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Theorem pimdecfgtioo 40260
Description: Given a non decreasing function, the preimage of an unbounded below, open interval, when the supremum of the preimage does not belong to the preimage. (Contributed by Glauco Siliprandi, 26-Jun-2021.)
Hypotheses
Ref Expression
pimdecfgtioo.x 𝑥𝜑
pimdecfgtioo.h 𝑦𝜑
pimdecfgtioo.a (𝜑𝐴 ⊆ ℝ)
pimdecfgtioo.f (𝜑𝐹:𝐴⟶ℝ*)
pimdecfgtioo.d (𝜑 → ∀𝑥𝐴𝑦𝐴 (𝑥𝑦 → (𝐹𝑦) ≤ (𝐹𝑥)))
pimdecfgtioo.r (𝜑𝑅 ∈ ℝ*)
pimdecfgtioo.y 𝑌 = {𝑥𝐴𝑅 < (𝐹𝑥)}
pimdecfgtioo.c 𝑆 = sup(𝑌, ℝ*, < )
pimdecfgtioo.e (𝜑 → ¬ 𝑆𝑌)
pimdecfgtioo.i 𝐼 = (-∞(,)𝑆)
Assertion
Ref Expression
pimdecfgtioo (𝜑𝑌 = (𝐼𝐴))
Distinct variable groups:   𝑥,𝐴,𝑦   𝑥,𝐹,𝑦   𝑥,𝐼,𝑦   𝑥,𝑅,𝑦   𝑦,𝑌
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥,𝑦)   𝑆(𝑥,𝑦)   𝑌(𝑥)

Proof of Theorem pimdecfgtioo
StepHypRef Expression
1 pimdecfgtioo.y . . . . . . 7 𝑌 = {𝑥𝐴𝑅 < (𝐹𝑥)}
2 ssrab2 3671 . . . . . . 7 {𝑥𝐴𝑅 < (𝐹𝑥)} ⊆ 𝐴
31, 2eqsstri 3619 . . . . . 6 𝑌𝐴
43a1i 11 . . . . 5 (𝜑𝑌𝐴)
5 pimdecfgtioo.a . . . . 5 (𝜑𝐴 ⊆ ℝ)
64, 5sstrd 3597 . . . 4 (𝜑𝑌 ⊆ ℝ)
7 pimdecfgtioo.c . . . 4 𝑆 = sup(𝑌, ℝ*, < )
8 pimdecfgtioo.e . . . 4 (𝜑 → ¬ 𝑆𝑌)
9 pimdecfgtioo.i . . . 4 𝐼 = (-∞(,)𝑆)
106, 7, 8, 9ressioosup 39224 . . 3 (𝜑𝑌𝐼)
1110, 4ssind 3820 . 2 (𝜑𝑌 ⊆ (𝐼𝐴))
12 pimdecfgtioo.x . . . 4 𝑥𝜑
13 elinel2 3783 . . . . . . . 8 (𝑥 ∈ (𝐼𝐴) → 𝑥𝐴)
1413adantl 482 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐼𝐴)) → 𝑥𝐴)
15 mnfxr 10048 . . . . . . . . . . 11 -∞ ∈ ℝ*
1615a1i 11 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐼𝐴)) → -∞ ∈ ℝ*)
17 ressxr 10035 . . . . . . . . . . . . . 14 ℝ ⊆ ℝ*
186, 17syl6ss 3599 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑𝑌 ⊆ ℝ*)
1918supxrcld 38810 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → sup(𝑌, ℝ*, < ) ∈ ℝ*)
207, 19syl5eqel 2702 . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝑆 ∈ ℝ*)
2120adantr 481 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐼𝐴)) → 𝑆 ∈ ℝ*)
22 elinel1 3782 . . . . . . . . . . . 12 (𝑥 ∈ (𝐼𝐴) → 𝑥𝐼)
2322, 9syl6eleq 2708 . . . . . . . . . . 11 (𝑥 ∈ (𝐼𝐴) → 𝑥 ∈ (-∞(,)𝑆))
2423adantl 482 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐼𝐴)) → 𝑥 ∈ (-∞(,)𝑆))
25 iooltub 39177 . . . . . . . . . 10 ((-∞ ∈ ℝ*𝑆 ∈ ℝ*𝑥 ∈ (-∞(,)𝑆)) → 𝑥 < 𝑆)
2616, 21, 24, 25syl3anc 1323 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐼𝐴)) → 𝑥 < 𝑆)
2726adantr 481 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑥 ∈ (𝐼𝐴)) ∧ ¬ 𝑅 < (𝐹𝑥)) → 𝑥 < 𝑆)
28 simpr 477 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑥 ∈ (𝐼𝐴)) ∧ ¬ 𝑅 < (𝐹𝑥)) → ¬ 𝑅 < (𝐹𝑥))
29 pimdecfgtioo.f . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝜑𝐹:𝐴⟶ℝ*)
3029adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐼𝐴)) → 𝐹:𝐴⟶ℝ*)
3130, 14ffvelrnd 6321 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐼𝐴)) → (𝐹𝑥) ∈ ℝ*)
3231adantr 481 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑥 ∈ (𝐼𝐴)) ∧ ¬ 𝑅 < (𝐹𝑥)) → (𝐹𝑥) ∈ ℝ*)
33 pimdecfgtioo.r . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑𝑅 ∈ ℝ*)
3433adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐼𝐴)) → 𝑅 ∈ ℝ*)
3534adantr 481 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑥 ∈ (𝐼𝐴)) ∧ ¬ 𝑅 < (𝐹𝑥)) → 𝑅 ∈ ℝ*)
3632, 35xrlenltd 10056 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑥 ∈ (𝐼𝐴)) ∧ ¬ 𝑅 < (𝐹𝑥)) → ((𝐹𝑥) ≤ 𝑅 ↔ ¬ 𝑅 < (𝐹𝑥)))
3728, 36mpbird 247 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑥 ∈ (𝐼𝐴)) ∧ ¬ 𝑅 < (𝐹𝑥)) → (𝐹𝑥) ≤ 𝑅)
38 pimdecfgtioo.h . . . . . . . . . . . . . . 15 𝑦𝜑
39 nfv 1840 . . . . . . . . . . . . . . 15 𝑦 𝑥 ∈ (𝐼𝐴)
4038, 39nfan 1825 . . . . . . . . . . . . . 14 𝑦(𝜑𝑥 ∈ (𝐼𝐴))
41 nfv 1840 . . . . . . . . . . . . . 14 𝑦(𝐹𝑥) ≤ 𝑅
4240, 41nfan 1825 . . . . . . . . . . . . 13 𝑦((𝜑𝑥 ∈ (𝐼𝐴)) ∧ (𝐹𝑥) ≤ 𝑅)
43 fveq2 6153 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑥 = 𝑦 → (𝐹𝑥) = (𝐹𝑦))
4443breq2d 4630 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑥 = 𝑦 → (𝑅 < (𝐹𝑥) ↔ 𝑅 < (𝐹𝑦)))
4544, 1elrab2 3352 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑦𝑌 ↔ (𝑦𝐴𝑅 < (𝐹𝑦)))
4645biimpi 206 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑦𝑌 → (𝑦𝐴𝑅 < (𝐹𝑦)))
4746simprd 479 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑦𝑌𝑅 < (𝐹𝑦))
4847ad2antlr 762 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((((𝜑𝑥 ∈ (𝐼𝐴)) ∧ (𝐹𝑥) ≤ 𝑅) ∧ 𝑦𝑌) ∧ ¬ 𝑦𝑥) → 𝑅 < (𝐹𝑦))
495adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐼𝐴)) → 𝐴 ⊆ ℝ)
5049, 14sseldd 3588 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐼𝐴)) → 𝑥 ∈ ℝ)
5150ad2antrr 761 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((𝜑𝑥 ∈ (𝐼𝐴)) ∧ 𝑦𝑌) ∧ ¬ 𝑦𝑥) → 𝑥 ∈ ℝ)
526sselda 3587 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝜑𝑦𝑌) → 𝑦 ∈ ℝ)
5352ad4ant13 1289 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((𝜑𝑥 ∈ (𝐼𝐴)) ∧ 𝑦𝑌) ∧ ¬ 𝑦𝑥) → 𝑦 ∈ ℝ)
54 simpr 477 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((𝜑𝑥 ∈ (𝐼𝐴)) ∧ 𝑦𝑌) ∧ ¬ 𝑦𝑥) → ¬ 𝑦𝑥)
5551, 53ltnled 10136 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((𝜑𝑥 ∈ (𝐼𝐴)) ∧ 𝑦𝑌) ∧ ¬ 𝑦𝑥) → (𝑥 < 𝑦 ↔ ¬ 𝑦𝑥))
5654, 55mpbird 247 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((𝜑𝑥 ∈ (𝐼𝐴)) ∧ 𝑦𝑌) ∧ ¬ 𝑦𝑥) → 𝑥 < 𝑦)
5751, 53, 56ltled 10137 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((𝜑𝑥 ∈ (𝐼𝐴)) ∧ 𝑦𝑌) ∧ ¬ 𝑦𝑥) → 𝑥𝑦)
5857adantllr 754 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((((𝜑𝑥 ∈ (𝐼𝐴)) ∧ (𝐹𝑥) ≤ 𝑅) ∧ 𝑦𝑌) ∧ ¬ 𝑦𝑥) → 𝑥𝑦)
5929adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝜑𝑦𝑌) → 𝐹:𝐴⟶ℝ*)
604sselda 3587 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝜑𝑦𝑌) → 𝑦𝐴)
6159, 60ffvelrnd 6321 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝜑𝑦𝑌) → (𝐹𝑦) ∈ ℝ*)
6261ad5ant14 1299 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((((𝜑𝑥 ∈ (𝐼𝐴)) ∧ (𝐹𝑥) ≤ 𝑅) ∧ 𝑦𝑌) ∧ 𝑥𝑦) → (𝐹𝑦) ∈ ℝ*)
6331ad3antrrr 765 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((((𝜑𝑥 ∈ (𝐼𝐴)) ∧ (𝐹𝑥) ≤ 𝑅) ∧ 𝑦𝑌) ∧ 𝑥𝑦) → (𝐹𝑥) ∈ ℝ*)
6434ad3antrrr 765 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((((𝜑𝑥 ∈ (𝐼𝐴)) ∧ (𝐹𝑥) ≤ 𝑅) ∧ 𝑦𝑌) ∧ 𝑥𝑦) → 𝑅 ∈ ℝ*)
65 simpr 477 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((((𝜑𝑥 ∈ (𝐼𝐴)) ∧ 𝑦𝑌) ∧ 𝑥𝑦) → 𝑥𝑦)
66 pimdecfgtioo.d . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝜑 → ∀𝑥𝐴𝑦𝐴 (𝑥𝑦 → (𝐹𝑦) ≤ (𝐹𝑥)))
67 rspa 2925 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((∀𝑥𝐴𝑦𝐴 (𝑥𝑦 → (𝐹𝑦) ≤ (𝐹𝑥)) ∧ 𝑥𝐴) → ∀𝑦𝐴 (𝑥𝑦 → (𝐹𝑦) ≤ (𝐹𝑥)))
6866, 13, 67syl2an 494 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐼𝐴)) → ∀𝑦𝐴 (𝑥𝑦 → (𝐹𝑦) ≤ (𝐹𝑥)))
6968ad2antrr 761 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((((𝜑𝑥 ∈ (𝐼𝐴)) ∧ 𝑦𝑌) ∧ 𝑥𝑦) → ∀𝑦𝐴 (𝑥𝑦 → (𝐹𝑦) ≤ (𝐹𝑥)))
7060ad4ant13 1289 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((((𝜑𝑥 ∈ (𝐼𝐴)) ∧ 𝑦𝑌) ∧ 𝑥𝑦) → 𝑦𝐴)
71 rspa 2925 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((∀𝑦𝐴 (𝑥𝑦 → (𝐹𝑦) ≤ (𝐹𝑥)) ∧ 𝑦𝐴) → (𝑥𝑦 → (𝐹𝑦) ≤ (𝐹𝑥)))
7269, 70, 71syl2anc 692 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((((𝜑𝑥 ∈ (𝐼𝐴)) ∧ 𝑦𝑌) ∧ 𝑥𝑦) → (𝑥𝑦 → (𝐹𝑦) ≤ (𝐹𝑥)))
7365, 72mpd 15 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((𝜑𝑥 ∈ (𝐼𝐴)) ∧ 𝑦𝑌) ∧ 𝑥𝑦) → (𝐹𝑦) ≤ (𝐹𝑥))
7473adantllr 754 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((((𝜑𝑥 ∈ (𝐼𝐴)) ∧ (𝐹𝑥) ≤ 𝑅) ∧ 𝑦𝑌) ∧ 𝑥𝑦) → (𝐹𝑦) ≤ (𝐹𝑥))
75 simpllr 798 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((((𝜑𝑥 ∈ (𝐼𝐴)) ∧ (𝐹𝑥) ≤ 𝑅) ∧ 𝑦𝑌) ∧ 𝑥𝑦) → (𝐹𝑥) ≤ 𝑅)
7662, 63, 64, 74, 75xrletrd 11945 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((((𝜑𝑥 ∈ (𝐼𝐴)) ∧ (𝐹𝑥) ≤ 𝑅) ∧ 𝑦𝑌) ∧ 𝑥𝑦) → (𝐹𝑦) ≤ 𝑅)
7762, 64xrlenltd 10056 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((((𝜑𝑥 ∈ (𝐼𝐴)) ∧ (𝐹𝑥) ≤ 𝑅) ∧ 𝑦𝑌) ∧ 𝑥𝑦) → ((𝐹𝑦) ≤ 𝑅 ↔ ¬ 𝑅 < (𝐹𝑦)))
7876, 77mpbid 222 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((((𝜑𝑥 ∈ (𝐼𝐴)) ∧ (𝐹𝑥) ≤ 𝑅) ∧ 𝑦𝑌) ∧ 𝑥𝑦) → ¬ 𝑅 < (𝐹𝑦))
7958, 78syldan 487 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((((𝜑𝑥 ∈ (𝐼𝐴)) ∧ (𝐹𝑥) ≤ 𝑅) ∧ 𝑦𝑌) ∧ ¬ 𝑦𝑥) → ¬ 𝑅 < (𝐹𝑦))
8048, 79condan 834 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝜑𝑥 ∈ (𝐼𝐴)) ∧ (𝐹𝑥) ≤ 𝑅) ∧ 𝑦𝑌) → 𝑦𝑥)
8180ex 450 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑥 ∈ (𝐼𝐴)) ∧ (𝐹𝑥) ≤ 𝑅) → (𝑦𝑌𝑦𝑥))
8242, 81ralrimi 2952 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑥 ∈ (𝐼𝐴)) ∧ (𝐹𝑥) ≤ 𝑅) → ∀𝑦𝑌 𝑦𝑥)
8337, 82syldan 487 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑥 ∈ (𝐼𝐴)) ∧ ¬ 𝑅 < (𝐹𝑥)) → ∀𝑦𝑌 𝑦𝑥)
8418adantr 481 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐼𝐴)) → 𝑌 ⊆ ℝ*)
8517, 50sseldi 3585 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐼𝐴)) → 𝑥 ∈ ℝ*)
86 supxrleub 12107 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑌 ⊆ ℝ*𝑥 ∈ ℝ*) → (sup(𝑌, ℝ*, < ) ≤ 𝑥 ↔ ∀𝑦𝑌 𝑦𝑥))
8784, 85, 86syl2anc 692 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐼𝐴)) → (sup(𝑌, ℝ*, < ) ≤ 𝑥 ↔ ∀𝑦𝑌 𝑦𝑥))
8887adantr 481 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑥 ∈ (𝐼𝐴)) ∧ ¬ 𝑅 < (𝐹𝑥)) → (sup(𝑌, ℝ*, < ) ≤ 𝑥 ↔ ∀𝑦𝑌 𝑦𝑥))
8983, 88mpbird 247 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑥 ∈ (𝐼𝐴)) ∧ ¬ 𝑅 < (𝐹𝑥)) → sup(𝑌, ℝ*, < ) ≤ 𝑥)
907, 89syl5eqbr 4653 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑥 ∈ (𝐼𝐴)) ∧ ¬ 𝑅 < (𝐹𝑥)) → 𝑆𝑥)
9121adantr 481 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑥 ∈ (𝐼𝐴)) ∧ ¬ 𝑅 < (𝐹𝑥)) → 𝑆 ∈ ℝ*)
9285adantr 481 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑥 ∈ (𝐼𝐴)) ∧ ¬ 𝑅 < (𝐹𝑥)) → 𝑥 ∈ ℝ*)
9391, 92xrlenltd 10056 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑥 ∈ (𝐼𝐴)) ∧ ¬ 𝑅 < (𝐹𝑥)) → (𝑆𝑥 ↔ ¬ 𝑥 < 𝑆))
9490, 93mpbid 222 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑥 ∈ (𝐼𝐴)) ∧ ¬ 𝑅 < (𝐹𝑥)) → ¬ 𝑥 < 𝑆)
9527, 94condan 834 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐼𝐴)) → 𝑅 < (𝐹𝑥))
9614, 95jca 554 . . . . . 6 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐼𝐴)) → (𝑥𝐴𝑅 < (𝐹𝑥)))
971rabeq2i 3186 . . . . . 6 (𝑥𝑌 ↔ (𝑥𝐴𝑅 < (𝐹𝑥)))
9896, 97sylibr 224 . . . . 5 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐼𝐴)) → 𝑥𝑌)
9998ex 450 . . . 4 (𝜑 → (𝑥 ∈ (𝐼𝐴) → 𝑥𝑌))
10012, 99ralrimi 2952 . . 3 (𝜑 → ∀𝑥 ∈ (𝐼𝐴)𝑥𝑌)
101 nfcv 2761 . . . 4 𝑥(𝐼𝐴)
102 nfrab1 3114 . . . . 5 𝑥{𝑥𝐴𝑅 < (𝐹𝑥)}
1031, 102nfcxfr 2759 . . . 4 𝑥𝑌
104101, 103dfss3f 3579 . . 3 ((𝐼𝐴) ⊆ 𝑌 ↔ ∀𝑥 ∈ (𝐼𝐴)𝑥𝑌)
105100, 104sylibr 224 . 2 (𝜑 → (𝐼𝐴) ⊆ 𝑌)
10611, 105eqssd 3604 1 (𝜑𝑌 = (𝐼𝐴))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 196  wa 384   = wceq 1480  wnf 1705  wcel 1987  wral 2907  {crab 2911  cin 3558  wss 3559   class class class wbr 4618  wf 5848  cfv 5852  (class class class)co 6610  supcsup 8298  cr 9887  -∞cmnf 10024  *cxr 10025   < clt 10026  cle 10027  (,)cioo 12125
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1719  ax-4 1734  ax-5 1836  ax-6 1885  ax-7 1932  ax-8 1989  ax-9 1996  ax-10 2016  ax-11 2031  ax-12 2044  ax-13 2245  ax-ext 2601  ax-sep 4746  ax-nul 4754  ax-pow 4808  ax-pr 4872  ax-un 6909  ax-cnex 9944  ax-resscn 9945  ax-1cn 9946  ax-icn 9947  ax-addcl 9948  ax-addrcl 9949  ax-mulcl 9950  ax-mulrcl 9951  ax-mulcom 9952  ax-addass 9953  ax-mulass 9954  ax-distr 9955  ax-i2m1 9956  ax-1ne0 9957  ax-1rid 9958  ax-rnegex 9959  ax-rrecex 9960  ax-cnre 9961  ax-pre-lttri 9962  ax-pre-lttrn 9963  ax-pre-ltadd 9964  ax-pre-mulgt0 9965  ax-pre-sup 9966
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1037  df-3an 1038  df-tru 1483  df-ex 1702  df-nf 1707  df-sb 1878  df-eu 2473  df-mo 2474  df-clab 2608  df-cleq 2614  df-clel 2617  df-nfc 2750  df-ne 2791  df-nel 2894  df-ral 2912  df-rex 2913  df-reu 2914  df-rmo 2915  df-rab 2916  df-v 3191  df-sbc 3422  df-csb 3519  df-dif 3562  df-un 3564  df-in 3566  df-ss 3573  df-nul 3897  df-if 4064  df-pw 4137  df-sn 4154  df-pr 4156  df-op 4160  df-uni 4408  df-iun 4492  df-br 4619  df-opab 4679  df-mpt 4680  df-id 4994  df-po 5000  df-so 5001  df-xp 5085  df-rel 5086  df-cnv 5087  df-co 5088  df-dm 5089  df-rn 5090  df-res 5091  df-ima 5092  df-iota 5815  df-fun 5854  df-fn 5855  df-f 5856  df-f1 5857  df-fo 5858  df-f1o 5859  df-fv 5860  df-riota 6571  df-ov 6613  df-oprab 6614  df-mpt2 6615  df-1st 7120  df-2nd 7121  df-er 7694  df-en 7908  df-dom 7909  df-sdom 7910  df-sup 8300  df-pnf 10028  df-mnf 10029  df-xr 10030  df-ltxr 10031  df-le 10032  df-sub 10220  df-neg 10221  df-ioo 12129
This theorem is referenced by:  decsmflem  40307
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