Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  pi1coval Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem pi1coval 22800
 Description: The value of the loop transfer function on the equivalence class of a path. (Contributed by Mario Carneiro, 10-Aug-2015.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 23-Dec-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
pi1co.p 𝑃 = (𝐽 π1 𝐴)
pi1co.q 𝑄 = (𝐾 π1 𝐵)
pi1co.v 𝑉 = (Base‘𝑃)
pi1co.g 𝐺 = ran (𝑔 𝑉 ↦ ⟨[𝑔]( ≃ph𝐽), [(𝐹𝑔)]( ≃ph𝐾)⟩)
pi1co.j (𝜑𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋))
pi1co.f (𝜑𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾))
pi1co.a (𝜑𝐴𝑋)
pi1co.b (𝜑 → (𝐹𝐴) = 𝐵)
Assertion
Ref Expression
pi1coval ((𝜑𝑇 𝑉) → (𝐺‘[𝑇]( ≃ph𝐽)) = [(𝐹𝑇)]( ≃ph𝐾))
Distinct variable groups:   𝐴,𝑔   𝑔,𝐹   𝑔,𝐽   𝜑,𝑔   𝑔,𝐾   𝑃,𝑔   𝑇,𝑔   𝑄,𝑔   𝑔,𝑉
Allowed substitution hints:   𝐵(𝑔)   𝐺(𝑔)   𝑋(𝑔)

Proof of Theorem pi1coval
StepHypRef Expression
1 pi1co.g . 2 𝐺 = ran (𝑔 𝑉 ↦ ⟨[𝑔]( ≃ph𝐽), [(𝐹𝑔)]( ≃ph𝐾)⟩)
2 fvex 6168 . . 3 ( ≃ph𝐽) ∈ V
3 ecexg 7706 . . 3 (( ≃ph𝐽) ∈ V → [𝑔]( ≃ph𝐽) ∈ V)
42, 3mp1i 13 . 2 ((𝜑𝑔 𝑉) → [𝑔]( ≃ph𝐽) ∈ V)
5 fvex 6168 . . 3 ( ≃ph𝐾) ∈ V
6 ecexg 7706 . . 3 (( ≃ph𝐾) ∈ V → [(𝐹𝑔)]( ≃ph𝐾) ∈ V)
75, 6mp1i 13 . 2 ((𝜑𝑔 𝑉) → [(𝐹𝑔)]( ≃ph𝐾) ∈ V)
8 eceq1 7742 . 2 (𝑔 = 𝑇 → [𝑔]( ≃ph𝐽) = [𝑇]( ≃ph𝐽))
9 coeq2 5250 . . 3 (𝑔 = 𝑇 → (𝐹𝑔) = (𝐹𝑇))
109eceq1d 7743 . 2 (𝑔 = 𝑇 → [(𝐹𝑔)]( ≃ph𝐾) = [(𝐹𝑇)]( ≃ph𝐾))
11 pi1co.p . . . 4 𝑃 = (𝐽 π1 𝐴)
12 pi1co.q . . . 4 𝑄 = (𝐾 π1 𝐵)
13 pi1co.v . . . 4 𝑉 = (Base‘𝑃)
14 pi1co.j . . . 4 (𝜑𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋))
15 pi1co.f . . . 4 (𝜑𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾))
16 pi1co.a . . . 4 (𝜑𝐴𝑋)
17 pi1co.b . . . 4 (𝜑 → (𝐹𝐴) = 𝐵)
1811, 12, 13, 1, 14, 15, 16, 17pi1cof 22799 . . 3 (𝜑𝐺:𝑉⟶(Base‘𝑄))
19 ffun 6015 . . 3 (𝐺:𝑉⟶(Base‘𝑄) → Fun 𝐺)
2018, 19syl 17 . 2 (𝜑 → Fun 𝐺)
211, 4, 7, 8, 10, 20fliftval 6531 1 ((𝜑𝑇 𝑉) → (𝐺‘[𝑇]( ≃ph𝐽)) = [(𝐹𝑇)]( ≃ph𝐾))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 384   = wceq 1480   ∈ wcel 1987  Vcvv 3190  ⟨cop 4161  ∪ cuni 4409   ↦ cmpt 4683  ran crn 5085   ∘ ccom 5088  Fun wfun 5851  ⟶wf 5853  ‘cfv 5857  (class class class)co 6615  [cec 7700  Basecbs 15800  TopOnctopon 20655   Cn ccn 20968   ≃phcphtpc 22708   π1 cpi1 22743 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1719  ax-4 1734  ax-5 1836  ax-6 1885  ax-7 1932  ax-8 1989  ax-9 1996  ax-10 2016  ax-11 2031  ax-12 2044  ax-13 2245  ax-ext 2601  ax-rep 4741  ax-sep 4751  ax-nul 4759  ax-pow 4813  ax-pr 4877  ax-un 6914  ax-inf2 8498  ax-cnex 9952  ax-resscn 9953  ax-1cn 9954  ax-icn 9955  ax-addcl 9956  ax-addrcl 9957  ax-mulcl 9958  ax-mulrcl 9959  ax-mulcom 9960  ax-addass 9961  ax-mulass 9962  ax-distr 9963  ax-i2m1 9964  ax-1ne0 9965  ax-1rid 9966  ax-rnegex 9967  ax-rrecex 9968  ax-cnre 9969  ax-pre-lttri 9970  ax-pre-lttrn 9971  ax-pre-ltadd 9972  ax-pre-mulgt0 9973  ax-pre-sup 9974  ax-mulf 9976 