MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  php2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem php2 8089
Description: Corollary of Pigeonhole Principle. (Contributed by NM, 31-May-1998.)
Assertion
Ref Expression
php2 ((𝐴 ∈ ω ∧ 𝐵𝐴) → 𝐵𝐴)

Proof of Theorem php2
Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eleq1 2686 . . . . 5 (𝑥 = 𝐴 → (𝑥 ∈ ω ↔ 𝐴 ∈ ω))
2 psseq2 3673 . . . . 5 (𝑥 = 𝐴 → (𝐵𝑥𝐵𝐴))
31, 2anbi12d 746 . . . 4 (𝑥 = 𝐴 → ((𝑥 ∈ ω ∧ 𝐵𝑥) ↔ (𝐴 ∈ ω ∧ 𝐵𝐴)))
4 breq2 4617 . . . 4 (𝑥 = 𝐴 → (𝐵𝑥𝐵𝐴))
53, 4imbi12d 334 . . 3 (𝑥 = 𝐴 → (((𝑥 ∈ ω ∧ 𝐵𝑥) → 𝐵𝑥) ↔ ((𝐴 ∈ ω ∧ 𝐵𝐴) → 𝐵𝐴)))
6 vex 3189 . . . . . 6 𝑥 ∈ V
7 pssss 3680 . . . . . 6 (𝐵𝑥𝐵𝑥)
8 ssdomg 7945 . . . . . 6 (𝑥 ∈ V → (𝐵𝑥𝐵𝑥))
96, 7, 8mpsyl 68 . . . . 5 (𝐵𝑥𝐵𝑥)
109adantl 482 . . . 4 ((𝑥 ∈ ω ∧ 𝐵𝑥) → 𝐵𝑥)
11 php 8088 . . . . 5 ((𝑥 ∈ ω ∧ 𝐵𝑥) → ¬ 𝑥𝐵)
12 ensym 7949 . . . . 5 (𝐵𝑥𝑥𝐵)
1311, 12nsyl 135 . . . 4 ((𝑥 ∈ ω ∧ 𝐵𝑥) → ¬ 𝐵𝑥)
14 brsdom 7922 . . . 4 (𝐵𝑥 ↔ (𝐵𝑥 ∧ ¬ 𝐵𝑥))
1510, 13, 14sylanbrc 697 . . 3 ((𝑥 ∈ ω ∧ 𝐵𝑥) → 𝐵𝑥)
165, 15vtoclg 3252 . 2 (𝐴 ∈ ω → ((𝐴 ∈ ω ∧ 𝐵𝐴) → 𝐵𝐴))
1716anabsi5 857 1 ((𝐴 ∈ ω ∧ 𝐵𝐴) → 𝐵𝐴)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wa 384   = wceq 1480  wcel 1987  Vcvv 3186  wss 3555  wpss 3556   class class class wbr 4613  ωcom 7012  cen 7896  cdom 7897  csdm 7898
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1719  ax-4 1734  ax-5 1836  ax-6 1885  ax-7 1932  ax-8 1989  ax-9 1996  ax-10 2016  ax-11 2031  ax-12 2044  ax-13 2245  ax-ext 2601  ax-sep 4741  ax-nul 4749  ax-pow 4803  ax-pr 4867  ax-un 6902
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1037  df-3an 1038  df-tru 1483  df-ex 1702  df-nf 1707  df-sb 1878  df-eu 2473  df-mo 2474  df-clab 2608  df-cleq 2614  df-clel 2617  df-nfc 2750  df-ne 2791  df-ral 2912  df-rex 2913  df-rab 2916  df-v 3188  df-sbc 3418  df-dif 3558  df-un 3560  df-in 3562  df-ss 3569  df-pss 3571  df-nul 3892  df-if 4059  df-pw 4132  df-sn 4149  df-pr 4151  df-tp 4153  df-op 4155  df-uni 4403  df-br 4614  df-opab 4674  df-tr 4713  df-eprel 4985  df-id 4989  df-po 4995  df-so 4996  df-fr 5033  df-we 5035  df-xp 5080  df-rel 5081  df-cnv 5082  df-co 5083  df-dm 5084  df-rn 5085  df-res 5086  df-ima 5087  df-ord 5685  df-on 5686  df-lim 5687  df-suc 5688  df-iota 5810  df-fun 5849  df-fn 5850  df-f 5851  df-f1 5852  df-fo 5853  df-f1o 5854  df-fv 5855  df-om 7013  df-er 7687  df-en 7900  df-dom 7901  df-sdom 7902
This theorem is referenced by:  php4  8091  nndomo  8098
  Copyright terms: Public domain W3C validator