6153 . . . . . . 7 (#‘𝑇) = (#‘(𝑆 ++ ⟨“(𝐾‘{𝑋})”⟩))
5942s1cld 13317 . . . . . . . 8 (𝜑 → ⟨“(𝐾‘{𝑋})”⟩ ∈ Word 𝐶)
60 ccatlen 13294 . . . . . . . 8 ((𝑆 ∈ Word 𝐶 ∧ ⟨“(𝐾‘{𝑋})”⟩ ∈ Word 𝐶) → (#‘(𝑆 ++ ⟨“(𝐾‘{𝑋})”⟩)) = ((#‘𝑆) + (#‘⟨“(𝐾‘{𝑋})”⟩)))
612, 59, 60syl2anc 692 . . . . . . 7 (𝜑 → (#‘(𝑆 ++ ⟨“(𝐾‘{𝑋})”⟩)) = ((#‘𝑆) + (#‘⟨“(𝐾‘{𝑋})”⟩)))
6258, 61syl5eq 2672 . . . . . 6 (𝜑 → (#‘𝑇) = ((#‘𝑆) + (#‘⟨“(𝐾‘{𝑋})”⟩)))
63 s1len 13319 . . . . . . 7 (#‘⟨“(𝐾‘{𝑋})”⟩) = 1
6463oveq2i 6616 . . . . . 6 ((#‘𝑆) + (#‘⟨“(𝐾‘{𝑋})”⟩)) = ((#‘𝑆) + 1)
6562, 64syl6eq 2676 . . . . 5 (𝜑 → (#‘𝑇) = ((#‘𝑆) + 1))
6665oveq2d 6621 . . . 4 (𝜑 → (0..^(#‘𝑇)) = (0..^((#‘𝑆) + 1)))
67 nn0uz 11666 . . . . . 6 0 = (ℤ‘0)
6852, 67syl6eleq 2714 . . . . 5 (𝜑 → (#‘𝑆) ∈ (ℤ‘0))
69 fzosplitsn 12514 . . . . 5 ((#‘𝑆) ∈ (ℤ‘0) → (0..^((#‘𝑆) + 1)) = ((0..^(#‘𝑆)) ∪ {(#‘𝑆)}))
7068, 69syl 17 . . . 4 (𝜑 → (0..^((#‘𝑆) + 1)) = ((0..^(#‘𝑆)) ∪ {(#‘𝑆)}))
7166, 70eqtrd 2660 . . 3 (𝜑 → (0..^(#‘𝑇)) = ((0..^(#‘𝑆)) ∪ {(#‘𝑆)}))
72 eqid 2626 . . 3 (Cntz‘𝐺) = (Cntz‘𝐺)
73 eqid 2626 . . 3 (0g𝐺) = (0g𝐺)
74 pgpfac.4 . . . 4 (𝜑𝐺dom DProd 𝑆)
75 cats1un 13408 . . . . . . . 8 ((𝑆 ∈ Word 𝐶 ∧ (𝐾‘{𝑋}) ∈ 𝐶) → (𝑆 ++ ⟨“(𝐾‘{𝑋})”⟩) = (𝑆 ∪ {⟨(#‘𝑆), (𝐾‘{𝑋})⟩}))
762, 42, 75syl2anc 692 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝑆 ++ ⟨“(𝐾‘{𝑋})”⟩) = (𝑆 ∪ {⟨(#‘𝑆), (𝐾‘{𝑋})⟩}))
771, 76syl5eq 2672 . . . . . 6 (𝜑𝑇 = (𝑆 ∪ {⟨(#‘𝑆), (𝐾‘{𝑋})⟩}))
7877reseq1d 5359 . . . . 5 (𝜑 → (𝑇 ↾ (0..^(#‘𝑆))) = ((𝑆 ∪ {⟨(#‘𝑆), (𝐾‘{𝑋})⟩}) ↾ (0..^(#‘𝑆))))
79 wrdf 13244 . . . . . . 7 (𝑆 ∈ Word 𝐶𝑆:(0..^(#‘𝑆))⟶𝐶)
80 ffn 6004 . . . . . . 7 (𝑆:(0..^(#‘𝑆))⟶𝐶𝑆 Fn (0..^(#‘𝑆)))
812, 79, 803syl 18 . . . . . 6 (𝜑𝑆 Fn (0..^(#‘𝑆)))
82 fzonel 12421 . . . . . 6 ¬ (#‘𝑆) ∈ (0..^(#‘𝑆))
83 fsnunres 6409 . . . . . 6 ((𝑆 Fn (0..^(#‘𝑆)) ∧ ¬ (#‘𝑆) ∈ (0..^(#‘𝑆))) → ((𝑆 ∪ {⟨(#‘𝑆), (𝐾‘{𝑋})⟩}) ↾ (0..^(#‘𝑆))) = 𝑆)
8481, 82, 83sylancl 693 . . . . 5 (𝜑 → ((𝑆 ∪ {⟨(#‘𝑆), (𝐾‘{𝑋})⟩}) ↾ (0..^(#‘𝑆))) = 𝑆)
8578, 84eqtrd 2660 . . . 4 (𝜑 → (𝑇 ↾ (0..^(#‘𝑆))) = 𝑆)
8674, 85breqtrrd 4646 . . 3 (𝜑𝐺dom DProd (𝑇 ↾ (0..^(#‘𝑆))))
