MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  php4 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem php4 8094
Description: Corollary of the Pigeonhole Principle php 8091: a natural number is strictly dominated by its successor. (Contributed by NM, 26-Jul-2004.)
Assertion
Ref Expression
php4 (𝐴 ∈ ω → 𝐴 ≺ suc 𝐴)

Proof of Theorem php4
StepHypRef Expression
1 sucidg 5764 . . 3 (𝐴 ∈ ω → 𝐴 ∈ suc 𝐴)
2 nnord 7023 . . . 4 (𝐴 ∈ ω → Ord 𝐴)
3 ordsuc 6964 . . . . . 6 (Ord 𝐴 ↔ Ord suc 𝐴)
43biimpi 206 . . . . 5 (Ord 𝐴 → Ord suc 𝐴)
54ancli 573 . . . 4 (Ord 𝐴 → (Ord 𝐴 ∧ Ord suc 𝐴))
6 ordelpss 5712 . . . 4 ((Ord 𝐴 ∧ Ord suc 𝐴) → (𝐴 ∈ suc 𝐴𝐴 ⊊ suc 𝐴))
72, 5, 63syl 18 . . 3 (𝐴 ∈ ω → (𝐴 ∈ suc 𝐴𝐴 ⊊ suc 𝐴))
81, 7mpbid 222 . 2 (𝐴 ∈ ω → 𝐴 ⊊ suc 𝐴)
9 peano2b 7031 . . 3 (𝐴 ∈ ω ↔ suc 𝐴 ∈ ω)
10 php2 8092 . . 3 ((suc 𝐴 ∈ ω ∧ 𝐴 ⊊ suc 𝐴) → 𝐴 ≺ suc 𝐴)
119, 10sylanb 489 . 2 ((𝐴 ∈ ω ∧ 𝐴 ⊊ suc 𝐴) → 𝐴 ≺ suc 𝐴)
128, 11mpdan 701 1 (𝐴 ∈ ω → 𝐴 ≺ suc 𝐴)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 196  wa 384  wcel 1987  wpss 3557   class class class wbr 4615  Ord word 5683  suc csuc 5686  ωcom 7015  csdm 7901
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1719  ax-4 1734  ax-5 1836  ax-6 1885  ax-7 1932  ax-8 1989  ax-9 1996  ax-10 2016  ax-11 2031  ax-12 2044  ax-13 2245  ax-ext 2601  ax-sep 4743  ax-nul 4751  ax-pow 4805  ax-pr 4869  ax-un 6905
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1037  df-3an 1038  df-tru 1483  df-ex 1702  df-nf 1707  df-sb 1878  df-eu 2473  df-mo 2474  df-clab 2608  df-cleq 2614  df-clel 2617  df-nfc 2750  df-ne 2791  df-ral 2912  df-rex 2913  df-rab 2916  df-v 3188  df-sbc 3419  df-dif 3559  df-un 3561  df-in 3563  df-ss 3570  df-pss 3572  df-nul 3894  df-if 4061  df-pw 4134  df-sn 4151  df-pr 4153  df-tp 4155  df-op 4157  df-uni 4405  df-br 4616  df-opab 4676  df-tr 4715  df-eprel 4987  df-id 4991  df-po 4997  df-so 4998  df-fr 5035  df-we 5037  df-xp 5082  df-rel 5083  df-cnv 5084  df-co 5085  df-dm 5086  df-rn 5087  df-res 5088  df-ima 5089  df-ord 5687  df-on 5688  df-lim 5689  df-suc 5690  df-iota 5812  df-fun 5851  df-fn 5852  df-f 5853  df-f1 5854  df-fo 5855  df-f1o 5856  df-fv 5857  df-om 7016  df-er 7690  df-en 7903  df-dom 7904  df-sdom 7905
This theorem is referenced by:  php5  8095  sucdom  8104  1sdom2  8106
  Copyright terms: Public domain W3C validator