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Theorem pimincfltioo 40261
Description: Given a non decreasing function, the preimage of an unbounded below, open interval, when the supremum of the preimage does not belong to the preimage. (Contributed by Glauco Siliprandi, 26-Jun-2021.)
Hypotheses
Ref Expression
pimincfltioo.x 𝑥𝜑
pimincfltioo.h 𝑦𝜑
pimincfltioo.a (𝜑𝐴 ⊆ ℝ)
pimincfltioo.f (𝜑𝐹:𝐴⟶ℝ*)
pimincfltioo.i (𝜑 → ∀𝑥𝐴𝑦𝐴 (𝑥𝑦 → (𝐹𝑥) ≤ (𝐹𝑦)))
pimincfltioo.r (𝜑𝑅 ∈ ℝ*)
pimincfltioo.y 𝑌 = {𝑥𝐴 ∣ (𝐹𝑥) < 𝑅}
pimincfltioo.c 𝑆 = sup(𝑌, ℝ*, < )
pimincfltioo.e (𝜑 → ¬ 𝑆𝑌)
pimincfltioo.d 𝐼 = (-∞(,)𝑆)
Assertion
Ref Expression
pimincfltioo (𝜑𝑌 = (𝐼𝐴))
Distinct variable groups:   𝑥,𝐴,𝑦   𝑥,𝐹,𝑦   𝑥,𝐼,𝑦   𝑥,𝑅,𝑦   𝑦,𝑌
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥,𝑦)   𝑆(𝑥,𝑦)   𝑌(𝑥)

Proof of Theorem pimincfltioo
Dummy variables 𝑤 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 pimincfltioo.y . . . . . . 7 𝑌 = {𝑥𝐴 ∣ (𝐹𝑥) < 𝑅}
2 ssrab2 3671 . . . . . . 7 {𝑥𝐴 ∣ (𝐹𝑥) < 𝑅} ⊆ 𝐴
31, 2eqsstri 3619 . . . . . 6 𝑌𝐴
43a1i 11 . . . . 5 (𝜑𝑌𝐴)
5 pimincfltioo.a . . . . 5 (𝜑𝐴 ⊆ ℝ)
64, 5sstrd 3597 . . . 4 (𝜑𝑌 ⊆ ℝ)
7 pimincfltioo.c . . . 4 𝑆 = sup(𝑌, ℝ*, < )
8 pimincfltioo.e . . . 4 (𝜑 → ¬ 𝑆𝑌)
9 pimincfltioo.d . . . 4 𝐼 = (-∞(,)𝑆)
106, 7, 8, 9ressioosup 39224 . . 3 (𝜑𝑌𝐼)
1110, 4ssind 3820 . 2 (𝜑𝑌 ⊆ (𝐼𝐴))
12 pimincfltioo.x . . . 4 𝑥𝜑
13 elinel2 3783 . . . . . . . 8 (𝑥 ∈ (𝐼𝐴) → 𝑥𝐴)
1413adantl 482 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐼𝐴)) → 𝑥𝐴)
15 mnfxr 10048 . . . . . . . . . . 11 -∞ ∈ ℝ*
1615a1i 11 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐼𝐴)) → -∞ ∈ ℝ*)
17 ressxr 10035 . . . . . . . . . . . . . 14 ℝ ⊆ ℝ*
186, 17syl6ss 3599 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑𝑌 ⊆ ℝ*)
1918supxrcld 38810 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → sup(𝑌, ℝ*, < ) ∈ ℝ*)
207, 19syl5eqel 2702 . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝑆 ∈ ℝ*)
2120adantr 481 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐼𝐴)) → 𝑆 ∈ ℝ*)
22 elinel1 3782 . . . . . . . . . . . 12 (𝑥 ∈ (𝐼𝐴) → 𝑥𝐼)
2322, 9syl6eleq 2708 . . . . . . . . . . 11 (𝑥 ∈ (𝐼𝐴) → 𝑥 ∈ (-∞(,)𝑆))
2423adantl 482 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐼𝐴)) → 𝑥 ∈ (-∞(,)𝑆))
25 iooltub 39177 . . . . . . . . . 10 ((-∞ ∈ ℝ*𝑆 ∈ ℝ*𝑥 ∈ (-∞(,)𝑆)) → 𝑥 < 𝑆)
2616, 21, 24, 25syl3anc 1323 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐼𝐴)) → 𝑥 < 𝑆)
2726adantr 481 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑥 ∈ (𝐼𝐴)) ∧ ¬ (𝐹𝑥) < 𝑅) → 𝑥 < 𝑆)
28 simpr 477 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑥 ∈ (𝐼𝐴)) ∧ ¬ (𝐹𝑥) < 𝑅) → ¬ (𝐹𝑥) < 𝑅)
29 pimincfltioo.r . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑𝑅 ∈ ℝ*)
3029adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐼𝐴)) → 𝑅 ∈ ℝ*)
3130adantr 481 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑥 ∈ (𝐼𝐴)) ∧ ¬ (𝐹𝑥) < 𝑅) → 𝑅 ∈ ℝ*)
32 pimincfltioo.f . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝜑𝐹:𝐴⟶ℝ*)
3332adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐼𝐴)) → 𝐹:𝐴⟶ℝ*)
3433, 14ffvelrnd 6321 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐼𝐴)) → (𝐹𝑥) ∈ ℝ*)
3534adantr 481 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑥 ∈ (𝐼𝐴)) ∧ ¬ (𝐹𝑥) < 𝑅) → (𝐹𝑥) ∈ ℝ*)
3631, 35xrlenltd 10056 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑥 ∈ (𝐼𝐴)) ∧ ¬ (𝐹𝑥) < 𝑅) → (𝑅 ≤ (𝐹𝑥) ↔ ¬ (𝐹𝑥) < 𝑅))
3728, 36mpbird 247 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑥 ∈ (𝐼𝐴)) ∧ ¬ (𝐹𝑥) < 𝑅) → 𝑅 ≤ (𝐹𝑥))
38 pimincfltioo.h . . . . . . . . . . . . . . 15 𝑦𝜑
39 nfv 1840 . . . . . . . . . . . . . . 15 𝑦 𝑥 ∈ (𝐼𝐴)
4038, 39nfan 1825 . . . . . . . . . . . . . 14 𝑦(𝜑𝑥 ∈ (𝐼𝐴))
41 nfv 1840 . . . . . . . . . . . . . 14 𝑦 𝑅 ≤ (𝐹𝑥)
4240, 41nfan 1825 . . . . . . . . . . . . 13 𝑦((𝜑𝑥 ∈ (𝐼𝐴)) ∧ 𝑅 ≤ (𝐹𝑥))
43 fveq2 6153 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑥 = 𝑦 → (𝐹𝑥) = (𝐹𝑦))
4443breq1d 4628 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑥 = 𝑦 → ((𝐹𝑥) < 𝑅 ↔ (𝐹𝑦) < 𝑅))
4544, 1elrab2 3352 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑦𝑌 ↔ (𝑦𝐴 ∧ (𝐹𝑦) < 𝑅))
4645biimpi 206 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑦𝑌 → (𝑦𝐴 ∧ (𝐹𝑦) < 𝑅))
4746simprd 479 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑦𝑌 → (𝐹𝑦) < 𝑅)
4847adantl 482 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑𝑦𝑌) → (𝐹𝑦) < 𝑅)
4948ad5ant14 1299 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((((𝜑𝑥 ∈ (𝐼𝐴)) ∧ 𝑅 ≤ (𝐹𝑥)) ∧ 𝑦𝑌) ∧ ¬ 𝑦𝑥) → (𝐹𝑦) < 𝑅)
505adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐼𝐴)) → 𝐴 ⊆ ℝ)
5150, 14sseldd 3588 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐼𝐴)) → 𝑥 ∈ ℝ)
5251ad3antrrr 765 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((((𝜑𝑥 ∈ (𝐼𝐴)) ∧ 𝑅 ≤ (𝐹𝑥)) ∧ 𝑦𝑌) ∧ ¬ 𝑦𝑥) → 𝑥 ∈ ℝ)
536sselda 3587 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝜑𝑦𝑌) → 𝑦 ∈ ℝ)
5453ad5ant14 1299 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((((𝜑𝑥 ∈ (𝐼𝐴)) ∧ 𝑅 ≤ (𝐹𝑥)) ∧ 𝑦𝑌) ∧ ¬ 𝑦𝑥) → 𝑦 ∈ ℝ)
55 simpr 477 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((𝜑𝑥 ∈ (𝐼𝐴)) ∧ 𝑦𝑌) ∧ ¬ 𝑦𝑥) → ¬ 𝑦𝑥)
5651ad2antrr 761 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((((𝜑𝑥 ∈ (𝐼𝐴)) ∧ 𝑦𝑌) ∧ ¬ 𝑦𝑥) → 𝑥 ∈ ℝ)
5753ad4ant13 1289 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((((𝜑𝑥 ∈ (𝐼𝐴)) ∧ 𝑦𝑌) ∧ ¬ 𝑦𝑥) → 𝑦 ∈ ℝ)
5856, 57ltnled 10136 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((𝜑𝑥 ∈ (𝐼𝐴)) ∧ 𝑦𝑌) ∧ ¬ 𝑦𝑥) → (𝑥 < 𝑦 ↔ ¬ 𝑦𝑥))
5955, 58mpbird 247 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((𝜑𝑥 ∈ (𝐼𝐴)) ∧ 𝑦𝑌) ∧ ¬ 𝑦𝑥) → 𝑥 < 𝑦)
6059adantllr 754 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((((𝜑𝑥 ∈ (𝐼𝐴)) ∧ 𝑅 ≤ (𝐹𝑥)) ∧ 𝑦𝑌) ∧ ¬ 𝑦𝑥) → 𝑥 < 𝑦)
6152, 54, 60ltled 10137 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((((𝜑𝑥 ∈ (𝐼𝐴)) ∧ 𝑅 ≤ (𝐹𝑥)) ∧ 𝑦𝑌) ∧ ¬ 𝑦𝑥) → 𝑥𝑦)
6230ad3antrrr 765 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((((𝜑𝑥 ∈ (𝐼𝐴)) ∧ 𝑅 ≤ (𝐹𝑥)) ∧ 𝑦𝑌) ∧ 𝑥𝑦) → 𝑅 ∈ ℝ*)
6334ad3antrrr 765 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((((𝜑𝑥 ∈ (𝐼𝐴)) ∧ 𝑅 ≤ (𝐹𝑥)) ∧ 𝑦𝑌) ∧ 𝑥𝑦) → (𝐹𝑥) ∈ ℝ*)
6432adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝜑𝑦𝑌) → 𝐹:𝐴⟶ℝ*)
654sselda 3587 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝜑𝑦𝑌) → 𝑦𝐴)
6664, 65ffvelrnd 6321 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝜑𝑦𝑌) → (𝐹𝑦) ∈ ℝ*)
6766ad5ant14 1299 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((((𝜑𝑥 ∈ (𝐼𝐴)) ∧ 𝑅 ≤ (𝐹𝑥)) ∧ 𝑦𝑌) ∧ 𝑥𝑦) → (𝐹𝑦) ∈ ℝ*)
68 simpllr 798 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((((𝜑𝑥 ∈ (𝐼𝐴)) ∧ 𝑅 ≤ (𝐹𝑥)) ∧ 𝑦𝑌) ∧ 𝑥𝑦) → 𝑅 ≤ (𝐹𝑥))
69 nfv 1840 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 𝑤(((𝜑𝑥 ∈ (𝐼𝐴)) ∧ 𝑦𝑌) ∧ 𝑥𝑦)
70 nfv 1840 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 𝑧(((𝜑𝑥 ∈ (𝐼𝐴)) ∧ 𝑦𝑌) ∧ 𝑥𝑦)
71 pimincfltioo.i . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝜑 → ∀𝑥𝐴𝑦𝐴 (𝑥𝑦 → (𝐹𝑥) ≤ (𝐹𝑦)))
72 breq1 4621 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (𝑤 = 𝑥 → (𝑤𝑧𝑥𝑧))
73 fveq2 6153 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (𝑤 = 𝑥 → (𝐹𝑤) = (𝐹𝑥))
7473breq1d 4628 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (𝑤 = 𝑥 → ((𝐹𝑤) ≤ (𝐹𝑧) ↔ (𝐹𝑥) ≤ (𝐹𝑧)))
7572, 74imbi12d 334 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝑤 = 𝑥 → ((𝑤𝑧 → (𝐹𝑤) ≤ (𝐹𝑧)) ↔ (𝑥𝑧 → (𝐹𝑥) ≤ (𝐹𝑧))))
76 breq2 4622 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (𝑧 = 𝑦 → (𝑥𝑧𝑥𝑦))
77 fveq2 6153 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (𝑧 = 𝑦 → (𝐹𝑧) = (𝐹𝑦))
7877breq2d 4630 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (𝑧 = 𝑦 → ((𝐹𝑥) ≤ (𝐹𝑧) ↔ (𝐹𝑥) ≤ (𝐹𝑦)))
7976, 78imbi12d 334 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝑧 = 𝑦 → ((𝑥𝑧 → (𝐹𝑥) ≤ (𝐹𝑧)) ↔ (𝑥𝑦 → (𝐹𝑥) ≤ (𝐹𝑦))))
8075, 79cbvral2v 3170 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (∀𝑤𝐴𝑧𝐴 (𝑤𝑧 → (𝐹𝑤) ≤ (𝐹𝑧)) ↔ ∀𝑥𝐴𝑦𝐴 (𝑥𝑦 → (𝐹𝑥) ≤ (𝐹𝑦)))
8171, 80sylibr 224 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝜑 → ∀𝑤𝐴𝑧𝐴 (𝑤𝑧 → (𝐹𝑤) ≤ (𝐹𝑧)))
8281ad3antrrr 765 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((((𝜑𝑥 ∈ (𝐼𝐴)) ∧ 𝑦𝑌) ∧ 𝑥𝑦) → ∀𝑤𝐴𝑧𝐴 (𝑤𝑧 → (𝐹𝑤) ≤ (𝐹𝑧)))
8314ad2antrr 761 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((((𝜑𝑥 ∈ (𝐼𝐴)) ∧ 𝑦𝑌) ∧ 𝑥𝑦) → 𝑥𝐴)
8465ad4ant13 1289 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((((𝜑𝑥 ∈ (𝐼𝐴)) ∧ 𝑦𝑌) ∧ 𝑥𝑦) → 𝑦𝐴)
85 simpr 477 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((((𝜑𝑥 ∈ (𝐼𝐴)) ∧ 𝑦𝑌) ∧ 𝑥𝑦) → 𝑥𝑦)
8669, 70, 82, 83, 84, 85dmrelrnrel 38924 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((𝜑𝑥 ∈ (𝐼𝐴)) ∧ 𝑦𝑌) ∧ 𝑥𝑦) → (𝐹𝑥) ≤ (𝐹𝑦))
8786adantllr 754 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((((𝜑𝑥 ∈ (𝐼𝐴)) ∧ 𝑅 ≤ (𝐹𝑥)) ∧ 𝑦𝑌) ∧ 𝑥𝑦) → (𝐹𝑥) ≤ (𝐹𝑦))
8862, 63, 67, 68, 87xrletrd 11945 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((((𝜑𝑥 ∈ (𝐼𝐴)) ∧ 𝑅 ≤ (𝐹𝑥)) ∧ 𝑦𝑌) ∧ 𝑥𝑦) → 𝑅 ≤ (𝐹𝑦))
8962, 67xrlenltd 10056 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((((𝜑𝑥 ∈ (𝐼𝐴)) ∧ 𝑅 ≤ (𝐹𝑥)) ∧ 𝑦𝑌) ∧ 𝑥𝑦) → (𝑅 ≤ (𝐹𝑦) ↔ ¬ (𝐹𝑦) < 𝑅))
9088, 89mpbid 222 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((((𝜑𝑥 ∈ (𝐼𝐴)) ∧ 𝑅 ≤ (𝐹𝑥)) ∧ 𝑦𝑌) ∧ 𝑥𝑦) → ¬ (𝐹𝑦) < 𝑅)
9161, 90syldan 487 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((((𝜑𝑥 ∈ (𝐼𝐴)) ∧ 𝑅 ≤ (𝐹𝑥)) ∧ 𝑦𝑌) ∧ ¬ 𝑦𝑥) → ¬ (𝐹𝑦) < 𝑅)
9249, 91condan 834 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝜑𝑥 ∈ (𝐼𝐴)) ∧ 𝑅 ≤ (𝐹𝑥)) ∧ 𝑦𝑌) → 𝑦𝑥)
9392ex 450 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑥 ∈ (𝐼𝐴)) ∧ 𝑅 ≤ (𝐹𝑥)) → (𝑦𝑌𝑦𝑥))
9442, 93ralrimi 2952 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑥 ∈ (𝐼𝐴)) ∧ 𝑅 ≤ (𝐹𝑥)) → ∀𝑦𝑌 𝑦𝑥)
9537, 94syldan 487 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑥 ∈ (𝐼𝐴)) ∧ ¬ (𝐹𝑥) < 𝑅) → ∀𝑦𝑌 𝑦𝑥)
9618adantr 481 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐼𝐴)) → 𝑌 ⊆ ℝ*)
9717, 51sseldi 3585 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐼𝐴)) → 𝑥 ∈ ℝ*)
98 supxrleub 12107 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑌 ⊆ ℝ*𝑥 ∈ ℝ*) → (sup(𝑌, ℝ*, < ) ≤ 𝑥 ↔ ∀𝑦𝑌 𝑦𝑥))
9996, 97, 98syl2anc 692 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐼𝐴)) → (sup(𝑌, ℝ*, < ) ≤ 𝑥 ↔ ∀𝑦𝑌 𝑦𝑥))
10099adantr 481 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑥 ∈ (𝐼𝐴)) ∧ ¬ (𝐹𝑥) < 𝑅) → (sup(𝑌, ℝ*, < ) ≤ 𝑥 ↔ ∀𝑦𝑌 𝑦𝑥))
10195, 100mpbird 247 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑥 ∈ (𝐼𝐴)) ∧ ¬ (𝐹𝑥) < 𝑅) → sup(𝑌, ℝ*, < ) ≤ 𝑥)
1027, 101syl5eqbr 4653 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑥 ∈ (𝐼𝐴)) ∧ ¬ (𝐹𝑥) < 𝑅) → 𝑆𝑥)
10321adantr 481 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑥 ∈ (𝐼𝐴)) ∧ ¬ (𝐹𝑥) < 𝑅) → 𝑆 ∈ ℝ*)
10497adantr 481 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑥 ∈ (𝐼𝐴)) ∧ ¬ (𝐹𝑥) < 𝑅) → 𝑥 ∈ ℝ*)
105103, 104xrlenltd 10056 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑥 ∈ (𝐼𝐴)) ∧ ¬ (𝐹𝑥) < 𝑅) → (𝑆𝑥 ↔ ¬ 𝑥 < 𝑆))
106102, 105mpbid 222 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑥 ∈ (𝐼𝐴)) ∧ ¬ (𝐹𝑥) < 𝑅) → ¬ 𝑥 < 𝑆)
10727, 106condan 834 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐼𝐴)) → (𝐹𝑥) < 𝑅)
10814, 107jca 554 . . . . . 6 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐼𝐴)) → (𝑥𝐴 ∧ (𝐹𝑥) < 𝑅))
1091rabeq2i 3186 . . . . . 6 (𝑥𝑌 ↔ (𝑥𝐴 ∧ (𝐹𝑥) < 𝑅))
110108, 109sylibr 224 . . . . 5 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐼𝐴)) → 𝑥𝑌)
111110ex 450 . . . 4 (𝜑 → (𝑥 ∈ (𝐼𝐴) → 𝑥𝑌))
11212, 111ralrimi 2952 . . 3 (𝜑 → ∀𝑥 ∈ (𝐼𝐴)𝑥𝑌)
113 nfcv 2761 . . . 4 𝑥(𝐼𝐴)
114 nfrab1 3114 . . . . 5 𝑥{𝑥𝐴 ∣ (𝐹𝑥) < 𝑅}
1151, 114nfcxfr 2759 . . . 4 𝑥𝑌
116113, 115dfss3f 3579 . . 3 ((𝐼𝐴) ⊆ 𝑌 ↔ ∀𝑥 ∈ (𝐼𝐴)𝑥𝑌)
117112, 116sylibr 224 . 2 (𝜑 → (𝐼𝐴) ⊆ 𝑌)
11811, 117eqssd 3604 1 (𝜑𝑌 = (𝐼𝐴))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 196  wa 384   = wceq 1480  wnf 1705  wcel 1987  wral 2907  {crab 2911  cin 3558  wss 3559   class class class wbr 4618  wf 5848  cfv 5852  (class class class)co 6610  supcsup 8298  cr 9887  -∞cmnf 10024  *cxr 10025   < clt 10026  cle 10027  (,)cioo 12125
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1719  ax-4 1734  ax-5 1836  ax-6 1885  ax-7 1932  ax-8 1989  ax-9 1996  ax-10 2016  ax-11 2031  ax-12 2044  ax-13 2245  ax-ext 2601  ax-sep 4746  ax-nul 4754  ax-pow 4808  ax-pr 4872  ax-un 6909  ax-cnex 9944  ax-resscn 9945  ax-1cn 9946  ax-icn 9947  ax-addcl 9948  ax-addrcl 9949  ax-mulcl 9950  ax-mulrcl 9951  ax-mulcom 9952  ax-addass 9953  ax-mulass 9954  ax-distr 9955  ax-i2m1 9956  ax-1ne0 9957  ax-1rid 9958  ax-rnegex 9959  ax-rrecex 9960  ax-cnre 9961  ax-pre-lttri 9962  ax-pre-lttrn 9963  ax-pre-ltadd 9964  ax-pre-mulgt0 9965  ax-pre-sup 9966
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1037  df-3an 1038  df-tru 1483  df-ex 1702  df-nf 1707  df-sb 1878  df-eu 2473  df-mo 2474  df-clab 2608  df-cleq 2614  df-clel 2617  df-nfc 2750  df-ne 2791  df-nel 2894  df-ral 2912  df-rex 2913  df-reu 2914  df-rmo 2915  df-rab 2916  df-v 3191  df-sbc 3422  df-csb 3519  df-dif 3562  df-un 3564  df-in 3566  df-ss 3573  df-nul 3897  df-if 4064  df-pw 4137  df-sn 4154  df-pr 4156  df-op 4160  df-uni 4408  df-iun 4492  df-br 4619  df-opab 4679  df-mpt 4680  df-id 4994  df-po 5000  df-so 5001  df-xp 5085  df-rel 5086  df-cnv 5087  df-co 5088  df-dm 5089  df-rn 5090  df-res 5091  df-ima 5092  df-iota 5815  df-fun 5854  df-fn 5855  df-f 5856  df-f1 5857  df-fo 5858  df-f1o 5859  df-fv 5860  df-riota 6571  df-ov 6613  df-oprab 6614  df-mpt2 6615  df-1st 7120  df-2nd 7121  df-er 7694  df-en 7908  df-dom 7909  df-sdom 7910  df-sup 8300  df-pnf 10028  df-mnf 10029  df-xr 10030  df-ltxr 10031  df-le 10032  df-sub 10220  df-neg 10221  df-ioo 12129
This theorem is referenced by:  incsmflem  40283
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