Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  pgpfaclem2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem pgpfaclem2 18402
 Description: Lemma for pgpfac 18404. (Contributed by Mario Carneiro, 27-Apr-2016.) (Revised by Mario Carneiro, 3-May-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
pgpfac.b 𝐵 = (Base‘𝐺)
pgpfac.c 𝐶 = {𝑟 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∣ (𝐺s 𝑟) ∈ (CycGrp ∩ ran pGrp )}
pgpfac.g (𝜑𝐺 ∈ Abel)
pgpfac.p (𝜑𝑃 pGrp 𝐺)
pgpfac.f (𝜑𝐵 ∈ Fin)
pgpfac.u (𝜑𝑈 ∈ (SubGrp‘𝐺))
pgpfac.a (𝜑 → ∀𝑡 ∈ (SubGrp‘𝐺)(𝑡𝑈 → ∃𝑠 ∈ Word 𝐶(𝐺dom DProd 𝑠 ∧ (𝐺 DProd 𝑠) = 𝑡)))
pgpfac.h 𝐻 = (𝐺s 𝑈)
pgpfac.k 𝐾 = (mrCls‘(SubGrp‘𝐻))
pgpfac.o 𝑂 = (od‘𝐻)
pgpfac.e 𝐸 = (gEx‘𝐻)
pgpfac.0 0 = (0g𝐻)
pgpfac.l = (LSSum‘𝐻)
pgpfac.1 (𝜑𝐸 ≠ 1)
pgpfac.x (𝜑𝑋𝑈)
pgpfac.oe (𝜑 → (𝑂𝑋) = 𝐸)
pgpfac.w (𝜑𝑊 ∈ (SubGrp‘𝐻))
pgpfac.i (𝜑 → ((𝐾‘{𝑋}) ∩ 𝑊) = { 0 })
pgpfac.s (𝜑 → ((𝐾‘{𝑋}) 𝑊) = 𝑈)
Assertion
Ref Expression
pgpfaclem2 (𝜑 → ∃𝑠 ∈ Word 𝐶(𝐺dom DProd 𝑠 ∧ (𝐺 DProd 𝑠) = 𝑈))
Distinct variable groups:   𝑡,𝑠,𝐶   𝑠,𝑟,𝑡,𝐺   𝐾,𝑟,𝑠   𝜑,𝑡   𝐵,𝑠,𝑡   𝑈,𝑟,𝑠,𝑡   𝑊,𝑠,𝑡   𝑋,𝑟,𝑠
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑠,𝑟)   𝐵(𝑟)   𝐶(𝑟)   𝑃(𝑡,𝑠,𝑟)   (𝑡,𝑠,𝑟)   𝐸(𝑡,𝑠,𝑟)   𝐻(𝑡,𝑠,𝑟)   𝐾(𝑡)   𝑂(𝑡,𝑠,𝑟)   𝑊(𝑟)   𝑋(𝑡)   0 (𝑡,𝑠,𝑟)

Proof of Theorem pgpfaclem2
Dummy variable 𝑎 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 pgpfac.w . . . . . 6 (𝜑𝑊 ∈ (SubGrp‘𝐻))
2 pgpfac.u . . . . . . 7 (𝜑𝑈 ∈ (SubGrp‘𝐺))
3 pgpfac.h . . . . . . . 8 𝐻 = (𝐺s 𝑈)
43subsubg 17538 . . . . . . 7 (𝑈 ∈ (SubGrp‘𝐺) → (𝑊 ∈ (SubGrp‘𝐻) ↔ (𝑊 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑊𝑈)))
52, 4syl 17 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑊 ∈ (SubGrp‘𝐻) ↔ (𝑊 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑊𝑈)))
61, 5mpbid 222 . . . . 5 (𝜑 → (𝑊 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑊𝑈))
76simpld 475 . . . 4 (𝜑𝑊 ∈ (SubGrp‘𝐺))
8 pgpfac.a . . . 4 (𝜑 → ∀𝑡 ∈ (SubGrp‘𝐺)(𝑡𝑈 → ∃𝑠 ∈ Word 𝐶(𝐺dom DProd 𝑠 ∧ (𝐺 DProd 𝑠) = 𝑡)))
96simprd 479 . . . . 5 (𝜑𝑊𝑈)
10 pgpfac.f . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝐵 ∈ Fin)
11 pgpfac.b . . . . . . . . . . . . 13 𝐵 = (Base‘𝐺)
1211subgss 17516 . . . . . . . . . . . 12 (𝑈 ∈ (SubGrp‘𝐺) → 𝑈𝐵)
132, 12syl 17 . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝑈𝐵)
14 ssfi 8124 . . . . . . . . . . 11 ((𝐵 ∈ Fin ∧ 𝑈𝐵) → 𝑈 ∈ Fin)
1510, 13, 14syl2anc 692 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝑈 ∈ Fin)
16 ssfi 8124 . . . . . . . . . 10 ((𝑈 ∈ Fin ∧ 𝑊𝑈) → 𝑊 ∈ Fin)