87 fvex 6160 . . . . . 6 (#‘𝑆) ∈ V
88 dprdsn 18351 . . . . . 6 (((#‘𝑆) ∈ V ∧ (𝐾‘{𝑋}) ∈ (SubGrp‘𝐺)) → (𝐺dom DProd {⟨(#‘𝑆), (𝐾‘{𝑋})⟩} ∧ (𝐺 DProd {⟨(#‘𝑆), (𝐾‘{𝑋})⟩}) = (𝐾‘{𝑋})))
8987, 21, 88sylancr 694 . . . . 5 (𝜑 → (𝐺dom DProd {⟨(#‘𝑆), (𝐾‘{𝑋})⟩} ∧ (𝐺 DProd {⟨(#‘𝑆), (𝐾‘{𝑋})⟩}) = (𝐾‘{𝑋})))
9089simpld 475 . . . 4 (𝜑𝐺dom DProd {⟨(#‘𝑆), (𝐾‘{𝑋})⟩})
91 ffn 6004 . . . . . . 7 (𝑇:(0..^(#‘𝑇))⟶𝐶𝑇 Fn (0..^(#‘𝑇)))
9243, 44, 913syl 18 . . . . . 6 (𝜑𝑇 Fn (0..^(#‘𝑇)))
93 ssun2 3760 . . . . . . . 8 {(#‘𝑆)} ⊆ ((0..^(#‘𝑆)) ∪ {(#‘𝑆)})
9487snss 4291 . . . . . . . 8 ((#‘𝑆) ∈ ((0..^(#‘𝑆)) ∪ {(#‘𝑆)}) ↔ {(#‘𝑆)} ⊆ ((0..^(#‘𝑆)) ∪ {(#‘𝑆)}))
9593, 94mpbir 221 . . . . . . 7 (#‘𝑆) ∈ ((0..^(#‘𝑆)) ∪ {(#‘𝑆)})
9695, 71syl5eleqr 2711 . . . . . 6 (𝜑 → (#‘𝑆) ∈ (0..^(#‘𝑇)))
97 fnressn 6380 . . . . . 6 ((𝑇 Fn (0..^(#‘𝑇)) ∧ (#‘𝑆) ∈ (0..^(#‘𝑇))) → (𝑇 ↾ {(#‘𝑆)}) = {⟨(#‘𝑆), (𝑇‘(#‘𝑆))⟩})
9892, 96, 97syl2anc 692 . . . . 5 (𝜑 → (𝑇 ↾ {(#‘𝑆)}) = {⟨(#‘𝑆), (𝑇‘(#‘𝑆))⟩})
991fveq1i 6151 . . . . . . . . 9 (𝑇‘(#‘𝑆)) = ((𝑆 ++ ⟨“(𝐾‘{𝑋})”⟩)‘(#‘𝑆))
10052nn0cnd 11298 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (#‘𝑆) ∈ ℂ)
101100addid2d 10182 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (0 + (#‘𝑆)) = (#‘𝑆))
102101eqcomd 2632 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (#‘𝑆) = (0 + (#‘𝑆)))
103102fveq2d 6154 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ((𝑆 ++ ⟨“(𝐾‘{𝑋})”⟩)‘(#‘𝑆)) = ((𝑆 ++ ⟨“(𝐾‘{𝑋})”⟩)‘(0 + (#‘𝑆))))
10499, 103syl5eq 2672 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝑇‘(#‘𝑆)) = ((𝑆 ++ ⟨“(𝐾‘{𝑋})”⟩)‘(0 + (#‘𝑆))))
105 1nn 10976 . . . . . . . . . . . 12 1 ∈ ℕ
106105a1i 11 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → 1 ∈ ℕ)
10763, 106syl5eqel 2708 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (#‘⟨“(𝐾‘{𝑋})”⟩) ∈ ℕ)
108 lbfzo0 12445 . . . . . . . . . 10 (0 ∈ (0..^(#‘⟨“(𝐾‘{𝑋})”⟩)) ↔ (#‘⟨“(𝐾‘{𝑋})”⟩) ∈ ℕ)
109107, 108sylibr 224 . . . . . . . . 9 (𝜑 → 0 ∈ (0..^(#‘⟨“(𝐾‘{𝑋})”⟩)))
110 ccatval3 13297 . . . . . . . . 9 ((𝑆 ∈ Word 𝐶 ∧ ⟨“(𝐾‘{𝑋})”⟩ ∈ Word 𝐶 ∧ 0 ∈ (0..^(#‘⟨“(𝐾‘{𝑋})”⟩))) → ((𝑆 ++ ⟨“(𝐾‘{𝑋})”⟩)‘(0 + (#‘𝑆))) = (⟨“(𝐾‘{𝑋})”⟩‘0))
1112, 59, 109, 110syl3anc 1323 . . . . . . . 8 (𝜑 → ((𝑆 ++ ⟨“(𝐾‘{𝑋})”⟩)‘(0 + (#‘𝑆))) = (⟨“(𝐾‘{𝑋})”⟩‘0))
112 fvex 6160 . . . . . . . . 9 (𝐾‘{𝑋}) ∈ V
113 s1fv 13324 . . . . . . . . 9 ((𝐾‘{𝑋}) ∈ V → (⟨“(𝐾‘{𝑋})”⟩‘0) = (𝐾‘{𝑋}))
114112, 113mp1i 13 . . . . . . . 8 (𝜑 → (⟨“(𝐾‘{𝑋})”⟩‘0) = (𝐾‘{𝑋}))
115104, 111, 1143eqtrd 2664 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝑇‘(#‘𝑆)) = (𝐾‘{𝑋}))
116115opeq2d 4382 . . . . . 6 (𝜑 → ⟨(#‘𝑆), (𝑇‘(#‘𝑆))⟩ = ⟨(#‘𝑆), (𝐾‘{𝑋})⟩)
117116sneqd 4165 . . . . 5 (𝜑 → {⟨(#‘𝑆), (𝑇‘(#‘𝑆))⟩} = {⟨(#‘𝑆), (𝐾‘{𝑋})⟩})
11898, 117eqtrd 2660 . . . 4 (𝜑 → (𝑇 ↾ {(#‘𝑆)}) = {⟨(#‘𝑆), (𝐾‘{𝑋})⟩})
11990, 118breqtrrd 4646 . . 3 (𝜑𝐺dom DProd (𝑇 ↾ {(#‘𝑆)}))
120 pgpfac.g . . . 4 (𝜑𝐺 ∈ Abel)
121 dprdsubg 18339 . . . . 5 (𝐺dom DProd (𝑇 ↾ (0..^(#‘𝑆))) → (𝐺 DProd (𝑇 ↾ (0..^(#‘𝑆)))) ∈ (SubGrp‘𝐺))
12286, 121syl 17 . . . 4 (𝜑 → (𝐺 DProd (𝑇 ↾ (0..^(#‘𝑆)))) ∈ (SubGrp‘𝐺))
123 dprdsubg 18339 . . . . 5 (𝐺dom DProd (𝑇 ↾ {(#‘𝑆)}) → (𝐺 DProd (𝑇 ↾ {(#‘𝑆)})) ∈ (SubGrp‘𝐺))
124119, 123syl 17 . . . 4 (𝜑 → (𝐺 DProd (𝑇 ↾ {(#‘𝑆)})) ∈ (SubGrp‘𝐺))
12572, 120, 122, 124ablcntzd 18176 . . 3 (𝜑 → (𝐺 DProd (𝑇 ↾ (0..^(#‘𝑆)))) ⊆ ((Cntz‘𝐺)‘(𝐺 DProd (𝑇 ↾ {(#‘𝑆)}))))
126 pgpfac.i . . . 4 (𝜑 → ((𝐾‘{𝑋}) ∩ 𝑊) = { 0 })
12785oveq2d 6621 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝐺 DProd (𝑇 ↾ (0..^(#‘𝑆)))) = (𝐺 DProd 𝑆))
128 pgpfac.5 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝐺 DProd 𝑆) = 𝑊)
129127, 128eqtrd 2660 . . . . . 6 (𝜑 → (𝐺 DProd (𝑇 ↾ (0..^(#‘𝑆)))) = 𝑊)
130118oveq2d 6621 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝐺 DProd (𝑇 ↾ {(#‘𝑆)})) = (𝐺 DProd {⟨(#‘𝑆), (𝐾‘{𝑋})⟩}))
13189simprd 479 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝐺 DProd {⟨(#‘𝑆), (𝐾‘{𝑋})⟩}) = (𝐾‘{𝑋}))
132130, 131eqtrd 2660 . . . . . 6 (𝜑 → (𝐺 DProd (𝑇 ↾ {(#‘𝑆)})) = (𝐾‘{𝑋}))
133129, 132ineq12d 3798 . . . . 5 (𝜑 → ((𝐺 DProd (𝑇 ↾ (0..^(#‘𝑆)))) ∩ (𝐺 DProd (𝑇 ↾ {(#‘𝑆)}))) = (𝑊 ∩ (𝐾‘{𝑋})))
134 incom 3788 . . . . 5 (𝑊 ∩ (𝐾‘{𝑋})) = ((𝐾‘{𝑋}) ∩ 𝑊)
135133, 134syl6eq 2676 . . . 4 (𝜑 → ((𝐺 DProd (𝑇 ↾ (0..^(#‘𝑆)))) ∩ (𝐺 DProd (𝑇 ↾ {(#‘𝑆)}))) = ((𝐾‘{𝑋}) ∩ 𝑊))
1364, 73subg0 17516 . . . . . . 7 (𝑈 ∈ (SubGrp‘𝐺) → (0g𝐺) = (0g𝐻))
1373, 136syl 17 . . . . . 6 (𝜑 → (0g𝐺) = (0g𝐻))
138 pgpfac.0 . . . . . 6 0 = (0g𝐻)
139137, 138syl6eqr 2678 . . . . 5 (𝜑 → (0g𝐺) = 0 )
140139sneqd 4165 . . . 4 (𝜑 → {(0g𝐺)} = { 0 })
141126, 135, 1403eqtr4d 2670 . . 3 (𝜑 → ((𝐺 DProd (𝑇 ↾ (0..^(#‘𝑆)))) ∩ (𝐺 DProd (𝑇 ↾ {(#‘𝑆)}))) = {(0g𝐺)})
14249, 57, 71, 72, 73, 86, 119, 125, 141dmdprdsplit2 18361 . 2 (𝜑𝐺dom DProd 𝑇)
143 eqid 2626 . . . . 5 (LSSum‘𝐺) = (LSSum‘𝐺)
14449, 57, 71, 143, 142dprdsplit 18363 . . . 4 (𝜑 → (𝐺 DProd 𝑇) = ((𝐺 DProd (𝑇 ↾ (0..^(#‘𝑆))))(LSSum‘𝐺)(𝐺 DProd (𝑇 ↾ {(#‘𝑆)}))))
145129, 132oveq12d 6623 . . . 4 (𝜑 → ((𝐺 DProd (𝑇 ↾ (0..^(#‘𝑆))))(LSSum‘𝐺)(𝐺 DProd (𝑇 ↾ {(#‘𝑆)}))) = (𝑊(LSSum‘𝐺)(𝐾‘{𝑋})))
146129, 122eqeltrrd 2705 . . . . 5 (𝜑𝑊 ∈ (SubGrp‘𝐺))
147143lsmcom 18177 . . . . 5 ((𝐺 ∈ Abel ∧ 𝑊 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ (𝐾‘{𝑋}) ∈ (SubGrp‘𝐺)) → (𝑊(LSSum‘𝐺)(𝐾‘{𝑋})) = ((𝐾‘{𝑋})(LSSum‘𝐺)𝑊))
148120, 146, 21, 147syl3anc 1323 . . . 4 (𝜑 → (𝑊(LSSum‘𝐺)(𝐾‘{𝑋})) = ((𝐾‘{𝑋})(LSSum‘𝐺)𝑊))
149144, 145, 1483eqtrd 2664 . . 3 (𝜑 → (𝐺 DProd 𝑇) = ((𝐾‘{𝑋})(LSSum‘𝐺)𝑊))
150 pgpfac.w . . . . . 6 (𝜑𝑊 ∈ (SubGrp‘𝐻))
1517subgss 17511 . . . . . 6 (𝑊 ∈ (SubGrp‘𝐻) → 𝑊 ⊆ (Base‘𝐻))
152150, 151syl 17 . . . . 5 (𝜑𝑊 ⊆ (Base‘𝐻))
153152, 13sseqtr4d 3626 . . . 4 (𝜑𝑊𝑈)
154 pgpfac.l . . . . 5 = (LSSum‘𝐻)
1554, 143, 154subglsm 18002 . . . 4 ((𝑈 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ (𝐾‘{𝑋}) ⊆ 𝑈𝑊𝑈) → ((𝐾‘{𝑋})(LSSum‘𝐺)𝑊) = ((𝐾‘{𝑋}) 𝑊))
1563, 23, 153, 155syl3anc 1323 . . 3 (𝜑 → ((𝐾‘{𝑋})(LSSum‘𝐺)𝑊) = ((𝐾‘{𝑋}) 𝑊))
157 pgpfac.s . . 3 (𝜑 → ((𝐾‘{𝑋}) 𝑊) = 𝑈)
158149, 156, 1573eqtrd 2664 . 2 (𝜑 → (𝐺 DProd 𝑇) = 𝑈)
159 breq2 4622 . . . 4 (𝑠 = 𝑇 → (𝐺dom DProd 𝑠𝐺dom DProd 𝑇))
160 oveq2 6613 . . . . 5 (𝑠 = 𝑇 → (𝐺 DProd 𝑠) = (𝐺 DProd 𝑇))
