MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  phlstr Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem phlstr 15800
Description: A constructed pre-Hilbert space is a structure. Starting from lmodstr 15783 (which has 4 members), we chain strleun 15742 once more, adding an ordered pair to the function, to get all 5 members. (Contributed by Mario Carneiro, 1-Oct-2013.) (Revised by Mario Carneiro, 29-Aug-2015.)
Hypothesis
Ref Expression
phlfn.h 𝐻 = ({⟨(Base‘ndx), 𝐵⟩, ⟨(+g‘ndx), + ⟩, ⟨(Scalar‘ndx), 𝑇⟩} ∪ {⟨( ·𝑠 ‘ndx), · ⟩, ⟨(·𝑖‘ndx), , ⟩})
Assertion
Ref Expression
phlstr 𝐻 Struct ⟨1, 8⟩

Proof of Theorem phlstr
StepHypRef Expression
1 df-pr 4124 . . . 4 {⟨( ·𝑠 ‘ndx), · ⟩, ⟨(·𝑖‘ndx), , ⟩} = ({⟨( ·𝑠 ‘ndx), · ⟩} ∪ {⟨(·𝑖‘ndx), , ⟩})
21uneq2i 3722 . . 3 ({⟨(Base‘ndx), 𝐵⟩, ⟨(+g‘ndx), + ⟩, ⟨(Scalar‘ndx), 𝑇⟩} ∪ {⟨( ·𝑠 ‘ndx), · ⟩, ⟨(·𝑖‘ndx), , ⟩}) = ({⟨(Base‘ndx), 𝐵⟩, ⟨(+g‘ndx), + ⟩, ⟨(Scalar‘ndx), 𝑇⟩} ∪ ({⟨( ·𝑠 ‘ndx), · ⟩} ∪ {⟨(·𝑖‘ndx), , ⟩}))
3 phlfn.h . . 3 𝐻 = ({⟨(Base‘ndx), 𝐵⟩, ⟨(+g‘ndx), + ⟩, ⟨(Scalar‘ndx), 𝑇⟩} ∪ {⟨( ·𝑠 ‘ndx), · ⟩, ⟨(·𝑖‘ndx), , ⟩})
4 unass 3728 . . 3 (({⟨(Base‘ndx), 𝐵⟩, ⟨(+g‘ndx), + ⟩, ⟨(Scalar‘ndx), 𝑇⟩} ∪ {⟨( ·𝑠 ‘ndx), · ⟩}) ∪ {⟨(·𝑖‘ndx), , ⟩}) = ({⟨(Base‘ndx), 𝐵⟩, ⟨(+g‘ndx), + ⟩, ⟨(Scalar‘ndx), 𝑇⟩} ∪ ({⟨( ·𝑠 ‘ndx), · ⟩} ∪ {⟨(·𝑖‘ndx), , ⟩}))
52, 3, 43eqtr4i 2638 . 2 𝐻 = (({⟨(Base‘ndx), 𝐵⟩, ⟨(+g‘ndx), + ⟩, ⟨(Scalar‘ndx), 𝑇⟩} ∪ {⟨( ·𝑠 ‘ndx), · ⟩}) ∪ {⟨(·𝑖‘ndx), , ⟩})
6 eqid 2606 . . . 4 ({⟨(Base‘ndx), 𝐵⟩, ⟨(+g‘ndx), + ⟩, ⟨(Scalar‘ndx), 𝑇⟩} ∪ {⟨( ·𝑠 ‘ndx), · ⟩}) = ({⟨(Base‘ndx), 𝐵⟩, ⟨(+g‘ndx), + ⟩, ⟨(Scalar‘ndx), 𝑇⟩} ∪ {⟨( ·𝑠 ‘ndx), · ⟩})
76lmodstr 15783 . . 3 ({⟨(Base‘ndx), 𝐵⟩, ⟨(+g‘ndx), + ⟩, ⟨(Scalar‘ndx), 𝑇⟩} ∪ {⟨( ·𝑠 ‘ndx), · ⟩}) Struct ⟨1, 6⟩
8 8nn 11035 . . . 4 8 ∈ ℕ
9 ipndx 15788 . . . 4 (·𝑖‘ndx) = 8
108, 9strle1 15743 . . 3 {⟨(·𝑖‘ndx), , ⟩} Struct ⟨8, 8⟩
11 6lt8 11060 . . 3 6 < 8
127, 10, 11strleun 15742 . 2 (({⟨(Base‘ndx), 𝐵⟩, ⟨(+g‘ndx), + ⟩, ⟨(Scalar‘ndx), 𝑇⟩} ∪ {⟨( ·𝑠 ‘ndx), · ⟩}) ∪ {⟨(·𝑖‘ndx), , ⟩}) Struct ⟨1, 8⟩
135, 12eqbrtri 4595 1 𝐻 Struct ⟨1, 8⟩
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   = wceq 1474  cun 3534  {csn 4121  {cpr 4123  {ctp 4125  cop 4127   class class class wbr 4574  cfv 5787  1c1 9790  6c6 10918  8c8 10920   Struct cstr 15634  ndxcnx 15635  Basecbs 15638  +gcplusg 15711  Scalarcsca 15714   ·𝑠 cvsca 15715  ·𝑖cip 15716
