MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  phimullem Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem phimullem 16104
Description: Lemma for phimul 16105. (Contributed by Mario Carneiro, 24-Feb-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
crth.1 𝑆 = (0..^(𝑀 · 𝑁))
crth.2 𝑇 = ((0..^𝑀) × (0..^𝑁))
crth.3 𝐹 = (𝑥𝑆 ↦ ⟨(𝑥 mod 𝑀), (𝑥 mod 𝑁)⟩)
crth.4 (𝜑 → (𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝑀 gcd 𝑁) = 1))
phimul.4 𝑈 = {𝑦 ∈ (0..^𝑀) ∣ (𝑦 gcd 𝑀) = 1}
phimul.5 𝑉 = {𝑦 ∈ (0..^𝑁) ∣ (𝑦 gcd 𝑁) = 1}
phimul.6 𝑊 = {𝑦𝑆 ∣ (𝑦 gcd (𝑀 · 𝑁)) = 1}
Assertion
Ref Expression
phimullem (𝜑 → (ϕ‘(𝑀 · 𝑁)) = ((ϕ‘𝑀) · (ϕ‘𝑁)))
Distinct variable groups:   𝑦,𝐹   𝑥,𝑦,𝑀   𝜑,𝑥,𝑦   𝑥,𝑆,𝑦   𝑥,𝑇   𝑥,𝑁,𝑦
Allowed substitution hints:   𝑇(𝑦)   𝑈(𝑥,𝑦)   𝐹(𝑥)   𝑉(𝑥,𝑦)   𝑊(𝑥,𝑦)

Proof of Theorem phimullem
Dummy variables 𝑤 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 phimul.4 . . . . 5 𝑈 = {𝑦 ∈ (0..^𝑀) ∣ (𝑦 gcd 𝑀) = 1}
2 fzofi 13330 . . . . . 6 (0..^𝑀) ∈ Fin
3 ssrab2 4053 . . . . . 6 {𝑦 ∈ (0..^𝑀) ∣ (𝑦 gcd 𝑀) = 1} ⊆ (0..^𝑀)
4 ssfi 8726 . . . . . 6 (((0..^𝑀) ∈ Fin ∧ {𝑦 ∈ (0..^𝑀) ∣ (𝑦 gcd 𝑀) = 1} ⊆ (0..^𝑀)) → {𝑦 ∈ (0..^𝑀) ∣ (𝑦 gcd 𝑀) = 1} ∈ Fin)
52, 3, 4mp2an 688 . . . . 5 {𝑦 ∈ (0..^𝑀) ∣ (𝑦 gcd 𝑀) = 1} ∈ Fin
61, 5eqeltri 2906 . . . 4 𝑈 ∈ Fin
7 phimul.5 . . . . 5 𝑉 = {𝑦 ∈ (0..^𝑁) ∣ (𝑦 gcd 𝑁) = 1}
8 fzofi 13330 . . . . . 6 (0..^𝑁) ∈ Fin
9 ssrab2 4053 . . . . . 6 {𝑦 ∈ (0..^𝑁) ∣ (𝑦 gcd 𝑁) = 1} ⊆ (0..^𝑁)
10 ssfi 8726 . . . . . 6 (((0..^𝑁) ∈ Fin ∧ {𝑦 ∈ (0..^𝑁) ∣ (𝑦 gcd 𝑁) = 1} ⊆ (0..^𝑁)) → {𝑦 ∈ (0..^𝑁) ∣ (𝑦 gcd 𝑁) = 1} ∈ Fin)
118, 9, 10mp2an 688 . . . . 5 {𝑦 ∈ (0..^𝑁) ∣ (𝑦 gcd 𝑁) = 1} ∈ Fin
127, 11eqeltri 2906 . . . 4 𝑉 ∈ Fin
13 hashxp 13783 . . . 4 ((𝑈 ∈ Fin ∧ 𝑉 ∈ Fin) → (♯‘(𝑈 × 𝑉)) = ((♯‘𝑈) · (♯‘𝑉)))
146, 12, 13mp2an 688 . . 3 (♯‘(𝑈 × 𝑉)) = ((♯‘𝑈) · (♯‘𝑉))
15 oveq1 7152 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑦 = 𝑤 → (𝑦 gcd (𝑀 · 𝑁)) = (𝑤 gcd (𝑀 · 𝑁)))
1615eqeq1d 2820 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑦 = 𝑤 → ((𝑦 gcd (𝑀 · 𝑁)) = 1 ↔ (𝑤 gcd (𝑀 · 𝑁)) = 1))
17 phimul.6 . . . . . . . . . . . . 13 𝑊 = {𝑦𝑆 ∣ (𝑦 gcd (𝑀 · 𝑁)) = 1}
1816, 17elrab2 3680 . . . . . . . . . . . 12 (𝑤𝑊 ↔ (𝑤𝑆 ∧ (𝑤 gcd (𝑀 · 𝑁)) = 1))
1918simplbi 498 . . . . . . . . . . 11 (𝑤𝑊𝑤𝑆)
20 oveq1 7152 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑥 = 𝑤 → (𝑥 mod 𝑀) = (𝑤 mod 𝑀))
21 oveq1 7152 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑥 = 𝑤 → (𝑥 mod 𝑁) = (𝑤 mod 𝑁))
2220, 21opeq12d 4803 . . . . . . . . . . . 12 (𝑥 = 𝑤 → ⟨(𝑥 mod 𝑀), (𝑥 mod 𝑁)⟩ = ⟨(𝑤 mod 𝑀), (𝑤 mod 𝑁)⟩)
23 crth.3 . . . . . . . . . . . 12 𝐹 = (𝑥𝑆 ↦ ⟨(𝑥 mod 𝑀), (𝑥 mod 𝑁)⟩)
24 opex 5347 . . . . . . . . . . . 12 ⟨(𝑤 mod 𝑀), (𝑤 mod 𝑁)⟩ ∈ V
2522, 23, 24fvmpt 6761 . . . . . . . . . . 11 (𝑤𝑆 → (𝐹𝑤) = ⟨(𝑤 mod 𝑀), (𝑤 mod 𝑁)⟩)
2619, 25syl 17 . . . . . . . . . 10 (𝑤𝑊 → (𝐹𝑤) = ⟨(𝑤 mod 𝑀), (𝑤 mod 𝑁)⟩)
2726adantl 482 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑤𝑊) → (𝐹𝑤) = ⟨(𝑤 mod 𝑀), (𝑤 mod 𝑁)⟩)
28 crth.1 . . . . . . . . . . . . . . 15 𝑆 = (0..^(𝑀 · 𝑁))
2919, 28eleqtrdi 2920 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑤𝑊𝑤 ∈ (0..^(𝑀 · 𝑁)))
3029adantl 482 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑤𝑊) → 𝑤 ∈ (0..^(𝑀 · 𝑁)))
31 elfzoelz 13026 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑤 ∈ (0..^(𝑀 · 𝑁)) → 𝑤 ∈ ℤ)
3230, 31syl 17 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑤𝑊) → 𝑤 ∈ ℤ)
33 crth.4 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → (𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝑀 gcd 𝑁) = 1))
3433simp1d 1134 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑𝑀 ∈ ℕ)
3534adantr 481 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑤𝑊) → 𝑀 ∈ ℕ)
36 zmodfzo 13250 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑤 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℕ) → (𝑤 mod 𝑀) ∈ (0..^𝑀))
3732, 35, 36syl2anc 584 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑤𝑊) → (𝑤 mod 𝑀) ∈ (0..^𝑀))
38 modgcd 15868 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑤 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℕ) → ((𝑤 mod 𝑀) gcd 𝑀) = (𝑤 gcd 𝑀))
3932, 35, 38syl2anc 584 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑤𝑊) → ((𝑤 mod 𝑀) gcd 𝑀) = (𝑤 gcd 𝑀))
4035nnzd 12074 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝜑𝑤𝑊) → 𝑀 ∈ ℤ)
41 gcddvds 15840 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑤 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ) → ((𝑤 gcd 𝑀) ∥ 𝑤 ∧ (𝑤 gcd 𝑀) ∥ 𝑀))
4232, 40, 41syl2anc 584 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑𝑤𝑊) → ((𝑤 gcd 𝑀) ∥ 𝑤 ∧ (𝑤 gcd 𝑀) ∥ 𝑀))
4342simpld 495 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑤𝑊) → (𝑤 gcd 𝑀) ∥ 𝑤)
44 nnne0 11659 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑀 ∈ ℕ → 𝑀 ≠ 0)
45 simpr 485 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝑤 = 0 ∧ 𝑀 = 0) → 𝑀 = 0)
4645necon3ai 3038 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑀 ≠ 0 → ¬ (𝑤 = 0 ∧ 𝑀 = 0))
4735, 44, 463syl 18 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝜑𝑤𝑊) → ¬ (𝑤 = 0 ∧ 𝑀 = 0))
48 gcdn0cl 15839 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝑤 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ) ∧ ¬ (𝑤 = 0 ∧ 𝑀 = 0)) → (𝑤 gcd 𝑀) ∈ ℕ)
4932, 40, 47, 48syl21anc 833 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝜑𝑤𝑊) → (𝑤 gcd 𝑀) ∈ ℕ)
5049nnzd 12074 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑𝑤𝑊) → (𝑤 gcd 𝑀) ∈ ℤ)
5133simp2d 1135 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝜑𝑁 ∈ ℕ)
5251adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝜑𝑤𝑊) → 𝑁 ∈ ℕ)
5352nnzd 12074 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑𝑤𝑊) → 𝑁 ∈ ℤ)
5442simprd 496 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑𝑤𝑊) → (𝑤 gcd 𝑀) ∥ 𝑀)
5550, 40, 53, 54dvdsmultr1d 15636 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑤𝑊) → (𝑤 gcd 𝑀) ∥ (𝑀 · 𝑁))
5635, 52nnmulcld 11678 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝜑𝑤𝑊) → (𝑀 · 𝑁) ∈ ℕ)
5756nnzd 12074 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑𝑤𝑊) → (𝑀 · 𝑁) ∈ ℤ)
58 nnne0 11659 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑀 · 𝑁) ∈ ℕ → (𝑀 · 𝑁) ≠ 0)
59 simpr 485 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝑤 = 0 ∧ (𝑀 · 𝑁) = 0) → (𝑀 · 𝑁) = 0)
6059necon3ai 3038 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑀 · 𝑁) ≠ 0 → ¬ (𝑤 = 0 ∧ (𝑀 · 𝑁) = 0))
6156, 58, 603syl 18 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑𝑤𝑊) → ¬ (𝑤 = 0 ∧ (𝑀 · 𝑁) = 0))
62 dvdslegcd 15841 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝑤 gcd 𝑀) ∈ ℤ ∧ 𝑤 ∈ ℤ ∧ (𝑀 · 𝑁) ∈ ℤ) ∧ ¬ (𝑤 = 0 ∧ (𝑀 · 𝑁) = 0)) → (((𝑤 gcd 𝑀) ∥ 𝑤 ∧ (𝑤 gcd 𝑀) ∥ (𝑀 · 𝑁)) → (𝑤 gcd 𝑀) ≤ (𝑤 gcd (𝑀 · 𝑁))))
6350, 32, 57, 61, 62syl31anc 1365 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑤𝑊) → (((𝑤 gcd 𝑀) ∥ 𝑤 ∧ (𝑤 gcd 𝑀) ∥ (𝑀 · 𝑁)) → (𝑤 gcd 𝑀) ≤ (𝑤 gcd (𝑀 · 𝑁))))
6443, 55, 63mp2and 695 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑤𝑊) → (𝑤 gcd 𝑀) ≤ (𝑤 gcd (𝑀 · 𝑁)))
6518simprbi 497 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑤𝑊 → (𝑤 gcd (𝑀 · 𝑁)) = 1)
6665adantl 482 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑤𝑊) → (𝑤 gcd (𝑀 · 𝑁)) = 1)
6764, 66breqtrd 5083 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑤𝑊) → (𝑤 gcd 𝑀) ≤ 1)
68 nnle1eq1 11655 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑤 gcd 𝑀) ∈ ℕ → ((𝑤 gcd 𝑀) ≤ 1 ↔ (𝑤 gcd 𝑀) = 1))
6949, 68syl 17 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑤𝑊) → ((𝑤 gcd 𝑀) ≤ 1 ↔ (𝑤 gcd 𝑀) = 1))
7067, 69mpbid 233 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑤𝑊) → (𝑤 gcd 𝑀) = 1)
7139, 70eqtrd 2853 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑤𝑊) → ((𝑤 mod 𝑀) gcd 𝑀) = 1)
72 oveq1 7152 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑦 = (𝑤 mod 𝑀) → (𝑦 gcd 𝑀) = ((𝑤 mod 𝑀) gcd 𝑀))
7372eqeq1d 2820 . . . . . . . . . . . 12 (𝑦 = (𝑤 mod 𝑀) → ((𝑦 gcd 𝑀) = 1 ↔ ((𝑤 mod 𝑀) gcd 𝑀) = 1))
7473, 1elrab2 3680 . . . . . . . . . . 11 ((𝑤 mod 𝑀) ∈ 𝑈 ↔ ((𝑤 mod 𝑀) ∈ (0..^𝑀) ∧ ((𝑤 mod 𝑀) gcd 𝑀) = 1))
7537, 71, 74sylanbrc 583 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑤𝑊) → (𝑤 mod 𝑀) ∈ 𝑈)
76 zmodfzo 13250 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑤 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (𝑤 mod 𝑁) ∈ (0..^𝑁))
7732, 52, 76syl2anc 584 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑤𝑊) → (𝑤 mod 𝑁) ∈ (0..^𝑁))
78 modgcd 15868 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑤 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → ((𝑤 mod 𝑁) gcd 𝑁) = (𝑤 gcd 𝑁))
7932, 52, 78syl2anc 584 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑤𝑊) → ((𝑤 mod 𝑁) gcd 𝑁) = (𝑤 gcd 𝑁))
80 gcddvds 15840 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑤 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → ((𝑤 gcd 𝑁) ∥ 𝑤 ∧ (𝑤 gcd 𝑁) ∥ 𝑁))
8132, 53, 80syl2anc 584 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑𝑤𝑊) → ((𝑤 gcd 𝑁) ∥ 𝑤 ∧ (𝑤 gcd 𝑁) ∥ 𝑁))
8281simpld 495 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑤𝑊) → (𝑤 gcd 𝑁) ∥ 𝑤)
8381simprd 496 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑𝑤𝑊) → (𝑤 gcd 𝑁) ∥ 𝑁)
84 dvdsmul2 15620 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → 𝑁 ∥ (𝑀 · 𝑁))
8540, 53, 84syl2anc 584 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑𝑤𝑊) → 𝑁 ∥ (𝑀 · 𝑁))
86 nnne0 11659 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ≠ 0)
87 simpr 485 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝑤 = 0 ∧ 𝑁 = 0) → 𝑁 = 0)
8887necon3ai 3038 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑁 ≠ 0 → ¬ (𝑤 = 0 ∧ 𝑁 = 0))
8952, 86, 883syl 18 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝜑𝑤𝑊) → ¬ (𝑤 = 0 ∧ 𝑁 = 0))
90 gcdn0cl 15839 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝑤 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ ¬ (𝑤 = 0 ∧ 𝑁 = 0)) → (𝑤 gcd 𝑁) ∈ ℕ)
9132, 53, 89, 90syl21anc 833 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝜑𝑤𝑊) → (𝑤 gcd 𝑁) ∈ ℕ)
9291nnzd 12074 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝜑𝑤𝑊) → (𝑤 gcd 𝑁) ∈ ℤ)
93 dvdstr 15634 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝑤 gcd 𝑁) ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ (𝑀 · 𝑁) ∈ ℤ) → (((𝑤 gcd 𝑁) ∥ 𝑁𝑁 ∥ (𝑀 · 𝑁)) → (𝑤 gcd 𝑁) ∥ (𝑀 · 𝑁)))
9492, 53, 57, 93syl3anc 1363 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑𝑤𝑊) → (((𝑤 gcd 𝑁) ∥ 𝑁𝑁 ∥ (𝑀 · 𝑁)) → (𝑤 gcd 𝑁) ∥ (𝑀 · 𝑁)))
9583, 85, 94mp2and 695 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑤𝑊) → (𝑤 gcd 𝑁) ∥ (𝑀 · 𝑁))
96 dvdslegcd 15841 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝑤 gcd 𝑁) ∈ ℤ ∧ 𝑤 ∈ ℤ ∧ (𝑀 · 𝑁) ∈ ℤ) ∧ ¬ (𝑤 = 0 ∧ (𝑀 · 𝑁) = 0)) → (((𝑤 gcd 𝑁) ∥ 𝑤 ∧ (𝑤 gcd 𝑁) ∥ (𝑀 · 𝑁)) → (𝑤 gcd 𝑁) ≤ (𝑤 gcd (𝑀 · 𝑁))))
9792, 32, 57, 61, 96syl31anc 1365 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑤𝑊) → (((𝑤 gcd 𝑁) ∥ 𝑤 ∧ (𝑤 gcd 𝑁) ∥ (𝑀 · 𝑁)) → (𝑤 gcd 𝑁) ≤ (𝑤 gcd (𝑀 · 𝑁))))
9882, 95, 97mp2and 695 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑤𝑊) → (𝑤 gcd 𝑁) ≤ (𝑤 gcd (𝑀 · 𝑁)))
9998, 66breqtrd 5083 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑤𝑊) → (𝑤 gcd 𝑁) ≤ 1)
100 nnle1eq1 11655 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑤 gcd 𝑁) ∈ ℕ → ((𝑤 gcd 𝑁) ≤ 1 ↔ (𝑤 gcd 𝑁) = 1))
10191, 100syl 17 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑤𝑊) → ((𝑤 gcd 𝑁) ≤ 1 ↔ (𝑤 gcd 𝑁) = 1))
10299, 101mpbid 233 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑤𝑊) → (𝑤 gcd 𝑁) = 1)
10379, 102eqtrd 2853 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑤𝑊) → ((𝑤 mod 𝑁) gcd 𝑁) = 1)
104 oveq1 7152 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑦 = (𝑤 mod 𝑁) → (𝑦 gcd 𝑁) = ((𝑤 mod 𝑁) gcd 𝑁))
105104eqeq1d 2820 . . . . . . . . . . . 12 (𝑦 = (𝑤 mod 𝑁) → ((𝑦 gcd 𝑁) = 1 ↔ ((𝑤 mod 𝑁) gcd 𝑁) = 1))
106105, 7elrab2 3680 . . . . . . . . . . 11 ((𝑤 mod 𝑁) ∈ 𝑉 ↔ ((𝑤 mod 𝑁) ∈ (0..^𝑁) ∧ ((𝑤 mod 𝑁) gcd 𝑁) = 1))
10777, 103, 106sylanbrc 583 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑤𝑊) → (𝑤 mod 𝑁) ∈ 𝑉)
10875, 107opelxpd 5586 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑤𝑊) → ⟨(𝑤 mod 𝑀), (𝑤 mod 𝑁)⟩ ∈ (𝑈 × 𝑉))
10927, 108eqeltrd 2910 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑤𝑊) → (𝐹𝑤) ∈ (𝑈 × 𝑉))
110109ralrimiva 3179 . . . . . . 7 (𝜑 → ∀𝑤𝑊 (𝐹𝑤) ∈ (𝑈 × 𝑉))
111 crth.2 . . . . . . . . . 10 𝑇 = ((0..^𝑀) × (0..^𝑁))
11228, 111, 23, 33crth 16103 . . . . . . . . 9 (𝜑𝐹:𝑆1-1-onto𝑇)
113 f1ofn 6609 . . . . . . . . 9 (𝐹:𝑆1-1-onto𝑇𝐹 Fn 𝑆)
114 fnfun 6446 . . . . . . . . 9 (𝐹 Fn 𝑆 → Fun 𝐹)
115112, 113, 1143syl 18 . . . . . . . 8 (𝜑 → Fun 𝐹)
