MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  pi1blem Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem pi1blem 23570
Description: Lemma for pi1buni 23571. (Contributed by Mario Carneiro, 10-Jul-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
pi1val.g 𝐺 = (𝐽 π1 𝑌)
pi1val.1 (𝜑𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋))
pi1val.2 (𝜑𝑌𝑋)
pi1val.o 𝑂 = (𝐽 Ω1 𝑌)
pi1bas.b (𝜑𝐵 = (Base‘𝐺))
pi1bas.k (𝜑𝐾 = (Base‘𝑂))
Assertion
Ref Expression
pi1blem (𝜑 → ((( ≃ph𝐽) “ 𝐾) ⊆ 𝐾𝐾 ⊆ (II Cn 𝐽)))

Proof of Theorem pi1blem
Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 vex 3495 . . . . 5 𝑥 ∈ V
21elima 5927 . . . 4 (𝑥 ∈ (( ≃ph𝐽) “ 𝐾) ↔ ∃𝑦𝐾 𝑦( ≃ph𝐽)𝑥)
3 simpr 485 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑦( ≃ph𝐽)𝑥) → 𝑦( ≃ph𝐽)𝑥)
4 isphtpc 23525 . . . . . . . . 9 (𝑦( ≃ph𝐽)𝑥 ↔ (𝑦 ∈ (II Cn 𝐽) ∧ 𝑥 ∈ (II Cn 𝐽) ∧ (𝑦(PHtpy‘𝐽)𝑥) ≠ ∅))
53, 4sylib 219 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑦( ≃ph𝐽)𝑥) → (𝑦 ∈ (II Cn 𝐽) ∧ 𝑥 ∈ (II Cn 𝐽) ∧ (𝑦(PHtpy‘𝐽)𝑥) ≠ ∅))
65adantrl 712 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝑦𝐾𝑦( ≃ph𝐽)𝑥)) → (𝑦 ∈ (II Cn 𝐽) ∧ 𝑥 ∈ (II Cn 𝐽) ∧ (𝑦(PHtpy‘𝐽)𝑥) ≠ ∅))
76simp2d 1135 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝑦𝐾𝑦( ≃ph𝐽)𝑥)) → 𝑥 ∈ (II Cn 𝐽))
8 phtpc01 23527 . . . . . . . . 9 (𝑦( ≃ph𝐽)𝑥 → ((𝑦‘0) = (𝑥‘0) ∧ (𝑦‘1) = (𝑥‘1)))
98ad2antll 725 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ (𝑦𝐾𝑦( ≃ph𝐽)𝑥)) → ((𝑦‘0) = (𝑥‘0) ∧ (𝑦‘1) = (𝑥‘1)))
109simpld 495 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝑦𝐾𝑦( ≃ph𝐽)𝑥)) → (𝑦‘0) = (𝑥‘0))
11 pi1val.o . . . . . . . . . . 11 𝑂 = (𝐽 Ω1 𝑌)
12 pi1val.1 . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋))
13 pi1val.2 . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝑌𝑋)
14 pi1bas.k . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝐾 = (Base‘𝑂))
1511, 12, 13, 14om1elbas 23563 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝑦𝐾 ↔ (𝑦 ∈ (II Cn 𝐽) ∧ (𝑦‘0) = 𝑌 ∧ (𝑦‘1) = 𝑌)))
1615biimpa 477 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑦𝐾) → (𝑦 ∈ (II Cn 𝐽) ∧ (𝑦‘0) = 𝑌 ∧ (𝑦‘1) = 𝑌))
1716adantrr 713 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ (𝑦𝐾𝑦( ≃ph𝐽)𝑥)) → (𝑦 ∈ (II Cn 𝐽) ∧ (𝑦‘0) = 𝑌 ∧ (𝑦‘1) = 𝑌))
1817simp2d 1135 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝑦𝐾𝑦( ≃ph𝐽)𝑥)) → (𝑦‘0) = 𝑌)
1910, 18eqtr3d 2855 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝑦𝐾𝑦( ≃ph𝐽)𝑥)) → (𝑥‘0) = 𝑌)
209simprd 496 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝑦𝐾𝑦( ≃ph𝐽)𝑥)) → (𝑦‘1) = (𝑥‘1))
2117simp3d 1136 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝑦𝐾𝑦( ≃ph𝐽)𝑥)) → (𝑦‘1) = 𝑌)
2220, 21eqtr3d 2855 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝑦𝐾𝑦( ≃ph𝐽)𝑥)) → (𝑥‘1) = 𝑌)
2311, 12, 13, 14om1elbas 23563 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝑥𝐾 ↔ (𝑥 ∈ (II Cn 𝐽) ∧ (𝑥‘0) = 𝑌 ∧ (𝑥‘1) = 𝑌)))
2423adantr 481 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝑦𝐾𝑦( ≃ph𝐽)𝑥)) → (𝑥𝐾 ↔ (𝑥 ∈ (II Cn 𝐽) ∧ (𝑥‘0) = 𝑌 ∧ (𝑥‘1) = 𝑌)))
257, 19, 22, 24mpbir3and 1334 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝑦𝐾𝑦( ≃ph𝐽)𝑥)) → 𝑥𝐾)
2625rexlimdvaa 3282 . . . 4 (𝜑 → (∃𝑦𝐾 𝑦( ≃ph𝐽)𝑥𝑥𝐾))
272, 26syl5bi 243 . . 3 (𝜑 → (𝑥 ∈ (( ≃ph𝐽) “ 𝐾) → 𝑥𝐾))
2827ssrdv 3970 . 2 (𝜑 → (( ≃ph𝐽) “ 𝐾) ⊆ 𝐾)
29 simp1 1128 . . . 4 ((𝑥 ∈ (II Cn 𝐽) ∧ (𝑥‘0) = 𝑌 ∧ (𝑥‘1) = 𝑌) → 𝑥 ∈ (II Cn 𝐽))
3023, 29syl6bi 254 . . 3 (𝜑 → (𝑥𝐾𝑥 ∈ (II Cn 𝐽)))
3130ssrdv 3970 . 2 (𝜑𝐾 ⊆ (II Cn 𝐽))
3228, 31jca 512 1 (𝜑 → ((( ≃ph𝐽) “ 𝐾) ⊆ 𝐾𝐾 ⊆ (II Cn 𝐽)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 207  wa 396  w3a 1079   = wceq 1528  wcel 2105  wne 3013  wrex 3136  wss 3933  c0 4288   class class class wbr 5057  cima 5551  cfv 6348  (class class class)co 7145  0cc0 10525  1c1 10526  Basecbs 16471  TopOnctopon 21446   Cn ccn 21760  IIcii 23410  PHtpycphtpy 23499  phcphtpc 23500   Ω1 comi 23532   π1 cpi1 23534
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1787  ax-4 1801  ax-5 1902  ax-6 1961  ax-7 2006  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2151  ax-12 2167  ax-ext 2790  ax-rep 5181  ax-sep 5194  ax-nul 5201  ax-pow 5257  ax-pr 5320  ax-un 7450  ax-cnex 10581  ax-resscn 10582  ax-1cn 10583  ax-icn 10584  ax-addcl 10585  ax-addrcl 10586  ax-mulcl 10587  ax-mulrcl 10588  ax-mulcom 10589  ax-addass 10590  ax-mulass 10591  ax-distr 10592  ax-i2m1 10593  ax-1ne0 10594  ax-1rid 10595  ax-rnegex 10596  ax-rrecex 10597  ax-cnre 10598  ax-pre-lttri 10599  ax-pre-lttrn 10600  ax-pre-ltadd 10601  ax-pre-mulgt0 10602  ax-pre-sup 10603
This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 842  df-3or 1080  df-3an 1081  df-tru 1531  df-ex 1772  df-nf 1776  df-sb 2061  df-mo 2615  df-eu 2647  df-clab 2797  df-cleq 2811  df-clel 2890  df-nfc 2960  df-ne 3014  df-nel 3121  df-ral 3140  df-rex 3141  df-reu 3142  df-rmo 3143  df-rab 3144  df-v 3494  df-sbc 3770  df-csb 3881  df-dif 3936  df-un 3938  df-in 3940  df-ss 3949  df-pss 3951  df-nul 4289  df-if 4464  df-pw 4537  df-sn 4558  df-pr 4560  df-tp 4562  df-op 4564  df-uni 4831  df-int 4868  df-iun 4912  df-br 5058  df-opab 5120  df-mpt 5138  df-tr 5164  df-id 5453  df-eprel 5458  df-po 5467  df-so 5468  df-fr 5507  df-we 5509  df-xp 5554  df-rel 5555  df-cnv 5556  df-co 5557  df-dm 5558  df-rn 5559  df-res 5560  df-ima 5561  df-pred 6141  df-ord 6187  df-on 6188  df-lim 6189  df-suc 6190  df-iota 6307  df-fun 6350  df-fn 6351  df-f 6352  df-f1 6353  df-fo 6354  df-f1o 6355  df-fv 6356  df-riota 7103  df-ov 7148  df-oprab 7149  df-mpo 7150  df-om 7570  df-1st 7678  df-2nd 7679  df-wrecs 7936  df-recs 7997  df-rdg 8035  df-1o 8091  df-oadd 8095  df-er 8278  df-map 8397  df-en 8498  df-dom 8499  df-sdom 8500  df-fin 8501  df-sup 8894  df-inf 8895  df-pnf 10665  df-mnf 10666  df-xr 10667  df-ltxr 10668  df-le 10669  df-sub 10860  df-neg 10861  df-div 11286  df-nn 11627  df-2 11688  df-3 11689  df-4 11690  df-5 11691  df-6 11692  df-7 11693  df-8 11694  df-9 11695  df-n0 11886  df-z 11970  df-uz 12232  df-q 12337  df-rp 12378  df-xneg 12495  df-xadd 12496  df-xmul 12497  df-icc 12733  df-fz 12881  df-seq 13358  df-exp 13418  df-cj 14446  df-re 14447  df-im 14448  df-sqrt 14582  df-abs 14583  df-struct 16473  df-ndx 16474  df-slot 16475  df-base 16477  df-plusg 16566  df-tset 16572  df-topgen 16705  df-psmet 20465  df-xmet 20466  df-met 20467  df-bl 20468  df-mopn 20469  df-top 21430  df-topon 21447  df-bases 21482  df-cn 21763  df-ii 23412  df-htpy 23501  df-phtpy 23502  df-phtpc 23523  df-om1 23537
This theorem is referenced by:  pi1buni  23571  pi1bas3  23574  pi1addf  23578  pi1addval  23579  pi1grplem  23580
  Copyright terms: Public domain W3C validator