MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  pi1inv Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem pi1inv 23583
Description: An inverse in the fundamental group. (Contributed by Mario Carneiro, 12-Feb-2015.) (Revised by Mario Carneiro, 10-Aug-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
pi1grp.2 𝐺 = (𝐽 π1 𝑌)
pi1inv.n 𝑁 = (invg𝐺)
pi1inv.j (𝜑𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋))
pi1inv.y (𝜑𝑌𝑋)
pi1inv.f (𝜑𝐹 ∈ (II Cn 𝐽))
pi1inv.0 (𝜑 → (𝐹‘0) = 𝑌)
pi1inv.1 (𝜑 → (𝐹‘1) = 𝑌)
pi1inv.i 𝐼 = (𝑥 ∈ (0[,]1) ↦ (𝐹‘(1 − 𝑥)))
Assertion
Ref Expression
pi1inv (𝜑 → (𝑁‘[𝐹]( ≃ph𝐽)) = [𝐼]( ≃ph𝐽))
Distinct variable groups:   𝑥,𝐹   𝑥,𝐺   𝑥,𝐽   𝜑,𝑥   𝑥,𝑌
Allowed substitution hints:   𝐼(𝑥)   𝑁(𝑥)   𝑋(𝑥)

Proof of Theorem pi1inv
StepHypRef Expression
1 pi1grp.2 . . . 4 𝐺 = (𝐽 π1 𝑌)
2 eqid 2818 . . . 4 (Base‘𝐺) = (Base‘𝐺)
3 pi1inv.j . . . 4 (𝜑𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋))
4 pi1inv.y . . . 4 (𝜑𝑌𝑋)
5 eqid 2818 . . . 4 (+g𝐺) = (+g𝐺)
6 pi1inv.f . . . . . . 7 (𝜑𝐹 ∈ (II Cn 𝐽))
7 pi1inv.i . . . . . . . 8 𝐼 = (𝑥 ∈ (0[,]1) ↦ (𝐹‘(1 − 𝑥)))
87pcorevcl 23556 . . . . . . 7 (𝐹 ∈ (II Cn 𝐽) → (𝐼 ∈ (II Cn 𝐽) ∧ (𝐼‘0) = (𝐹‘1) ∧ (𝐼‘1) = (𝐹‘0)))
96, 8syl 17 . . . . . 6 (𝜑 → (𝐼 ∈ (II Cn 𝐽) ∧ (𝐼‘0) = (𝐹‘1) ∧ (𝐼‘1) = (𝐹‘0)))
109simp1d 1134 . . . . 5 (𝜑𝐼 ∈ (II Cn 𝐽))
119simp2d 1135 . . . . . 6 (𝜑 → (𝐼‘0) = (𝐹‘1))
12 pi1inv.1 . . . . . 6 (𝜑 → (𝐹‘1) = 𝑌)
1311, 12eqtrd 2853 . . . . 5 (𝜑 → (𝐼‘0) = 𝑌)
149simp3d 1136 . . . . . 6 (𝜑 → (𝐼‘1) = (𝐹‘0))
15 pi1inv.0 . . . . . 6 (𝜑 → (𝐹‘0) = 𝑌)
1614, 15eqtrd 2853 . . . . 5 (𝜑 → (𝐼‘1) = 𝑌)
172a1i 11 . . . . . 6 (𝜑 → (Base‘𝐺) = (Base‘𝐺))
181, 3, 4, 17pi1eluni 23573 . . . . 5 (𝜑 → (𝐼 (Base‘𝐺) ↔ (𝐼 ∈ (II Cn 𝐽) ∧ (𝐼‘0) = 𝑌 ∧ (𝐼‘1) = 𝑌)))
1910, 13, 16, 18mpbir3and 1334 . . . 4 (𝜑𝐼 (Base‘𝐺))
201, 3, 4, 17pi1eluni 23573 . . . . 5 (𝜑 → (𝐹 (Base‘𝐺) ↔ (𝐹 ∈ (II Cn 𝐽) ∧ (𝐹‘0) = 𝑌 ∧ (𝐹‘1) = 𝑌)))
216, 15, 12, 20mpbir3and 1334 . . . 4 (𝜑𝐹 (Base‘𝐺))
221, 2, 3, 4, 5, 19, 21pi1addval 23579 . . 3 (𝜑 → ([𝐼]( ≃ph𝐽)(+g𝐺)[𝐹]( ≃ph𝐽)) = [(𝐼(*𝑝𝐽)𝐹)]( ≃ph𝐽))
23 phtpcer 23526 . . . . 5 ( ≃ph𝐽) Er (II Cn 𝐽)
2423a1i 11 . . . 4 (𝜑 → ( ≃ph𝐽) Er (II Cn 𝐽))
25 eqid 2818 . . . . . . 7 ((0[,]1) × {(𝐹‘1)}) = ((0[,]1) × {(𝐹‘1)})
267, 25pcorev 23558 . . . . . 6 (𝐹 ∈ (II Cn 𝐽) → (𝐼(*𝑝𝐽)𝐹)( ≃ph𝐽)((0[,]1) × {(𝐹‘1)}))
276, 26syl 17 . . . . 5 (𝜑 → (𝐼(*𝑝𝐽)𝐹)( ≃ph𝐽)((0[,]1) × {(𝐹‘1)}))
2812sneqd 4569 . . . . . 6 (𝜑 → {(𝐹‘1)} = {𝑌})
2928xpeq2d 5578 . . . . 5 (𝜑 → ((0[,]1) × {(𝐹‘1)}) = ((0[,]1) × {𝑌}))
3027, 29breqtrd 5083 . . . 4 (𝜑 → (𝐼(*𝑝𝐽)𝐹)( ≃ph𝐽)((0[,]1) × {𝑌}))
3124, 30erthi 8329 . . 3 (𝜑 → [(𝐼(*𝑝𝐽)𝐹)]( ≃ph𝐽) = [((0[,]1) × {𝑌})]( ≃ph𝐽))
32 eqid 2818 . . . . 5 ((0[,]1) × {𝑌}) = ((0[,]1) × {𝑌})
331, 2, 3, 4, 32pi1grplem 23580 . . . 4 (𝜑 → (𝐺 ∈ Grp ∧ [((0[,]1) × {𝑌})]( ≃ph𝐽) = (0g𝐺)))
3433simprd 496 . . 3 (𝜑 → [((0[,]1) × {𝑌})]( ≃ph𝐽) = (0g𝐺))
3522, 31, 343eqtrd 2857 . 2 (𝜑 → ([𝐼]( ≃ph𝐽)(+g𝐺)[𝐹]( ≃ph𝐽)) = (0g𝐺))
3633simpld 495 . . 3 (𝜑𝐺 ∈ Grp)
371, 2, 3, 4, 6, 15, 12elpi1i 23577 . . 3 (𝜑 → [𝐹]( ≃ph𝐽) ∈ (Base‘𝐺))
381, 2, 3, 4, 10, 13, 16elpi1i 23577 . . 3 (𝜑 → [𝐼]( ≃ph𝐽) ∈ (Base‘𝐺))
39 eqid 2818 . . . 4 (0g𝐺) = (0g𝐺)
40 pi1inv.n . . . 4 𝑁 = (invg𝐺)
412, 5, 39, 40grpinvid2 18093 . . 3 ((𝐺 ∈ Grp ∧ [𝐹]( ≃ph𝐽) ∈ (Base‘𝐺) ∧ [𝐼]( ≃ph𝐽) ∈ (Base‘𝐺)) → ((𝑁‘[𝐹]( ≃ph𝐽)) = [𝐼]( ≃ph𝐽) ↔ ([𝐼]( ≃ph𝐽)(+g𝐺)[𝐹]( ≃ph𝐽)) = (0g𝐺)))
4236, 37, 38, 41syl3anc 1363 . 2 (𝜑 → ((𝑁‘[𝐹]( ≃ph𝐽)) = [𝐼]( ≃ph𝐽) ↔ ([𝐼]( ≃ph𝐽)(+g𝐺)[𝐹]( ≃ph𝐽)) = (0g𝐺)))
4335, 42mpbird 258 1 (𝜑 → (𝑁‘[𝐹]( ≃ph𝐽)) = [𝐼]( ≃ph𝐽))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 207  w3a 1079   = wceq 1528  wcel 2105  {csn 4557   cuni 4830   class class class wbr 5057  cmpt 5137   × cxp 5546  cfv 6348  (class class class)co 7145   Er wer 8275  [cec 8276  0cc0 10525  1c1 10526  cmin 10858  [,]cicc 12729  Basecbs 16471  +gcplusg 16553  0gc0g 16701  Grpcgrp 18041  invgcminusg 18042  TopOnctopon 21446   Cn ccn 21760  IIcii 23410  phcphtpc 23500  *𝑝cpco 23531   π1 cpi1 23534
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1787  ax-4 1801  ax-5 1902  ax-6 1961  ax-7 2006  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2151  ax-12 2167  ax-ext 2790  ax-rep 5181  ax-sep 5194  ax-nul 5201  ax-pow 5257  ax-pr 5320  ax-un 7450  ax-cnex 10581  ax-resscn 10582  ax-1cn 10583  ax-icn 10584  ax-addcl 10585  ax-addrcl 10586  ax-mulcl 10587  ax-mulrcl 10588  ax-mulcom 10589  ax-addass 10590  ax-mulass 10591  ax-distr 10592  ax-i2m1 10593  ax-1ne0 10594  ax-1rid 10595  ax-rnegex 10596  ax-rrecex 10597  ax-cnre 10598  ax-pre-lttri 10599  ax-pre-lttrn 10600  ax-pre-ltadd 10601  ax-pre-mulgt0 10602  ax-pre-sup 10603  ax-addf 10604  ax-mulf 10605
This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 842  df-3or 1080  df-3an 1081  df-tru 1531  df-ex 1772  df-nf 1776  df-sb 2061  df-mo 2615  df-eu 2647  df-clab 2797  df-cleq 2811  df-clel 2890  df-nfc 2960  df-ne 3014  df-nel 3121  df-ral 3140  df-rex 3141  df-reu 3142  df-rmo 3143  df-rab 3144  df-v 3494  df-sbc 3770  df-csb 3881  df-dif 3936  df-un 3938  df-in 3940  df-ss 3949  df-pss 3951  