1715, 9, 16syl2anc 692 . . . . . . . . 9 (𝜑𝑊 ∈ Fin)
18 hashcl 13087 . . . . . . . . 9 (𝑊 ∈ Fin → (#‘𝑊) ∈ ℕ0)
1917, 18syl 17 . . . . . . . 8 (𝜑 → (#‘𝑊) ∈ ℕ0)
2019nn0red 11296 . . . . . . 7 (𝜑 → (#‘𝑊) ∈ ℝ)
21 pgpfac.0 . . . . . . . . . . . 12 0 = (0g𝐻)
22 fvex 6158 . . . . . . . . . . . 12 (0g𝐻) ∈ V
2321, 22eqeltri 2694 . . . . . . . . . . 11 0 ∈ V
24 hashsng 13099 . . . . . . . . . . 11 ( 0 ∈ V → (#‘{ 0 }) = 1)
2523, 24ax-mp 5 . . . . . . . . . 10 (#‘{ 0 }) = 1
26 subgrcl 17520 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑊 ∈ (SubGrp‘𝐻) → 𝐻 ∈ Grp)
27 eqid 2621 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (Base‘𝐻) = (Base‘𝐻)
2827subgacs 17550 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝐻 ∈ Grp → (SubGrp‘𝐻) ∈ (ACS‘(Base‘𝐻)))
29 acsmre 16234 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((SubGrp‘𝐻) ∈ (ACS‘(Base‘𝐻)) → (SubGrp‘𝐻) ∈ (Moore‘(Base‘𝐻)))
301, 26, 28, 294syl 19 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → (SubGrp‘𝐻) ∈ (Moore‘(Base‘𝐻)))
31 pgpfac.k . . . . . . . . . . . . . . 15 𝐾 = (mrCls‘(SubGrp‘𝐻))
3230, 31mrcssvd 16204 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → (𝐾‘{𝑋}) ⊆ (Base‘𝐻))
333subgbas 17519 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑈 ∈ (SubGrp‘𝐺) → 𝑈 = (Base‘𝐻))
342, 33syl 17 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑𝑈 = (Base‘𝐻))
3532, 34sseqtr4d 3621 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → (𝐾‘{𝑋}) ⊆ 𝑈)
36 ssfi 8124 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑈 ∈ Fin ∧ (𝐾‘{𝑋}) ⊆ 𝑈) → (𝐾‘{𝑋}) ∈ Fin)
3715, 35, 36syl2anc 692 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (𝐾‘{𝑋}) ∈ Fin)
38 pgpfac.x . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝜑𝑋𝑈)
3938, 34eleqtrd 2700 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑𝑋 ∈ (Base‘𝐻))
4031mrcsncl 16193 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((SubGrp‘𝐻) ∈ (Moore‘(Base‘𝐻)) ∧ 𝑋 ∈ (Base‘𝐻)) → (𝐾‘{𝑋}) ∈ (SubGrp‘𝐻))
4130, 39, 40syl2anc 692 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → (𝐾‘{𝑋}) ∈ (SubGrp‘𝐻))
4221subg0cl 17523 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝐾‘{𝑋}) ∈ (SubGrp‘𝐻) → 0 ∈ (𝐾‘{𝑋}))
4341, 42syl 17 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑0 ∈ (𝐾‘{𝑋}))
4443snssd 4309 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → { 0 } ⊆ (𝐾‘{𝑋}))
4539snssd 4309 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → {𝑋} ⊆ (Base‘𝐻))
4630, 31, 45mrcssidd 16206 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → {𝑋} ⊆ (𝐾‘{𝑋}))
47 snssg 4296 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑋𝑈 → (𝑋 ∈ (𝐾‘{𝑋}) ↔ {𝑋} ⊆ (𝐾‘{𝑋})))
4838, 47syl 17 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → (𝑋 ∈ (𝐾‘{𝑋}) ↔ {𝑋} ⊆ (𝐾‘{𝑋})))
4946, 48mpbird 247 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑𝑋 ∈ (𝐾‘{𝑋}))
50 pgpfac.oe . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → (𝑂𝑋) = 𝐸)
51 pgpfac.1 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑𝐸 ≠ 1)
5250, 51eqnetrd 2857 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → (𝑂𝑋) ≠ 1)
53 pgpfac.o . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 𝑂 = (od‘𝐻)
5453, 21od1 17897 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝐻 ∈ Grp → (𝑂0 ) = 1)
551, 26, 543syl 18 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑 → (𝑂0 ) = 1)
56 elsni 4165 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑋 ∈ { 0 } → 𝑋 = 0 )
5756fveq2d 6152 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑋 ∈ { 0 } → (𝑂𝑋) = (𝑂0 ))
5857eqeq1d 2623 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑋 ∈ { 0 } → ((𝑂𝑋) = 1 ↔ (𝑂0 ) = 1))
5955, 58syl5ibrcom 237 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → (𝑋 ∈ { 0 } → (𝑂𝑋) = 1))
6059necon3ad 2803 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → ((𝑂𝑋) ≠ 1 → ¬ 𝑋 ∈ { 0 }))
6152, 60mpd 15 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → ¬ 𝑋 ∈ { 0 })
6244, 49, 61ssnelpssd 3697 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → { 0 } ⊊ (𝐾‘{𝑋}))
63 php3 8090 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐾‘{𝑋}) ∈ Fin ∧ { 0 } ⊊ (𝐾‘{𝑋})) → { 0 } ≺ (𝐾‘{𝑋}))
6437, 62, 63syl2anc 692 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → { 0 } ≺ (𝐾‘{𝑋}))
65 snfi 7982 . . . . . . . . . . . 12 { 0 } ∈ Fin
66 hashsdom 13110 . . . . . . . . . . . 12 (({ 0 } ∈ Fin ∧ (𝐾‘{𝑋}) ∈ Fin) → ((#‘{ 0 }) < (#‘(𝐾‘{𝑋})) ↔ { 0 } ≺ (𝐾‘{𝑋})))
6765, 37, 66sylancr 694 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → ((#‘{ 0 }) < (#‘(𝐾‘{𝑋})) ↔ { 0 } ≺ (𝐾‘{𝑋})))
6864, 67mpbird 247 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (#‘{ 0 }) < (#‘(𝐾‘{𝑋})))
6925, 68syl5eqbrr 4649 . . . . . . . . 9 (𝜑 → 1 < (#‘(𝐾‘{𝑋})))
70 1red 9999 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → 1 ∈ ℝ)
71 hashcl 13087 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐾‘{𝑋}) ∈ Fin → (#‘(𝐾‘{𝑋})) ∈ ℕ0)
7237, 71syl 17 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (#‘(𝐾‘{𝑋})) ∈ ℕ0)
7372nn0red 11296 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (#‘(𝐾‘{𝑋})) ∈ ℝ)
7421subg0cl 17523 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑊 ∈ (SubGrp‘𝐻) → 0𝑊)
75 ne0i 3897 . . . . . . . . . . . . 13 ( 0𝑊𝑊 ≠ ∅)
761, 74, 753syl 18 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑𝑊 ≠ ∅)
77 hashnncl 13097 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑊 ∈ Fin → ((#‘𝑊) ∈ ℕ ↔ 𝑊 ≠ ∅))
7817, 77syl 17 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → ((#‘𝑊) ∈ ℕ ↔ 𝑊 ≠ ∅))
7976, 78mpbird 247 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (#‘𝑊) ∈ ℕ)
8079nngt0d 11008 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → 0 < (#‘𝑊))
81 ltmul1 10817 . . . . . . . . . 10 ((1 ∈ ℝ ∧ (#‘(𝐾‘{𝑋})) ∈ ℝ ∧ ((#‘𝑊) ∈ ℝ ∧ 0 < (#‘𝑊))) → (1 < (#‘(𝐾‘{𝑋})) ↔ (1 · (#‘𝑊)) < ((#‘(𝐾‘{𝑋})) · (#‘𝑊))))
8270, 73, 20, 80, 81syl112anc 1327 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (1 < (#‘(𝐾‘{𝑋})) ↔ (1 · (#‘𝑊)) < ((#‘(𝐾‘{𝑋})) · (#‘𝑊))))
8369, 82mpbid 222 . . . . . . . 8 (𝜑 → (1 · (#‘𝑊)) < ((#‘(𝐾‘{𝑋})) · (#‘𝑊)))
8420recnd 10012 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (#‘𝑊) ∈ ℂ)
8584mulid2d 10002 . . . . . . . 8 (𝜑 → (1 · (#‘𝑊)) = (#‘𝑊))
86 pgpfac.l . . . . . . . . . 10 = (LSSum‘𝐻)
87 eqid 2621 . . . . . . . . . 10 (Cntz‘𝐻) = (Cntz‘𝐻)
88 pgpfac.i . . . . . . . . . 10 (𝜑 → ((𝐾‘{𝑋}) ∩ 𝑊) = { 0 })
89 pgpfac.g . . . . . . . . . . . 12 (𝜑𝐺 ∈ Abel)
903subgabl 18162 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐺 ∈ Abel ∧ 𝑈 ∈ (SubGrp‘𝐺)) → 𝐻 ∈ Abel)
9189, 2, 90syl2anc 692 . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝐻 ∈ Abel)
9287, 91, 41, 1ablcntzd 18181 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝐾‘{𝑋}) ⊆ ((Cntz‘𝐻)‘𝑊))
9386, 21, 87, 41, 1, 88, 92, 37, 17lsmhash 18039 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (#‘((𝐾‘{𝑋}) 𝑊)) = ((#‘(𝐾‘{𝑋})) · (#‘𝑊)))
94 pgpfac.s . . . . . . . . . 10 (𝜑 → ((𝐾‘{𝑋}) 𝑊) = 𝑈)
9594fveq2d 6152 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (#‘((𝐾‘{𝑋}) 𝑊)) = (#‘𝑈))
9693, 95eqtr3d 2657 . . . . . . . 8 (𝜑 → ((#‘(𝐾‘{𝑋})) · (#‘𝑊)) = (#‘𝑈))
9783, 85, 963brtr3d 4644 . . . . . . 7 (𝜑 → (#‘𝑊) < (#‘𝑈))
9820, 97ltned 10117 . . . . . 6 (𝜑 → (#‘𝑊) ≠ (#‘𝑈))
99 fveq2 6148 . . . . . . 7 (𝑊 = 𝑈 → (#‘𝑊) = (#‘𝑈))
10099necon3i 2822 . . . . . 6 ((#‘𝑊) ≠ (#‘𝑈) → 𝑊𝑈)
10198, 100syl 17 . . . . 5 (𝜑𝑊𝑈)
102 df-pss 3571 . . . . 5 (𝑊𝑈 ↔ (𝑊𝑈𝑊𝑈))
1039, 101, 102sylanbrc 697 . . . 4 (𝜑𝑊𝑈)
104 psseq1 3672 . . . . . 6 (𝑡 = 𝑊 → (𝑡𝑈𝑊𝑈))
105 eqeq2 2632 . . . . . . . 8 (𝑡 = 𝑊 → ((𝐺 DProd 𝑠) = 𝑡 ↔ (𝐺 DProd 𝑠) = 𝑊))
106105anbi2d 739 . . . . . . 7 (𝑡 = 𝑊 → ((𝐺dom DProd 𝑠 ∧ (𝐺 DProd 𝑠) = 𝑡) ↔ (𝐺dom DProd 𝑠 ∧ (𝐺 DProd 𝑠) = 𝑊)))
107106rexbidv 3045 . . . . . 6 (𝑡 = 𝑊 → (∃𝑠 ∈ Word 𝐶(𝐺dom DProd 𝑠 ∧ (𝐺 DProd 𝑠) = 𝑡) ↔ ∃𝑠 ∈ Word 𝐶(𝐺dom DProd 𝑠 ∧ (𝐺 DProd 𝑠) = 𝑊)))
108104, 107imbi12d 334 . . . . 5 (𝑡 = 𝑊 → ((𝑡𝑈 → ∃𝑠 ∈ Word 𝐶(𝐺dom DProd 𝑠 ∧ (𝐺 DProd 𝑠) = 𝑡)) ↔ (𝑊𝑈 → ∃𝑠 ∈ Word 𝐶(𝐺dom DProd 𝑠 ∧ (𝐺 DProd 𝑠) = 𝑊))))
109108rspcv 3291 . . . 4 (𝑊 ∈ (SubGrp‘𝐺) → (∀𝑡 ∈ (SubGrp‘𝐺)(𝑡𝑈 → ∃𝑠 ∈ Word 𝐶(𝐺dom DProd 𝑠 ∧ (𝐺 DProd 𝑠) = 𝑡)) → (𝑊𝑈 → ∃𝑠 ∈ Word 𝐶(𝐺dom DProd 𝑠 ∧ (𝐺 DProd 𝑠) = 𝑊))))
1107, 8, 103, 109syl3c 66 . . 3 (𝜑 → ∃𝑠 ∈ Word 𝐶(𝐺dom DProd 𝑠 ∧ (𝐺 DProd 𝑠) = 𝑊))
111 breq2 4617 . . . . 5 (𝑠 = 𝑎 → (𝐺dom DProd 𝑠𝐺dom DProd 𝑎))
112 oveq2 6612 . . . . . 6 (𝑠 = 𝑎 → (𝐺 DProd 𝑠) = (𝐺 DProd 𝑎))
113112eqeq1d 2623 . . . . 5 (𝑠 = 𝑎 → ((𝐺 DProd 𝑠) = 𝑊 ↔ (𝐺 DProd 𝑎) = 𝑊))
114111, 113anbi12d 746 . . . 4 (𝑠 = 𝑎 → ((𝐺dom DProd 𝑠 ∧ (𝐺 DProd 𝑠) = 𝑊) ↔ (𝐺dom DProd 𝑎 ∧ (𝐺 DProd 𝑎) = 𝑊)))
115114cbvrexv 3160 . . 3 (∃𝑠 ∈ Word 𝐶(𝐺dom DProd 𝑠 ∧ (𝐺 DProd 𝑠) = 𝑊) ↔ ∃𝑎 ∈ Word 𝐶(𝐺dom DProd 𝑎 ∧ (𝐺 DProd 𝑎) = 𝑊))
116110, 115sylib 208 . 2 (𝜑 → ∃𝑎 ∈ Word 𝐶(𝐺dom DProd 𝑎 ∧ (𝐺 DProd 𝑎) = 𝑊))
117 pgpfac.c . . 3 𝐶 = {𝑟 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∣ (𝐺s 𝑟) ∈ (CycGrp ∩ ran pGrp )}
11889adantr 481 . . 3 ((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ Word 𝐶 ∧ (𝐺dom DProd 𝑎 ∧ (𝐺 DProd 𝑎) = 𝑊))) → 𝐺 ∈ Abel)
119 pgpfac.p . . . 4 (𝜑𝑃 pGrp 𝐺)
120119adantr 481 . . 3 ((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ Word 𝐶 ∧ (𝐺dom DProd 𝑎 ∧ (𝐺 DProd 𝑎) = 𝑊))) → 𝑃 pGrp 𝐺)
12110adantr 481 . . 3 ((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ Word 𝐶 ∧ (𝐺dom DProd 𝑎 ∧ (𝐺 DProd 𝑎) = 𝑊))) → 𝐵 ∈ Fin)
1222adantr 481 . . 3 ((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ Word 𝐶 ∧ (𝐺dom DProd 𝑎 ∧ (𝐺 DProd 𝑎) = 𝑊))) → 𝑈 ∈ (SubGrp‘𝐺))
1238adantr 481 . . 3 ((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ Word 𝐶 ∧ (𝐺dom DProd 𝑎 ∧ (𝐺 DProd 𝑎) = 𝑊))) → ∀𝑡 ∈ (SubGrp‘𝐺)(𝑡𝑈 → ∃𝑠 ∈ Word 𝐶(𝐺dom DProd 𝑠 ∧ (𝐺 DProd 𝑠) = 𝑡)))
124 pgpfac.e . . 3 𝐸 = (gEx‘𝐻)
12551adantr 481 . . 3 ((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ Word 𝐶 ∧ (𝐺dom DProd 𝑎 ∧ (𝐺 DProd 𝑎) = 𝑊))) → 𝐸 ≠ 1)
12638adantr 481 . . 3 ((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ Word 𝐶 ∧ (𝐺dom DProd 𝑎 ∧ (𝐺 DProd 𝑎) = 𝑊))) → 𝑋𝑈)
12750adantr 481 . . 3 ((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ Word 𝐶 ∧ (𝐺dom DProd 𝑎 ∧ (𝐺 DProd 𝑎) = 𝑊))) → (𝑂𝑋) = 𝐸)
1281adantr 481 . . 3 ((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ Word 𝐶 ∧ (𝐺dom DProd 𝑎 ∧ (𝐺 DProd 𝑎) = 𝑊))) → 𝑊 ∈ (SubGrp‘𝐻))
12988adantr 481 . . 3 ((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ Word 𝐶 ∧ (𝐺dom DProd 𝑎 ∧ (𝐺 DProd 𝑎) = 𝑊))) → ((𝐾‘{𝑋}) ∩ 𝑊) = { 0 })
13094adantr 481 . . 3 ((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ Word 𝐶 ∧ (𝐺dom DProd 𝑎 ∧ (𝐺 DProd 𝑎) = 𝑊))) → ((𝐾‘{𝑋}) 𝑊) = 𝑈)
131 simprl 793 . . 3 ((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ Word 𝐶 ∧ (𝐺dom DProd 𝑎 ∧ (𝐺 DProd 𝑎) = 𝑊))) → 𝑎 ∈ Word 𝐶)
132 simprrl 803 . . 3 ((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ Word 𝐶 ∧ (𝐺dom DProd 𝑎 ∧ (𝐺 DProd 𝑎) = 𝑊))) → 𝐺dom DProd 𝑎)
133 simprrr 804 . . 3 ((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ Word 𝐶 ∧ (𝐺dom DProd 𝑎 ∧ (𝐺 DProd 𝑎) = 𝑊))) → (𝐺 DProd 𝑎) = 𝑊)
134 eqid 2621 . . 3 (𝑎 ++ ⟨“(𝐾‘{𝑋})”⟩) = (𝑎 ++ ⟨“(𝐾‘{𝑋})”⟩)
13511, 117, 118, 120, 121, 122, 123, 3, 31, 53, 124, 21, 86, 125, 126, 127, 128, 129, 130, 131, 132, 133, 134pgpfaclem1 18401 . 2 ((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ Word 𝐶 ∧ (𝐺dom DProd 𝑎 ∧ (𝐺 DProd 𝑎) = 𝑊))) → ∃𝑠 ∈ Word 𝐶(𝐺dom DProd 𝑠 ∧ (𝐺 DProd 𝑠) = 𝑈))
136116, 135rexlimddv 3028 1 (𝜑 → ∃𝑠 ∈ Word 𝐶(𝐺dom DProd 𝑠 ∧ (𝐺 DProd 𝑠) = 𝑈))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 196   ∧ wa 384   = wceq 1480   ∈ wcel 1987   ≠ wne 2790  ∀wral 2907  ∃wrex 2908  {crab 2911  Vcvv 3186   ∩ cin 3554   ⊆ wss 3555   ⊊ wpss 3556  ∅c0 3891  {csn 4148   class class class wbr 4613  dom cdm 5074  ran crn 5075  ‘cfv 5847  (class class class)co 6604   ≺ csdm 7898  Fincfn 7899  ℝcr 9879  0cc0 9880  1c1 9881   · cmul 9885   < clt 10018  ℕcn 10964  ℕ0cn0 11236  #chash 13057  Word cword 13230   ++ cconcat 13232  ⟨“cs1 13233  Basecbs 15781   ↾s cress 15782  0gc0g 16021  Moorecmre 16163  mrClscmrc 16164  ACScacs 16166  Grpcgrp 17343  SubGrpcsubg 17509  Cntzccntz 17669  odcod 17865  gExcgex 17866   pGrp cpgp 17867  LSSumclsm 17970  Abelcabl 18115  CycGrpccyg 18200   DProd cdprd 18313 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1719  ax-4 1734  ax-5 1836  ax-6 1885  ax-7 1932  ax-8 1989  ax-9 1996  ax-10 2016  ax-11 2031  ax-12 2044  ax-13 2245  ax-ext 2601  ax-rep 4731  ax-sep 4741  ax-nul 4749  ax-pow 4803  ax-pr 4867  ax-un 6902  ax-inf2 8482  ax-cnex 9936  ax-resscn 9937  ax-1cn 9938  ax-icn 9939  ax-addcl 9940  ax-addrcl 9941  ax-mulcl 9942  ax-mulrcl 9943  ax-mulcom 9944  ax-addass 9945  ax-mulass 9946  ax-distr 9947  ax-i2m1 9948  ax-1ne0 9949  ax-1rid 9950  ax-rnegex 9951  ax-rrecex 9952  ax-cnre 9953  ax-pre-lttri 9954  ax-pre-lttrn 9955  ax-pre-ltadd 9956  ax-pre-mulgt0 9957 This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1037  df-3an 1038  df-tru 1483  df-ex 1702  df-nf 1707  df-sb 1878  df-eu 2473  df-mo 2474  df-clab 2608  df-cleq 2614  df-clel 2617  df-nfc 2750  df-ne 2791  df-nel 2894  df-ral 2912  df-rex 2913  df-reu 2914  df-rmo 2915  df-rab 2916  df-v 3188  df-sbc 3418  df-csb 3515  df-dif 3558  df-un 3560  df-in 3562  df-ss 3569  df-pss 3571  df-nul 3892  df-if 4059  df-pw 4132  df-sn 4149  df-pr 4151  df-tp 4153  df-op 4155  df-uni 4403  df-int 4441  df-iun 4487  df-iin 4488  df-br 4614  df-opab 4674  df-mpt 4675  df-tr 4713  df-eprel 4985  df-id 4989  df-po 4995  df-so 4996  df-fr 5033  df-se 5034  df-we 5035  df-xp 5080  df-rel 5081  df-cnv 5082  df-co 5083  df-dm 5084  df-rn 5085  df-res 5086  df-ima 5087  df-pred 5639  df-ord 5685  df-on 5686  df-lim 5687  df-suc 5688  df-iota 5810  df-fun 5849  df-fn 5850  df-f 5851  df-f1 5852  df-fo 5853  df-f1o 5854  df-fv 5855  df-isom 5856  df-riota 6565  df-ov 6607  df-oprab 6608  df-mpt2 6609  df-of 6850  df-om 7013  df-1st 7113  df-2nd 7114  df-supp 7241  df-tpos 7297  df-wrecs 7352  df-recs 7413  df-rdg 7451  df-1o 7505  df-oadd 7509  df-er 7687  df-map 7804  df-ixp 7853  df-en 7900  df-dom 7901  df-sdom 7902  df-fin 7903  df-fsupp 8220  df-sup 8292  df-inf 8293  df-oi 8359  df-card 8709  df-cda 8934  df-pnf 10020  df-mnf 10021  df-xr 10022  df-ltxr 10023  df-le 10024  df-sub 10212  df-neg 10213  df-nn 10965  df-2 11023  df-n0 11237  df-xnn0 11308  df-z 11322  df-uz 11632  df-fz 12269  df-fzo 12407  df-seq 12742  df-hash 13058  df-word 13238  df-concat 13240  df-s1 13241  df-ndx 15784  df-slot 15785  df-base 15786  df-sets 15787  df-ress 15788  df-plusg 15875  df-0g 16023  df-gsum 16024  df-mre 16167  df-mrc 16168  df-acs 16170  df-mgm 17163  df-sgrp 17205  df-mnd 17216  df-mhm 17256  df-submnd 17257  df-grp 17346  df-minusg 17347  df-sbg 17348  df-mulg 17462  df-subg 17512  df-ghm 17579  df-gim 17622  df-cntz 17671  df-oppg 17697  df-od 17869  df-pgp 17871  df-lsm 17972  df-pj1 17973  df-cmn 18116  df-abl 18117  df-cyg 18201  df-dprd 18315 This theorem is referenced by:  pgpfaclem3  18403
 Copyright terms: Public domain W3C validator