MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  php2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem php2 8298
Description: Corollary of Pigeonhole Principle. (Contributed by NM, 31-May-1998.)
Assertion
Ref Expression
php2 ((𝐴 ∈ ω ∧ 𝐵𝐴) → 𝐵𝐴)

Proof of Theorem php2
Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eleq1 2815 . . . . 5 (𝑥 = 𝐴 → (𝑥 ∈ ω ↔ 𝐴 ∈ ω))
2 psseq2 3825 . . . . 5 (𝑥 = 𝐴 → (𝐵𝑥𝐵𝐴))
31, 2anbi12d 749 . . . 4 (𝑥 = 𝐴 → ((𝑥 ∈ ω ∧ 𝐵𝑥) ↔ (𝐴 ∈ ω ∧ 𝐵𝐴)))
4 breq2 4796 . . . 4 (𝑥 = 𝐴 → (𝐵𝑥𝐵𝐴))
53, 4imbi12d 333 . . 3 (𝑥 = 𝐴 → (((𝑥 ∈ ω ∧ 𝐵𝑥) → 𝐵𝑥) ↔ ((𝐴 ∈ ω ∧ 𝐵𝐴) → 𝐵𝐴)))
6 vex 3331 . . . . . 6 𝑥 ∈ V
7 pssss 3832 . . . . . 6 (𝐵𝑥𝐵𝑥)
8 ssdomg 8155 . . . . . 6 (𝑥 ∈ V → (𝐵𝑥𝐵𝑥))
96, 7, 8mpsyl 68 . . . . 5 (𝐵𝑥𝐵𝑥)
109adantl 473 . . . 4 ((𝑥 ∈ ω ∧ 𝐵𝑥) → 𝐵𝑥)
11 php 8297 . . . . 5 ((𝑥 ∈ ω ∧ 𝐵𝑥) → ¬ 𝑥𝐵)
12 ensym 8158 . . . . 5 (𝐵𝑥𝑥𝐵)
1311, 12nsyl 135 . . . 4 ((𝑥 ∈ ω ∧ 𝐵𝑥) → ¬ 𝐵𝑥)
14 brsdom 8132 . . . 4 (𝐵𝑥 ↔ (𝐵𝑥 ∧ ¬ 𝐵𝑥))
1510, 13, 14sylanbrc 701 . . 3 ((𝑥 ∈ ω ∧ 𝐵𝑥) → 𝐵𝑥)
165, 15vtoclg 3394 . 2 (𝐴 ∈ ω → ((𝐴 ∈ ω ∧ 𝐵𝐴) → 𝐵𝐴))
1716anabsi5 893 1 ((𝐴 ∈ ω ∧ 𝐵𝐴) → 𝐵𝐴)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wa 383   = wceq 1620  wcel 2127  Vcvv 3328  wss 3703  wpss 3704   class class class wbr 4792  ωcom 7218  cen 8106  cdom 8107  csdm 8108
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1859  ax-4 1874  ax-5 1976  ax-6 2042  ax-7 2078  ax-8 2129  ax-9 2136  ax-10 2156  ax-11 2171  ax-12 2184  ax-13 2379  ax-ext 2728  ax-sep 4921  ax-nul 4929  ax-pow 4980  ax-pr 5043  ax-un 7102
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1073  df-3an 1074  df-tru 1623  df-ex 1842  df-nf 1847  df-sb 2035  df-eu 2599  df-mo 2600  df-clab 2735  df-cleq 2741  df-clel 2744  df-nfc 2879  df-ne 2921  df-ral 3043  df-rex 3044  df-rab 3047  df-v 3330  df-sbc 3565  df-dif 3706  df-un 3708  df-in 3710  df-ss 3717  df-pss 3719  df-nul 4047  df-if 4219  df-pw 4292  df-sn 4310  df-pr 4312  df-tp 4314  df-op 4316  df-uni 4577  df-br 4793  df-opab 4853  df-tr 4893  df-id 5162  df-eprel 5167  df-po 5175  df-so 5176  df-fr 5213  df-we 5215  df-xp 5260  df-rel 5261  df-cnv 5262  df-co 5263  df-dm 5264  df-rn 5265  df-res 5266  df-ima 5267  df-ord 5875  df-on 5876  df-lim 5877  df-suc 5878  df-iota 6000  df-fun 6039  df-fn 6040  df-f 6041  df-f1 6042  df-fo 6043  df-f1o 6044  df-fv 6045  df-om 7219  df-er 7899  df-en 8110  df-dom 8111  df-sdom 8112
This theorem is referenced by:  php4  8300  nndomo  8307
  Copyright terms: Public domain W3C validator