df-nul 4289  df-if 4464  df-pw 4537  df-sn 4558  df-pr 4560  df-tp 4562  df-op 4564  df-uni 4831  df-int 4868  df-iun 4912  df-iin 4913  df-br 5058  df-opab 5120  df-mpt 5138  df-tr 5164  df-id 5453  df-eprel 5458  df-po 5467  df-so 5468  df-fr 5507  df-se 5508  df-we 5509  df-xp 5554  df-rel 5555  df-cnv 5556  df-co 5557  df-dm 5558  df-rn 5559  df-res 5560  df-ima 5561  df-pred 6141  df-ord 6187  df-on 6188  df-lim 6189  df-suc 6190  df-iota 6307  df-fun 6350  df-fn 6351  df-f 6352  df-f1 6353  df-fo 6354  df-f1o 6355  df-fv 6356  df-isom 6357  df-riota 7103  df-ov 7148  df-oprab 7149  df-mpo 7150  df-of 7398  df-om 7570  df-1st 7678  df-2nd 7679  df-supp 7820  df-wrecs 7936  df-recs 7997  df-rdg 8035  df-1o 8091  df-2o 8092  df-oadd 8095  df-er 8278  df-ec 8280  df-qs 8284  df-map 8397  df-ixp 8450  df-en 8498  df-dom 8499  df-sdom 8500  df-fin 8501  df-fsupp 8822  df-fi 8863  df-sup 8894  df-inf 8895  df-oi 8962  df-card 9356  df-pnf 10665  df-mnf 10666  df-xr 10667  df-ltxr 10668  df-le 10669  df-sub 10860  df-neg 10861  df-div 11286  df-nn 11627  df-2 11688  df-3 11689  df-4 11690  df-5 11691  df-6 11692  df-7 11693  df-8 11694  df-9 11695  df-n0 11886  df-z 11970  df-dec 12087  df-uz 12232  df-q 12337  df-rp 12378  df-xneg 12495  df-xadd 12496  df-xmul 12497  df-ioo 12730  df-icc 12733  df-fz 12881  df-fzo 13022  df-seq 13358  df-exp 13418  df-hash 13679  df-cj 14446  df-re 14447  df-im 14448  df-sqrt 14582  df-abs 14583  df-struct 16473  df-ndx 16474  df-slot 16475  df-base 16477  df-sets 16478  df-ress 16479  df-plusg 16566  df-mulr 16567  df-starv 16568  df-sca 16569  df-vsca 16570  df-ip 16571  df-tset 16572  df-ple 16573  df-ds 16575  df-unif 16576  df-hom 16577  df-cco 16578  df-rest 16684  df-topn 16685  df-0g 16703  df-gsum 16704  df-topgen 16705  df-pt 16706  df-prds 16709  df-xrs 16763  df-qtop 16768  df-imas 16769  df-qus 16770  df-xps 16771  df-mre 16845  df-mrc 16846  df-acs 16848  df-mgm 17840  df-sgrp 17889  df-mnd 17900  df-submnd 17945  df-grp 18044  df-minusg 18045  df-mulg 18163  df-cntz 18385  df-cmn 18837  df-psmet 20465  df-xmet 20466  df-met 20467  df-bl 20468  df-mopn 20469  df-cnfld 20474  df-top 21430  df-topon 21447  df-topsp 21469  df-bases 21482  df-cld 21555  df-cn 21763  df-cnp 21764  df-tx 22098  df-hmeo 22291  df-xms 22857  df-ms 22858  df-tms 22859  df-ii 23412  df-htpy 23501  df-phtpy 23502  df-phtpc 23523  df-pco 23536  df-om1 23537  df-pi1 23539
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator