Theorem pi1addf 23654

Description: The group operation of π₁ is a binary operation. (Contributed by Jeff Madsen, 11-Jun-2010.) (Revised by Mario Carneiro, 10-Jul-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
elpi1.g	⊢ 𝐺 = (𝐽 π1 𝑌)
elpi1.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
elpi1.1	⊢ (𝜑 → 𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋))
elpi1.2	⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝑋)
pi1addf.p	⊢ + = (+g‘𝐺)

Assertion

Ref	Expression
pi1addf	⊢ (𝜑 → + :(𝐵 × 𝐵)⟶𝐵)

Proof of Theorem pi1addf

Dummy variables 𝑎 𝑏 𝑐 𝑑 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqidd 2825	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((𝐽 Ω1 𝑌) /s ( ≃ph‘𝐽)) = ((𝐽 Ω1 𝑌) /s ( ≃ph‘𝐽)))
2		eqidd 2825	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (Base‘(𝐽 Ω1 𝑌)) = (Base‘(𝐽 Ω1 𝑌)))
3		fvexd 6688	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ( ≃ph‘𝐽) ∈ V)
4		ovexd 7194	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝐽 Ω1 𝑌) ∈ V)
5		elpi1.g	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐺 = (𝐽 π1 𝑌)
6		elpi1.1	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋))
7		elpi1.2	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝑋)
8		eqid 2824	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐽 Ω1 𝑌) = (𝐽 Ω1 𝑌)
9		elpi1.b	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
10	9	a1i 11	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐵 = (Base‘𝐺))
11	5, 6, 7, 8, 10, 2	pi1blem 23646	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((( ≃ph‘𝐽) “ (Base‘(𝐽 Ω1 𝑌))) ⊆ (Base‘(𝐽 Ω1 𝑌)) ∧ (Base‘(𝐽 Ω1 𝑌)) ⊆ (II Cn 𝐽)))
12	11	simpld 497	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (( ≃ph‘𝐽) “ (Base‘(𝐽 Ω1 𝑌))) ⊆ (Base‘(𝐽 Ω1 𝑌)))
13	1, 2, 3, 4, 12	qusin 16820	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((𝐽 Ω1 𝑌) /s ( ≃ph‘𝐽)) = ((𝐽 Ω1 𝑌) /s (( ≃ph‘𝐽) ∩ ((Base‘(𝐽 Ω1 𝑌)) × (Base‘(𝐽 Ω1 𝑌))))))
14	5, 6, 7, 8	pi1val 23644	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐺 = ((𝐽 Ω1 𝑌) /s ( ≃ph‘𝐽)))
15	5, 6, 7, 8, 10, 2	pi1buni 23647	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ∪ 𝐵 = (Base‘(𝐽 Ω1 𝑌)))
16	15	sqxpeqd 5590	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (∪ 𝐵 × ∪ 𝐵) = ((Base‘(𝐽 Ω1 𝑌)) × (Base‘(𝐽 Ω1 𝑌))))
17	16	ineq2d 4192	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (( ≃ph‘𝐽) ∩ (∪ 𝐵 × ∪ 𝐵)) = (( ≃ph‘𝐽) ∩ ((Base‘(𝐽 Ω1 𝑌)) × (Base‘(𝐽 Ω1 𝑌)))))
18	17	oveq2d 7175	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((𝐽 Ω1 𝑌) /s (( ≃ph‘𝐽) ∩ (∪ 𝐵 × ∪ 𝐵))) = ((𝐽 Ω1 𝑌) /s (( ≃ph‘𝐽) ∩ ((Base‘(𝐽 Ω1 𝑌)) × (Base‘(𝐽 Ω1 𝑌))))))
19	13, 14, 18	3eqtr4d 2869	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐺 = ((𝐽 Ω1 𝑌) /s (( ≃ph‘𝐽) ∩ (∪ 𝐵 × ∪ 𝐵))))
20		phtpcer 23602	. . . . . 6 ⊢ ( ≃ph‘𝐽) Er (II Cn 𝐽)
21	20	a1i 11	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ( ≃ph‘𝐽) Er (II Cn 𝐽))
22	11	simprd 498	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (Base‘(𝐽 Ω1 𝑌)) ⊆ (II Cn 𝐽))
23	15, 22	eqsstrd 4008	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ∪ 𝐵 ⊆ (II Cn 𝐽))
24	21, 23	erinxp 8374	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (( ≃ph‘𝐽) ∩ (∪ 𝐵 × ∪ 𝐵)) Er ∪ 𝐵)
25		eqid 2824	. . . . 5 ⊢ (( ≃ph‘𝐽) ∩ (∪ 𝐵 × ∪ 𝐵)) = (( ≃ph‘𝐽) ∩ (∪ 𝐵 × ∪ 𝐵))
26		eqid 2824	. . . . 5 ⊢ (+g‘(𝐽 Ω1 𝑌)) = (+g‘(𝐽 Ω1 𝑌))
27	5, 6, 7, 10, 25, 8, 26	pi1cpbl 23651	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝑎(( ≃ph‘𝐽) ∩ (∪ 𝐵 × ∪ 𝐵))𝑐 ∧ 𝑏(( ≃ph‘𝐽) ∩ (∪ 𝐵 × ∪ 𝐵))𝑑) → (𝑎(+g‘(𝐽 Ω1 𝑌))𝑏)(( ≃ph‘𝐽) ∩ (∪ 𝐵 × ∪ 𝐵))(𝑐(+g‘(𝐽 Ω1 𝑌))𝑑)))
28	6	adantr 483	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑐 ∈ ∪ 𝐵 ∧ 𝑑 ∈ ∪ 𝐵)) → 𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋))
29	7	adantr 483	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑐 ∈ ∪ 𝐵 ∧ 𝑑 ∈ ∪ 𝐵)) → 𝑌 ∈ 𝑋)
30	8, 28, 29	om1plusg 23641	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑐 ∈ ∪ 𝐵 ∧ 𝑑 ∈ ∪ 𝐵)) → (*𝑝‘𝐽) = (+g‘(𝐽 Ω1 𝑌)))