11617ssrab3 4054 . . . . . . . . 9 𝑊𝑆
117 fndm 6448 . . . . . . . . . 10 (𝐹 Fn 𝑆 → dom 𝐹 = 𝑆)
118112, 113, 1173syl 18 . . . . . . . . 9 (𝜑 → dom 𝐹 = 𝑆)
119116, 118sseqtrrid 4017 . . . . . . . 8 (𝜑𝑊 ⊆ dom 𝐹)
120 funimass4 6723 . . . . . . . 8 ((Fun 𝐹𝑊 ⊆ dom 𝐹) → ((𝐹𝑊) ⊆ (𝑈 × 𝑉) ↔ ∀𝑤𝑊 (𝐹𝑤) ∈ (𝑈 × 𝑉)))
121115, 119, 120syl2anc 584 . . . . . . 7 (𝜑 → ((𝐹𝑊) ⊆ (𝑈 × 𝑉) ↔ ∀𝑤𝑊 (𝐹𝑤) ∈ (𝑈 × 𝑉)))
122110, 121mpbird 258 . . . . . 6 (𝜑 → (𝐹𝑊) ⊆ (𝑈 × 𝑉))
1231ssrab3 4054 . . . . . . . . . . 11 𝑈 ⊆ (0..^𝑀)
1247ssrab3 4054 . . . . . . . . . . 11 𝑉 ⊆ (0..^𝑁)
125 xpss12 5563 . . . . . . . . . . 11 ((𝑈 ⊆ (0..^𝑀) ∧ 𝑉 ⊆ (0..^𝑁)) → (𝑈 × 𝑉) ⊆ ((0..^𝑀) × (0..^𝑁)))
126123, 124, 125mp2an 688 . . . . . . . . . 10 (𝑈 × 𝑉) ⊆ ((0..^𝑀) × (0..^𝑁))
127126, 111sseqtrri 4001 . . . . . . . . 9 (𝑈 × 𝑉) ⊆ 𝑇
128127sseli 3960 . . . . . . . 8 (𝑧 ∈ (𝑈 × 𝑉) → 𝑧𝑇)
129 f1ocnvfv2 7025 . . . . . . . 8 ((𝐹:𝑆1-1-onto𝑇𝑧𝑇) → (𝐹‘(𝐹𝑧)) = 𝑧)
130112, 128, 129syl2an 595 . . . . . . 7 ((𝜑𝑧 ∈ (𝑈 × 𝑉)) → (𝐹‘(𝐹𝑧)) = 𝑧)
131 f1ocnv 6620 . . . . . . . . . . 11 (𝐹:𝑆1-1-onto𝑇𝐹:𝑇1-1-onto𝑆)
132 f1of 6608 . . . . . . . . . . 11 (𝐹:𝑇1-1-onto𝑆𝐹:𝑇𝑆)
133112, 131, 1323syl 18 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝐹:𝑇𝑆)
134 ffvelrn 6841 . . . . . . . . . 10 ((𝐹:𝑇𝑆𝑧𝑇) → (𝐹𝑧) ∈ 𝑆)
135133, 128, 134syl2an 595 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑧 ∈ (𝑈 × 𝑉)) → (𝐹𝑧) ∈ 𝑆)
136135, 28eleqtrdi 2920 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑧 ∈ (𝑈 × 𝑉)) → (𝐹𝑧) ∈ (0..^(𝑀 · 𝑁)))
137 elfzoelz 13026 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐹𝑧) ∈ (0..^(𝑀 · 𝑁)) → (𝐹𝑧) ∈ ℤ)
138136, 137syl 17 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑧 ∈ (𝑈 × 𝑉)) → (𝐹𝑧) ∈ ℤ)
13934adantr 481 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑧 ∈ (𝑈 × 𝑉)) → 𝑀 ∈ ℕ)
140 modgcd 15868 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐹𝑧) ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℕ) → (((𝐹𝑧) mod 𝑀) gcd 𝑀) = ((𝐹𝑧) gcd 𝑀))
141138, 139, 140syl2anc 584 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑧 ∈ (𝑈 × 𝑉)) → (((𝐹𝑧) mod 𝑀) gcd 𝑀) = ((𝐹𝑧) gcd 𝑀))
142 oveq1 7152 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑤 = (𝐹𝑧) → (𝑤 mod 𝑀) = ((𝐹𝑧) mod 𝑀))
143 oveq1 7152 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑤 = (𝐹𝑧) → (𝑤 mod 𝑁) = ((𝐹𝑧) mod 𝑁))
144142, 143opeq12d 4803 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑤 = (𝐹𝑧) → ⟨(𝑤 mod 𝑀), (𝑤 mod 𝑁)⟩ = ⟨((𝐹𝑧) mod 𝑀), ((𝐹𝑧) mod 𝑁)⟩)
14522cbvmptv 5160 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑥𝑆 ↦ ⟨(𝑥 mod 𝑀), (𝑥 mod 𝑁)⟩) = (𝑤𝑆 ↦ ⟨(𝑤 mod 𝑀), (𝑤 mod 𝑁)⟩)
14623, 145eqtri 2841 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 𝐹 = (𝑤𝑆 ↦ ⟨(𝑤 mod 𝑀), (𝑤 mod 𝑁)⟩)
147 opex 5347 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⟨((𝐹𝑧) mod 𝑀), ((𝐹𝑧) mod 𝑁)⟩ ∈ V
148144, 146, 147fvmpt 6761 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝐹𝑧) ∈ 𝑆 → (𝐹‘(𝐹𝑧)) = ⟨((𝐹𝑧) mod 𝑀), ((𝐹𝑧) mod 𝑁)⟩)
149135, 148syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝜑𝑧 ∈ (𝑈 × 𝑉)) → (𝐹‘(𝐹𝑧)) = ⟨((𝐹𝑧) mod 𝑀), ((𝐹𝑧) mod 𝑁)⟩)
150130, 149eqtr3d 2855 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑𝑧 ∈ (𝑈 × 𝑉)) → 𝑧 = ⟨((𝐹𝑧) mod 𝑀), ((𝐹𝑧) mod 𝑁)⟩)
151 simpr 485 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑𝑧 ∈ (𝑈 × 𝑉)) → 𝑧 ∈ (𝑈 × 𝑉))
152150, 151eqeltrrd 2911 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑧 ∈ (𝑈 × 𝑉)) → ⟨((𝐹𝑧) mod 𝑀), ((𝐹𝑧) mod 𝑁)⟩ ∈ (𝑈 × 𝑉))
153 opelxp 5584 . . . . . . . . . . . . . . 15 (⟨((𝐹𝑧) mod 𝑀), ((𝐹𝑧) mod 𝑁)⟩ ∈ (𝑈 × 𝑉) ↔ (((𝐹𝑧) mod 𝑀) ∈ 𝑈 ∧ ((𝐹𝑧) mod 𝑁) ∈ 𝑉))
154152, 153sylib 219 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑧 ∈ (𝑈 × 𝑉)) → (((𝐹𝑧) mod 𝑀) ∈ 𝑈 ∧ ((𝐹𝑧) mod 𝑁) ∈ 𝑉))
155154simpld 495 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑧 ∈ (𝑈 × 𝑉)) → ((𝐹𝑧) mod 𝑀) ∈ 𝑈)
156 oveq1 7152 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑦 = ((𝐹𝑧) mod 𝑀) → (𝑦 gcd 𝑀) = (((𝐹𝑧) mod 𝑀) gcd 𝑀))
157156eqeq1d 2820 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑦 = ((𝐹𝑧) mod 𝑀) → ((𝑦 gcd 𝑀) = 1 ↔ (((𝐹𝑧) mod 𝑀) gcd 𝑀) = 1))
158157, 1elrab2 3680 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝐹𝑧) mod 𝑀) ∈ 𝑈 ↔ (((𝐹𝑧) mod 𝑀) ∈ (0..^𝑀) ∧ (((𝐹𝑧) mod 𝑀) gcd 𝑀) = 1))
159155, 158sylib 219 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑧 ∈ (𝑈 × 𝑉)) → (((𝐹𝑧) mod 𝑀) ∈ (0..^𝑀) ∧ (((𝐹𝑧) mod 𝑀) gcd 𝑀) = 1))
160159simprd 496 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑧 ∈ (𝑈 × 𝑉)) → (((𝐹𝑧) mod 𝑀) gcd 𝑀) = 1)
161141, 160eqtr3d 2855 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑧 ∈ (𝑈 × 𝑉)) → ((𝐹𝑧) gcd 𝑀) = 1)
16251adantr 481 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑧 ∈ (𝑈 × 𝑉)) → 𝑁 ∈ ℕ)
163 modgcd 15868 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐹𝑧) ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (((𝐹𝑧) mod 𝑁) gcd 𝑁) = ((𝐹𝑧) gcd 𝑁))
164138, 162, 163syl2anc 584 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑧 ∈ (𝑈 × 𝑉)) → (((𝐹𝑧) mod 𝑁) gcd 𝑁) = ((𝐹𝑧) gcd 𝑁))
165154simprd 496 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑧 ∈ (𝑈 × 𝑉)) → ((𝐹𝑧) mod 𝑁) ∈ 𝑉)
166 oveq1 7152 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑦 = ((𝐹𝑧) mod 𝑁) → (𝑦 gcd 𝑁) = (((𝐹𝑧) mod 𝑁) gcd 𝑁))
167166eqeq1d 2820 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑦 = ((𝐹𝑧) mod 𝑁) → ((𝑦 gcd 𝑁) = 1 ↔ (((𝐹𝑧) mod 𝑁) gcd 𝑁) = 1))
168167, 7elrab2 3680 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝐹𝑧) mod 𝑁) ∈ 𝑉 ↔ (((𝐹𝑧) mod 𝑁) ∈ (0..^𝑁) ∧ (((𝐹𝑧) mod 𝑁) gcd 𝑁) = 1))
169165, 168sylib 219 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑧 ∈ (𝑈 × 𝑉)) → (((𝐹𝑧) mod 𝑁) ∈ (0..^𝑁) ∧ (((𝐹𝑧) mod 𝑁) gcd 𝑁) = 1))
170169simprd 496 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑧 ∈ (𝑈 × 𝑉)) → (((𝐹𝑧) mod 𝑁) gcd 𝑁) = 1)
171164, 170eqtr3d 2855 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑧 ∈ (𝑈 × 𝑉)) → ((𝐹𝑧) gcd 𝑁) = 1)
17234nnzd 12074 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑𝑀 ∈ ℤ)
173172adantr 481 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑧 ∈ (𝑈 × 𝑉)) → 𝑀 ∈ ℤ)
17451nnzd 12074 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑𝑁 ∈ ℤ)
175174adantr 481 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑧 ∈ (𝑈 × 𝑉)) → 𝑁 ∈ ℤ)
176 rpmul 15991 . . . . . . . . . . 11 (((𝐹𝑧) ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → ((((𝐹𝑧) gcd 𝑀) = 1 ∧ ((𝐹𝑧) gcd 𝑁) = 1) → ((𝐹𝑧) gcd (𝑀 · 𝑁)) = 1))
177138, 173, 175, 176syl3anc 1363 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑧 ∈ (𝑈 × 𝑉)) → ((((𝐹𝑧) gcd 𝑀) = 1 ∧ ((𝐹𝑧) gcd 𝑁) = 1) → ((𝐹𝑧) gcd (𝑀 · 𝑁)) = 1))
178161, 171, 177mp2and 695 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑧 ∈ (𝑈 × 𝑉)) → ((𝐹𝑧) gcd (𝑀 · 𝑁)) = 1)
179 oveq1 7152 . . . . . . . . . . 11 (𝑦 = (𝐹𝑧) → (𝑦 gcd (𝑀 · 𝑁)) = ((𝐹𝑧) gcd (𝑀 · 𝑁)))
180179eqeq1d 2820 . . . . . . . . . 10 (𝑦 = (𝐹𝑧) → ((𝑦 gcd (𝑀 · 𝑁)) = 1 ↔ ((𝐹𝑧) gcd (𝑀 · 𝑁)) = 1))
181180, 17elrab2 3680 . . . . . . . . 9 ((𝐹𝑧) ∈ 𝑊 ↔ ((𝐹𝑧) ∈ 𝑆 ∧ ((𝐹𝑧) gcd (𝑀 · 𝑁)) = 1))
182135, 178, 181sylanbrc 583 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑧 ∈ (𝑈 × 𝑉)) → (𝐹𝑧) ∈ 𝑊)
183 funfvima2 6984 . . . . . . . . . 10 ((Fun 𝐹𝑊 ⊆ dom 𝐹) → ((𝐹𝑧) ∈ 𝑊 → (𝐹‘(𝐹𝑧)) ∈ (𝐹𝑊)))
184115, 119, 183syl2anc 584 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ((𝐹𝑧) ∈ 𝑊 → (𝐹‘(𝐹𝑧)) ∈ (𝐹𝑊)))
185184imp 407 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ (𝐹𝑧) ∈ 𝑊) → (𝐹‘(𝐹𝑧)) ∈ (𝐹𝑊))
186182, 185syldan 591 . . . . . . 7 ((𝜑𝑧 ∈ (𝑈 × 𝑉)) → (𝐹‘(𝐹𝑧)) ∈ (𝐹𝑊))
187130, 186eqeltrrd 2911 . . . . . 6 ((𝜑𝑧 ∈ (𝑈 × 𝑉)) → 𝑧 ∈ (𝐹𝑊))
188122, 187eqelssd 3985 . . . . 5 (𝜑 → (𝐹𝑊) = (𝑈 × 𝑉))
189 f1of1 6607 . . . . . . 7 (𝐹:𝑆1-1-onto𝑇𝐹:𝑆1-1𝑇)
190112, 189syl 17 . . . . . 6 (𝜑𝐹:𝑆1-1𝑇)
191 fzofi 13330 . . . . . . . . . 10 (0..^(𝑀 · 𝑁)) ∈ Fin
19228, 191eqeltri 2906 . . . . . . . . 9 𝑆 ∈ Fin
193 ssfi 8726 . . . . . . . . 9 ((𝑆 ∈ Fin ∧ 𝑊𝑆) → 𝑊 ∈ Fin)
194192, 116, 193mp2an 688 . . . . . . . 8 𝑊 ∈ Fin
195194elexi 3511 . . . . . . 7 𝑊 ∈ V
196195f1imaen 8559 . . . . . 6 ((𝐹:𝑆1-1𝑇𝑊𝑆) → (𝐹𝑊) ≈ 𝑊)
197190, 116, 196sylancl 586 . . . . 5 (𝜑 → (𝐹𝑊) ≈ 𝑊)
198188, 197eqbrtrrd 5081 . . . 4 (𝜑 → (𝑈 × 𝑉) ≈ 𝑊)
199 xpfi 8777 . . . . . 6 ((𝑈 ∈ Fin ∧ 𝑉 ∈ Fin) → (𝑈 × 𝑉) ∈ Fin)
2006, 12, 199mp2an 688 . . . . 5 (𝑈 × 𝑉) ∈ Fin
201 hashen 13695 . . . . 5 (((𝑈 × 𝑉) ∈ Fin ∧ 𝑊 ∈ Fin) → ((♯‘(𝑈 × 𝑉)) = (♯‘𝑊) ↔ (𝑈 × 𝑉) ≈ 𝑊))
202200, 194, 201mp2an 688 . . . 4 ((♯‘(𝑈 × 𝑉)) = (♯‘𝑊) ↔ (𝑈 × 𝑉) ≈ 𝑊)
203198, 202sylibr 235 . . 3 (𝜑 → (♯‘(𝑈 × 𝑉)) = (♯‘𝑊))
20414, 203syl5reqr 2868 . 2 (𝜑 → (♯‘𝑊) = ((♯‘𝑈) · (♯‘𝑉)))
20534, 51nnmulcld 11678 . . 3 (𝜑 → (𝑀 · 𝑁) ∈ ℕ)
206 dfphi2 16099 . . . 4 ((𝑀 · 𝑁) ∈ ℕ → (ϕ‘(𝑀 · 𝑁)) = (♯‘{𝑦 ∈ (0..^(𝑀 · 𝑁)) ∣ (𝑦 gcd (𝑀 · 𝑁)) = 1}))
20728rabeqi 3480 . . . . . 6 {𝑦𝑆 ∣ (𝑦 gcd (𝑀 · 𝑁)) = 1} = {𝑦 ∈ (0..^(𝑀 · 𝑁)) ∣ (𝑦 gcd (𝑀 · 𝑁)) = 1}
20817, 207eqtri 2841 . . . . 5 𝑊 = {𝑦 ∈ (0..^(𝑀 · 𝑁)) ∣ (𝑦 gcd (𝑀 · 𝑁)) = 1}
209208fveq2i 6666 . . . 4 (♯‘𝑊) = (♯‘{𝑦 ∈ (0..^(𝑀 · 𝑁)) ∣ (𝑦 gcd (𝑀 · 𝑁)) = 1})
210206, 209syl6eqr 2871 . . 3 ((𝑀 · 𝑁) ∈ ℕ → (ϕ‘(𝑀 · 𝑁)) = (♯‘𝑊))
211205, 210syl 17 . 2 (𝜑 → (ϕ‘(𝑀 · 𝑁)) = (♯‘𝑊))
212 dfphi2 16099 . . . . 5 (𝑀 ∈ ℕ → (ϕ‘𝑀) = (♯‘{𝑦 ∈ (0..^𝑀) ∣ (𝑦 gcd 𝑀) = 1}))
2131fveq2i 6666 . . . . 5 (♯‘𝑈) = (♯‘{𝑦 ∈ (0..^𝑀) ∣ (𝑦 gcd 𝑀) = 1})
214212, 213syl6eqr 2871 . . . 4 (𝑀 ∈ ℕ → (ϕ‘𝑀) = (♯‘𝑈))
21534, 214syl 17 . . 3 (𝜑 → (ϕ‘𝑀) = (♯‘𝑈))
216 dfphi2 16099 . . . . 5 (𝑁 ∈ ℕ → (ϕ‘𝑁) = (♯‘{𝑦 ∈ (0..^𝑁) ∣ (𝑦 gcd 𝑁) = 1}))
2177fveq2i 6666 . . . . 5 (♯‘𝑉) = (♯‘{𝑦 ∈ (0..^𝑁) ∣ (𝑦 gcd 𝑁) = 1})
218216, 217syl6eqr 2871 . . . 4 (𝑁 ∈ ℕ → (ϕ‘𝑁) = (♯‘𝑉))
21951, 218syl 17 . . 3 (𝜑 → (ϕ‘𝑁) = (♯‘𝑉))
220215, 219oveq12d 7163 . 2 (𝜑 → ((ϕ‘𝑀) · (ϕ‘𝑁)) = ((♯‘𝑈) · (♯‘𝑉)))
221204, 211, 2203eqtr4d 2863 1 (𝜑 → (ϕ‘(𝑀 · 𝑁)) = ((ϕ‘𝑀) · (ϕ‘𝑁)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 207  wa 396  w3a 1079   = wceq 1528  wcel 2105  wne 3013  wral 3135  {crab 3139  wss 3933  cop 4563   class class class wbr 5057  cmpt 5137   × cxp 5546  ccnv 5547  dom cdm 5548  cima 5551  Fun wfun 6342   Fn wfn 6343  wf 6344  1-1wf1 6345  1-1-ontowf1o 6347  cfv 6348  (class class class)co 7145  cen 8494  Fincfn 8497  0cc0 10525  1c1 10526   · cmul 10530  cle 10664  cn 11626  cz 11969  ..^cfzo 13021   mod cmo 13225  chash 13678  cdvds 15595   gcd cgcd 15831  ϕcphi 16089
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1787  ax-4 1801  ax-5 1902  ax-6 1961  ax-7 2006  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2151  ax-12 2167  ax-ext 2790  ax-rep 5181  ax-sep 5194  ax-nul 5201  ax-pow 5257  ax-pr 5320  ax-un 7450  ax-cnex 10581  ax-resscn 10582  ax-1cn 10583  ax-icn 10584  ax-addcl 10585  ax-addrcl 10586  ax-mulcl 10587  ax-mulrcl 10588  ax-mulcom 10589  ax-addass 10590  ax-mulass 10591  ax-distr 10592  ax-i2m1 10593  ax-1ne0 10594  ax-1rid 10595  ax-rnegex 10596  ax-rrecex 10597  ax-cnre 10598  ax-pre-lttri 10599  ax-pre-lttrn 10600  ax-pre-ltadd 10601  ax-pre-mulgt0 10602  ax-pre-sup 10603
This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 842  df-3or 1080  df-3an 1081  df-tru 1531  df-ex 1772  df-nf 1776  df-sb 2061  df-mo 2615  df-eu 2647  df-clab 2797  df-cleq 2811  df-clel 2890  df-nfc 2960  df-ne 3014  df-nel 3121  df-ral 3140  df-rex 3141  df-reu 3142  df-rmo 3143  df-rab 3144  df-v 3494  df-sbc 3770  df-csb 3881  df-dif 3936  df-un 3938  df-in 3940  df-ss 3949  df-pss 3951  df-nul 4289  df-if 4464  df-pw 4537  df-sn 4558  df-pr 4560  df-tp 4562  df-op 4564  df-uni 4831  df-int 4868  df-iun 4912  df-br 5058  df-opab 5120  df-mpt 5138  df-tr 5164  df-id 5453  df-eprel 5458  df-po 5467  df-so 5468  df-fr 5507  df-we 5509  df-xp 5554  df-rel 5555  df-cnv 5556  df-co 5557  df-dm 5558  df-rn 5559  df-res 5560  df-ima 5561  df-pred 6141  df-ord 6187  df-on 6188  df-lim 6189  df-suc 6190  df-iota 6307  df-fun 6350  df-fn 6351  df-f 6352  df-f1 6353  df-fo 6354  df-f1o 6355  df-fv 6356  df-riota 7103  df-ov 7148  df-oprab 7149  df-mpo 7150  df-om 7570  df-1st 7678  df-2nd 7679  df-wrecs 7936  df-recs 7997  df-rdg 8035  df-1o 8091  df-oadd 8095  df-er 8278  df-map 8397  df-en 8498  df-dom 8499  df-sdom 8500  df-fin 8501  df-sup 8894  df-inf 8895  df-dju 9318  df-card 9356  df-pnf 10665  df-mnf 10666  df-xr 10667  df-ltxr 10668  df-le 10669  df-sub 10860  df-neg 10861  df-div 11286  df-nn 11627  df-2 11688  df-3 11689  df-n0 11886  df-xnn0 11956  df-z 11970  df-uz 12232  df-rp 12378  df-fz 12881  df-fzo 13022  df-fl 13150  df-mod 13226  df-seq 13358  df-exp 13418  df-hash 13679  df-cj 14446  df-re 14447  df-im 14448  df-sqrt 14582  df-abs 14583  df-dvds 15596  df-gcd 15832  df-phi 16091
This theorem is referenced by:  phimul  16105
  Copyright terms: Public domain W3C validator