Theorem pimincfltioc 42988

Description: Given a nondecreasing function, the preimage of an unbounded below, open interval, when the supremum of the preimage belongs to the preimage. (Contributed by Glauco Siliprandi, 26-Jun-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
pimincfltioc.x	⊢ Ⅎ𝑥𝜑
pimincfltioc.h	⊢ Ⅎ𝑦𝜑
pimincfltioc.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ ℝ)
pimincfltioc.f	⊢ (𝜑 → 𝐹:𝐴⟶ℝ*)
pimincfltioc.i	⊢ (𝜑 → ∀𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑦 ∈ 𝐴 (𝑥 ≤ 𝑦 → (𝐹‘𝑥) ≤ (𝐹‘𝑦)))
pimincfltioc.r	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ ℝ*)
pimincfltioc.y	⊢ 𝑌 = {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ (𝐹‘𝑥) < 𝑅}
pimincfltioc.c	⊢ 𝑆 = sup(𝑌, ℝ*, < )
pimincfltioc.e	⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ 𝑌)
pimincfltioc.d	⊢ 𝐼 = (-∞(,]𝑆)

Assertion

Ref	Expression
pimincfltioc	⊢ (𝜑 → 𝑌 = (𝐼 ∩ 𝐴))

Distinct variable groups:   𝑥,𝐴,𝑦   𝑥,𝐹,𝑦   𝑥,𝐼,𝑦   𝑥,𝑅   𝑥,𝑆,𝑦

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥,𝑦)   𝑅(𝑦)   𝑌(𝑥,𝑦)

Proof of Theorem pimincfltioc

Dummy variable 𝑧 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		pimincfltioc.y	. . . . . . 7 ⊢ 𝑌 = {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ (𝐹‘𝑥) < 𝑅}
2		ssrab2 4055	. . . . . . 7 ⊢ {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ (𝐹‘𝑥) < 𝑅} ⊆ 𝐴
3	1, 2	eqsstri 4000	. . . . . 6 ⊢ 𝑌 ⊆ 𝐴
4	3	a1i 11	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ⊆ 𝐴)
5		pimincfltioc.a	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ ℝ)
6	4, 5	sstrd 3976	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ⊆ ℝ)
7		pimincfltioc.c	. . . 4 ⊢ 𝑆 = sup(𝑌, ℝ*, < )
8		pimincfltioc.e	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ 𝑌)
9		pimincfltioc.d	. . . 4 ⊢ 𝐼 = (-∞(,]𝑆)
10	6, 7, 8, 9	ressiocsup 41823	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ⊆ 𝐼)
11	10, 4	ssind 4208	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ⊆ (𝐼 ∩ 𝐴))
12		pimincfltioc.x	. . . 4 ⊢ Ⅎ𝑥𝜑
13		elinel2 4172	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 ∈ (𝐼 ∩ 𝐴) → 𝑥 ∈ 𝐴)
14	13	adantl 484	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐼 ∩ 𝐴)) → 𝑥 ∈ 𝐴)
15		pimincfltioc.f	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝐹:𝐴⟶ℝ*)
16	15	adantr 483	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐼 ∩ 𝐴)) → 𝐹:𝐴⟶ℝ*)
17	16, 14	ffvelrnd 6846	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐼 ∩ 𝐴)) → (𝐹‘𝑥) ∈ ℝ*)
18	3, 8	sseldi 3964	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ 𝐴)
19	15, 18	ffvelrnd 6846	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝐹‘𝑆) ∈ ℝ*)
20	19	adantr 483	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐼 ∩ 𝐴)) → (𝐹‘𝑆) ∈ ℝ*)
21		pimincfltioc.r	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ ℝ*)
22	21	adantr 483	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐼 ∩ 𝐴)) → 𝑅 ∈ ℝ*)
23		eleq1w 2895	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑧 = 𝑥 → (𝑧 ∈ (𝐼 ∩ 𝐴) ↔ 𝑥 ∈ (𝐼 ∩ 𝐴)))
24	23	anbi2d 630	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑧 = 𝑥 → ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ (𝐼 ∩ 𝐴)) ↔ (𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐼 ∩ 𝐴))))
25		fveq2 6664	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑧 = 𝑥 → (𝐹‘𝑧) = (𝐹‘𝑥))
26	25	breq1d 5068	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑧 = 𝑥 → ((𝐹‘𝑧) ≤ (𝐹‘𝑆) ↔ (𝐹‘𝑥) ≤ (𝐹‘𝑆)))
27	24, 26	imbi12d 347	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑧 = 𝑥 → (((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ (𝐼 ∩ 𝐴)) → (𝐹‘𝑧) ≤ (𝐹‘𝑆)) ↔ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐼 ∩ 𝐴)) → (𝐹‘𝑥) ≤ (𝐹‘𝑆))))
28		nfv 1911	. . . . . . . . . . 11 ⊢ Ⅎ𝑥 𝑧 ∈ (𝐼 ∩ 𝐴)
29	12, 28	nfan 1896	. . . . . . . . . 10 ⊢ Ⅎ𝑥(𝜑 ∧ 𝑧 ∈ (𝐼 ∩ 𝐴))
30		pimincfltioc.h	. . . . . . . . . . 11 ⊢ Ⅎ𝑦𝜑
31		nfv 1911	. . . . . . . . . . 11 ⊢ Ⅎ𝑦 𝑧 ∈ (𝐼 ∩ 𝐴)
32	30, 31	nfan 1896	. . . . . . . . . 10 ⊢ Ⅎ𝑦(𝜑 ∧ 𝑧 ∈ (𝐼 ∩ 𝐴))
33		pimincfltioc.i	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → ∀𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑦 ∈ 𝐴 (𝑥 ≤ 𝑦 → (𝐹‘𝑥) ≤ (𝐹‘𝑦)))
34	33	adantr 483	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ (𝐼 ∩ 𝐴)) → ∀𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑦 ∈ 𝐴 (𝑥 ≤ 𝑦 → (𝐹‘𝑥) ≤ (𝐹‘𝑦)))
35		elinel2 4172	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑧 ∈ (𝐼 ∩ 𝐴) → 𝑧 ∈ 𝐴)
36	35	adantl 484	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ (𝐼 ∩ 𝐴)) → 𝑧 ∈ 𝐴)
37	18	adantr 483	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ (𝐼 ∩ 𝐴)) → 𝑆 ∈ 𝐴)
38		mnfxr 10692	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ -∞ ∈ ℝ*
39	38	a1i 11	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ (𝐼 ∩ 𝐴)) → -∞ ∈ ℝ*)
40		ressxr 10679	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ℝ ⊆ ℝ*
41	6, 8	sseldd 3967	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ ℝ)
42	40, 41	sseldi 3964	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ ℝ*)
43	42	adantr 483	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ (𝐼 ∩ 𝐴)) → 𝑆 ∈ ℝ*)
44		elinel1 4171	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑧 ∈ (𝐼 ∩ 𝐴) → 𝑧 ∈ 𝐼)
45	44, 9	eleqtrdi 2923	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑧 ∈ (𝐼 ∩ 𝐴) → 𝑧 ∈ (-∞(,]𝑆))
46	45	adantl 484	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ (𝐼 ∩ 𝐴)) → 𝑧 ∈ (-∞(,]𝑆))
47		iocleub 41771	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((-∞ ∈ ℝ* ∧ 𝑆 ∈ ℝ* ∧ 𝑧 ∈ (-∞(,]𝑆)) → 𝑧 ≤ 𝑆)
48	39, 43, 46, 47	syl3anc 1367	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ (𝐼 ∩ 𝐴)) → 𝑧 ≤ 𝑆)
49	29, 32, 34, 36, 37, 48	dmrelrnrel 41483	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ (𝐼 ∩ 𝐴)) → (𝐹‘𝑧) ≤ (𝐹‘𝑆))
50	27, 49	chvarvv 2001	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐼 ∩ 𝐴)) → (𝐹‘𝑥) ≤ (𝐹‘𝑆))
51		fveq2 6664	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑥 = 𝑆 → (𝐹‘𝑥) = (𝐹‘𝑆))
52	51	breq1d 5068	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑥 = 𝑆 → ((𝐹‘𝑥) < 𝑅 ↔ (𝐹‘𝑆) < 𝑅))
53	52, 1	elrab2 3682	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑆 ∈ 𝑌 ↔ (𝑆 ∈ 𝐴 ∧ (𝐹‘𝑆) < 𝑅))
54	8, 53	sylib 220	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (𝑆 ∈ 𝐴 ∧ (𝐹‘𝑆) < 𝑅))
55	54	simprd 498	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝐹‘𝑆) < 𝑅)
56	55	adantr 483	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐼 ∩ 𝐴)) → (𝐹‘𝑆) < 𝑅)
57	17, 20, 22, 50, 56	xrlelttrd 12547	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐼 ∩ 𝐴)) → (𝐹‘𝑥) < 𝑅)
58	14, 57	jca 514	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐼 ∩ 𝐴)) → (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ (𝐹‘𝑥) < 𝑅))
59	1	rabeq2i 3487	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ∈ 𝑌 ↔ (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ (𝐹‘𝑥) < 𝑅))
60	58, 59	sylibr 236	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐼 ∩ 𝐴)) → 𝑥 ∈ 𝑌)
61	60	ex 415	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ (𝐼 ∩ 𝐴) → 𝑥 ∈ 𝑌))
62	12, 61	ralrimi 3216	. . 3 ⊢ (𝜑 → ∀𝑥 ∈ (𝐼 ∩ 𝐴)𝑥 ∈ 𝑌)
63	28	nfci 2964	. . . 4 ⊢ Ⅎ𝑥(𝐼 ∩ 𝐴)
64		nfrab1 3384	. . . . 5 ⊢ Ⅎ𝑥{𝑥 ∈ 𝐴 ∣ (𝐹‘𝑥) < 𝑅}
65	1, 64	nfcxfr 2975	. . . 4 ⊢ Ⅎ𝑥𝑌
66	63, 65	dfss3f 3958	. . 3 ⊢ ((𝐼 ∩ 𝐴) ⊆ 𝑌 ↔ ∀𝑥 ∈ (𝐼 ∩ 𝐴)𝑥 ∈ 𝑌)
67	62, 66	sylibr 236	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐼 ∩ 𝐴) ⊆ 𝑌)
68	11, 67	eqssd 3983	1 ⊢ (𝜑 → 𝑌 = (𝐼 ∩ 𝐴))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 398   = wceq 1533  Ⅎwnf 1780   ∈ wcel 2110  ∀wral 3138  {crab 3142   ∩ cin 3934   ⊆ wss 3935   class class class wbr 5058  ⟶wf 6345  ‘cfv 6349  (class class class)co 7150  supcsup 8898  ℝcr 10530  -∞cmnf 10667  ℝ^*cxr 10668   < clt 10669   ≤ cle 10670  (,]cioc 12733

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1907  ax-6 1966  ax-7 2011  ax-8 2112  ax-9 2120  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2173  ax-ext 2793  ax-sep 5195  ax-nul 5202  ax-pow 5258  ax-pr 5321  ax-un 7455  ax-cnex 10587  ax-resscn 10588  ax-1cn 10589  ax-icn 10590  ax-addcl 10591  ax-addrcl 10592  ax-mulcl 10593  ax-mulrcl 10594  ax-mulcom 10595  ax-addass 10596  ax-mulass 10597  ax-distr 10598  ax-i2m1 10599  ax-1ne0 10600  ax-1rid 10601  ax-rnegex 10602  ax-rrecex 10603  ax-cnre 10604  ax-pre-lttri 10605  ax-pre-lttrn 10606  ax-pre-ltadd 10607  ax-pre-mulgt0 10608  ax-pre-sup 10609

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3or 1084  df-3an 1085  df-tru 1536  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2066  df-mo 2618  df-eu 2650  df-clab 2800  df-cleq 2814  df-clel 2893  df-nfc 2963  df-ne 3017  df-nel 3124  df-ral 3143  df-rex 3144  df-reu 3145  df-rmo 3146  df-rab 3147  df-v 3496  df-sbc 3772  df-csb 3883  df-dif 3938  df-un 3940  df-in 3942  df-ss 3951  df-nul 4291  df-if 4467  df-pw 4540  df-sn 4561  df-pr 4563  df-op 4567  df-uni 4832  df-br 5059  df-opab 5121  df-mpt 5139  df-id 5454  df-po 5468  df-so 5469  df-xp 5555  df-rel 5556  df-cnv 5557  df-co 5558  df-dm 5559  df-rn 5560  df-res 5561  df-ima 5562  df-iota 6308  df-fun 6351  df-fn 6352  df-f 6353  df-f1 6354  df-fo 6355  df-f1o 6356  df-fv 6357  df-riota 7108  df-ov 7153  df-oprab 7154  df-mpo 7155  df-er 8283  df-en 8504  df-dom 8505  df-sdom 8506  df-sup 8900  df-pnf 10671  df-mnf 10672  df-xr 10673  df-ltxr 10674  df-le 10675  df-sub 10866  df-neg 10867  df-ioc 12737

This theorem is referenced by:  incsmflem  43012