This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1037  df-3an 1038  df-tru 1483  df-ex 1702  df-nf 1707  df-sb 1878  df-eu 2473  df-mo 2474  df-clab 2608  df-cleq 2614  df-clel 2617  df-nfc 2750  df-ne 2791  df-nel 2894  df-ral 2913  df-rex 2914  df-reu 2915  df-rmo 2916  df-rab 2917  df-v 3192  df-sbc 3423  df-csb 3520  df-dif 3563  df-un 3565  df-in 3567  df-ss 3574  df-pss 3576  df-nul 3898  df-if 4065  df-pw 4138  df-sn 4156  df-pr 4158  df-tp 4160  df-op 4162  df-uni 4410  df-int 4448  df-iun 4494  df-iin 4495  df-br 4624  df-opab 4684  df-mpt 4685  df-tr 4723  df-eprel 4995  df-id 4999  df-po 5005  df-so 5006  df-fr 5043  df-se 5044  df-we 5045  df-xp 5090  df-rel 5091  df-cnv 5092  df-co 5093  df-dm 5094  df-rn 5095  df-res 5096  df-ima 5097  df-pred 5649  df-ord 5695  df-on 5696  df-lim 5697  df-suc 5698  df-iota 5820  df-fun 5859  df-fn 5860  df-f 5861  df-f1 5862  df-fo 5863  df-f1o 5864  df-fv 5865  df-isom 5866  df-riota 6576  df-ov 6618  df-oprab 6619  df-mpt2 6620  df-of 6862  df-om 7028  df-1st 7128  df-2nd 7129  df-supp 7256  df-wrecs 7367  df-recs 7428  df-rdg 7466  df-1o 7520  df-2o 7521  df-oadd 7524  df-er 7702  df-ec 7704  df-qs 7708  df-map 7819  df-ixp 7869  df-en 7916  df-dom 7917  df-sdom 7918  df-fin 7919  df-fsupp 8236  df-fi 8277  df-sup 8308  df-inf 8309  df-oi 8375  df-card 8725  df-cda 8950  df-pnf 10036  df-mnf 10037  df-xr 10038  df-ltxr 10039  df-le 10040  df-sub 10228  df-neg 10229  df-div 10645  df-nn 10981  df-2 11039  df-3 11040  df-4 11041  df-5 11042  df-6 11043  df-7 11044  df-8 11045  df-9 11046  df-n0 11253  df-z 11338  df-dec 11454  df-uz 11648  df-q 11749  df-rp 11793  df-xneg 11906  df-xadd 11907  df-xmul 11908  df-ioo 12137  df-icc 12140  df-fz 12285  df-fzo 12423  df-seq 12758  df-exp 12817  df-hash 13074  df-cj 13789  df-re 13790  df-im 13791  df-sqrt 13925  df-abs 13926  df-struct 15802  df-ndx 15803  df-slot 15804  df-base 15805  df-sets 15806  df-ress 15807  df-plusg 15894  df-mulr 15895  df-starv 15896  df-sca 15897  df-vsca 15898  df-ip 15899  df-tset 15900  df-ple 15901  df-ds 15904  df-unif 15905  df-hom 15906  df-cco 15907  df-rest 16023  df-topn 16024  df-0g 16042  df-gsum 16043  df-topgen 16044  df-pt 16045  df-prds 16048  df-xrs 16102  df-qtop 16107  df-imas 16108  df-qus 16109  df-xps 16110  df-mre 16186  df-mrc 16187  df-acs 16189  df-mgm 17182  df-sgrp 17224  df-mnd 17235  df-submnd 17276  df-mulg 17481  df-cntz 17690  df-cmn 18135  df-psmet 19678  df-xmet 19679  df-met 19680  df-bl 19681  df-mopn 19682  df-cnfld 19687  df-top 20639  df-topon 20656  df-topsp 20677  df-bases 20690  df-cld 20763  df-cn 20971  df-cnp 20972  df-tx 21305  df-hmeo 21498  df-xms 22065  df-ms 22066  df-tms 22067  df-ii 22620  df-htpy 22709  df-phtpy 22710  df-phtpc 22731  df-om1 22746  df-pi1 22748 This theorem is referenced by:  pi1coghm  22801
 Copyright terms: Public domain W3C validator