Users' Mathboxes Mathbox for Alexander van der Vekens < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  pgrple2abl Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem pgrple2abl 41431
Description: Every symmetric group on a set with at most 2 elements is abelian. (Contributed by AV, 16-Mar-2019.)
Hypothesis
Ref Expression
pgrple2abl.g 𝐺 = (SymGrp‘𝐴)
Assertion
Ref Expression
pgrple2abl ((𝐴𝑉 ∧ (#‘𝐴) ≤ 2) → 𝐺 ∈ Abel)

Proof of Theorem pgrple2abl
StepHypRef Expression
1 pgrple2abl.g . . . 4 𝐺 = (SymGrp‘𝐴)
21symggrp 17741 . . 3 (𝐴𝑉𝐺 ∈ Grp)
32adantr 481 . 2 ((𝐴𝑉 ∧ (#‘𝐴) ≤ 2) → 𝐺 ∈ Grp)
4 2nn0 11253 . . . . 5 2 ∈ ℕ0
5 hashbnd 13063 . . . . 5 ((𝐴𝑉 ∧ 2 ∈ ℕ0 ∧ (#‘𝐴) ≤ 2) → 𝐴 ∈ Fin)
64, 5mp3an2 1409 . . . 4 ((𝐴𝑉 ∧ (#‘𝐴) ≤ 2) → 𝐴 ∈ Fin)
7 eqid 2621 . . . . 5 (Base‘𝐺) = (Base‘𝐺)
81, 7symghash 17726 . . . 4 (𝐴 ∈ Fin → (#‘(Base‘𝐺)) = (!‘(#‘𝐴)))
96, 8syl 17 . . 3 ((𝐴𝑉 ∧ (#‘𝐴) ≤ 2) → (#‘(Base‘𝐺)) = (!‘(#‘𝐴)))
10 hashcl 13087 . . . . . . 7 (𝐴 ∈ Fin → (#‘𝐴) ∈ ℕ0)
116, 10syl 17 . . . . . 6 ((𝐴𝑉 ∧ (#‘𝐴) ≤ 2) → (#‘𝐴) ∈ ℕ0)
12 faccl 13010 . . . . . 6 ((#‘𝐴) ∈ ℕ0 → (!‘(#‘𝐴)) ∈ ℕ)
1311, 12syl 17 . . . . 5 ((𝐴𝑉 ∧ (#‘𝐴) ≤ 2) → (!‘(#‘𝐴)) ∈ ℕ)
1413nnred 10979 . . . 4 ((𝐴𝑉 ∧ (#‘𝐴) ≤ 2) → (!‘(#‘𝐴)) ∈ ℝ)
1511, 11nn0expcld 12971 . . . . 5 ((𝐴𝑉 ∧ (#‘𝐴) ≤ 2) → ((#‘𝐴)↑(#‘𝐴)) ∈ ℕ0)
1615nn0red 11296 . . . 4 ((𝐴𝑉 ∧ (#‘𝐴) ≤ 2) → ((#‘𝐴)↑(#‘𝐴)) ∈ ℝ)
17 6re 11045 . . . . 5 6 ∈ ℝ
1817a1i 11 . . . 4 ((𝐴𝑉 ∧ (#‘𝐴) ≤ 2) → 6 ∈ ℝ)
19 facubnd 13027 . . . . 5 ((#‘𝐴) ∈ ℕ0 → (!‘(#‘𝐴)) ≤ ((#‘𝐴)↑(#‘𝐴)))
2011, 19syl 17 . . . 4 ((𝐴𝑉 ∧ (#‘𝐴) ≤ 2) → (!‘(#‘𝐴)) ≤ ((#‘𝐴)↑(#‘𝐴)))
21 exple2lt6 41430 . . . . 5 (((#‘𝐴) ∈ ℕ0 ∧ (#‘𝐴) ≤ 2) → ((#‘𝐴)↑(#‘𝐴)) < 6)
2211, 21sylancom 700 . . . 4 ((𝐴𝑉 ∧ (#‘𝐴) ≤ 2) → ((#‘𝐴)↑(#‘𝐴)) < 6)
2314, 16, 18, 20, 22lelttrd 10139 . . 3 ((𝐴𝑉 ∧ (#‘𝐴) ≤ 2) → (!‘(#‘𝐴)) < 6)
249, 23eqbrtrd 4635 . 2 ((𝐴𝑉 ∧ (#‘𝐴) ≤ 2) → (#‘(Base‘𝐺)) < 6)
257lt6abl 18217 . 2 ((𝐺 ∈ Grp ∧ (#‘(Base‘𝐺)) < 6) → 𝐺 ∈ Abel)
263, 24, 25syl2anc 692 1 ((𝐴𝑉 ∧ (#‘𝐴) ≤ 2) → 𝐺 ∈ Abel)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 384   = wceq 1480  wcel 1987   class class class wbr 4613  cfv 5847  (class class class)co 6604  Fincfn 7899  cr 9879   < clt 10018  cle 10019  cn 10964  2c2 11014  6c6 11018  0cn0 11236  cexp 12800  !cfa 13000  #chash 13057  Basecbs 15781  Grpcgrp 17343  SymGrpcsymg 17718  Abelcabl 18115
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1719  ax-4 1734  ax-5 1836  ax-6 1885  ax-7 1932  ax-8 1989  ax-9 1996  ax-10 2016  ax-11 2031  ax-12 2044  ax-13 2245  ax-ext 2601  ax-rep 4731  ax-sep 4741  ax-nul 4749  ax-pow 4803  ax-pr 4867  ax-un 6902  ax-inf2 8482  ax-cnex 9936  ax-resscn 9937  ax-1cn 9938  ax-icn 9939  ax-addcl 9940  ax-addrcl 9941  ax-mulcl 9942  ax-mulrcl 9943  ax-mulcom 9944  ax-addass 9945  ax-mulass 9946  ax-distr 9947  ax-i2m1 9948  ax-1ne0 9949  ax-1rid 9950  ax-rnegex 9951  ax-rrecex 9952  ax-cnre 9953  ax-pre-lttri 9954  ax-pre-lttrn 9955  ax-pre-ltadd 9956  ax-pre-mulgt0 9957  ax-pre-sup 9958
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1037  df-3an 1038  df-tru 1483  df-fal 1486  df-ex 1702  df-nf 1707  df-sb 1878  df-eu 2473  df-mo 2474  df-clab 2608  df-cleq 2614  df-clel 2617  df-nfc 2750  df-ne 2791  df-nel 2894  df-ral 2912  df-rex 2913  df-reu 2914  df-rmo 2915  df-rab 2916  df-v 3188  df-sbc 3418  df-csb 3515  df-dif 3558  df-un 3560  df-in 3562  df-ss 3569  df-pss 3571  df-nul 3892  df-if 4059  df-pw 4132  df-sn 4149  df-pr 4151  df-tp 4153  df-op 4155  df-uni 4403  df-int 4441  df-iun 4487  df-disj 4584  df-br 4614  df-opab 4674  df-mpt 4675  df-tr 4713  df-eprel 4985  df-id 4989  df-po 4995  df-so 4996  df-fr 5033  df-se 5034  df-we 5035  df-xp 5080  df-rel 5081  df-cnv 5082  df-co 5083  df-dm 5084  df-rn 5085  df-res 5086  df-ima 5087  df-pred 5639  df-ord 5685  df-on 5686  df-lim 5687  df-suc 5688  df-iota 5810  df-fun 5849  df-fn 5850  df-f 5851  df-f1 5852  df-fo 5853  df-f1o 5854  df-fv 5855  df-isom 5856  df-riota 6565  df-ov 6607  df-oprab 6608  df-mpt2 6609  df-om 7013  df-1st 7113  df-2nd 7114  df-wrecs 7352  df-recs 7413  df-rdg 7451  df-1o 7505  df-2o 7506  df-oadd 7509  df-omul 7510  df-er 7687  df-ec 7689  df-qs 7693  df-map 7804  df-pm 7805  df-en 7900  df-dom 7901  df-sdom 7902  df-fin 7903  df-sup 8292  df-inf 8293  df-oi 8359  df-card 8709  df-acn 8712  df-cda 8934  df-pnf 10020  df-mnf 10021  df-xr 10022  df-ltxr 10023  df-le 10024  df-sub 10212  df-neg 10213  df-div 10629  df-nn 10965  df-2 11023  df-3 11024  df-4 11025  df-5 11026  df-6 11027  df-7 11028  df-8 11029  df-9 11030  df-n0 11237  df-xnn0 11308  df-z 11322  df-dec 11438  df-uz 11632  df-q 11733  df-rp 11777  df-fz 12269  df-fzo 12407  df-fl 12533  df-mod 12609  df-seq 12742  df-exp 12801  df-fac 13001  df-bc 13030  df-hash 13058  df-cj 13773  df-re 13774  df-im 13775  df-sqrt 13909  df-abs 13910  df-clim 14153  df-sum 14351  df-dvds 14908  df-gcd 15141  df-prm 15310  df-pc 15466  df-struct 15783  df-ndx 15784  df-slot 15785  df-base 15786  df-sets 15787  df-ress 15788  df-plusg 15875  df-tset 15881  df-0g 16023  df-mgm 17163  df-sgrp 17205  df-mnd 17216  df-grp 17346  df-minusg 17347  df-sbg 17348  df-mulg 17462  df-subg 17512  df-eqg 17514  df-symg 17719  df-od 17869  df-gex 17870  df-cmn 18116  df-abl 18117  df-cyg 18201
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator