Users' Mathboxes Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  pimdecfgtioc Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem pimdecfgtioc 40219
Description: Given a non-increasing function, the preimage of an unbounded above, open interval, when the supremum of the preimage belongs to the preimage. (Contributed by Glauco Siliprandi, 26-Jun-2021.)
Hypotheses
Ref Expression
pimdecfgtioc.x 𝑥𝜑
pimdecfgtioc.a (𝜑𝐴 ⊆ ℝ)
pimdecfgtioc.f (𝜑𝐹:𝐴⟶ℝ*)
pimdecfgtioc.i (𝜑 → ∀𝑥𝐴𝑦𝐴 (𝑥𝑦 → (𝐹𝑦) ≤ (𝐹𝑥)))
pimdecfgtioc.r (𝜑𝑅 ∈ ℝ*)
pimdecfgtioc.y 𝑌 = {𝑥𝐴𝑅 < (𝐹𝑥)}
pimdecfgtioc.c 𝑆 = sup(𝑌, ℝ*, < )
pimdecfgtioc.e (𝜑𝑆𝑌)
pimdecfgtioc.d 𝐼 = (-∞(,]𝑆)
Assertion
Ref Expression
pimdecfgtioc (𝜑𝑌 = (𝐼𝐴))
Distinct variable groups:   𝑥,𝐴,𝑦   𝑥,𝐹,𝑦   𝑥,𝐼   𝑥,𝑅   𝑦,𝑆
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥,𝑦)   𝑅(𝑦)   𝑆(𝑥)   𝐼(𝑦)   𝑌(𝑥,𝑦)

Proof of Theorem pimdecfgtioc
Dummy variable 𝑧 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 pimdecfgtioc.y . . . . . . 7 𝑌 = {𝑥𝐴𝑅 < (𝐹𝑥)}
2 ssrab2 3671 . . . . . . 7 {𝑥𝐴𝑅 < (𝐹𝑥)} ⊆ 𝐴
31, 2eqsstri 3619 . . . . . 6 𝑌𝐴
43a1i 11 . . . . 5 (𝜑𝑌𝐴)
5 pimdecfgtioc.a . . . . 5 (𝜑𝐴 ⊆ ℝ)
64, 5sstrd 3598 . . . 4 (𝜑𝑌 ⊆ ℝ)
7 pimdecfgtioc.c . . . 4 𝑆 = sup(𝑌, ℝ*, < )
8 pimdecfgtioc.e . . . 4 (𝜑𝑆𝑌)
9 pimdecfgtioc.d . . . 4 𝐼 = (-∞(,]𝑆)
106, 7, 8, 9ressiocsup 39179 . . 3 (𝜑𝑌𝐼)
1110, 4ssind 3820 . 2 (𝜑𝑌 ⊆ (𝐼𝐴))
12 pimdecfgtioc.x . . . 4 𝑥𝜑
13 elinel2 3783 . . . . . . . 8 (𝑥 ∈ (𝐼𝐴) → 𝑥𝐴)
1413adantl 482 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐼𝐴)) → 𝑥𝐴)
15 pimdecfgtioc.r . . . . . . . . 9 (𝜑𝑅 ∈ ℝ*)
1615adantr 481 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐼𝐴)) → 𝑅 ∈ ℝ*)
17 pimdecfgtioc.f . . . . . . . . . 10 (𝜑𝐹:𝐴⟶ℝ*)
183, 8sseldi 3586 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝑆𝐴)
1917, 18ffvelrnd 6317 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝐹𝑆) ∈ ℝ*)
2019adantr 481 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐼𝐴)) → (𝐹𝑆) ∈ ℝ*)
2117adantr 481 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐼𝐴)) → 𝐹:𝐴⟶ℝ*)
2221, 14ffvelrnd 6317 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐼𝐴)) → (𝐹𝑥) ∈ ℝ*)
238, 1syl6eleq 2714 . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝑆 ∈ {𝑥𝐴𝑅 < (𝐹𝑥)})
24 nfrab1 3116 . . . . . . . . . . . . . . 15 𝑥{𝑥𝐴𝑅 < (𝐹𝑥)}
251, 24nfcxfr 2765 . . . . . . . . . . . . . 14 𝑥𝑌
26 nfcv 2767 . . . . . . . . . . . . . 14 𝑥*
27 nfcv 2767 . . . . . . . . . . . . . 14 𝑥 <
2825, 26, 27nfsup 8302 . . . . . . . . . . . . 13 𝑥sup(𝑌, ℝ*, < )
297, 28nfcxfr 2765 . . . . . . . . . . . 12 𝑥𝑆
30 nfcv 2767 . . . . . . . . . . . 12 𝑥𝐴
31 nfcv 2767 . . . . . . . . . . . . 13 𝑥𝑅
32 nfcv 2767 . . . . . . . . . . . . . 14 𝑥𝐹
3332, 29nffv 6157 . . . . . . . . . . . . 13 𝑥(𝐹𝑆)
3431, 27, 33nfbr 4664 . . . . . . . . . . . 12 𝑥 𝑅 < (𝐹𝑆)
35 fveq2 6150 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑥 = 𝑆 → (𝐹𝑥) = (𝐹𝑆))
3635breq2d 4630 . . . . . . . . . . . 12 (𝑥 = 𝑆 → (𝑅 < (𝐹𝑥) ↔ 𝑅 < (𝐹𝑆)))
3729, 30, 34, 36elrabf 3348 . . . . . . . . . . 11 (𝑆 ∈ {𝑥𝐴𝑅 < (𝐹𝑥)} ↔ (𝑆𝐴𝑅 < (𝐹𝑆)))
3823, 37sylib 208 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝑆𝐴𝑅 < (𝐹𝑆)))
3938simprd 479 . . . . . . . . 9 (𝜑𝑅 < (𝐹𝑆))
4039adantr 481 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐼𝐴)) → 𝑅 < (𝐹𝑆))
4118adantr 481 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐼𝐴)) → 𝑆𝐴)
42 pimdecfgtioc.i . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → ∀𝑥𝐴𝑦𝐴 (𝑥𝑦 → (𝐹𝑦) ≤ (𝐹𝑥)))
4342r19.21bi 2932 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑥𝐴) → ∀𝑦𝐴 (𝑥𝑦 → (𝐹𝑦) ≤ (𝐹𝑥)))
4414, 43syldan 487 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐼𝐴)) → ∀𝑦𝐴 (𝑥𝑦 → (𝐹𝑦) ≤ (𝐹𝑥)))
4541, 44jca 554 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐼𝐴)) → (𝑆𝐴 ∧ ∀𝑦𝐴 (𝑥𝑦 → (𝐹𝑦) ≤ (𝐹𝑥))))
46 mnfxr 10041 . . . . . . . . . . 11 -∞ ∈ ℝ*
4746a1i 11 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐼𝐴)) → -∞ ∈ ℝ*)
48 ressxr 10028 . . . . . . . . . . . 12 ℝ ⊆ ℝ*
496, 8sseldd 3589 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑𝑆 ∈ ℝ)
5048, 49sseldi 3586 . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝑆 ∈ ℝ*)
5150adantr 481 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐼𝐴)) → 𝑆 ∈ ℝ*)
52 elinel1 3782 . . . . . . . . . . . 12 (𝑥 ∈ (𝐼𝐴) → 𝑥𝐼)
5352, 9syl6eleq 2714 . . . . . . . . . . 11 (𝑥 ∈ (𝐼𝐴) → 𝑥 ∈ (-∞(,]𝑆))
5453adantl 482 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐼𝐴)) → 𝑥 ∈ (-∞(,]𝑆))
55 iocleub 39123 . . . . . . . . . 10 ((-∞ ∈ ℝ*𝑆 ∈ ℝ*𝑥 ∈ (-∞(,]𝑆)) → 𝑥𝑆)
5647, 51, 54, 55syl3anc 1323 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐼𝐴)) → 𝑥𝑆)
57 breq2 4622 . . . . . . . . . . 11 (𝑦 = 𝑆 → (𝑥𝑦𝑥𝑆))
58 fveq2 6150 . . . . . . . . . . . 12 (𝑦 = 𝑆 → (𝐹𝑦) = (𝐹𝑆))
5958breq1d 4628 . . . . . . . . . . 11 (𝑦 = 𝑆 → ((𝐹𝑦) ≤ (𝐹𝑥) ↔ (𝐹𝑆) ≤ (𝐹𝑥)))
6057, 59imbi12d 334 . . . . . . . . . 10 (𝑦 = 𝑆 → ((𝑥𝑦 → (𝐹𝑦) ≤ (𝐹𝑥)) ↔ (𝑥𝑆 → (𝐹𝑆) ≤ (𝐹𝑥))))
6160rspcva 3298 . . . . . . . . 9 ((𝑆𝐴 ∧ ∀𝑦𝐴 (𝑥𝑦 → (𝐹𝑦) ≤ (𝐹𝑥))) → (𝑥𝑆 → (𝐹𝑆) ≤ (𝐹𝑥)))
6245, 56, 61sylc 65 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐼𝐴)) → (𝐹𝑆) ≤ (𝐹𝑥))
6316, 20, 22, 40, 62xrltletrd 11936 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐼𝐴)) → 𝑅 < (𝐹𝑥))
6414, 63jca 554 . . . . . 6 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐼𝐴)) → (𝑥𝐴𝑅 < (𝐹𝑥)))
651rabeq2i 3188 . . . . . 6 (𝑥𝑌 ↔ (𝑥𝐴𝑅 < (𝐹𝑥)))
6664, 65sylibr 224 . . . . 5 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐼𝐴)) → 𝑥𝑌)
6766ex 450 . . . 4 (𝜑 → (𝑥 ∈ (𝐼𝐴) → 𝑥𝑌))
6812, 67ralrimi 2956 . . 3 (𝜑 → ∀𝑥 ∈ (𝐼𝐴)𝑥𝑌)
69 nfv 1845 . . . . 5 𝑥 𝑧 ∈ (𝐼𝐴)
7069nfci 2757 . . . 4 𝑥(𝐼𝐴)
7170, 25dfss3f 3580 . . 3 ((𝐼𝐴) ⊆ 𝑌 ↔ ∀𝑥 ∈ (𝐼𝐴)𝑥𝑌)
7268, 71sylibr 224 . 2 (𝜑 → (𝐼𝐴) ⊆ 𝑌)
7311, 72eqssd 3605 1 (𝜑𝑌 = (𝐼𝐴))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 384   = wceq 1480  wnf 1705  wcel 1992  wral 2912  {crab 2916  cin 3559  wss 3560   class class class wbr 4618  wf 5846  cfv 5850  (class class class)co 6605  supcsup 8291  cr 9880  -∞cmnf 10017  *cxr 10018   < clt 10019  cle 10020  (,]cioc 12115
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1719  ax-4 1734  ax-5 1841  ax-6 1890  ax-7 1937  ax-8 1994  ax-9 2001  ax-10 2021  ax-11 2036  ax-12 2049  ax-13 2250  ax-ext 2606  ax-sep 4746  ax-nul 4754  ax-pow 4808  ax-pr 4872  ax-un 6903  ax-cnex 9937  ax-resscn 9938  ax-1cn 9939  ax-icn 9940  ax-addcl 9941  ax-addrcl 9942  ax-mulcl 9943  ax-mulrcl 9944  ax-mulcom 9945  ax-addass 9946  ax-mulass 9947  ax-distr 9948  ax-i2m1 9949  ax-1ne0 9950  ax-1rid 9951  ax-rnegex 9952  ax-rrecex 9953  ax-cnre 9954  ax-pre-lttri 9955  ax-pre-lttrn 9956  ax-pre-ltadd 9957  ax-pre-mulgt0 9958  ax-pre-sup 9959
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1037  df-3an 1038  df-tru 1483  df-ex 1702  df-nf 1707  df-sb 1883  df-eu 2478  df-mo 2479  df-clab 2613  df-cleq 2619  df-clel 2622  df-nfc 2756  df-ne 2797  df-nel 2900  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3193  df-sbc 3423  df-csb 3520  df-dif 3563  df-un 3565  df-in 3567  df-ss 3574  df-nul 3897  df-if 4064  df-pw 4137  df-sn 4154  df-pr 4156  df-op 4160  df-uni 4408  df-br 4619  df-opab 4679  df-mpt 4680  df-id 4994  df-po 5000  df-so 5001  df-xp 5085  df-rel 5086  df-cnv 5087  df-co 5088  df-dm 5089  df-rn 5090  df-res 5091  df-ima 5092  df-iota 5813  df-fun 5852  df-fn 5853  df-f 5854  df-f1 5855  df-fo 5856  df-f1o 5857  df-fv 5858  df-riota 6566  df-ov 6608  df-oprab 6609  df-mpt2 6610  df-er 7688  df-en 7901  df-dom 7902  df-sdom 7903  df-sup 8293  df-pnf 10021  df-mnf 10022  df-xr 10023  df-ltxr 10024  df-le 10025  df-sub 10213  df-neg 10214  df-ioc 12119
This theorem is referenced by:  decsmflem  40268
  Copyright terms: Public domain W3C validator