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1712  ax-4 1727  ax-5 1826  ax-6 1874  ax-7 1921  ax-8 1978  ax-9 1985  ax-10 2005  ax-11 2020  ax-12 2032  ax-13 2229  ax-ext 2586  ax-sep 4700  ax-nul 4709  ax-pow 4761  ax-pr 4825  ax-un 6821  ax-cnex 9845  ax-resscn 9846  ax-1cn 9847  ax-icn 9848  ax-addcl 9849  ax-addrcl 9850  ax-mulcl 9851  ax-mulrcl 9852  ax-mulcom 9853  ax-addass 9854  ax-mulass 9855  ax-distr 9856  ax-i2m1 9857  ax-1ne0 9858  ax-1rid 9859  ax-rnegex 9860  ax-rrecex 9861  ax-cnre 9862  ax-pre-lttri 9863  ax-pre-lttrn 9864  ax-pre-ltadd 9865  ax-pre-mulgt0 9866
This theorem depends on definitions:  df-bi 195  df-or 383  df-an 384  df-3or 1031  df-3an 1032  df-tru 1477  df-ex 1695  df-nf 1700  df-sb 1867  df-eu 2458  df-mo 2459  df-clab 2593  df-cleq 2599  df-clel 2602  df-nfc 2736  df-ne 2778  df-nel 2779  df-ral 2897  df-rex 2898  df-reu 2899  df-rab 2901  df-v 3171  df-sbc 3399  df-csb 3496  df-dif 3539  df-un 3541  df-in 3543  df-ss 3550  df-pss 3552  df-nul 3871  df-if 4033  df-pw 4106  df-sn 4122  df-pr 4124  df-tp 4126  df-op 4128  df-uni 4364  df-int 4402  df-iun 4448  df-br 4575  df-opab 4635  df-mpt 4636  df-tr 4672  df-eprel 4936  df-id 4940  df-po 4946  df-so 4947  df-fr 4984  df-we 4986  df-xp 5031  df-rel 5032  df-cnv 5033  df-co 5034  df-dm 5035  df-rn 5036  df-res 5037  df-ima 5038  df-pred 5580  df-ord 5626  df-on 5627  df-lim 5628  df-suc 5629  df-iota 5751  df-fun 5789  df-fn 5790  df-f 5791  df-f1 5792  df-fo 5793  df-f1o 5794  df-fv 5795  df-riota 6486  df-ov 6527  df-oprab 6528  df-mpt2 6529  df-om 6932  df-1st 7033  df-2nd 7034  df-wrecs 7268  df-recs 7329  df-rdg 7367  df-1o 7421  df-oadd 7425  df-er 7603  df-en 7816  df-dom 7817  df-sdom 7818  df-fin 7819  df-pnf 9929  df-mnf 9930  df-xr 9931  df-ltxr 9932  df-le 9933  df-sub 10116  df-neg 10117  df-nn 10865  df-2 10923  df-3 10924  df-4 10925  df-5 10926  df-6 10927  df-7 10928  df-8 10929  df-n0 11137  df-z 11208  df-uz 11517  df-fz 12150  df-struct 15640  df-ndx 15641  df-slot 15642  df-base 15643  df-plusg 15724  df-sca 15727  df-vsca 15728  df-ip 15729
This theorem is referenced by:  phlbase  15801  phlplusg  15802  phlsca  15803  phlvsca  15804  phlip  15805
  Copyright terms: Public domain W3C validator