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Theorem phpreu 33060
Description: Theorem related to pigeonhole principle. (Contributed by Brendan Leahy, 21-Aug-2020.)
Assertion
Ref Expression
phpreu ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐴𝐵) → (∀𝑥𝐴𝑦𝐵 𝑥 = 𝐶 ↔ ∀𝑥𝐴 ∃!𝑦𝐵 𝑥 = 𝐶))
Distinct variable groups:   𝑥,𝑦,𝐴   𝑥,𝐵,𝑦   𝑥,𝐶
Allowed substitution hint:   𝐶(𝑦)

Proof of Theorem phpreu
Dummy variables 𝑎 𝑏 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eleq1 2686 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑥 = 𝐶 → (𝑥𝐴𝐶𝐴))
21biimpac 503 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝑥𝐴𝑥 = 𝐶) → 𝐶𝐴)
3 rabid 3109 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑦 ∈ {𝑦𝐵𝐶𝐴} ↔ (𝑦𝐵𝐶𝐴))
43simplbi2com 656 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝐶𝐴 → (𝑦𝐵𝑦 ∈ {𝑦𝐵𝐶𝐴}))
52, 4syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑥𝐴𝑥 = 𝐶) → (𝑦𝐵𝑦 ∈ {𝑦𝐵𝐶𝐴}))
65impancom 456 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑥𝐴𝑦𝐵) → (𝑥 = 𝐶𝑦 ∈ {𝑦𝐵𝐶𝐴}))
76ancrd 576 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑥𝐴𝑦𝐵) → (𝑥 = 𝐶 → (𝑦 ∈ {𝑦𝐵𝐶𝐴} ∧ 𝑥 = 𝐶)))
87expimpd 628 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑥𝐴 → ((𝑦𝐵𝑥 = 𝐶) → (𝑦 ∈ {𝑦𝐵𝐶𝐴} ∧ 𝑥 = 𝐶)))
98reximdv2 3009 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑥𝐴 → (∃𝑦𝐵 𝑥 = 𝐶 → ∃𝑦 ∈ {𝑦𝐵𝐶𝐴}𝑥 = 𝐶))
109ralimia 2945 . . . . . . . . . . . 12 (∀𝑥𝐴𝑦𝐵 𝑥 = 𝐶 → ∀𝑥𝐴𝑦 ∈ {𝑦𝐵𝐶𝐴}𝑥 = 𝐶)
113simplbi 476 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑦 ∈ {𝑦𝐵𝐶𝐴} → 𝑦𝐵)
126pm4.71rd 666 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑥𝐴𝑦𝐵) → (𝑥 = 𝐶 ↔ (𝑦 ∈ {𝑦𝐵𝐶𝐴} ∧ 𝑥 = 𝐶)))
13 df-mpt 4680 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑦 ∈ {𝑦𝐵𝐶𝐴} ↦ 𝐶) = {⟨𝑦, 𝑥⟩ ∣ (𝑦 ∈ {𝑦𝐵𝐶𝐴} ∧ 𝑥 = 𝐶)}
1413breqi 4624 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑦(𝑦 ∈ {𝑦𝐵𝐶𝐴} ↦ 𝐶)𝑥𝑦{⟨𝑦, 𝑥⟩ ∣ (𝑦 ∈ {𝑦𝐵𝐶𝐴} ∧ 𝑥 = 𝐶)}𝑥)
15 df-br 4619 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑦{⟨𝑦, 𝑥⟩ ∣ (𝑦 ∈ {𝑦𝐵𝐶𝐴} ∧ 𝑥 = 𝐶)}𝑥 ↔ ⟨𝑦, 𝑥⟩ ∈ {⟨𝑦, 𝑥⟩ ∣ (𝑦 ∈ {𝑦𝐵𝐶𝐴} ∧ 𝑥 = 𝐶)})
16 opabid 4947 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (⟨𝑦, 𝑥⟩ ∈ {⟨𝑦, 𝑥⟩ ∣ (𝑦 ∈ {𝑦𝐵𝐶𝐴} ∧ 𝑥 = 𝐶)} ↔ (𝑦 ∈ {𝑦𝐵𝐶𝐴} ∧ 𝑥 = 𝐶))
1714, 15, 163bitri 286 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑦(𝑦 ∈ {𝑦𝐵𝐶𝐴} ↦ 𝐶)𝑥 ↔ (𝑦 ∈ {𝑦𝐵𝐶𝐴} ∧ 𝑥 = 𝐶))
1812, 17syl6bbr 278 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑥𝐴𝑦𝐵) → (𝑥 = 𝐶𝑦(𝑦 ∈ {𝑦𝐵𝐶𝐴} ↦ 𝐶)𝑥))
1911, 18sylan2 491 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑥𝐴𝑦 ∈ {𝑦𝐵𝐶𝐴}) → (𝑥 = 𝐶𝑦(𝑦 ∈ {𝑦𝐵𝐶𝐴} ↦ 𝐶)𝑥))
2019rexbidva 3043 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑥𝐴 → (∃𝑦 ∈ {𝑦𝐵𝐶𝐴}𝑥 = 𝐶 ↔ ∃𝑦 ∈ {𝑦𝐵𝐶𝐴}𝑦(𝑦 ∈ {𝑦𝐵𝐶𝐴} ↦ 𝐶)𝑥))
2120ralbiia 2974 . . . . . . . . . . . . 13 (∀𝑥𝐴𝑦 ∈ {𝑦𝐵𝐶𝐴}𝑥 = 𝐶 ↔ ∀𝑥𝐴𝑦 ∈ {𝑦𝐵𝐶𝐴}𝑦(𝑦 ∈ {𝑦𝐵𝐶𝐴} ↦ 𝐶)𝑥)
22 breq2 4622 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑎 = 𝑥 → (𝑏(𝑦 ∈ {𝑦𝐵𝐶𝐴} ↦ 𝐶)𝑎𝑏(𝑦 ∈ {𝑦𝐵𝐶𝐴} ↦ 𝐶)𝑥))
2322rexbidv 3046 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑎 = 𝑥 → (∃𝑏 ∈ {𝑦𝐵𝐶𝐴}𝑏(𝑦 ∈ {𝑦𝐵𝐶𝐴} ↦ 𝐶)𝑎 ↔ ∃𝑏 ∈ {𝑦𝐵𝐶𝐴}𝑏(𝑦 ∈ {𝑦𝐵𝐶𝐴} ↦ 𝐶)𝑥))
24 nfcv 2761 . . . . . . . . . . . . . . . 16 𝑏{𝑦𝐵𝐶𝐴}
25 nfrab1 3114 . . . . . . . . . . . . . . . 16 𝑦{𝑦𝐵𝐶𝐴}
26 nfcv 2761 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 𝑦𝑏
27 nfmpt1 4712 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 𝑦(𝑦 ∈ {𝑦𝐵𝐶𝐴} ↦ 𝐶)
28 nfcv 2761 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 𝑦𝑥
2926, 27, 28nfbr 4664 . . . . . . . . . . . . . . . 16 𝑦 𝑏(𝑦 ∈ {𝑦𝐵𝐶𝐴} ↦ 𝐶)𝑥
30 nfv 1840 . . . . . . . . . . . . . . . 16 𝑏 𝑦(𝑦 ∈ {𝑦𝐵𝐶𝐴} ↦ 𝐶)𝑥
31 breq1 4621 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑏 = 𝑦 → (𝑏(𝑦 ∈ {𝑦𝐵𝐶𝐴} ↦ 𝐶)𝑥𝑦(𝑦 ∈ {𝑦𝐵𝐶𝐴} ↦ 𝐶)𝑥))
3224, 25, 29, 30, 31cbvrexf 3157 . . . . . . . . . . . . . . 15 (∃𝑏 ∈ {𝑦𝐵𝐶𝐴}𝑏(𝑦 ∈ {𝑦𝐵𝐶𝐴} ↦ 𝐶)𝑥 ↔ ∃𝑦 ∈ {𝑦𝐵𝐶𝐴}𝑦(𝑦 ∈ {𝑦𝐵𝐶𝐴} ↦ 𝐶)𝑥)
3323, 32syl6bb 276 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑎 = 𝑥 → (∃𝑏 ∈ {𝑦𝐵𝐶𝐴}𝑏(𝑦 ∈ {𝑦𝐵𝐶𝐴} ↦ 𝐶)𝑎 ↔ ∃𝑦 ∈ {𝑦𝐵𝐶𝐴}𝑦(𝑦 ∈ {𝑦𝐵𝐶𝐴} ↦ 𝐶)𝑥))
3433cbvralv 3162 . . . . . . . . . . . . 13 (∀𝑎𝐴𝑏 ∈ {𝑦𝐵𝐶𝐴}𝑏(𝑦 ∈ {𝑦𝐵𝐶𝐴} ↦ 𝐶)𝑎 ↔ ∀𝑥𝐴𝑦 ∈ {𝑦𝐵𝐶𝐴}𝑦(𝑦 ∈ {𝑦𝐵𝐶𝐴} ↦ 𝐶)𝑥)
3521, 34bitr4i 267 . . . . . . . . . . . 12 (∀𝑥𝐴𝑦 ∈ {𝑦𝐵𝐶𝐴}𝑥 = 𝐶 ↔ ∀𝑎𝐴𝑏 ∈ {𝑦𝐵𝐶𝐴}𝑏(𝑦 ∈ {𝑦𝐵𝐶𝐴} ↦ 𝐶)𝑎)
3610, 35sylib 208 . . . . . . . . . . 11 (∀𝑥𝐴𝑦𝐵 𝑥 = 𝐶 → ∀𝑎𝐴𝑏 ∈ {𝑦𝐵𝐶𝐴}𝑏(𝑦 ∈ {𝑦𝐵𝐶𝐴} ↦ 𝐶)𝑎)
37 nfv 1840 . . . . . . . . . . . . . 14 𝑏(𝑦 ∈ {𝑦𝐵𝐶𝐴} ∧ 𝑥 = 𝐶)
3825nfcri 2755 . . . . . . . . . . . . . . 15 𝑦 𝑏 ∈ {𝑦𝐵𝐶𝐴}
39 nfcsb1v 3534 . . . . . . . . . . . . . . . 16 𝑦𝑏 / 𝑦𝐶
4039nfeq2 2776 . . . . . . . . . . . . . . 15 𝑦 𝑥 = 𝑏 / 𝑦𝐶
4138, 40nfan 1825 . . . . . . . . . . . . . 14 𝑦(𝑏 ∈ {𝑦𝐵𝐶𝐴} ∧ 𝑥 = 𝑏 / 𝑦𝐶)
42 eleq1 2686 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑦 = 𝑏 → (𝑦 ∈ {𝑦𝐵𝐶𝐴} ↔ 𝑏 ∈ {𝑦𝐵𝐶𝐴}))
43 csbeq1a 3527 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑦 = 𝑏𝐶 = 𝑏 / 𝑦𝐶)
4443eqeq2d 2631 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑦 = 𝑏 → (𝑥 = 𝐶𝑥 = 𝑏 / 𝑦𝐶))
4542, 44anbi12d 746 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑦 = 𝑏 → ((𝑦 ∈ {𝑦𝐵𝐶𝐴} ∧ 𝑥 = 𝐶) ↔ (𝑏 ∈ {𝑦𝐵𝐶𝐴} ∧ 𝑥 = 𝑏 / 𝑦𝐶)))
4637, 41, 45cbvopab1 4690 . . . . . . . . . . . . 13 {⟨𝑦, 𝑥⟩ ∣ (𝑦 ∈ {𝑦𝐵𝐶𝐴} ∧ 𝑥 = 𝐶)} = {⟨𝑏, 𝑥⟩ ∣ (𝑏 ∈ {𝑦𝐵𝐶𝐴} ∧ 𝑥 = 𝑏 / 𝑦𝐶)}
47 df-mpt 4680 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑏 ∈ {𝑦𝐵𝐶𝐴} ↦ 𝑏 / 𝑦𝐶) = {⟨𝑏, 𝑥⟩ ∣ (𝑏 ∈ {𝑦𝐵𝐶𝐴} ∧ 𝑥 = 𝑏 / 𝑦𝐶)}
4846, 13, 473eqtr4i 2653 . . . . . . . . . . . 12 (𝑦 ∈ {𝑦𝐵𝐶𝐴} ↦ 𝐶) = (𝑏 ∈ {𝑦𝐵𝐶𝐴} ↦ 𝑏 / 𝑦𝐶)
49 nfcv 2761 . . . . . . . . . . . . . 14 𝑦𝐵
5039nfel1 2775 . . . . . . . . . . . . . 14 𝑦𝑏 / 𝑦𝐶𝐴
5143eleq1d 2683 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑦 = 𝑏 → (𝐶𝐴𝑏 / 𝑦𝐶𝐴))
5226, 49, 50, 51elrabf 3347 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑏 ∈ {𝑦𝐵𝐶𝐴} ↔ (𝑏𝐵𝑏 / 𝑦𝐶𝐴))
5352simprbi 480 . . . . . . . . . . . 12 (𝑏 ∈ {𝑦𝐵𝐶𝐴} → 𝑏 / 𝑦𝐶𝐴)
5448, 53fmpti 6344 . . . . . . . . . . 11 (𝑦 ∈ {𝑦𝐵𝐶𝐴} ↦ 𝐶):{𝑦𝐵𝐶𝐴}⟶𝐴
5536, 54jctil 559 . . . . . . . . . 10 (∀𝑥𝐴𝑦𝐵 𝑥 = 𝐶 → ((𝑦 ∈ {𝑦𝐵𝐶𝐴} ↦ 𝐶):{𝑦𝐵𝐶𝐴}⟶𝐴 ∧ ∀𝑎𝐴𝑏 ∈ {𝑦𝐵𝐶𝐴}𝑏(𝑦 ∈ {𝑦𝐵𝐶𝐴} ↦ 𝐶)𝑎))
56 dffo4 6336 . . . . . . . . . 10 ((𝑦 ∈ {𝑦𝐵𝐶𝐴} ↦ 𝐶):{𝑦𝐵𝐶𝐴}–onto𝐴 ↔ ((𝑦 ∈ {𝑦𝐵𝐶𝐴} ↦ 𝐶):{𝑦𝐵𝐶𝐴}⟶𝐴 ∧ ∀𝑎𝐴𝑏 ∈ {𝑦𝐵𝐶𝐴}𝑏(𝑦 ∈ {𝑦𝐵𝐶𝐴} ↦ 𝐶)𝑎))
5755, 56sylibr 224 . . . . . . . . 9 (∀𝑥𝐴𝑦𝐵 𝑥 = 𝐶 → (𝑦 ∈ {𝑦𝐵𝐶𝐴} ↦ 𝐶):{𝑦𝐵𝐶𝐴}–onto𝐴)
5857adantl 482 . . . . . . . 8 (((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐴𝐵) ∧ ∀𝑥𝐴𝑦𝐵 𝑥 = 𝐶) → (𝑦 ∈ {𝑦𝐵𝐶𝐴} ↦ 𝐶):{𝑦𝐵𝐶𝐴}–onto𝐴)
59 relen 7912 . . . . . . . . . . . . 13 Rel ≈
6059brrelex2i 5124 . . . . . . . . . . . 12 (𝐴𝐵𝐵 ∈ V)
61 ssrab2 3671 . . . . . . . . . . . 12 {𝑦𝐵𝐶𝐴} ⊆ 𝐵
62 ssdomg 7953 . . . . . . . . . . . 12 (𝐵 ∈ V → ({𝑦𝐵𝐶𝐴} ⊆ 𝐵 → {𝑦𝐵𝐶𝐴} ≼ 𝐵))
6360, 61, 62mpisyl 21 . . . . . . . . . . 11 (𝐴𝐵 → {𝑦𝐵𝐶𝐴} ≼ 𝐵)
64 ensym 7957 . . . . . . . . . . 11 (𝐴𝐵𝐵𝐴)
65 domentr 7967 . . . . . . . . . . 11 (({𝑦𝐵𝐶𝐴} ≼ 𝐵𝐵𝐴) → {𝑦𝐵𝐶𝐴} ≼ 𝐴)
6663, 64, 65syl2anc 692 . . . . . . . . . 10 (𝐴𝐵 → {𝑦𝐵𝐶𝐴} ≼ 𝐴)
6766ad2antlr 762 . . . . . . . . 9 (((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐴𝐵) ∧ ∀𝑥𝐴𝑦𝐵 𝑥 = 𝐶) → {𝑦𝐵𝐶𝐴} ≼ 𝐴)
68 enfi 8128 . . . . . . . . . . . 12 (𝐴𝐵 → (𝐴 ∈ Fin ↔ 𝐵 ∈ Fin))
6968biimpac 503 . . . . . . . . . . 11 ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐴𝐵) → 𝐵 ∈ Fin)
70 rabfi 8137 . . . . . . . . . . 11 (𝐵 ∈ Fin → {𝑦𝐵𝐶𝐴} ∈ Fin)
7169, 70syl 17 . . . . . . . . . 10 ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐴𝐵) → {𝑦𝐵𝐶𝐴} ∈ Fin)
72 fodomfi 8191 . . . . . . . . . 10 (({𝑦𝐵𝐶𝐴} ∈ Fin ∧ (𝑦 ∈ {𝑦𝐵𝐶𝐴} ↦ 𝐶):{𝑦𝐵𝐶𝐴}–onto𝐴) → 𝐴 ≼ {𝑦𝐵𝐶𝐴})
7371, 57, 72syl2an 494 . . . . . . . . 9 (((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐴𝐵) ∧ ∀𝑥𝐴𝑦𝐵 𝑥 = 𝐶) → 𝐴 ≼ {𝑦𝐵𝐶𝐴})
74 sbth 8032 . . . . . . . . 9 (({𝑦𝐵𝐶𝐴} ≼ 𝐴𝐴 ≼ {𝑦𝐵𝐶𝐴}) → {𝑦𝐵𝐶𝐴} ≈ 𝐴)
7567, 73, 74syl2anc 692 . . . . . . . 8 (((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐴𝐵) ∧ ∀𝑥𝐴𝑦𝐵 𝑥 = 𝐶) → {𝑦𝐵𝐶𝐴} ≈ 𝐴)
76 simpll 789 . . . . . . . 8 (((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐴𝐵) ∧ ∀𝑥𝐴𝑦𝐵 𝑥 = 𝐶) → 𝐴 ∈ Fin)
77 fofinf1o 8193 . . . . . . . 8 (((𝑦 ∈ {𝑦𝐵𝐶𝐴} ↦ 𝐶):{𝑦𝐵𝐶𝐴}–onto𝐴 ∧ {𝑦𝐵𝐶𝐴} ≈ 𝐴𝐴 ∈ Fin) → (𝑦 ∈ {𝑦𝐵𝐶𝐴} ↦ 𝐶):{𝑦𝐵𝐶𝐴}–1-1-onto𝐴)
7858, 75, 76, 77syl3anc 1323 . . . . . . 7 (((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐴𝐵) ∧ ∀𝑥𝐴𝑦𝐵 𝑥 = 𝐶) → (𝑦 ∈ {𝑦𝐵𝐶𝐴} ↦ 𝐶):{𝑦𝐵𝐶𝐴}–1-1-onto𝐴)
79 f1of1 6098 . . . . . . 7 ((𝑦 ∈ {𝑦𝐵𝐶𝐴} ↦ 𝐶):{𝑦𝐵𝐶𝐴}–1-1-onto𝐴 → (𝑦 ∈ {𝑦𝐵𝐶𝐴} ↦ 𝐶):{𝑦𝐵𝐶𝐴}–1-1𝐴)
8078, 79syl 17 . . . . . 6 (((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐴𝐵) ∧ ∀𝑥𝐴𝑦𝐵 𝑥 = 𝐶) → (𝑦 ∈ {𝑦𝐵𝐶𝐴} ↦ 𝐶):{𝑦𝐵𝐶𝐴}–1-1𝐴)
81 dff12 6062 . . . . . . . 8 ((𝑦 ∈ {𝑦𝐵𝐶𝐴} ↦ 𝐶):{𝑦𝐵𝐶𝐴}–1-1𝐴 ↔ ((𝑦 ∈ {𝑦𝐵𝐶𝐴} ↦ 𝐶):{𝑦𝐵𝐶𝐴}⟶𝐴 ∧ ∀𝑎∃*𝑏 𝑏(𝑦 ∈ {𝑦𝐵𝐶𝐴} ↦ 𝐶)𝑎))
8281simprbi 480 . . . . . . 7 ((𝑦 ∈ {𝑦𝐵𝐶𝐴} ↦ 𝐶):{𝑦𝐵𝐶𝐴}–1-1𝐴 → ∀𝑎∃*𝑏 𝑏(𝑦 ∈ {𝑦𝐵𝐶𝐴} ↦ 𝐶)𝑎)
8322mobidv 2490 . . . . . . . . 9 (𝑎 = 𝑥 → (∃*𝑏 𝑏(𝑦 ∈ {𝑦𝐵𝐶𝐴} ↦ 𝐶)𝑎 ↔ ∃*𝑏 𝑏(𝑦 ∈ {𝑦𝐵𝐶𝐴} ↦ 𝐶)𝑥))
8429, 30, 31cbvmo 2505 . . . . . . . . 9 (∃*𝑏 𝑏(𝑦 ∈ {𝑦𝐵𝐶𝐴} ↦ 𝐶)𝑥 ↔ ∃*𝑦 𝑦(𝑦 ∈ {𝑦𝐵𝐶𝐴} ↦ 𝐶)𝑥)
8583, 84syl6bb 276 . . . . . . . 8 (𝑎 = 𝑥 → (∃*𝑏 𝑏(𝑦 ∈ {𝑦𝐵𝐶𝐴} ↦ 𝐶)𝑎 ↔ ∃*𝑦 𝑦(𝑦 ∈ {𝑦𝐵𝐶𝐴} ↦ 𝐶)𝑥))
8685cbvalv 2272 . . . . . . 7 (∀𝑎∃*𝑏 𝑏(𝑦 ∈ {𝑦𝐵𝐶𝐴} ↦ 𝐶)𝑎 ↔ ∀𝑥∃*𝑦 𝑦(𝑦 ∈ {𝑦𝐵𝐶𝐴} ↦ 𝐶)𝑥)
8782, 86sylib 208 . . . . . 6 ((𝑦 ∈ {𝑦𝐵𝐶𝐴} ↦ 𝐶):{𝑦𝐵𝐶𝐴}–1-1𝐴 → ∀𝑥∃*𝑦 𝑦(𝑦 ∈ {𝑦𝐵𝐶𝐴} ↦ 𝐶)𝑥)
88 mormo 3150 . . . . . . 7 (∃*𝑦 𝑦(𝑦 ∈ {𝑦𝐵𝐶𝐴} ↦ 𝐶)𝑥 → ∃*𝑦𝐵 𝑦(𝑦 ∈ {𝑦𝐵𝐶𝐴} ↦ 𝐶)𝑥)
8988alimi 1736 . . . . . 6 (∀𝑥∃*𝑦 𝑦(𝑦 ∈ {𝑦𝐵𝐶𝐴} ↦ 𝐶)𝑥 → ∀𝑥∃*𝑦𝐵 𝑦(𝑦 ∈ {𝑦𝐵𝐶𝐴} ↦ 𝐶)𝑥)
90 alral 2923 . . . . . 6 (∀𝑥∃*𝑦𝐵 𝑦(𝑦 ∈ {𝑦𝐵𝐶𝐴} ↦ 𝐶)𝑥 → ∀𝑥𝐴 ∃*𝑦𝐵 𝑦(𝑦 ∈ {𝑦𝐵𝐶𝐴} ↦ 𝐶)𝑥)
9180, 87, 89, 904syl 19 . . . . 5 (((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐴𝐵) ∧ ∀𝑥𝐴𝑦𝐵 𝑥 = 𝐶) → ∀𝑥𝐴 ∃*𝑦𝐵 𝑦(𝑦 ∈ {𝑦𝐵𝐶𝐴} ↦ 𝐶)𝑥)
9218rmobidva 3122 . . . . . 6 (𝑥𝐴 → (∃*𝑦𝐵 𝑥 = 𝐶 ↔ ∃*𝑦𝐵 𝑦(𝑦 ∈ {𝑦𝐵𝐶𝐴} ↦ 𝐶)𝑥))
9392ralbiia 2974 . . . . 5 (∀𝑥𝐴 ∃*𝑦𝐵 𝑥 = 𝐶 ↔ ∀𝑥𝐴 ∃*𝑦𝐵 𝑦(𝑦 ∈ {𝑦𝐵𝐶𝐴} ↦ 𝐶)𝑥)
9491, 93sylibr 224 . . . 4 (((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐴𝐵) ∧ ∀𝑥𝐴𝑦𝐵 𝑥 = 𝐶) → ∀𝑥𝐴 ∃*𝑦𝐵 𝑥 = 𝐶)
9594ex 450 . . 3 ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐴𝐵) → (∀𝑥𝐴𝑦𝐵 𝑥 = 𝐶 → ∀𝑥𝐴 ∃*𝑦𝐵 𝑥 = 𝐶))
9695pm4.71d 665 . 2 ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐴𝐵) → (∀𝑥𝐴𝑦𝐵 𝑥 = 𝐶 ↔ (∀𝑥𝐴𝑦𝐵 𝑥 = 𝐶 ∧ ∀𝑥𝐴 ∃*𝑦𝐵 𝑥 = 𝐶)))
97 reu5 3151 . . . 4 (∃!𝑦𝐵 𝑥 = 𝐶 ↔ (∃𝑦𝐵 𝑥 = 𝐶 ∧ ∃*𝑦𝐵 𝑥 = 𝐶))
9897ralbii 2975 . . 3 (∀𝑥𝐴 ∃!𝑦𝐵 𝑥 = 𝐶 ↔ ∀𝑥𝐴 (∃𝑦𝐵 𝑥 = 𝐶 ∧ ∃*𝑦𝐵 𝑥 = 𝐶))
99 r19.26 3058 . . 3 (∀𝑥𝐴 (∃𝑦𝐵 𝑥 = 𝐶 ∧ ∃*𝑦𝐵 𝑥 = 𝐶) ↔ (∀𝑥𝐴𝑦𝐵 𝑥 = 𝐶 ∧ ∀𝑥𝐴 ∃*𝑦𝐵 𝑥 = 𝐶))
10098, 99bitri 264 . 2 (∀𝑥𝐴 ∃!𝑦𝐵 𝑥 = 𝐶 ↔ (∀𝑥𝐴𝑦𝐵 𝑥 = 𝐶 ∧ ∀𝑥𝐴 ∃*𝑦𝐵 𝑥 = 𝐶))