31	30	oveqd 7176	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑐 ∈ ∪ 𝐵 ∧ 𝑑 ∈ ∪ 𝐵)) → (𝑐(*𝑝‘𝐽)𝑑) = (𝑐(+g‘(𝐽 Ω1 𝑌))𝑑))
32	15	adantr 483	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑐 ∈ ∪ 𝐵 ∧ 𝑑 ∈ ∪ 𝐵)) → ∪ 𝐵 = (Base‘(𝐽 Ω1 𝑌)))
33		simprl 769	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑐 ∈ ∪ 𝐵 ∧ 𝑑 ∈ ∪ 𝐵)) → 𝑐 ∈ ∪ 𝐵)
34		simprr 771	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑐 ∈ ∪ 𝐵 ∧ 𝑑 ∈ ∪ 𝐵)) → 𝑑 ∈ ∪ 𝐵)
35	8, 28, 29, 32, 33, 34	om1addcl 23640	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑐 ∈ ∪ 𝐵 ∧ 𝑑 ∈ ∪ 𝐵)) → (𝑐(*𝑝‘𝐽)𝑑) ∈ ∪ 𝐵)
36	31, 35	eqeltrrd 2917	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑐 ∈ ∪ 𝐵 ∧ 𝑑 ∈ ∪ 𝐵)) → (𝑐(+g‘(𝐽 Ω1 𝑌))𝑑) ∈ ∪ 𝐵)
37		pi1addf.p	. . . 4 ⊢ + = (+g‘𝐺)
38	19, 15, 24, 4, 27, 36, 26, 37	qusaddf 16830	. . 3 ⊢ (𝜑 → + :((∪ 𝐵 / (( ≃ph‘𝐽) ∩ (∪ 𝐵 × ∪ 𝐵))) × (∪ 𝐵 / (( ≃ph‘𝐽) ∩ (∪ 𝐵 × ∪ 𝐵))))⟶(∪ 𝐵 / (( ≃ph‘𝐽) ∩ (∪ 𝐵 × ∪ 𝐵))))
39	5, 6, 7, 10, 25	pi1bas3 23650	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐵 = (∪ 𝐵 / (( ≃ph‘𝐽) ∩ (∪ 𝐵 × ∪ 𝐵))))
40	39	sqxpeqd 5590	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐵 × 𝐵) = ((∪ 𝐵 / (( ≃ph‘𝐽) ∩ (∪ 𝐵 × ∪ 𝐵))) × (∪ 𝐵 / (( ≃ph‘𝐽) ∩ (∪ 𝐵 × ∪ 𝐵)))))
41	40	feq2d 6503	. . 3 ⊢ (𝜑 → ( + :(𝐵 × 𝐵)⟶(∪ 𝐵 / (( ≃ph‘𝐽) ∩ (∪ 𝐵 × ∪ 𝐵))) ↔ + :((∪ 𝐵 / (( ≃ph‘𝐽) ∩ (∪ 𝐵 × ∪ 𝐵))) × (∪ 𝐵 / (( ≃ph‘𝐽) ∩ (∪ 𝐵 × ∪ 𝐵))))⟶(∪ 𝐵 / (( ≃ph‘𝐽) ∩ (∪ 𝐵 × ∪ 𝐵)))))
42	38, 41	mpbird 259	. 2 ⊢ (𝜑 → + :(𝐵 × 𝐵)⟶(∪ 𝐵 / (( ≃ph‘𝐽) ∩ (∪ 𝐵 × ∪ 𝐵))))
43	39	feq3d 6504	. 2 ⊢ (𝜑 → ( + :(𝐵 × 𝐵)⟶𝐵 ↔ + :(𝐵 × 𝐵)⟶(∪ 𝐵 / (( ≃ph‘𝐽) ∩ (∪ 𝐵 × ∪ 𝐵)))))
44	42, 43	mpbird 259	1 ⊢ (𝜑 → + :(𝐵 × 𝐵)⟶𝐵)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 398   = wceq 1536   ∈ wcel 2113  Vcvv 3497   ∩ cin 3938   ⊆ wss 3939  ∪ cuni 4841   × cxp 5556   “ cima 5561  ⟶wf 6354  ‘cfv 6358  (class class class)co 7159   Er wer 8289   / cqs 8291  Basecbs 16486  +_gcplusg 16568   /_s cqus 16781  TopOnctopon 21521   Cn ccn 21835  IIcii 23486   ≃_phcphtpc 23576  *_𝑝cpco 23607   Ω₁ comi 23608   π₁ cpi1 23610

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1969  ax-7 2014  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2144  ax-11 2160  ax-12 2176  ax-ext 2796  ax-rep 5193  ax-sep 5206  ax-nul 5213  ax-pow 5269  ax-pr 5333  ax-un 7464  ax-cnex 10596  ax-resscn 10597  ax-1cn 10598  ax-icn 10599  ax-addcl 10600  ax-addrcl 10601  ax-mulcl 10602  ax-mulrcl 10603  ax-mulcom 10604  ax-addass 10605  ax-mulass 10606  ax-distr 10607  ax-i2m1 10608  ax-1ne0 10609  ax-1rid 10610  ax-rnegex 10611  ax-rrecex 10612  ax-cnre 10613  ax-pre-lttri 10614  ax-pre-lttrn 10615  ax-pre-ltadd 10616  ax-pre-mulgt0 10617  ax-pre-sup 10618  ax-mulf 10620

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3or 1084  df-3an 1085  df-tru 1539  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2069  df-mo 2621  df-eu 2653  df-clab 2803  df-cleq 2817  df-clel 2896  df-nfc 2966  df-ne 3020  df-nel 3127  df-ral 3146  df-rex 3147  df-reu 3148  df-rmo 3149  df-rab 3150  df-v 3499  df-sbc 3776  df-csb 3887  df-dif 3942  df-un 3944  df-in 3946  df-ss 3955  df-pss 3957  df-nul 4295  df-if 4471  df-pw 4544  df-sn 4571  df-pr 4573  df-tp 4575  df-op 4577  df-uni 4842  df-int 4880  df-iun 4924  df-iin 4925  df-br 5070  df-opab 5132  df-mpt 5150  df-tr 5176  df-id 5463  df-eprel 5468  df-po 5477  df-so 5478  df-fr 5517  df-se 5518  df-we 5519  df-xp 5564  df-rel 5565  df-cnv 5566  df-co 5567  df-dm 5568  df-rn 5569  df-res 5570  df-ima 5571  df-pred 6151  df-ord 6197  df-on 6198  df-lim 6199  df-suc 6200  df-iota 6317  df-fun 6360  df-fn 6361  df-f 6362  df-f1 6363  df-fo 6364  df-f1o 6365  df-fv 6366  df-isom 6367  df-riota 7117  df-ov 7162  df-oprab 7163  df-mpo 7164  df-of 7412  df-om 7584  df-1st 7692  df-2nd 7693  df-supp 7834  df-wrecs 7950  df-recs 8011  df-rdg 8049  df-1o 8105  df-2o 8106  df-oadd 8109  df-er 8292  df-ec 8294  df-qs 8298  df-map 8411  df-ixp 8465  df-en 8513  df-dom 8514  df-sdom 8515  df-fin 8516  df-fsupp 8837  df-fi 8878  df-sup 8909  df-inf 8910  df-oi 8977  df-card 9371  df-pnf 10680  df-mnf 10681  df-xr 10682  df-ltxr 10683  df-le 10684  df-sub 10875  df-neg 10876  df-div 11301  df-nn 11642  df-2 11703  df-3 11704  df-4 11705  df-5 11706  df-6 11707  df-7 11708  df-8 11709  df-9 11710  df-n0 11901  df-z 11985  df-dec 12102  df-uz 12247  df-q 12352  df-rp 12393  df-xneg 12510  df-xadd 12511  df-xmul 12512  df-ioo 12745  df-icc 12748  df-fz 12896  df-fzo 13037  df-seq 13373  df-exp 13433  df-hash 13694  df-cj 14461  df-re 14462  df-im 14463  df-sqrt 14597  df-abs 14598  df-struct 16488  df-ndx 16489  df-slot 16490  df-base 16492  df-sets 16493  df-ress 16494  df-plusg 16581  df-mulr 16582  df-starv 16583  df-sca 16584  df-vsca 16585  df-ip 16586  df-tset 16587  df-ple 16588  df-ds 16590  df-unif 16591  df-hom 16592  df-cco 16593  df-rest 16699  df-topn 16700  df-0g 16718  df-gsum 16719  df-topgen 16720  df-pt 16721  df-prds 16724  df-xrs 16778  df-qtop 16783  df-imas 16784  df-qus 16785  df-xps 16786  df-mre 16860  df-mrc 16861  df-acs 16863  df-mgm 17855  df-sgrp 17904  df-mnd 17915  df-submnd 17960  df-mulg 18228  df-cntz 18450  df-cmn 18911  df-psmet 20540  df-xmet 20541  df-met 20542  df-bl 20543  df-mopn 20544  df-cnfld 20549  df-top 21505  df-topon 21522  df-topsp 21544  df-bases 21557  df-cld 21630  df-cn 21838  df-cnp 21839  df-tx 22173  df-hmeo 22366  df-xms 22933  df-ms 22934  df-tms 22935  df-ii 23488  df-htpy 23577  df-phtpy 23578  df-phtpc 23599  df-pco 23612  df-om1 23613  df-pi1 23615

This theorem is referenced by: (None)