161160eqeq1d 2628 . . . 4 (𝑠 = 𝑇 → ((𝐺 DProd 𝑠) = 𝑈 ↔ (𝐺 DProd 𝑇) = 𝑈))
162159, 161anbi12d 746 . . 3 (𝑠 = 𝑇 → ((𝐺dom DProd 𝑠 ∧ (𝐺 DProd 𝑠) = 𝑈) ↔ (𝐺dom DProd 𝑇 ∧ (𝐺 DProd 𝑇) = 𝑈)))
163162rspcev 3300 . 2 ((𝑇 ∈ Word 𝐶 ∧ (𝐺dom DProd 𝑇 ∧ (𝐺 DProd 𝑇) = 𝑈)) → ∃𝑠 ∈ Word 𝐶(𝐺dom DProd 𝑠 ∧ (𝐺 DProd 𝑠) = 𝑈))
16443, 142, 158, 163syl12anc 1321 1 (𝜑 → ∃𝑠 ∈ Word 𝐶(𝐺dom DProd 𝑠 ∧ (𝐺 DProd 𝑠) = 𝑈))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 196  wa 384   = wceq 1480  wcel 1992  wne 2796  wral 2912  wrex 2913  {crab 2916  Vcvv 3191  cun 3558  cin 3559  wss 3560  wpss 3561  c0 3896  {csn 4153  cop 4159   class class class wbr 4618  dom cdm 5079  ran crn 5080  cres 5081   Fn wfn 5845  wf 5846  cfv 5850  (class class class)co 6605  Fincfn 7900  0cc0 9881  1c1 9882   + caddc 9884  cn 10965  0cn0 11237  cz 11322  cuz 11631  ..^cfzo 12403  #chash 13054  Word cword 13225   ++ cconcat 13227  ⟨“cs1 13228  cprime 15304  Basecbs 15776  s cress 15777  0gc0g 16016  Moorecmre 16158  mrClscmrc 16159  ACScacs 16161  Grpcgrp 17338  SubGrpcsubg 17504  Cntzccntz 17664  odcod 17860  gExcgex 17861   pGrp cpgp 17862  LSSumclsm 17965  Abelcabl 18110  CycGrpccyg 18195   DProd cdprd 18308
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1719  ax-4 1734  ax-5 1841  ax-6 1890  ax-7 1937  ax-8 1994  ax-9 2001  ax-10 2021  ax-11 2036  ax-12 2049  ax-13 2250  ax-ext 2606  ax-rep 4736  ax-sep 4746  ax-nul 4754  ax-pow 4808  ax-pr 4872  ax-un 6903  ax-inf2 8483  ax-cnex 9937  ax-resscn 9938  ax-1cn 9939  ax-icn 9940  ax-addcl 9941  ax-addrcl 9942  ax-mulcl 9943  ax-mulrcl 9944  ax-mulcom 9945  ax-addass 9946  ax-mulass 9947  ax-distr 9948  ax-i2m1 9949  ax-1ne0 9950  ax-1rid 9951  ax-rnegex 9952  ax-rrecex 9953  ax-cnre 9954  ax-pre-lttri 9955  ax-pre-lttrn 9956  ax-pre-ltadd 9957  ax-pre-mulgt0 9958
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1037  df-3an 1038  df-tru 1483  df-ex 1702  df-nf 1707  df-sb 1883  df-eu 2478  df-mo 2479  df-clab 2613  df-cleq 2619  df-clel 2622  df-nfc 2756  df-ne 2797  df-nel 2900  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3193  df-sbc 3423  df-csb 3520  df-dif 3563  df-un 3565  df-in 3567  df-ss 3574  df-pss 3576  df-nul 3897  df-if 4064  df-pw 4137  df-sn 4154  df-pr 4156  df-tp 4158  df-op 4160  df-uni 4408  df-int 4446  df-iun 4492  df-iin 4493  df-br 4619  df-opab 4679  df-mpt 4680  df-tr 4718  df-eprel 4990  df-id 4994  df-po 5000  df-so 5001  df-fr 5038  df-se 5039  df-we 5040  df-xp 5085  df-rel 5086  df-cnv 5087  df-co 5088  df-dm 5089  df-rn 5090  df-res 5091  df-ima 5092  df-pred 5642  df-ord 5688  df-on 5689  df-lim 5690  df-suc 5691  df-iota 5813  df-fun 5852  df-fn 5853  df-f 5854  df-f1 5855  df-fo 5856  df-f1o 5857  df-fv 5858  df-isom 5859  df-riota 6566  df-ov 6608  df-oprab 6609  df-mpt2 6610  df-of 6851  df-om 7014  df-1st 7116  df-2nd 7117  df-supp 7242  df-tpos 7298  df-wrecs 7353  df-recs 7414  df-rdg 7452  df-1o 7506  df-oadd 7510  df-er 7688  df-map 7805  df-ixp 7854  df-en 7901  df-dom 7902  df-sdom 7903  df-fin 7904  df-fsupp 8221  df-sup 8293  df-inf 8294  df-oi 8360  df-card 8710  df-pnf 10021  df-mnf 10022  df-xr 10023  df-ltxr 10024  df-le 10025  df-sub 10213  df-neg 10214  df-nn 10966  df-2 11024  df-n0 11238  df-z 11323  df-uz 11632  df-fz 12266  df-fzo 12404  df-seq 12739  df-hash 13055  df-word 13233  df-concat 13235  df-s1 13236  df-ndx 15779  df-slot 15780  df-base 15781  df-sets 15782  df-ress 15783  df-plusg 15870  df-0g 16018  df-gsum 16019  df-mre 16162  df-mrc 16163  df-acs 16165  df-mgm 17158  df-sgrp 17200  df-mnd 17211  df-mhm 17251  df-submnd 17252  df-grp 17341  df-minusg 17342  df-sbg 17343  df-mulg 17457  df-subg 17507  df-ghm 17574  df-gim 17617  df-cntz 17666  df-oppg 17692  df-od 17864  df-pgp 17866  df-lsm 17967  df-cmn 18111  df-abl 18112  df-cyg 18196  df-dprd 18310
This theorem is referenced by:  pgpfaclem2  18397
  Copyright terms: Public domain W3C validator