10196, 100syl6bbr 278 1 ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐴𝐵) → (∀𝑥𝐴𝑦𝐵 𝑥 = 𝐶 ↔ ∀𝑥𝐴 ∃!𝑦𝐵 𝑥 = 𝐶))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 196  wa 384  wal 1478   = wceq 1480  wcel 1987  ∃*wmo 2470  wral 2907  wrex 2908  ∃!wreu 2909  ∃*wrmo 2910  {crab 2911  Vcvv 3189  csb 3518  wss 3559  cop 4159   class class class wbr 4618  {copab 4677  cmpt 4678  wf 5848  1-1wf1 5849  ontowfo 5850  1-1-ontowf1o 5851  cen 7904  cdom 7905  Fincfn 7907
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1719  ax-4 1734  ax-5 1836  ax-6 1885  ax-7 1932  ax-8 1989  ax-9 1996  ax-10 2016  ax-11 2031  ax-12 2044  ax-13 2245  ax-ext 2601  ax-sep 4746  ax-nul 4754  ax-pow 4808  ax-pr 4872  ax-un 6909
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1037  df-3an 1038  df-tru 1483  df-ex 1702  df-nf 1707  df-sb 1878  df-eu 2473  df-mo 2474  df-clab 2608  df-cleq 2614  df-clel 2617  df-nfc 2750  df-ne 2791  df-ral 2912  df-rex 2913  df-reu 2914  df-rmo 2915  df-rab 2916  df-v 3191  df-sbc 3422  df-csb 3519  df-dif 3562  df-un 3564  df-in 3566  df-ss 3573  df-pss 3575  df-nul 3897  df-if 4064  df-pw 4137  df-sn 4154  df-pr 4156  df-tp 4158  df-op 4160  df-uni 4408  df-br 4619  df-opab 4679  df-mpt 4680  df-tr 4718  df-eprel 4990  df-id 4994  df-po 5000  df-so 5001  df-fr 5038  df-we 5040  df-xp 5085  df-rel 5086  df-cnv 5087  df-co 5088  df-dm 5089  df-rn 5090  df-res 5091  df-ima 5092  df-ord 5690  df-on 5691  df-lim 5692  df-suc 5693  df-iota 5815  df-fun 5854  df-fn 5855  df-f 5856  df-f1 5857  df-fo 5858  df-f1o 5859  df-fv 5860  df-om 7020  df-1o 7512  df-er 7694  df-en 7908  df-dom 7909  df-sdom 7910  df-fin 7911
This theorem is referenced by:  poimirlem25  33101  poimirlem26  33102
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